1 - Distribuição de Variáveis Discretas

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Curso de Estatística Inferencial 
(Concentrada de Janeiro de 2021) 
 
Prof. Bruno Mitio A. Silva 
 
* ATENÇÃO: Este material foi desenvolvido para o auxílio no curso de 
ESTATÍSTICA INFERENCIAL aplicado em janeiro de 2021, na modalidade EAD. É a 
VEDADA a utilização deste material para quaisquer outros fins, sem o 
consentimento do autor. 
 
Conteúdo do Módulo 
1. Conceitos Iniciais .................................................................................................... 1 
2. Função de Probabilidade......................................................................................... 2 
3. Esperança e Desvio-Padrão .................................................................................... 3 
4. Distribuição de Probabilidade Uniforme Discreta .................................................... 5 
5. Distribuição de Probabilidade de Binomial .............................................................. 6 
6. Distribuição de Probabilidade de Poisson ............................................................. 11 
Indicações de Leitura e Referências ......................................................................... 13 
 
 
 
 
MÓDULO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEIS DISCRETAS 
 
Neste primeiro módulo, introduziremos o conceito de variáveis aleatórias discretas; 
aprenderemos a diferença entre variáveis discretas e contínuas e o que é uma 
distribuição de probabilidades. Veremos como podemos trabalhar com uma 
distribuição de probabilidades. Além disso, introduziremos os cálculos de média e 
desvio para variáveis discretas e trabalharemos com os principais tipos de 
distribuição de variáveis aleatórias discretas: uniforme, binomial e Poisson. 
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1. Conceitos Iniciais 
 
Em estatística, dizemos que uma variável aleatória é uma representação 
quantitativa, ou numérica, de um resultado experimental possível. Quando, por 
exemplo, pensamos em uma probabilidade, estamos calculando a “chance” desta 
variável aleatória assumir um determinado valor ou um intervalo de valores. Existem 
dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas. A primeira, refere-se a um 
conjunto finito de possíveis valores que a variável aleatória pode assumir. A 
segunda, a um intervalo com infinitos valores possíveis. Vamos a um exemplo logo 
abaixo. 
 
Exemplo 1: Imagine que você acabou de acordar de um coma e olhou para o seu 
relógio digital. Qual é a probabilidade de você estar num horário entre 2 horas e 
2h59 (independentemente de ser da tarde ou da noite)? Seu relógio marca apenas 
no formato das 1h00 às 12h00 e você não tem mais nenhuma informação do tempo 
além do seu relógio. Repare que a variável aleatória x aqui, é a o horário marcado 
no relógio. Os eventos possíveis são: 
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} 
Suponha agora o mesmo exemplo, mas, dessa vez, você olha para um belo relógio 
analógico. Qual é a probabilidade de você estar num horário entre 2h e 2h59? 
Repare que, neste caso, a variável aleatória x (o marcador de hora) possui 
incontáveis posições possíveis no relógio: 
{1; … ; 1,000001; … ; 1,5 ; … ; 2,756… ; 11,3 ;…; 12} 
 
Ou seja, esta é uma variável contínua. Portanto, a probabilidade do horário ser 
exatamente igual a 2h, tende a zero. E é por isso que tratamos as variáveis 
contínuas em um intervalo. Este exemplo foi baseado em Sartoris (2003). 
 
Como explicamos acima, a ideia de probabilidade está em associar um valor ou 
intervalo de valores a um resultado possível de uma variável aleatória x. Chamamos 
de distribuição um conjunto de probabilidades associadas aos valores possíveis da 
variável aleatória. Neste primeiro módulo do nosso curso, nos dedicaremos a 
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trabalhar algumas distribuições de variáveis aleatórias discretas. No segundo 
módulo, estudaremos algumas distribuições variáveis aleatórias contínuas. 
2. Função de Probabilidade 
A distribuição de probabilidades descreve como as probabilidades estão distribuídas 
entre os possíveis valores assumidos pela variável aleatória. Em geral, podemos 
formalizar esta relação em termos de uma função matemática, a que chamaremos 
de função de probabilidade, f(x), que associa os possíveis valores da variável 
aleatória x à sua respectiva probabilidade de acontecimento. Evidentemente, o 
somatório das probabilidades deverá ser sempre igual a 1 (ou seja, 100%). 
Vamos a um segundo exemplo para ilustrar o conceito. 
Exemplo 2: (Anderson et al, 2013). A tabela a seguir é uma distribuição de 
probabilidade parcial referente ao lucro projetado da MRA Company (x = lucro em 
milhares de dólares) para o primeiro ano de operação. 
 
 
 
a) Qual é a probabilidade do lucro ser igual a 100 mil dólares? 
b) Qual é o valor adequado para f(200)? Qual a sua interpretação para este 
valor? 
c) Qual a probabilidade de a MRA ser rentável? 
d) Qual a probabilidade de a MRA alcançar pelo menos $ 100 mil? 
 
 
A probabilidade de X = 100 é diretamente associada ao valor de f(x) nesse ponto, ou 
seja f(x = 100) = 0,25 ou 25% (a). Repare que a soma de todos os eventos possíveis 
com exceção de x = 200, é 0,95 (ou 95%). Como a probabilidade de toda a 
distribuição deverá ser sempre igual a 1 (guarde isso), nós temos que f(200) = 0,05 
ou 5% (b). E, se assumirmos que “ser rentável” é a empresa ter um lucro superior a 
x f(x)
-100 0,1
0 0,2
50 0,3
100 0,25
150 0,1
200
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zero, então temos que a probabilidade deverá ser a das probabilidades de situações 
onde o lucro é maior que zero, ou seja: 
𝑓(𝑥 = 50 𝑒 𝑥 = 100 𝑒 𝑥 = 100 𝑒 𝑥 = 150 𝑒 𝑥 = 200) = 0,3 + 0,25 + 0,10 + 0,05 = 0,70 
Então, probabilidade de 70% de que a empresa seja rentável (c). Para calcularmos 
se a MRA alcançará pelo menos 100 mil, utilizaremos a mesmo lógica, conforme o 
cálculo abaixo. O que nos leva a uma probabilidade de 40% (d). 
𝑃(𝑥 = 100 𝑒 𝑥 = 100 𝑒 𝑥 = 150 𝑒 𝑥 = 200) = 0,25 + 0,10 + 0,05 = 0,40 
 
É importante ressaltar que, para a variável aleatória discreta, cada função de 
probabilidade diferente resulta em uma distribuição de probabilidades diferente. Nas 
próximas seções, estudaremos algumas das distribuições mais importantes. Antes, 
entretanto, vamos recordar alguns dos mais importantes indicadores estatísticos 
(média, variância e desvio-padrão) a luz do conceito que apresentamos nesta seção. 
3. Esperança e Desvio-Padrão 
Utilizamos o termo esperança, ou valor esperado, de uma variável aleatória, para 
representarmos a média. Neste caso, a média é a soma dos eventos possíveis de 
uma variável aleatória x ponderada por sua respectiva probabilidade. Ou seja: 
𝑬(𝒙) = 𝝁 = ∑ 𝒙𝒇(𝒙) 
A média é a forma mais corriqueira de se “resumir” um conjunto de dados ou mesmo 
de tentar prever a ocorrência de um determinado evento. Entretanto, a 
representatividade da média depende do conceito de desvio. Ou seja, o quanto cada 
elemento da variável aleatória se distancia da média. Assim, uma forma de se 
calcular esse desvio se dá pela variância, qual calculamos pelo quadrado da 
diferença entre os valores de x e a média ponderada pela respectiva probabilidade: 
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝝈𝟐 = ∑(𝒙 − 𝝁)𝟐 𝒇(𝒙) 
Outra forma de se calcular a mesma variância pode ser feita por meio do operador 
esperança (que vimos logo acima)1: 
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝝈𝟐 = 𝑬(𝒙𝟐) − [𝑬(𝒙)]𝟐 
Ou seja, é a esperança do quadrado dos possíveis valores de x menos a esperança 
(calculada acima) ao quadrado. 
 
1 Maiores detalhes de como chegamos a esta expressão podem ser vistas no capítulo 2 de Sartoris (2003, p.43), caso seja o 
seu interesse. 
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Alternativamente, odesvio-padrão é uma forma bastante comum de representação 
do desvio. O desvio-padrão é definido pela raiz quadrada da variância: 
𝝈 = √𝑽𝒂𝒓(𝒙) 
Vamos treinar isso com alguns exemplos abaixo. 
Exemplo 3: (Levine et al, 2008. Adaptado). Considere o número das hipotecas 
aprovadas por semana e a sua probabilidade, com base no estudo de uma 
determianda imobiliária, conforme tabela abaixo. 
 
a) Calcule o valor esperado. 
b) Calcule a variância e o desvio padrão. 
Basta aplicar as definições: 
a) 
𝐸(𝑥) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,3) + 4(0,15) + 5(0,1) + 6(0,05) = 2,8 
b) 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − [𝐸(𝑥)]2 
 𝐸(𝑥2) = 02(0,1) + 12(0,1) + 22(0,2) + 32(0,3) + 42(0,15) + 52(0,1) + 62(0,05) = 10,3 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 10,3 − (2,8)2 = 2,46 
 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 
𝜎 = √2,46 = 1,57 
 
Exemplo 4: (Anderson et al, 2013. Adaptado). Considere a distribuição de 
probabilidades correspondentes ao número de automóveis vendidos durante um dia 
na DiCarlo Motors. 
x f(x)
0 0,10
1 0,10
2 0,20
3 0,30
4 0,15
5 0,10
6 0,05
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a) Calcule o valor esperado. 
b) Calcule a variância e o desvio padrão. 
 
Basta aplicar as definições: 
a) 
𝐸(𝑥) = 0(0,18) + 1(0,39) + 2(0,24) + 3(0,14) + 4(0,04) + 5(0,01) = 1,5 
 
b) 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − [𝐸(𝑥)]2 
 𝐸(𝑥2) = 02(0,18) + 12(0,39) + 22(0,24) + 32(0,14) + 42(0,04) + 52(0,01) = 3,5 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 3,5 − (1,5)2 = 1,25 
 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 
𝜎 = √1,25 = 1,118 
 
4. Distribuição de Probabilidade Uniforme Discreta 
É o caso mais simples (e intuitivo), onde temos a seguinte função de probabilidade 
uniforme discreta: 
𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒏 
Exemplo 5: Um dado perfeito ou não viciado2 é lançado. 
a) Qual a probabilidade de cair o número 5? 
b) Qual a probabilidade de cair um número par? 
c) Qual a probabilidade de cair um número superior a quatro? 
 
Repare que a variável aleatória neste caso é o número do dado. Assim, temos que: 
x = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 
2 Ou seja, onde as probabilidades de ocorrência de cada um dos seis lados sejam todas iguais. 
x f(x)
0 0,18
1 0,39
2 0,24
3 0,14
4 0,04
5 0,01
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E, para cada um destes seis resultados, temos uma mesma probabilidade de 1/6. 
Ou seja, é um exemplo de distribuição uniforme, assim como visto no primeiro caso 
do Exemplo 1. Podemos então, representar a distribuição da seguinte forma: 
 
Assim, temos: 
a) 𝑓(𝑥 = 5) =
1
6
= 16,66% 
b) Repare que, neste caso, a pergunta refere-se a um conjunto de possibilidades: 
𝑓(𝑥 = 𝑝𝑎𝑟) = 𝑓(𝑥 = 2 𝑒 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = 6) =
1
6
+
1
6
+
1
6
=
1
2
= 50% 
c) Repare que, neste caso, a pergunta também se refere a um conjunto de 
possibilidades, mas este conjunto representa um intervalo: 
 𝑓(𝑥 > 4) = 𝑓(𝑥 = 5 𝑒 𝑥 = 6) =
1
6
+
1
6
=
1
3
= 33,33% 
 
5. Distribuição de Probabilidade de Binomial 
A variável discreta pode admitir uma distribuição binomial de probabilidades. Neste 
caso, a variável aleatória admite dois resultados possíveis, a qual designaremos por 
“sucesso” ou “fracasso”3. A variável é submetida a “n” ensaios (ou rodadas) idênticos 
onde cada ensaio deverá atribuir um valor possível (“sucesso” ou “fracasso”). As 
probabilidades (para cada um dos dois valores possíveis) é a mesma em cada 
ensaio, e são independentes. Ao final dos ensaios, devemos obter “x” sucessos e “n 
– x” fracassos. Para este caso, temos a seguinte função de probabilidade4: 
𝒇(𝒙) =
𝒏!
𝒙! (𝒏 − 𝒙)!
𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 
Onde: 
o 𝑥: é o número de sucessos; 
o 𝑛 : é o número de ensaios; 
 
3 Não há aqui um juízo de valor sobre o resultado da variável aleatória. Apenas estamos afirmando que se trata de um valor 
dicotômico. 
4 Uma demonstração detalhada de como chegamos a esta fórmula pode ser encontrada em Sweeney (2013, p.230) e uma 
demonstração mais intuitiva pode ser verificada em Levine (2008, p.166) 
x f(x)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
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o 𝑝: é a probabilidade de sucesso em apenas um ensaio (que é igual aos demais); 
o 1 − 𝑝: é a probabilidade de fracasso em apenas um ensaio (que é igual aos 
demais); 
o 𝑓(𝑥): é a função de probabilidade para distribuição binomial, que retorna a 
probabilidade de “𝑥 sucessos em 𝑛 ensaios”. 
* Observação: lembre-se que 𝑛! é o chamado “fatorial” do número 𝑛. Para 
calcular um número fatorial qualquer, basta respeitar as seguintes 
propriedades: 
0! = 1 
1! = 1 
2! = 2 . 1 = 2 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
⋮ 
𝑛! = 𝑛. (𝑛 − 1) . (𝑛 − 2). (𝑛 − 3) …. 
Vamos realizar alguns exemplos: 
Exemplo 6: (Triola, 2008. Adaptado). Para compor um júri que deverá julgar um 
determinado caso envolvendo crime de racismo, encontre a probabilidade de 
encontrarmos exatamente 7 jurados não-brancos quando 12 jurados são 
selecionados aleatoriamente de uma população em que 60% é não-branca. 
 
Observe que, neste exemplo, o resultado são apenas dois: “não branco” e “branco”. 
Assim, temos: n = 12; x = 7; p = 0,6; (1 – p) = 0,2 
Aplicamos a definição: 
𝑓(𝑥 = 7) =
12!
7! (12 − 7)!
(0,6)7(1 − 0,6)12−7 
𝑓(𝑥 = 7) =
7! . 8 . 9 . 10 . 11 . 12
7! 5!
(0,6)7(0,4)5 = 0,2270 = 22,70% 
 
Exemplo 7: (Levine et al, 2008. Adaptado). Suponha um sistema de informações 
contábeis onde temos duas possibilidades para cada formulário: estar etiquetado ou 
não. Se a probabilidade de ocorrência de um formulário etiquetado de pedido for de 
10%, qual é a probabilidade de que existam exatamente três formulários de pedidos 
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etiquetados em uma amostra de quatro pedidos? 
 
Temos: n = 4; x = 3; p = 0,1; (1 – p) = 0,9 
Aplicamos a definição: 
𝑓(𝑥 = 3) =
4!
3! (4 − 3)!
(0,1)3(1 − 0,1)4−3 
𝑓(𝑥 = 3) =
3! . 4 
3! 1!
(0,1)3(0,9)1 = 0,0036 = 0,36% 
 
Exemplo 8: (Levine et al, 2008. Adaptado). Considerando ainda o Exemplo 7, onde 
a probabilidade de formulário estar etiquetado ainda é 10%, qual é a probabilidade 
de que pelo menos três formulários estejam etiquetados em uma amostra de quatro 
pedidos? 
 
ATENÇÃO: repare que, neste caso, a expressão “pelo menos três” significa que x 
pode ser igual a 3 ou um valor superior a três. Como, para este exemplo: 
x = {1; 2; 3; 4;} 
Então, a probabilidade de que nos interessa é de X = 3 e X = 4. Então, faremos de 
forma análoga ao que foi feito nos Exemplos 5 (b) e 5 (c): somamos as respectivas 
probabilidades para calcularmos a probabilidade em um intervalo. 
Assim, temos: 
f(x ≥ 3) = f(x = 3 e x = 4) = f(x = 3) + f(x = 4) 
Então, 
f(x = 3) =
4!
3! (4 − 3)!
(0,1)3(1 − 0,1)4−3 = 0,0036 
f(x = 4) =
4!
4! (4 − 4)!
(0,1)4(1 − 0,1)4−4 = 0,0001 
Assim, 
f(x ≥ 3) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037 = 0,37% 
 
Exemplo 9: (Anderson et al, 2013). Uma universidade descobriu que 20% dos seus 
estudantes desistem sem concluir o curso introdutório de estatística. Considere que 
20 estudantes tenham se matriculado para o curso. 
a) Calcule a probabilidade de dois ou menos desistirem. 
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b) Calcule a probabilidade de exatamente quatro desistirem. 
c) Calcule a probabilidade de mais de três desistirem. 
 
Aplicamos os conceitos aprendidos anteriormente. 
a) 𝑓(𝑥 ≤ 2) = 𝑓(𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 2) = 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2) 
Então, 
𝑓(𝑥 = 1) =
20!
1! (20 − 1)!
(0,2)1(1 − 0,2)20−1 = 5,76% 
𝑓(𝑥 = 2) =
20!
2! (20 − 2)!
(0,2)2(1 − 0,2)20−2 = 13,69% 
Assim, 
𝑓(𝑥 ≥ 3) = 0,0576 + 0,1369 = 0,1945 = 19,45% 
 
b) 𝑓(𝑥 = 4) =
20!
4!(20−4)!
(0,2)4(1 − 0,2)20−4 = 21,82% 
 
c) ATENÇÃO: repare que, para este caso, se fizermos igual ao jeito anterior, 
teremos uma expressão muito longa para calcular: 
𝑓(𝑥 > 3) = 𝑓(𝑥= 4) + 𝑓(𝑥 = 5) + 𝑓(𝑥 = 6) + 𝑓(𝑥 = 7)+ . . . +𝑓(𝑥 = 20) 
 
Assim, é mais fácil para este exercício, trabalhar com o conceito de probabilidade 
complementar. Como a distribuição toda deve totalizar 100%, é mais fácil calcular o 
complementar de 100%: 
𝑓(𝑥 > 3) = 1 − 𝑓(𝑥 ≤ 3) 
Isto é, calcular a probabilidade de valores superiores a 3 equivale a calcular a 
diferença entre 100% e os valores inferiores a 3. (Guarde isto!) 
𝑓(𝑥 > 3) = 1 − 𝑓(𝑥 < 3) = 1 − [𝑓(𝑥 = 0) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2) + 𝑓(𝑥 = 3)] 
Como, 
𝑓(𝑥 = 0) =
20!
0! (20 − 1)!
(0,2)1(1 − 0,2)20−1 = 1,15% 
𝑓(𝑥 = 1) =
20!
1! (20 − 1)!
(0,2)1(1 − 0,2)20−1 = 5,76% 
𝑓(𝑥 = 2) =
20!
2! (20 − 2)!
(0,2)2(1 − 0,2)20−2 = 13,69% 
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𝑓(𝑥 = 3) =
20!
3! (20 − 3)!
(0,2)3(1 − 0,2)20−3 = 20,53% 
 
Então, 
𝑓(𝑥 > 3) = 1 − 𝑓(𝑥 < 3) = 1 − [𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2)]
= 1 − (0,0115 + 0,0576 + 0,1369 + 0,2053) = 58,87% 
 
Exemplo 10: (Anderson et al, 2013. Adaptado). Um Estudo da População Atual do 
The Census Bureau mostra que 28% dos indivíduos com idade de 25 ou mais, 
concluíram quatro anos de faculdade. Para uma amostra de 15 indivíduos, com 
idade de 25 anos ou mais, responda às seguintes questões: 
a) Qual é a probabilidade de que quatro indivíduos tenham concluído quatro 
anos de faculdade? 
b) Qual é a probabilidade de que três indivíduos ou mais tenham concluído 
quatro anos de faculdade? 
 
Aplicamos os conceitos aprendidos anteriormente. 
a) 𝑓(𝑥 = 4) =
15!
4!(15−4)!
(0,28)4(1 − 0,28)15−4 = 22,62% 
 
b) 𝑓(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑓(𝑥 < 3) = 1 − [𝑓(𝑥 = 0) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2)] 
Como, 
𝑓(𝑥 = 0) =
15!
0! (15 − 0)!
(0,28)0(1 − 0,28)15−0 = 0,7244% 
𝑓(𝑥 = 1) =
15!
1! (15 − 1)!
(0,28)1(1 − 0,28)15−1 = 4,22% 
𝑓(𝑥 = 2) =
15!
2! (15 − 2)!
(0,28)2(1 − 0,28)15−2 = 11,50% 
Então, 
𝑓(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑓(𝑥 < 3) = 1 − [𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2)]
= 1 − (0,7244 + 0,0422 + 0,1150) = 83,55% 
 
Para o caso específico onde temos uma distribuição binomial discreta, a 
esperança e a variância podem ser calculados de uma maneira mais simples: 
𝑬(𝒙) = 𝝁 = 𝒏𝒑 
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11 
 
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝝈𝟐 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 
Exemplo 11: Para o Exemplo 9, calcule a esperança e o desvio-padrão. 
 
Temos: n = 20; p = 0,2 e (1 – p) = 0,8 
Então: 
𝐸(𝑥) = 20(0,2) = 4 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 20(0,2)(1 − 0,2) = 3,2 
Logo, 
𝜎 = √3,2 = 1,79 
 
Exemplo 12: Para o Exemplo10, calcule a esperança e o desvio-padrão. 
 
Temos: n = 15; p = 0,28 e (1 – p) = 0,72 
Então: 
𝐸(𝑥) = 15(0,28) = 4,2 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 15(0,28)(1 − 0,28) = 3,024 
Logo, 
𝜎 = √3,024 = 1,74 
 
6. Distribuição de Probabilidade de Poisson 
Podemos ter o caso onde a distribuição binomial é repetida muitas vezes (em outras 
palavras, dizemos que o “n tende ao infinito”). Neste caso, temos uma distribuição 
de Poisson. Em geral, utilizamos a distribuição de probabilidades de Poisson quando 
queremos calcular a probabilidade de ocorrência de um determinado número em um 
intervalo específico de tempo ou espaço. 
𝒇(𝒙) =
(𝝁)𝒙
𝒆𝝁. 𝒙!
 
Onde: 
o 𝑒: é o número de Euler, uma constante aproximadamente igual a 2,718285; 
o 𝜇: é a média de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço; 
o 𝑥: é o número de sucessos; 
 
5 Também pode ser conhecido como número de Napier. É a base do logaritmo natural (ln). 
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12 
 
o 𝑓(𝑥): é a função de probabilidade para distribuição de Poisson que retorna a 
probabilidade de “𝑥 sucessos em um intervalo de tempo ou espaço”. 
 
Exemplo 12: (Levine et al, 2008). Suponha que a média do número de clientes que 
chegam a um banco por minuto durante o intervalo entre meio-dia e a 1 hora da 
tarde seja igual a 3,0. 
a) Qual é a probabilidade de que, em um determinado minuto, chegarão 
exatamente dois clientes? 
b) Qual é a probabilidade de que e cheguem mais de dois clientes? 
 
Temos 𝜇 = 3,0; 
a) 𝑓(𝑥 = 2) =
(3,0)2
𝑒3,0.2!
=
9
(2,71828)3(2)
= 0,2240 = 22,40% 
b) Nesse caso, devemos utilizar o mesmo raciocínio que desenvolvemos no 
Exemplo 9 (c) e ao Exemplo 9 (b) 
𝑓(𝑥 > 2) = 1 − 𝑓(𝑥 ≤ 2) = 1 − [𝑓(𝑥 = 0) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2)] 
Como, 
𝑓(𝑥 = 0) =
(3,0)0
𝑒3,0. 0!
=
1
(2,71828)3(1)
= 0,0498 
𝑓(𝑥 = 1) =
(3,0)1
𝑒3,0. 1!
=
3,0
(2,71828)3(1)
= 0,1494 
𝑓(𝑥 = 2) =
(3,0)2
𝑒3,0. 2!
=
9
(2,71828)3(2)
= 0,2240 
Então, 
𝑓(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑓(𝑥 < 3) = 1 − [𝑓(𝑥 = 0) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2)]
= 1 − (0,0498 + 0,1494 + 0,2240) = 57,68% 
 
Exemplo 13: (Anderson et al, 2013. Adaptado). Suponha que estejamos 
interessados no número de carros que chegam a um caixa automático drive-up de 
um banco durante um período de 15 minutos nas manhãs de fins de semana. Se 
considerarmos que a probabilidade de um carro chegar é a mesma para quaisquer 
dois períodos é independente da chegada ou não chegada de outro em qualquer 
outro período, a função de probabilidade de Poisson é aplicável. Considere que 
essas hipóteses sejam satisfeitas e que a análise dos dados históricos mostre que o 
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Prof. Bruno Mitio A. Silva 
 
13 
 
número médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10. 
a) Se a gerência quisesse saber a probabilidade de exatamente cinco carros 
chegarem em 15 minutos, calcule qual seria o resultado. 
b) Agora, suponha que a gerência quisesse saber a probabilidade de pelo 
menos cinco clientes chegarem em 15 minutos? 
c) Agora, suponha que a gerência quisesse saber a probabilidade de menos de 
5 clientes chegarem em 15 minutos? 
 
a) 𝑓(𝑥 = 5) =
(10)5
𝑒10.5!
= 0,0378 = 3,78% 
b) 𝑓(𝑥 ≥ 5) = 1 − 𝑓(𝑥 < 5) = 1 − [𝑓(𝑥 = 4) + 𝑓(𝑥 = 3) + 𝑓(𝑥 = 2) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 0)] 
Como, 
𝑓(𝑥 = 0) =
(10)0
𝑒10. 0!
=
1
(2,71828)10(1)
= 0,00000 
𝑓(𝑥 = 1) =
(10)1
𝑒10. 1!
=
10
(2,71828)10(1)
= 0,00045 
𝑓(𝑥 = 2) =
(10)2
𝑒10. 2!
=
100
(2,71828)10(2)
= 0,00227 
𝑓(𝑥 = 3) =
(10)3
𝑒10. 3!
=
1.000
(2,71828)3(6)
= 0,00757 
𝑓(𝑥 = 4) =
(10)4
𝑒10. 4!
=
9
(2,71828)3(24)
= 0,01892 
Então, 
𝑓(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑓(𝑥 < 3)
= 1 − [𝑓(𝑥 = 0) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 2) + 𝑓(𝑥 = 3) + 𝑓(𝑥 = 4)]
= 1 − (0,02925) = 97,075% 
c) 𝑓(𝑥 < 5) = 𝑓(𝑥 = 4) + 𝑓(𝑥 = 3) + 𝑓(𝑥 = 2) + 𝑓(𝑥 = 1) + 𝑓(𝑥 = 0) = 2,925% 
 
Indicações de Leitura e Referências 
Para quem quiser se aprofundar mais, além deste material, recomendo a leitura do 
capítulo 5 de Anderson et. al. (2013) e o capítulo 5 de Levine et al (2008), como 
leitura básica. Caso queira se aprofundar um pouco mais, ler o capítulo 3 de Sartoris 
(2003) e o capítulo 6 de Bussab e Morettin (2002). 
 
ANDERSON, David R., SWEENEY, Dennis J., WILLIAMS, Thomas A. Estatística 
Aplicada à Administração e Economia. Tradução: Solange Aparecida Visconti, 
Estatística Inferencial – Concentrada de Janeiro de 2021 
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revisão técnica: Cléber da Costa Figueiredo. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2013. 
 
LEVINE, David M.; BERENSON, Mark L; STEPHAN David. Estatística: teoria e 
aplicações usando Microsoflt Excel em português. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. Tradução: Vera Regina Lima de Farias e 
Flores, revisão técnica: Ana Maria Lima de Farias. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2008. 
 
BUSSAB, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. São Paulo, Saraiva, 
2002. 
 
SARTORIS – Alexandre. Estatística e introdução à econometria. São Paulo, Saraiva, 
2003 
	Conteúdo do Módulo
	1. Conceitos Iniciais
	2. Função de Probabilidade
	3. Esperança e Desvio-Padrão
	4. Distribuição de Probabilidade Uniforme Discreta
	5. Distribuição de Probabilidade de Binomial
	6. Distribuição de Probabilidade de Poisson
	Indicações de Leitura e Referências