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UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Prof.: Josiane Cordeiro Varia´veis Aleato´rias Discretas 1 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro 1 2 3 4 5 2 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro 6 Varia´veis aleato´rias discretas 6.1 Introduc¸a˜o Definic¸a˜o 1 Uma varia´vel aleato´ria (v.a.) discreta X e´ uma func¸a˜o real cujo domı´nio e´ o espac¸o amostral e sua imagem e´ um conjunto finito ou infinito enumera´vel de valores. X : Ω→ < Exemplos: a) O nu´mero de caras em n lanc¸amentos de uma moeda. b) O nu´mero de pec¸as defeituosas a cada hora de produc¸a˜o. 6.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade Definic¸a˜o 2 A func¸a˜o pX que atribui a cada valor da varia´vel aleato´ria discreta X sua probabilidade e´ denominada de func¸a˜o de probabilidade. Isto e´, pX(x) = P (X = x). Tambe´m e´ usual apresenta´-la em forma de tabela: X x1 x2 ... pi p1 p2 ... Importante: Uma func¸a˜o de probabilidade satisfaz as seguintes condic¸o˜es: (i) 0 ≤ pX(x) ≤ 1; (ii) ∑ x pX(x) = 1. Exemplo 1 Descreva o comportamento da varia´vel aleato´ria C que conta o nu´meros de caras em dois lanc¸amentos de uma moeda. Espac¸o amostral: Ω = {caca, caco, coca, coco} Varia´vel aleato´ria discreta C: C=c 0 1 2 pC(c) 1 4 1 2 1 4 6.3 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabilidade (fda) Definic¸a˜o 3 A func¸a˜o de distibuic¸a˜o acumulada de probabilidade de uma v.a.d. X e´ definida por FX(x) = P (X ≤ x), para todo x ∈ <. Exemplo 2 Represente a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabilidade do exemplo 1. 3 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro 6.3.1 Propriedades da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada: (i) limx→−∞ FX(x) = 0 e limx→∞ FX(x) = 1; (ii) FX(x) e´ cont´ınua a direita, isto e´, limx→a+ FX(x) = FX(a+) ; (iii) FX(x) e´ na˜o decrescente, isto e´, ∀x, y ∈ <, se x < y, enta˜o FX(x) ≤ FX(y); (iv) Se a < b, enta˜o P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a); (v) A partir da fda, podemos achar sua func¸a˜o de probabilidade: pX(x) = FX(x)− FX(x−). Definic¸a˜o 4 A me´dia, o valor esperado ou esperanc¸a matema´tica de uma v.a.d. X e´ dada por E[X] = ∑ x xpX(x). Definic¸a˜o 5 A variaˆncia de uma v.a.d. X e´ dada por V ar(X) = E{[X − E(X)]2} = E(X2)− [E(X)]2. Desvio padra˜o: DP (X) = √ V ar(X) Coeficiente de variac¸a˜o: CV (X) = DP (X) E(X) Exemplo 3 Determine o valor esperado, a variaˆncia e o desvio padra˜o do exemplo 1. Exemplo 4 O tempo T , em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´ uma v.a. com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade. t 2 3 4 5 6 7 P (T = t) 0, 1 p 3p 0, 2 0, 2 0, 1 a) Qual e´ o valor de p? b) Determine o tempo me´dio de processamento. c) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabilidade. d) Qual e´ a probabilidade de processamento da pec¸a demorar pelo menos 4, 5 minutos? e) A probabilidade de processamento da pec¸a demorar no ma´ximo 3 minuots? Exemplo 5 Considere a v.a. X que indica o tempo em horas exigido para um psico´logo ganhar a confianc¸a de um paciente. A seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade foi proposta por f(t) = t 6 , para t = 1, 2 ou 3. a) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade esta´ correta? b) Qual e´ a probabilidade de que se leve pelo menos 2 horas para ganhar a confianc¸a de um 4 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro paciente? c) Qual e´ o tempo me´dio para ganhar confianc¸a? d) Determine o desvio padra˜o. Definic¸a˜o 6 Se X e´ uma v.a.d. com func¸a˜o de probabilidade pX(x), a esperanc¸a matema´tica da func¸a˜o h(X) e´ dada por E(h(X)) = ∑ x h(x)pX(x). 6.3.2 Propriedades da esperanc¸a matema´tica: Seja X uma v.a.d. com func¸a˜o de probabilidade e a, b ∈ < (constantes reais quaisquer), enta˜o (i) E(a) = a; (ii) E(X + a) = E(X) + a; (iii) E(bX) = bE(X); (iv) E(a+ bX) = bE(X) + a. 6.3.3 Propriedades da variaˆncia: Seja X uma v.a.d. com func¸a˜o de probabilidade e a, b ∈ < (constantes reais quaisquer), enta˜o (i) V ar(a) = 0; (ii) V ar(X + a) = V ar(X); (iii) V ar(bX) = b2V ar(X); (iv) V ar(a+ bX) = b2V ar(X). Exemplo 6 Seja X uma v.a.d. com a func¸a˜o de probabilidade dada por a) Encontre a func¸a˜o de probabilidade da v.a. Y = T + 2. t 2 3 4 5 6 7 P (T = t) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 b) Qual e´ o valor esperado da v.a. Y ? Exemplo 7 Mostre que: a) V ar(X) = E[X − E(X)]2 = E(X2)− [E(X)]2. b) Se X e Y sa˜o v.a.d.’s independentes, enta˜o E(XY ) = E(X)E(Y ). 5 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro 6.4 Principais modelos discretos 6.4.1 Modelo Uniforme Discreto Seja X uma v.a. com n poss´ıveis valores {x1, x2, ..., xn} que sa˜o igualmente espac¸ados e igual- mente prova´veis. Enta˜o, X segue o modelo uniforme discreto e tem func¸a˜o de probabilidade dada por pX(xi) = P (X = xi) = 1n , se i = 1, 2, ..., n,0, c.c. Notac¸a˜o: X ∼ Unif{x1, x2, · · · , xn}. Exemplo 8 Uma rifa tem 100 bilhetes numeradas de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos e meu amigo tem outros 5 bilhetes quaisquer. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? 6.4.2 Modelo Bernoulli Experimento de Bernoulli: e´ um experimento aleato´rio com apenas dois resultados poss´ıveis; por convenc¸a˜o, um deles e´ chamado “sucesso”e o outro “fracasso”. Exemplo 9 a) Lanc¸ar uma moeda e observar o resultado; b) Pergunta-se a um eleitor se ele vai votar no candidato A ou B. A distribuic¸a˜o de Bernoulli esta´ associada a um experimento de Bernoulli, onde se define: X({sucesso}) = 1 e X({fracasso}) = 0, chamando de p a probabilidade de sucesso, com 0 ≤ p ≤ 1. Assim, uma v.a.d. X segue o modelo de Bernoulli, se assume apenas os valores 0 e 1, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por pX(x) = p, se x = 1, (1− p), se x = 0, 0, c.c. onde p e´ a probabilidade de sucesso (X = 1), com 0 ≤ p ≤ 1. Exemplo 10 Um exemplo cla´ssico do modelo de Bernoulli e´ o lanc¸amento de uma moeda. Varia´vel aleato´ria X: X = 1, se cara;0, se coroa. pX(1) = pX(0) = 1/2 (moeda equilibrada). Notac¸a˜o: X ∼ Ber(p). 6 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ dada por FX(x) = 0, se x < 0, (1− p), se 0 ≤ x < 1, 1, se x ≥ 1. Fac¸a o gra´fico desta fda. A esperanc¸a de X e´ dada por E[X] = 0× (1− p) + 1× p = p. A variaˆncia de X e´ dada por V ar(X) = E[X2]−E[X]2, com E[X2] = 02× (1−p)+12×p = p e E[X]2 = p2, logo V ar(X) = p− p2 = p(1− p). 6.4.3 Modelo Binomial Seja X o nu´mero de sucessos em n repetic¸o˜es independentes de um experimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso. Enta˜o, X tem distribuic¸a˜o binomial com paraˆmetros n e p. Notac¸a˜o: X ∼ Bin(n, p). Se X ∼ Bin(n, p), enta˜o sua func¸a˜o de probabilidade e´ dada por pX(x) = n x px(1− p)n−x, para x = 0, 1, · · · , n 0, c.c., onde n x = n! x! (n− x)! . Se X ∼ Bin(n, p), enta˜o E[X] = ∑n x=0 xpX(x) = ∑n x=0 x n x px(1− p)n−x = np e V ar(X) = np(1− p). Exemplo 11 A taxa de imunizac¸a˜o de uma vacina e´ de 80%. Um grupo com 20 pessoas foi selecionado, desejamos saber o comportamento probabil´ıstico do nu´mero de pessoas imuniza- das deste grupo. Determine a probabilidade: a) de 18 pessoas estarem imunizadas; b) de pelo menos 2 estarem imunizadas; c) de no ma´ximo 3 estarem imunizadas. Podemos ver a distribuic¸a˜o Binomial como a soma de Bernoulli’s. Sejam X1, X2, · · · , Xn ∼ Ber(p) v.a.’s independentes, logo X = ∑n i=1 ∼ Bin(n, p). De fato, para cada i = 1, · · · , n, Xi = 1, se ocorre sucesso,0, se ocorre fracasso. Da´ı, ∑n i=1 e´ o nu´mero de sucessos em n Bernoulli’s independentes. 7 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro 6.4.4 Modelo Geome´trico Seja X o nu´mero de repetic¸o˜es necesa´rias para a obtenc¸a˜o do primeirosucesso de um expe- rimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso. Enta˜o, dizemos que X segue o modelo geome´trico com paraˆmetro p, 0 < p < 1, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por pX(x) = P (X = x) = p(1− p)x, se x = 1, 2, ...,0, c.c.. Notac¸a˜o: X ∼ Geo(p). Se X ∼ Geo(p), enta˜o E[X] = 1 p e V ar(X) = (1−p) p2 . Exemplo 12 Uma linha de fabricac¸a˜o de um equipamento de precisa˜o e´ interrompida na primeira ocorreˆncia de um defeito. Se 0, 02 e´ a probabilidade do equipamento ter defeito, enta˜o defina o modelo probabil´ıstico para a fabricac¸a˜o de n equipamentos? E, se fosse para a fabricac¸a˜o de n equipamentos sem defeito? 6.4.5 Modelo Binomial Negativo (Pascal) Seja X o nu´mero de repetic¸o˜es necesa´rias para a obtenc¸a˜o de r sucessos de um experimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso. Enta˜o, dizemos que X segue o modelo Binomial Negativo com paraˆmetros r e p, 0 < p < 1, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por pX(x) = P (X = x) = x− 1 r − 1 pr(1− p)x−r, se x ≥ r, 0, c.c.. Notac¸a˜o: X ∼ BinNeg(r, p). Se X ∼ BinNeg(r, p), enta˜o E[X] = r p e V ar(X) = r(1−p) p2 . 6.4.6 Modelo Hipergeome´trico Seja uma populac¸a˜o de tamanho N dividida em 2 classes, uma composta de r “sucessos”e a outra composta de N − r “fracassos”. Desta populac¸a˜o, vamos extrair uma amostra de tamanho n, sem reposic¸a˜o. Seja X o nu´mero de sucessos obtidos, enta˜o X segue o modelo Hipergeome´trico com paraˆmetros N, n, e r, e tem func¸a˜o de probabilidade dada por pX(x) = P (X = x) = ( r x )( N − r n− x ) ( N n ) , se x = 0, 1, · · · , n, 0, c.c., 8 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro onde N e´ o total de elementos do conjunto, n e´ o tamanho da amostra (n < N), r e´ o nu´mero de “sucessos”. Notac¸a˜o: X ∼ Hiper(N, n, r). Exemplo 13 Considere um conjunto com 20 pessoas, das quais 7 sa˜o mulheres. Selecionando- se 5 pessoas deste conjunto, sem reposic¸a˜o, qual seria a probabilidade de: a) 2 mulheres serem escolhidas? b) 1 homen ser escolhido? c) apenas mulheres serem escolhidas? d) pelo menos 5 mulheres serem escolhidas? e) no ma´ximo 2 homens serem escolhidos? f) Fernando e Paula serem escolhidos? g) Paula e Maria serem escolhidas, dado que as pessoas selecionadas foram mulheres? h) Paula e Maria serem escolhidas, dado que as pessoas selecionadas foram homens? Exemplo 14 Em um lote de 20 pec¸as existem 4 defeituosas. Uma pessoa deseja comprar 5 pec¸as deste lote, qual seria a probabilidade de uma pec¸a defeituosa ser escolhida? 6.4.7 Modelo de Poisson Uma v.a.d. X segue o modelo de Poisson de paraˆmetro λ, λ > 0, se sua func¸a˜o de probabi- lidade e´ dada por pX(x) = P (X = x) == e −λλx x! , se x = 0, 1, 2, ..., 0, c.c.. Notac¸a˜o: X ∼ Poisson(λ), onde λ indica a taxa de ocorreˆncia. Aqui, X representa contagens, como contar o nu´mero de eventos de um certo tipo que ocorrem em um instante de tempo fixo (ou superf´ıcie ou volume), se estes eventos ocorrem com uma raza˜o me´dia conhecida e independentemente do tempo desde o u´ltimo evento. Exemplo 15 (1) nu´mero de chamadas recebidas por uma central telefoˆnica durante um per´ıodo de 40 minutos; (2) nu´mero de bacte´rias em um litro de a´gua. 6.5 Refereˆncias • ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS. Estat´ıstica Aplicada a` Economia e Administrac¸a˜o. Traduc¸a˜o: Luiz Se´rgio de Castro Paiva. 1ed. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 9 UFRRJ, Prof. Josiane Cordeiro • BUSSAB. W. O. ; MORETTIN, P. A. Estat´ıstica Ba´sica. 5ed. Saraiva, 2003. • MAGALHA˜ES, M.N ; LIMA, A.C.P DE. Noc¸o˜es de Probabilidade e Estat´ıstica. 5ed., Sa˜o Paulo: Ed. Edusp, 2005. • JAMES, Barry R. Probabilidade: um curso em n´ıvel intermedia´rio. 2ed., Rio de Ja- neiro: IMPA, Projeto Euclides, 2002. 10 Variáveis aleatórias discretas Introdução Função de distribuição de probabilidade Função de distribuição acumulada de probabilidade (fda) Propriedades da função de distribuição acumulada: Propriedades da esperança matemática: Propriedades da variância: Principais modelos discretos Modelo Uniforme Discreto Modelo Bernoulli Modelo Binomial Modelo Geométrico Modelo Binomial Negativo (Pascal) Modelo Hipergeométrico Modelo de Poisson Referências
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