Estudo_Bobinas_Telemetria_Sensor

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E 
INFORMÁTICA INDUSTRIAL – CPGEI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. DSc. SÉRGIO FRANCISCO PICHORIM – DAELN 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DE BOBINAS PARA SENSORES E TELEMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
P E S Q U I S A, E S T U D O & R E V I S Ã O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
Setembro de 2011 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 2 
 
 
1. INDUTÂNCIAS DE BOBINAS 
 
 
 
A indutância (L) é a propriedade de um circuito elétrico de causar a indução de uma 
tensão (v) proporcional à variação no tempo da corrente (i) no circuito, ou seja 
 
 (1) 
 
Quando esta tensão induzida é no mesmo circuito onde circula a corrente, 
denomina-se de auto-indutância. Para circuitos diferentes, L é denominado de indutância 
mútua. Tanto a auto-indutância de um circuito como a indutância mútua (Mij) entre dois 
circuitos elétricos (Ci e Cj) podem ser determinadas pela equação clássica de Neumann 
(SILVESTER, 1968; SOMA et al. 1987) 
 
 (2) 
onde µo é a permeabilidade magnética do meio (4π.10-7 H/m no vácuo), dsi e dsj são os 
segmentos infinitesimais de cada circuito e Rij é a distância entre os dois segmentos. Como 
mostrado na figura 1. 
 
Figura 1 – Dois circuitos fechados. 
 
 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 3 
 
1.1 INDUTÂNCIA MÚTUA ENTRE ANÉIS CIRCULARES COAXIAIS 
 
Para dois circuitos em forma de anéis (círculos de raios a e b) coaxiais (no mesmo 
eixo) e separados por uma distância D (figura 2), a indutância mútua entre eles, aplicando a 
equação de Neumann (SILVESTER, 1968), é determinada por 
 
 (3) 
onde k é um fator geométrico dado por (PICHORIM e ABATTI, 2004) 
 (4) 
 
As funções K(k) e E(k), chamadas de integrais elípticas completas de primeira e 
segunda espécie, respectivamente, são as integrais definidas (SILVESTRE, 1968) 
 (5) 
e 
 . (6) 
Nenhuma expressão algébrica geral pode ser dada para estas integrais, entretanto 
são de interesse suficiente para formar uma parte da coleção padronizada das funções 
transcendentais tabuladas ou ainda expressas em série de potências (SILVESTER, 1968, 
SPIEGEL, 1973). 
 
 
Figura 2: Bobinas circulares coaxiais (raios a e b, distância z=D) com representação de 
algumas linhas de campo geradas pela corrente i. Modificado de Pichorim (2003). 
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1.2 AUTO-INDUTÂNCIA DE UM ANEL CIRCULAR 
 
A auto-indutância de um anel pode ser determinada a partir da solução anterior. Para 
isso, faz-se a sobreposição dos circuitos i e j (anéis de mesmo raio a=b) separados apenas 
pela espessura do fio condutor (diâmetro d) que forma o anel. Fazendo D=d e a=b, o valor 
do fator geométrico k (equação 4) tende para 1, já que o raio (a) é muito maior que o 
diâmetro (d) do fio (apenas lembrando que se trata de um anel e não de um toro). Contudo, 
quando k=1, a função K(k) se torna indeterminada. Assim, uma aproximação mais realística 
pode ser obtida desprezando-se o fluxo magnético dentro do condutor (SILVESTER, 1968, 
TERMAN, 1943). Portanto, a auto-indutância de um anel (raio a e diâmetro do condutor d) 
pode ser determinada por 
 
 (7) 
 
1.3 AUTO-INDUTÂNCIA DE UM SOLENÓIDE (HÉLICE) DE CAMADA SIMPLES 
 
Para uma bobina helicoidal (solenóide) de raio a, n espiras e comprimento l, a auto-
indutância total (Ls) poderia ser também determinada pela equação de Neumann (circuito 
helicoidal da figura 3 com t variando de 0 a l, ou seja, de comprimento total 2π.a.n), mas 
também não existe uma solução analítica. 
 
 
Figura 3- Solenóide helicoidal de raio a, comprimento l e n espiras. 
 
Uma solução numérica aproximada pode ser obtida considerando-se cada espira 
como um anel, computando-se a contribuição das auto-indutâncias de cada espira (Lti) e as 
indutâncias mútuas entre todas as espiras (Mij), ou seja, a auto-indutância é 
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 (8) 
 
O valor de Lti é calculado pela equação 7 e Mij (somente para i ≠ j) é calculado por 
 
 (9) 
 
onde b é igual ao raio a e Dij é a distância entre as espiras i e j. 
A solução pode ser implementada numericamente com o auxílio de qualquer 
software de manipulação matemática (Excel®, MatLab®, Mathematica®, SigmaPlot®) ou 
mesmo por um programa desenvolvido especialmente para este fim (C++ ou Visual 
Basic®) (ROVERI, 2007). 
Terman (1943) apresenta uma solução um pouco mais prática, onde a auto-
indutância (Ls), dada em µH, é calculada pela simples equação 
 
Ls = n2.2.a.F/ 25,4 (10) 
 
onde o raio a deve ser dado em milímetros e o parâmetro F, fator de forma dependente da 
relação diâmetro pelo comprimento do solenóide, é dado por uma tabela ou pela curva da 
figura 4 (TERMAN, 1943, tab.12). 
 Uma fórmula empírica mais simples e aproximada, válida para baixas freqüências, é 
 
Ls = n2.a2/(9.a+10.l) (11) 
 
onde Ls é dado em µH, o raio a e o comprimento l devem ser fornecidos em polegadas. 
Está fórmula é válida para solenóides longos com l > 0.8.a (TERMAN, 1943). 
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Figura 4 – Fator F em função da relação diâmetro pelo comprimento do solenóide de 
camada simples. Modificada da Fig.19 de Terman (1943). 
 
1.4 AUTO-INDUTÂNCIA DE ESPIRAL PLANA (PANQUECA) DE CAMADA 
SIMPLES 
 
Para uma bobina espiral (panqueca) de raio interno a, raio externo A e n espiras, a 
auto-indutância total (Ls) poderia ser também determinada pela equação de Neumann 
(circuito espiral da figura 5 com comprimento total π.n.(a+A)), mas também não existe 
uma solução analítica. 
Uma solução numérica aproximada pode ser obtida considerando-se cada espira 
como um anel, computando-se a contribuição das auto-indutâncias de cada espira (Lti) e as 
indutâncias mútuas entre todas as espiras (Mij), assim como foi realizado para o solenóide. 
Para tal, utiliza-se as mesmas equações 8 e 9, substituindo-se a distância Dij=0 (as espiras 
estão no mesmo plano) e fazendo os raios dos anéis ai e bj variarem de a até A. 
O raio do anel circular equivalente de cada espira da panqueca (ai ou bj) pode ser 
determinado pela relação: 
 (12) 
onde a e A são os raios interno e externo, respectivamente. 
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A solução pode ser implementada numericamente com o auxílio de qualquer 
software de manipulação matemática (Excel®, MatLab®, Mathematica®, SigmaPlot®) ou 
mesmo por um programa desenvolvido especialmente para este fim (C++ ou Visual 
Basic®) (ROVERI, 2007). 
 
 
Figura 5 – Bobina espiral plana (panqueca) de n espiras e raios a e A. 
 
Grover (1946) apresenta uma solução um pouco mais prática, onde a auto-
indutância (Ls), dada em nH, é calculada pela equação 
 
Ls = n2.Acm.P.F (13) 
 
onde Acm é o raio médio em centímetros, P é um valor tabelado que depende dos raios a e 
A e o parâmetro F, também tabelado, faz a compensação do espaço entre as espiras 
(GROVER, 1946, tabelas 24, 25 e 26). 
 Terman (1943) apresenta uma determinação gráfica para um parâmetro K (figura 6) 
que depende dos raios da bobina, e onde a indutância (em µH) é calculada por 
 
Ls = n2.Am.K (14) 
 
onde Am é o raio médio em polegadas (TERMAN, 1943, fig. 24). 
 Uma solução ainda mais simples para a determinação da auto-indutância de bobinas 
panqueca, válida para a < 0,8 A, é 
 
Ls = n2.(A+a)2 / (150.A–70.a) (15) 
 
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onde a e A sãoem centímetro e Ls é dado em µH (TERMAN, 1943 e LAGOMA, 1946). 
 
 
Figura 6 – Parâmetro geométrico K para bobinas espirais planas (panquecas), onde m é o 
raio médio (A/2+a/2) e h é a altura da bobina (A–a). Modificada de Terman (1943). 
 
 
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2. CAPACITÂNCIAS DE BOBINAS 
 
 
 
A capacitância (C) é a habilidade de um corpo de armazenar cargas elétricas. Em 
um circuito elétrico, ela é definida com a propriedade de causar a circulação de uma 
corrente (i) proporcional à variação no tempo da tensão (v), ou seja 
 
 (16) 
 
2.1 GEOMETRIA 
 
De maneira geral a capacitância é calculada entre duas superfícies condutoras planas 
(de área A) em paralelo (distância de separação d) separadas por um meio não condutor 
com permissividade relativa εr 
 (17) 
 
onde εo é a permissividade do vácuo e vale 8,854 pF/m. No entanto, neste estudo necessita-
se da capacitância entre condutores cilíndricos em paralelo (espiras de um enrolamento). 
Na figura 7 são apresentadas as variáveis geométricas que são envolvidas da determinação 
da capacitância entre duas espiras (Ctt) consecutivas. As espiras são de seção transversal 
circular de raio do condutor r e espessura do isolante t (permissividade relativa εr) 
separadas por uma distância p. O comprimento da espira (perímetro) é lt e Do e Dc são 
diâmetros dos condutores, com e sem a camada isolante, respectivamente. 
 
 
 
Figura 7 – Geometria e variáveis para a determinação da capacitância entre espiras (Ctt). 
Modificada de Massarini & Kazimierczuk (1997). 
 
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2.2 CAPACITÂNCIA ENTRE ESPIRAS 
 
Existem vários artigos com equações que se aplicam a situações ligeiramente 
diferentes para se determinar a capacitância entre espiras consecutivas (Ctt), a seguir são 
apresentados alguns exemplos. 
 
Massarini e Kazimierczuk (1997) apresentam uma equação simplificada mais 
completa, ou seja 
 (18) 
onde 
 (19) 
 
A partir da equação (18), assumindo que a espessura do isolante t é muito pequena, 
faz-se o limite de ln (Do/Dc) tendendo a zero ser igual a 2.t/Do, tem-se (MASSARINI et al, 
1996) 
 (20) 
 
Ou ainda, para os condutores imersos em um único meio de permissividade εd, ou 
seja, t=0, aplicando-se outro limite, tem-se (HOLE & APPEL, 2005) e (JACKSON, 1975) 
 
 (21) 
 
 Deve-se ressaltar que a equação (21) leva em conta a existência um espaço livre 
entre as espiras, que vale p–2.r. Já as equações (18) e (20) supõem que as espiras estejam 
encostadas e apenas separadas para camada isolante, que vale 2.t. 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 11 
 
Grandi et al (1999) apresentam ainda 
 
 (24) 
 (25) 
 
Deve-se ter em conta que Grandi et al (1999) trabalham com bobinas de uma ou 
duas camadas e a integração de θ da figura 7 é feita de –π/2 a +π/2. Já no trabalho de 
Massarini et al (1996) assume-se que a bobina é muticamada, ou seja, cada espira tem 
outras seis espiras na sua vizinhança, assim a integração no cálculo do campo elétrico é 
feita apenas para ângulos entre –π/3 a +π/3. 
 
Caso exista entre as espiras um espaço (gap) de ar muito maior que a espessura do 
isolante (ou a permissividade relativa εr seja próxima de 1), Grandi et al (1997 e 1999) e 
Jackson (1975) apresentam uma simplificação da equação (24), isto é 
 
 (26) 
 
 
Além das capacitâncias entre espiras, pode existir em um enrolamento a 
capacitância entre as espiras e uma superfície condutora (núcleo da bobina ou blindagem). 
Neste caso, a capacitância é o dobro do Ctt, pois se considera que o condutor esteja sobre a 
linha tracejada de simetria da figura 7, ou seja, calcula-se apenas a metade do percurso x(θ). 
A figura 8 mostra de forma mais simples este efeito. 
 
 
Figura 8 – A capacitância entre uma espira e uma superfície condutora é o dobro da 
capacitância entre duas espiras (já que 2C em série com 2C é apenas C). 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 12 
 
2.3 CAPACITÂNCIA DE UM INDUTOR 
 
 
 Concentrando-se as capacitâncias entre trilhas adjacentes (C) e entre o núcleo 
condutor (2.C), tem-se o circuito equivalente segmentado, que é importante para a 
determinação da capacitância total (Cs) do enrolamento. Um exemplo de segmentação pode 
ser visto na figura 9. Este modelo segmentado pode ser desenvolvido para diversas 
configurações de indutores (com ou sem núcleo) com uma ou várias camadas de 
enrolamento ou diferentes formas de enrolamento (bifilar, por exemplo). 
 
 
Figura 9 – Distribuição das capacitâncias internas em um indutor de n espiras em camada 
simples (MASSARINI & KAZIMIERCZUK, 1997). 
 
Assim, tem-se uma rede de capacitores concentrados (modelo segmentado), onde o 
caso mais simples é um indutor de camada simples sem núcleo condutivo. Neste caso, a 
capacitância total (Cs) é dada pela capacitância equivalente de n–1 capacitâncias Ctt em 
série, ou 
 
 (27) 
 
 Para um indutor de camada simples com núcleo condutor (conforme a figura 9), a 
capacitância interna (Cs) total é 
 
 , (28) 
 
para um indutor com dupla camada de enrolamento e sem núcleo tem-se 
 
 , (29) 
 
para um indutor com dupla camada de enrolamento e com núcleo tem-se 
 
 , (30) 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 13 
 
e para um indutor com tripla camada de enrolamento e sem núcleo tem-se 
 
 . (31) 
 
 Todas as equações de (28) a (31) são válidas para enrolamentos com mais de 10 
espiras (MASSARINI & KAZIMIERCZUK, 1997). 
 Hope e Appel (2005) utilizaram um método analítico matricial para resolver 
indutores de dupla camada com núcleo, chegando a valores de Cs entre 1,45 e 1,72 vezes a 
capacitância Ctt, dependendo da distância de separação entre o enrolamento e o núcleo. 
 
 
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3. MODELOS DISTRIBUÍDO, CONCENTRADO E SEGMENTADO 
 
 
3.1 MODELO DISTRIBUÍDO 
 
Um circuito pode ser visto como uma combinação múltipla de segmentos de 
circuitos pequenos (infinitesimais), como mostrado na figura 10. A indutância série é 
devida aos efeitos do campo magnético e a capacitância é devida ao campo elétrico. As 
perdas são representadas por uma resistência série e por uma condutância em paralelo. As 
constantes R, G, L e C são definidas como parâmetros do circuito por unidade de 
comprimento e o circuito resultante é conhecido como modelo distribuído. O comprimento 
do segmento é ∆x. Circuitos com elementos distribuídos são aqueles onde as dimensões 
físicas de um ou mais componente afetam o funcionamento do circuito (Edwards, 2001). 
Modelos distribuídos são mais realistas, pois eles levam em conta a velocidade de 
propagação das ondas. A análise de linhas de transmissão ou as equações de Maxwell são 
necessárias para modelar as estruturas com elementos eletricamente distribuídos (Corum & 
Corum, 2001). Assim, este modelo pode resolver qualquer tipo de circuito, incluindo 
reflexão de ondas, onda estacionária, linhas de transmissão, etc. 
 
 
Figura 10 – Representação de um circuito com elementos distribuídos. Modificado de 
Edwards (2001). 
 
 A razão das amplitudes V(x) e V(x+∆x) pode ser dada por xje ∆+ )( βα , onde α é a 
constante de atenuação e β a constante de fase. 
 
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3.2 MODELO CONCENTRADO (LUMPED) 
 
 Neste modelo, os valores dos elementos R, G, L e C sãototalizados e representados 
em um único ponto do circuito. Aqui, a velocidade de propagação da onda é considerada 
infinita (OSU, 2011). Por exemplo, um indutor pode ser representado, a partir de seus 
terminais x e y, como uma auto-indutância (Ls), uma capacitância interna (Cs) e uma 
resistência interna Rs (perdas). Este modelo computa a auto-indutância total para baixas 
freqüências (onde as reatâncias capacitivas são desconsideradas) e a capacitância para altas 
freqüências (onde a indutância é desconsiderada) (MASSARINI & KAZIMIERCZUK, 
1997). 
 
Figura 11 - Representação clássica do circuito elétrico equivalente de um indutor. 
 
 Deve-se entender que as leis de Kirchhoff são aproximações que valem somente na 
representação do circuito concentrado (lumped, em inglês). Estas leis, que derivam das 
equações gerais de Maxwell, são o resultado de considerações da propagação como 
infinitamente rápida. Assim, esperam-se resultados razoáveis apenas quando as dimensões 
físicas dos elementos do circuito sejam pequenas quando comparadas com o comprimento 
da onda, então a velocidade da luz não é perceptível. Numericamente, pode-se aceitar a 
validade do modelo concentrado para circuitos com um décimo do comprimento da onda (l 
< λ/10). A fronteira entre a teoria de circuitos concentrados (onde vale Kirchhoff e podem-
se identificar os elementos R, L e C) e sistemas distribuídos (onde não se pode utilizar 
Kirchhoff e R, L e C não podem ser localizados como um elemento) depende do tamanho 
do circuito e da freqüência de operação. Se isso não for observado, o modelo concentrado 
será inapropriado (OSU, 2011). 
 Assim, deve-se sempre lembrar que as representações com elementos concentrados 
requerem que a corrente seja uniformemente distribuída ao longo do indutor (nenhuma 
propagação de ondas ou ondas estacionárias podem ser representadas sobre elementos 
concentrados). Para freqüências muito altas a distribuição da corrente no indutor não é 
uniforme, e o modelo concentrado é falho, pois a integral de Neumann assume uma 
corrente uniforme. Todas as equações de cálculo de indutância pressupõem que a 
velocidade da onda é infinita, ou seja, não podem existir ondas estacionárias na bobina 
(CORUM & CORUM, 2000 e 2001). 
 
3.3 MODELO SEGMENTADO 
 
 Mesmo quando se está trabalhando em baixa freqüência e a condição l < λ/10 é 
satisfeita o modelo concentrado não consegue explicar enrolamentos bifilares ou outros 
(isso será mais bem discutido a frente). Estes enrolamentos, por exemplo, a bobina bifilar 
de Tesla (figuras 12b e 12d), apresentam o mesmo raio, o mesmo número de espiras com o 
mesmo espaçamento e, portanto, a mesma auto-indutância (Ls) e a mesma capacitância 
interna (Cs), mas a seqüência ou ordem das espiras é diferente, levando a um 
comportamento diferenciado (YANG, WANG & LIU, 2006). Assim, percebe-se que o 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 16 
 
modelo concentrado da figura 11 não consegue explicar estas bobinas. Portanto, outro 
modelo, mais detalhado que leve em conta a organização (ou ordem) das espiras deve ser 
utilizado (PICHORIM & DESTEFANI, 2010). 
 
 
 
Figura 12 – Seqüência de enrolamentos de bobinas solenóide normal (A) e solenóide bifilar 
(B). Figuras (C) e (D) são da patente de Nikola Tesla de 1894. Em (C) tem-se o 
enrolamento normal, e em (D) um bifilar. 
 
Respeitando-se os limites do modelo concentrado, mas buscando uma solução mais 
realista, foi proposto subdividir os elementos concentrados Rs, Ls e Cs em um número N de 
segmentos. Quanto maior for N, mais próxima da realidade será a representação. Na 
prática, um número de segmentos N iguais ao número de espiras facilita o modelo e sua 
análise. 
 O procedimento para a modelagem é determinar as resistências, capacitâncias e 
indutâncias com as equações apresentadas anteriormente (como se fossem concentradas) e 
depois dividi-las em segmentos que representam cada espira e conectá-las na ordem que as 
espiras são enroladas no indutor. Ou seja 
 
Ct = Cs . N (32) 
 
Lt = Ls / N (33) 
 
onde Ct e Lt são as capacitâncias e indutâncias de cada segmento, respectivamente. 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 17 
 
 A figura 13a mostra como são organizados os elementos Ct e Lt de cada segmento 
(cada espira) de um solenóide camada simples normal, ou seja, com as espiras enroladas 
seqüencialmente (t, t+1, t+2...). 
No enrolamento bifilar (figuras 12b e 12d), conforme a proposta de Tesla, são 
enrolados dois fios A e B em paralelo e, no final, estes dois fios são ligados em série. Em 
outras palavras, é como se, no indutor, fossem enroladas primeiramente as espiras ímpares 
e depois, através do fio de retorno, fossem enroladas as espiras pares. Assim, um solenóide 
camada simples com enrolamento bifilar teria t, t+2, t+4... e depois t+1, t+3, t+5... Desta 
forma, o modelo segmentado de um indutor bifilar fica representado conforme é mostrado 
na figura 13b. 
 
 
 
 
Figura 13 - A rede de capacitâncias distribuídas em segmentos por espiras (Ct) e a de 
indutâncias (Lt), para uma bobina solenóide normal (a) e para um solenóide bifilar (b). 
 
 
 No solenóide todas as espiras têm o mesmo raio (e perímetro), portanto todos os 
valores de Ct e Lt do modelo segmentado são iguais, conforme equações (32) e (33). 
Entretanto, para bobinas planas (em forma de panqueca espiral ou quadrada) cada espira 
tem raio e perímetro diferente, portanto os valores dos elementos capacitância Ct e 
indutância Lt de cada segmento devem ser diferentes. 
 
Um equacionamento para determinar a proporção destes valores em relação às 
indutância e capacitância totais (Ls e Cs) deve ainda ser desenvolvido. 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 18 
 
 
4. FREQUÊNCIA DE RESSONÂNCIA EM BOBINAS 
 
4.1 RESSONÂNCIA POR ONDA ESTACIONÁRIA 
 
Inicialmente será feita uma suposição que exista apenas uma ressonância causada 
por onda estacionária. Neste caso, será analisada a primeira ressonância (fo), ou seja, a 
fundamental. Para tal, o solenóide é considerado uma guia de onda helicoidal onde não se 
pode determinar fo pelos valores concentrados de indutância e capacitância do enrolamento 
(Lc e Cs). Já que as fórmulas para os cálculos de Lc e Cs sempre supõem uma velocidade 
de onda infinita (aproximação quase-estática), e na ressonância existirá uma onda 
estacionária na bobina (CORUM & CORUM, 2001). 
Além da velocidade de propagação da onda ao longo do condutor ( ), 
existe uma velocidade axial da onda ao longo do eixo do solenóide, de comprimento de 
onda λg (RÜDENBERG, 1941). O fator de propagação ou constante de propagação da 
onda na direção axial é 
 
 
(34)
 
onde λo é o comprimento de onda no vácuo e vf é o fator de velocidade dado por 
 
 
(35)
 
onde D é diâmetro do solenóide e s é a distância entre espiras adjacentes, ou seja, s=H/n 
(comprimento do solenóide pelo total de espiras) (CORUM & CORUM, 2001). 
A equação (35) é aproximada e dá resultados aceitáveis (erros menores de 10%) 
para aplicações práticas que envolvam propagação de onda em ressonadores helicoidais 
(CORUM & CORUM, 2001). Solenóides práticos geralmente apresentam diâmetros na 
ordem de dezenas de milímetros, alguns centímetros de comprimentos e espaçamento s de 
fração de milímetros. Com isso, o comprimento de onda λo se encontra na casa de dezenas 
ou centenas de metros. Nesta situação, o termo 20.(D/s)2,5.(D/λo)0,5 é muito maior que 1. 
Igualando (34) e (35) e fazendo a simplificação tem-se 
 
 
(36)
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 19 
 
 O solenóide pode se comportar como um ressonador de um quarto de onda. Assim, 
na ressonância, a onda neste guia é quatro vezes o comprimentoH do solenóide 
 
 
(37)
 
Substituindo (37) em (36), elevando-se à quarta potência 
 
 
(38)
 e isolando λo, tem-se 
 
(39)
 
Substituindo s=H/n, chega-se a 
 
 
(40)
 
Medhurst (1947) apresenta uma fórmula empírica para determinar o comprimento 
de onda autorressonante em solenóides dada por 
 
 
(41)
 
onde l é o comprimento total do condutor (l=π.D.n) e K é uma constante tabelada que 
depende da relação H/D. A figura 14 mostra graficamente esta relação K e H/D. Para 
H/D=0,1 tem-se uma bobina quase circular, para H/D maior que 1 tem-se bobinas 
solenóides como normalmente são utilizadas. 
Comparando as equações (40) e (41), tem-se uma boa correlação (r=0,972) para a 
faixa de 0,8<H/D<20, como pode-se observar na figura 15. Assim, utilizando-se a equação 
(40), chega-se a expressão final para a freqüência (fo) de ressonância em uma bobina 
solenóide 
 
 
(42)
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 20 
 
 Observa-se que fo é fracamente dependente de H/D e inversamente proporcional ao 
comprimento do condutor ou, em outras palavras, ao número de espiras. 
 
 
Figura 14 – Constante K em função da relação H/D para a determinação da freqüência de 
ressonância em solenóides como ressonadores de um quarto de onda. Figura adaptada de 
Medhurst (1947). 
 
 
 
Figura 15 – Comparação entre a constante K obtida da tabela de Medhurst (pontos) e pela 
equação (40) desenvolvida (curva) para a faixa de H/D entre 0,8 e 20. 
 
 Como exemplo prático, cita-se que Corum e Corum (2000) construíram um 
solenóide de n=532 espiras, diâmetro D=16 cm e comprimento H=63,5 cm. Para este 
solenóide uma freqüência de ressonância fo=520 kHz foi medida. Utilizando-se a equação e 
a tabela de Medhurst (1947), chega-se ao valor de 467 kHz (erro de 10 %) e utilizando-se a 
equação aqui desenvolvida (eq. 42), chega-se ao valor de 464 kHz (erro de 10,5%). 
Métodos mais exatos de cálculo utilizam uma série de outros fatores de correção, tais 
como: fator de proximidade entre condutores paralelos, diâmetro efetivo da bobina, fator de 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 21 
 
correção da não-uniformidade do campo, fatores de correção de auto e mútua indutância do 
fio, comprimento efetivo do condutor e efeito pelicular (STROOBANDT, 2011). 
Utilizando-se o aplicativo Coil Inductor Calculator, para um fio 18 AWG, chega-se ao 
valor de fo=541 kHz (erro de 4%) e para o programa TCTUTOR, chega-se ao valor fo=540 
kHz (erro de 3,8%) (CORUM & CORUM, 2000). 
 
 A mesma seqüência de dedução para se chegar à equação (42) pode ser usada para 
se determinar outros sobre-tons de ressonância além do um quarto de onda. Substituindo-se 
a equação (37) por λg=2.H chega-se ao valor de 52.106 no numerador da equação (42). 
Nesta forma de ressonância, o indutor tem uma onda estacionária onde os máximos do 
campo estão nas extremidades e o mínimo está no centro do indutor (ver figura 16b). Para o 
ressonador de um quarto de onda uma extremidade tem valor mínimo e outra o máximo 
(figura 16a). 
 
 A 
 B 
Figura 16 – Ondas estacionárias em solenóide de comprimento H nas ressonâncias de λ/4, 
3λ/4 e 5λ/4 em (A) e nas ressonâncias de λ/2 e λ em (B). 
 
 As freqüências de ressonância dos sobre-tons ímpares (3λ/4, 5λ/4, etc) e pares (λ, 
3λ/2, etc) podem ser determinados pelo mesmo procedimento citado acima, substituindo-se 
a equação (37) por 4/3.H, 4/5.H, etc. A tabela 1 apresenta um resumo dos valores 
encontrados para o numerador da equação (42) em função dos sobre-tons. 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 22 
 
Tabela 1 – Valor do numerador da equação (42) para diferentes sobre-tons de ressonância. 
Sobre-tom ímpar 
(uma extremidade com mínimo) 
Sobre-tom par 
(as duas extremidades com máximos) 
λ/4 30.106 λ/2 52.106 
3λ/4 72.106 λ 90,5.106 
5λ/4 108,2.106 3λ/2 125,2.106 
 
 Observa-se que as freqüências dos sobre-tons não são múltiplos inteiros da 
fundamental (λ/4). Isto se deve ao fato de que a bobina helicoidal (solenóide) é um 
ressonador dispersivo de freqüência, i.e. o fator de velocidade não é uma função linear com 
a freqüência (CORUM & CORUM, 2000). 
 Fazendo-se uso do experimento citado anteriormente (CORUM & CORUM, 2000), 
onde dois solenóides camada simples foram enrolados e suas freqüências de ressonância e 
os sobre-tons foram medidos, aplicou-se a equação 42 e tabela 1 para verificar o grau de 
exatidão do equacionamento aqui desenvolvido. A tabela 2 resume esta verificação, onde as 
colunas três e quatro são os valores calculados e medidos pelos autores citados e a quinta 
coluna os resultados aqui obtidos e seus respectivos erros em relação aos valores medidos. 
 
Tabela 2 – Comparação de resultados das freqüências de ressonância (em kHz). 
Dados das 
Bobinas Sobre-tom Calculado* Medido* 
Equação 42 
e tabela 1 Erro (%) 
λ/4 180 175 181 3,4 
3λ/4 455 435 434 0,2 
N=317 
D=61,7 cm 
H=140 cm 5λ/4 677 645 640 0,8 
λ/4 540 520 464 10,7 
3λ/4 1210 1240 1120 9,7 
N=532 
D=16 cm 
H=63,5 cm 5λ/4 1753 1800 1680 6,7 
(*) Dados extraídos de Corum & Corum (2000). 
 
 Observa-se um erro máximo aceitável menor que 11%, que já era esperado pelo uso 
da equação (35), que é aproximada, e pela simplificação do desenvolvimento para se chegar 
à equação (36). O erro médio de 6,7% mostra que a equação 42, além de ser bastante 
simples, pode determinar a ressonância em solenóides por onda estacionária. 
 
 
 O apêndice 1 faz uma comparação do comportamento dos tubos ressonantes de ar e 
de uma bobina helicoidal. Um estudo ainda deve ser feito para conhecer as condições que 
levam um indutor a ser um ressonador de meia onda ou um quarto de onda, conforme 
mostrado na figura 16. O indutor pode ser comparado a um tubo de órgão que ressona com 
a passagem do ar. Estes tubos podem ser abertos ou fechados, gerando harmônicas ímpares 
e pares. Somente foram encontrados artigos falando do solenóide como ressonador de 1/4 
de onda, ou seja, uma extremidade aberta e a outra fechada. No entanto, em medições 
realizadas com o Analisador de Impedância e com Osciloscópio, observou-se ressonância 
sempre era 1/2 de onda. 
 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 23 
 
4.2 RESSONÂNCIA POR INDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 
 
Diferentemente da primeira parte, será feita uma suposição que exista apenas uma 
ressonância causada pela troca de energia entre campos elétricos e magnéticos, ou seja, 
causada pela presença de uma indutância (Ls) e capacitância (Cs) total (concentradas) em 
paralelo, conforme a figura 11. Neste caso, será analisada a primeira ressonância (fo), ou 
seja, a fundamental, onde as reatâncias indutivas e capacitivas se igualam, ou seja 
 
 
(43)
 
Como está sendo analisado apenas o comportamento da freqüência de ressonância, 
o valor da resistência será desconsiderado nesta análise. 
 Nesta freqüência de ressonância, como se trata de um circuito LC paralelo, o 
enrolamento apresenta o ponto de máxima impedância, ou seja, o ponto de mínima corrente 
circulando pela bobina. 
 Para um solenóide de camada simples, conforme visto anteriormente, a indutância 
Ls é diretamente proporcional ao número de espiras (n) ao quadrado (equação 10) e a 
capacitância interna do enrolamento Cs é inversamente proporcional ao valor de n (equação 
27). Assim, como e , tem-se 
 
 
(44)
 
 
4.3 A PRIMEIRA RESSONÂNCIA 
 
 Como foi visto nos dois itens anteriores, existem duas ressonâncias que estão 
presentes em um enrolamento, agora denominadas de foOE e foLC, freqüência de ressonância 
por onda estacionária (OE) e freqüência de ressonância por indutância e capacitância (LC), 
respectivamente. É necessário observar qual delas ocorreprimeiro em um enrolamento, já 
que elas têm comportamentos bem distintos na bobina. 
 Uma delas é inversamente proporcional ao número de espiras n (equação (42)) e a 
outra é inversamente proporcional à raiz de n (equação (44)), ou seja, para indutores com 
poucas espiras, predomina a ressonância LC e para indutores com muitas espiras, 
predomina a ressonância OE. Isto pode ser visto no gráfico da figura 17. O ponto de 
interseção das curvas, ou seja, a passagem de uma para outra forma de ressonância vai 
depender de outros parâmetros do enrolamento. 
Quando se aumenta o número de espiras tem-se a capacitância Cs muito baixa e, em 
um solenóide camada simples, fo é muito alta. Em altas freqüências deve-se levar em conta 
a velocidade de propagação da onda no enrolamento. Assim, passa a existir uma 
ressonância causada por onda estacionária. 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 24 
 
 
Figura 17 – Relação das freqüências de ressonâncias LC e OE em função do número de 
espiras n. Na região A predomina a ressonância LC, na região C predomina a ressonância 
OE, e na região B ocorre uma sobreposição dos dois efeitos. 
 
 O uso de núcleo de ferrite no enrolamento, ou de um capacitor externo, ou ainda de 
uma forma de enrolamento diferenciado (bifilar, por exemplo) elevam os valores de Ls e 
Cs, fazendo com que a foLC predomine sobre foOE , ou seja a região B da figura 17 se 
desloca mais para a direita. 
 
 
4.4 SOLENÓIDE SIMPLES VERSUS SOLENÓIDE BIFILAR 
 
 Para se utilizar o enrolamento como sensor indutivo ou capacitivo (ressonante), 
deve-se evitar trabalhar nas regiões B e C, ou seja, com a presença de ondas estacionárias. 
O modelo concentrado é limitado, mesmo em baixas freqüências. A mudança na 
ordem das espiras modifica fo, mesmo tendo a mesma Ls, Ctt e Cs (PICHORIM & 
DESTEFANI, 2010). 
A figura 18 mostra o modelo segmentado (N segmentos) de um solenóide simples, 
onde cada segmento tem indutância Lt=Ls/N e capacitância Ct=Cs.N. Ou seja 
 
 
(45)
 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 25 
 
 
 
Figura 18 – Modelo segmentado de um solenóide simples (espiras em seqüência de um a N) 
para a determinação da freqüência de ressonância. 
 
 
4.5 MODELO SEGMENTADO PARA A 1ª RESSONÂNCIA 
 
O modelo segmentado por espira da bobina bifilar (PICHORIM & DESTEFANI, 
2010), apresenta várias ressonâncias, no entanto apenas a primeira tem aplicação prática. 
Assim, o interesse da análise é encontrar um modelo que possa determinar fo. A Figura 19 
mostra um exemplo de circuito elétrico de uma bobina bifilar de Tesla (N=9) para 
simulação. Nove espiras são divididas entre nove elementos de Lt e Ct. As capacitâncias Ct 
estão conectadas entre espiras adjacentes (0 à 1, 1 à 2, etc) e as indutâncias Lt são colocadas 
entre espiras ímpares (1 à 3, 3 à 5, etc) e entre as espiras pares (0 à 2, 2 à 4, etc). A 
indutância Lt5 está relacionada ao fio de retorno. 
 
 
Figura 19 - O modelo de circuito equivalente para bobina de Tesla de 9 espiras utilizado 
para determinar a freqüência de autorressonância (fo). Lt e Ct são as indutâncias e 
capacitâncias totais para cada espira, respectivamente (PICHORIM & DESTEFANI, 2010). 
 
Utilizando um software para simulação de circuitos (e.g. Electronics Workbench, 
EWB), a curva de impedância da bobina (módulo) em função da freqüência para uma 
bobina de Tesla solenoidal (como visto nas figuras 18 e 19). Uma bobina solenoidal 
convencional (como visto na Figura 18) com o mesmo número de voltas (N=9), indutância 
por espira (Lt=100 µH), e capacitância entre espiras (Ct=10 pF) também foi simulado. 
Embora os parâmetros Ct e Lt não sejam exatamente valores reais, eles podem ser 
utilizados perfeitamente para as considerações teóricas (PICHORIM & DESTEFANI, 
2010). 
A figura 20 mostra o resultado destas simulações, onde pode ser observado que fo 
da bobina de Tesla (933 kHz) é 5,4 vezes menor que a fo de uma bobina normal (5,03 
MHz). Como proposto por Massarini e Kazimierczuk (1997), ambas possuem a mesma 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 26 
 
capacitância para altas freqüências (Cs=1,11 pF na região C da figura 20) e a mesma 
indutância para baixas freqüências (Ls=0,9 mH na região L da figura 20). 
 
 
Figura 20 - Impedância das bobinas em função da freqüência (curva sólida para bobina de 
Tesla e pontilhada para bobina normal). Para baixas freqüências (região L) as bobinas 
possuem a mesma indutância. Para altas freqüências (região C) as bobinas possuem a 
mesma capacitância parasita. 
 
 
4.6 EXEMPLOS PRÁTICOS 
 
Alguns experimentos práticos foram realizados para demonstrar os efeitos das 
ressonâncias em bobinas. Nestes experimentos, para vários modelos de bobinas, foram 
levantadas as curvas do vetor impedância (módulo e fase) através de um analisador de 
impedância vetorial de precisão da Agilent (modelo Agilent 4294A). A partir destas curvas, 
as primeiras freqüências de ressonâncias foram determinadas. Também foram medidas as 
auto-indutâncias (Ls) destas bobinas em baixa freqüência (aqui adotado 50 kHz). Os 
resultados encontram-se comentados a seguir. 
 
 
A) BOBINA CLÁSSICA 
 
 Um indutor solenóide de 90 espiras em camada dupla (diâmetro de 32 mm, fio 
24AWG, indutância de 176 µH) foi enrolado e testado (figura 21). 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 27 
 
 
Figura 21 – Curvas de impedância (A: Módulo e B: Fase) para um indutor solenóide de 90 
espiras em camada dupla. 
 
Observa-se na figura 20A que o módulo da impedância sobe até um máximo na 
ressonância (1,26 MHz) e a fase passa de +90º (indutivo) antes da ressonância para –90º 
(capacitivo) depois dela (DESTEFANI & PICHORIM, 2010). Tem-se aqui a clássica 
ressonância LC paralela descrita no item 4.2. Este é o comportamento esperado de um 
indutor no modelo concentrado, já que existe uma alta capacitância Cs de 90,66 pF causada 
pelo enrolamento em camadas múltiplas (equação 29, Ctt ≅ 55 pF). 
 
 
B) ONDA ESTACIONÁRIA EM SOLENOIDE CAMADA SIMPLES 
 
Para um indutor solenóide de 90 espiras em camada simples (diâmetro de 32 mm, 
fio 24AWG, indutância em de 121 µH), foi medida sua curva de impedância (figura 22) e 
determinada sua primeira ressonância (DESTEFANI & PICHORIM, 2010). Teoricamente, 
o solenóide como ressonador de meia onda (equação 42 conforme tabela 1) oscila em 19,67 
MHz. 
Neste caso, o módulo da impedância desce até um mínimo na ressonância (21,01 
MHz) e a fase vai além de +90º (círculos verdes) antes da ressonância além de –90º 
(círculos azuis) depois dela. Este comportamento mostra o vetor da impedância passando 
pelos 2º e 3º quadrantes (ângulos entre +90º e +270º), o que caracterizaria resistências 
negativas na bobina! A figura 23 mostra o diagrama fasorial deste efeito. Esta 
inconsistência ocorre por que, neste caso, o modelo concentrado é inadequado para explicar 
a ressonância, já que existe uma onda estacionária no indutor. 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 28 
 
Este comportamento é esperado aqui porque tem-se um indutor com camada 
simples e muitas espiras, ou seja, uma baixíssima capacitância Cs (equação 27) estimada de 
0,167 pF (Ctt=15 pF via equação 18, com Do=0,56 mm, Dc=0,51 mm e εr=4,5). Observa-
se ainda que se o modelo concentrado fosse utilizado a freqüência de ressonância foLC seria 
de 35,4 MHz, o que mostra que este caso se encontra na região C da figura 17. 
 
 
Figura 22 – Curvas de impedância (A: Módulo e B: Fase) para um indutor solenóide de 90 
espiras em camada simples. 
 
 
Figura 23 – Diagrama fasorial de uma impedância indutiva (1º quadrante), capacitiva (4º 
quadrante) e as medidas na bobina nos círculos da figura 22.Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 29 
 
C) COMPARAÇÃO ENTRE ENROLAMENTO NORMAL E O BIFILAR 
 
 Dois indutores solenóides de dimensões iguais e com 45 espiras foram enrolados 
(diâmetro de 32 mm e fio 24AWG), um com espiras seqüenciais e o outro com a forma 
bifilar (DESTEFANI & PICHORIM, 2010). 
O solenóide camada simples (figura 24) apresentou uma indutância medida de 40 
µH (51 µH calculado via equação 10). Sua ressonância de 36,35 MHz foi do tipo onda 
estacionária, como já era prevista. Se for suposta uma Ctt=15 pF (equação 18, com 
Do=0,56 mm, Dc=0,51 mm e εr=4,5), Cs seria de 0,34 pF e foLC de 38,6 MHz. 
Teoricamente, o solenóide como ressonador de ½ onda (equação 42 conforme tabela 1) 
oscila em 34,36 MHz. Com isso, pode-se concluir que este caso se encontra na região B da 
figura 17. 
 Já para o indutor bifilar camada simples, conforme visto na figura 25, o 
comportamento de ressonância foi completamente distinto. Aqui, apesar de o enrolamento 
ser em camada simples, tem-se uma capacitância interna muito maior (Cs=22 pF) por conta 
do enrolamento bifilar, fazendo com que o indutor (com as mesmas 45 espiras e dimensões 
iguais ao anterior) tenha uma ressonância LC paralela clássica (foLC) de 4,8 MHz (região A 
da figura 17). Isto mostra que a forma de enrolar o indutor pode mudar drasticamente o seu 
comportamento em freqüência e determina sua ressonância. 
 
 
Figura 24 – Curvas de impedância (A: Módulo e B: Fase) para um indutor solenóide de 45 
espiras em camada simples. 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 30 
 
 
Figura 25 – Curvas de impedância (A: Módulo e B: Fase) para um indutor solenóide de 45 
espiras em camada simples bifilar. 
 
 
5. COMENTÁRIOS FINAIS 
 
 
 
 Este estudo ainda não se encontra terminado. É necessário melhor compreender e 
equacionar a redução na freqüência de ressonância causada pela forma de enrolar o indutor, 
quando de forma seqüencial ou quando bifilar. Um modelo elétrico mais simples que seja 
equivalente ao circuito mostrado na figura 18 também deve ser buscado. 
 Dois trabalhos de iniciação científica foram orientados nesta área. Um aluno de 
mestrado (UTFPR-CPGEI) está desenvolvendo estes modelos e equações (seu trabalho está 
previsto para ser defendido no início de 2012). Testes práticos também estão sendo 
realizados para validação desta teoria e destes modelos. Assim, as informações e dados 
neste estudo serão revisados e acrescentados em um futuro breve. 
 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 31 
 
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APÊNDICE 1 – TUBO DE AR E SOLENÓIDE COM RESSONADORES 
 
 
 
 
 
Em um tubo de ar ressonante aberto, a onda estacionária é ½ comprimento de onda 
(figura A.1). Nas extremidades tem-se pressões mínimas e velocidades máximas. No 
centro, ao contrário, tem-se máximas pressões e zero de velocidade. Observa-se que nas 
extremidades as velocidades do ar tem sentido oposto, ou seja, o ar entra nos dois lados ao 
mesmo tempo, fazendo que no centro o ar não se desloque mas tenha a máxima pressão, e 
depois, o ar sai pelas duas extremidade ao mesmo tempo, fazendo que no centro o ar não se 
desloque, mas tenha pressão negativa. 
 
 
 
Figura A.1 – Tubo de ar aberto como ressonador de ½ comprimento de onda. Em vermelho 
e azul os perfis das pressões e velocidades ao longo do eixo x, respectivamente. 
 
 
 Outra possibilidade é o tubo de ar ter uma extremidade fechada. Neste caso a 
ressonância é de ¼ do comprimento de onda. Na extremidade fechada a velocidade o ar é 
zero e as pressões são máximas, e na extremidade aberta o oposto é observado. 
Um solenóide (bobina helicoidal) camada simples quando em série com um gerador 
de baixa impedância (figura A.2) se comporta como o primeiro tubo de ar acima descrito, 
ou seja, um ressonador de ½ de comprimento de onda. De maneira similar, nas 
extremidades tem-se correntes máximas e tensão de zero. No centro, ao contrário, tem-se a 
máxima tensão e zero de corrente. Usando uma ponta do osciloscópio como sonda de 
campo observa-se que o campo magnético é zero no centro da bobina! 
 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 35 
 
 
 
Figura A.2 – Excitação de um solenóide (bobina helicoidal) e os perfis de corrente ao longo 
do seu eixo para as ressonâncias λ/2 e λ. 
 
 
 Fazendo uma analogia entre o tubo de ar e o solenóide, onde a pressão e a 
velocidade do ar equivalem à tensão e a corrente elétrica, fica fácil entender que a corrente 
tem sentido contrário nas duas extremidades do indutor. Deve-se lembrar que as clássicas 
leis de Kirchhoff não podem ser aplicadas neste sistema. 
O solenóide, ligado ao gerador, recebe cargas simultaneamente nos dois terminais, 
de forma que no seu centro o movimento de cargas é zero (máximo nas extremidades). O 
acúmulo de cargas no centro faz ter um máximo que tensão neste ponto. Depois, a tensão 
vai caindo no cento até o máximo negativo, fazendo com que as cargas saiam pelas duas 
extremidades (terminais) ao mesmo tempo (a corrente é negativa). Se numa extremidade a 
corrente que entra é positiva, na outra extremidade a corrente que sai é negativa, ou seja, na 
verdade a corrente nesta segunda extremidade também entra. Como a corrente está 
“invertida” o analisador registra resistências negativas (o vetor da impedância no 2º e no 3º 
quadrantes). 
Assim, um analisador de impedância ligado ao solenóide medirá nos terminais do 
indutor uma alta corrente e baixa tensão, ou seja, na ressonância, a impedância medida 
tende a zero (o que é completamente distinto de um indutor com a ressonância paralela). 
Portanto, usando analisador de impedância ou mesmo gerador e osciloscópio, observa-se o 
indutor como um ressonador de ½ comprimento de onda, ou os seus sobretons λ, 3λ/2, etc. 
Rüdenberg comenta que em “uma bobina de comprimento 100 cm, formam-se 
oscilações naturais de λ=200 ou 400 cm de comprimento axial dependente das condições 
finais” (RÜDENBERG, 1943, 3º §, p.228). Ou seja, é a maneira como o solenóide está 
conectado que determina se ele é um ressonador de ½ ou ¼ de onda. Os artigos de Corum e 
Corum (2000 e 2001) falam da bobina helicoidal (solenóide) como um ressonador de ¼ de 
onda. A diferença é que nestes artigos a bobina não está conectada diretamente num 
Pichorim, S. F. (DSc.) – Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 36 
 
gerador de sinais, mas sim acoplada via link indutivo, assim como na clássica bobina de 
Tesla (figura A.3). Aí, neste caso, uma extremidade do indutor está em aberto (corrente 
zero e Z→∞). Isso seria equivale a um tubo de ar onde uma extremidade é aberta e a outra 
fechada. Assim tem-se ¼ de onda, ou os sobretons 3λ/4, 5λ/4 etc. 
 Desta forma, na extremidade inferior (aterrada) o indutor tem uma grande liberdade 
em (ou capacidade de) receber ou doar cargas (alta corrente e Z→0), similar a um tubo de 
ar em aberto. Do outro lado, ao contrário, a bobina está desconectada , gerando zero de 
corrente com um máximo de tensão, como Nikola Tesla obtinha. 
 
 A principal diferença entre a bobina helicoidal e um tudo de ar é que o segundo é 
não dispersivo, ou seja, a velocidade da onda é constante e os sobretons são harmônicos em 
múltiplos inteiros da ressonância fundamental. Por outro lado, o ressonador helicoidal é 
dispersivo. Assim, a velocidade da onda é variável com a freqüência, gerando sobretons 
que não são múltiplos inteiros, conforme já apresentado neste estudo (ver tabela 1). 
 
 
 
 
Figura A.3 – Excitação de um solenóide (bobina helicoidal) e os perfis de tensão ao longo 
do seu eixo para as ressonâncias λ/4 e 3λ/4. Em verde o perfil das correntes.