Aula 2 Simetria Molecular e Teoria de Grupo

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Simetria Molecular e Teoria de Grupo 
Prof. Fernando R. Xavier 
UDESC 2018 
Uma idéia intuitiva... 
2 
Por que estudar simetria e teoria de grupo? 
• A química estuda íons, moléculas e suas transformações; 
• A química quântica investiga as propriedades moleculares, sem 
experimentação; 
• A teoria de grupo proporciona uma ligação entre simetria molecular e as 
propriedades moleculares, simplificando e/ou evitando os cálculos da 
química quântica. 
• Para tal, um fiel companheiro do estudante 
deve ser um kit de modelo molecular… 
3 
• A principal fonte de informações experimentais sobre os estados 
energéticos permitidos em átomos e moléculas, para serem comparadas 
com dados teóricos obtidos da mecânica quântica é a espectroscopia. 
Exemplos: Transições eletrônicas (UV-Visível); 
 Modos vibracionais (Infravermelho). 
• A teoria de grupo faz a ligação entre a teoria 
quântica moderna e alguns modelos de ligação 
química presentes nos compostos de 
coordenação (complexos). 
4 
Elementos e operações de simetria 
• Para a química, os objetos de interesse são íons e moléculas e a partir 
destes devemos identificar e quantificar os elementos de simetria. 
São elementos de simetria: 
Planos de reflexão (σ) Centros de inversão (i) Eixos de rotação (C) 
5 
*A 
A 
A 
• Um elemento de simetria é encontrado quando uma operação de 
simetria é efetuada. Toda operação de simetria leva a molécula em 
questão a uma situação equivalente ou indistinguível da configuração 
inicial. 
Exemplo: 
*A 
A 
A 
Configuração idêntica à inicial 
- Operação identidade (E) - 
360° 
Giro de 360° segundo um eixo. 
*A 
A 
A 
120° 
Giro de 120° segundo um eixo. 
Configuração equivalente à inicial 
6 
• Conclusão: Toda molécula possui pelo menos 1 eixo de rotação – Este 
elemento de simetria é dito como identidade (E). 
Os eixos de ordem (Cn): São caracterizados pela relação 2π/n onde “n” é 
o número de rotações possíveis para a formação de arranjos indistinguíveis. 
*A 
A 
A *A 
A 
A 
*A 
A 
A 
Exemplo: C3 = 2π/3 ou 360°/3 = 120° 
120° 
C3
+ 
120° 
C3
+ 
120° 
C3
+ 
120° 
C3
- 
7 
8 
Exemplos de eixos de rotação 
Exercícios: Encontrar todos os possíveis eixos de rotação nas moléculas 
abaixo: 
 H2O  NH3  BF3 
 [PtCl4]
2-  1,4-diflouorobenzeno  NHF2 
1 C2 2 C3; 3 C2 2 C3 
1 C4; 1 C2; 2 C2’ ; 2 C2’’ 3 C2 
Não há 
9 
Planos especulares de simetria (σ): São encontrados quando planos 
imaginários interceptam uma dada molécula e, cada metade, é a imagem 
especular da outra. 
Classificação: 
σv – Ocorre quando o plano é 
traçado no sentido vertical à 
molécula. 
10 
Planos especulares de simetria (σ) 
σh – Ocorre quando o plano é 
traçado no sentido horizontal à 
molécula. Neste caso, existem nσv ┴ 
ao plano σh. 
σh 
σd 
σd – Ocorre quando o plano é 
traçado no sentido vertical à 
molécula e bissecta dois eixos C2 
perpendiculares. 
11 
C4 
σv 
Exercícios: Encontrar todos os possíveis planos de simetria nas moléculas 
abaixo: 
 H2O  NH3  BF3 
 [PtCl4]
2-  1,4-diflouorobenzeno  NHFCl 
σv ; σv’ 3 σv ; σh 3 σv 
2 σv; 2 σd; σh 3 σv 
Não há 
12 
Centro de inversão (i): Esta operação de simetria projeta cada átomo da 
molécula em questão através de um ponto imaginário (i) e, caso a molécula 
resultante for indistinguível da molécula inicial esta possui cento de 
inversão. 
13 
14 
Exemplos de centros de inversão 
Exercícios: Verificar se as moléculas em questão possuem centro de 
inversão. 
 H2O  C2H2  BF3 
 [PtCl4]
2-  1,4-diflouorobenzeno  [CoCl6]
4- 
Não há Não há i 
i i 
i 
15 
É na verdade uma operação de simetria combinada. Consiste em efetuar uma 
rotação Cn e, em seguida, uma reflexão (plano especular) perpendicular à esta 
rotação. Também é conhecida como operação de roto-reflexão. 
Exemplo: Operação de roto-reflexão para um composto tetraédrico. 
Obs.: Somente ao final do conjunto de operações, o arranjo atômico deve ser 
indistinguível do inicial. 
16 
Eixo de rotação impróprio (S): 
17 
Eixos de rotação imprópria e operações equivalentes 
Casos especiais: 
• A operação S1 não é considerada 
pois consiste em C1 seguido de 
reflexão. Este conjunto tem o mesmo 
significado de um plano de simetria. 
• A operação S2 também não é 
considerada pois consiste em C2 
seguido de reflexão. Este conjunto 
tem o mesmo significado do centro 
de inversão (i). 
18 
Exercícios: Verificar se as moléculas em questão possuem eixo de rotação 
impróprio (Sn). 
 H2O  CH4  BF3 
 [PtCl4]
2-  1,4-diflouorobenzeno  [CoCl6]
4- 
Não há 2 S3 6 S4 
6 S4; 8 S6 2 S4 Não há 
19 
A determinação do grupo de ponto 
• O termo grupo de ponto traduz o fato de que cada operação de simetria 
realizada não altera o centro de gravidade da molécula em questão. Este 
grupo é encontrado com base coleção de operações de simetria 
possíveis para uma molécula. 
• O nome do grupo de ponto é dado pelo símbolo de Shoenflies. 
20 
Exemplos: 
 H2O 
Elementos de simetria: 
E, C2, σv, σ v’ 
Grupo de ponto: C2v 
 BF3 
Elementos de simetria: 
E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv 
Grupo de ponto:D3h 
 CH4 
Elementos de simetria: 
E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd 
Grupo de ponto: Td 
21 
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes? 
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de 
maior ordem? 
Grupos Quirais - Sombreado 
 [PtCl4]
2- 
 
Elementos de simetria: 
E, 2C4, 5C2, i, 2S4, σh, 
2σv, 2σd 
Grupo de ponto: D4h 
 H3BO3 
Elementos de simetria: 
E, 2C3, σh, S3, S3
5 
Grupo de ponto:C3h 
 NHF2 
Elementos de simetria: 
E, σ 
Grupo de ponto: Cs 
Exemplos: 
22 
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes? 
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de 
maior ordem? 
Grupos Quirais - Sombreado 
 NHFCl 
 
 
Elementos de simetria: 
E 
Grupo de ponto: C1 
 [Co(en)3]
3+ 
Elementos de simetria: 
E, 2C3, 3C2 
Grupo de ponto:D3 
 [CoCl6]
4- 
Elementos de simetria: 
E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C2, i, 
6S4, 8S6, 3σh, 6σd 
Grupo de ponto: Oh 
Exemplos: 
23 
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes? 
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de 
maior ordem? 
Grupos Quirais - Sombreado 
24 
 HClBrC-CHClBr () 
 
 
Elementos de simetria: 
E, i 
Grupo de ponto: Ci 
 P(C6H5)3 
Elementos de simetria: 
E, C3, C3
2 
Grupo de ponto:C3 
 H2C=C=CH2 
Elementos de simetria: 
E, 2S4, C2, 2C2
’, 2σd 
Grupo de ponto: D2d 
Exemplos: 
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes? 
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de 
maior ordem? 
Grupos Quirais - Sombreado 
Exercício: Encontrar os elementos de simetria e verificar o grupo de ponto 
da molécula de etano nas formas estrelada e eclipsada. 
 CH3CH3 
 
 
Elementos de simetria: 
E, 2C3, 3C2, 3σd, i, 2S6 
Grupo de ponto: D3d 
 CH3CH3 
 
 
Elementos de simetria: 
E, 2C3, 3C2, σh, 3σv, 
2S3 
Grupo de ponto: D3h 
25 
Grupos de alta simetria: Lineares 
• Para encontrarmos o grupo de ponto de moléculas lineares, precisamos 
de uma atenção extra na observação dos elementos de simetria 
presentes. 
Exemplo 1: Encontrar os elementos de simetria e verificar o grupo de ponto 
da molécula de HCl 
 HCl 
Elementos de simetria:E, Cφ, ∞σv, 
Grupo de ponto: C∞v 
∞σv 
Cφ 
26 
• Para encontrarmos o grupo de ponto de moléculas lineares, precisamos 
de uma atenção extra na observação dos elementos de simetria 
presentes. 
Exemplo 2: Encontrar os elementos de simetria e verificar o grupo de ponto 
da molécula de CO2. 
 CO2 
Elementos de simetria: 
E, ∞C2
’, 2Cφ, i, ∞σv, 2Sφ 
Grupo de ponto: D∞h 
∞C2
’ 
Cφ 
i 
27 
Grupos de alta simetria: Lineares 
Grupos de alta simetria: Cúbicos 
• Grupos de ponto Ih, Oh e Td são muito comuns em química, e, para cada um 
destes há um subgrupo puramente rotacional (I, O e T). Nestes subgrupos todas 
as operações de reflexão são destruídas. 
28 
• O grupo Th está relacionado com o grupo T porém com a presença de centro de 
inversão e consequentes planos de reflexão e rotações impróprias. 
 Tetraédrico (Td) 
 Octaédrico (Oh) 
 Icosaédrico (Ih) 
29 
Grupos de alta simetria: Cúbicos 
30 
Grupos de alta simetria: Cúbicos 
 [Ca(THF)6]
2+(T) 
 ( I ) 
 [Fe(py)6]
2+(Th) 
31 
Teoria de Grupo - Definições 
• Em matemática, um grupo é definido por uma coleção de elementos os quais 
estão relacionados entre si por um conjunto específico de regras. 
• Para efeito de nosso estudo, trataremos um grupo como sendo o conjunto de 
operações de simetria que pertencem a uma determinada molécula. 
• Por definição, grupos podem ser finitos ou infinitos, contendo então um número de 
elementos finito ou infinito, respectivamente. 
• Levando em consideração grupos de simetria, grande partes destes são finitos, 
com alguns pouco exemplos de grupos infinitos. Aos grupos finitos é definida 
também uma propriedade importe: A ordem do grupo (h). 
32 
Teoria de Grupo: Propriedades e representações 
• Como dito anteriormente, todos os grupos matemáticos, incluindo grupos de 
ponto, devem respeitar um conjunto de propriedades. Consideremos o exemplo 
abaixo: 
33 
Propriedades de um grupo 
34 
Propriedades de um grupo 
• Informações importantes sobre aspectos de simetria e grupos de ponto estão 
reunidas em tabelas de caracteres. Para compreendermos a construção e uso 
destas, devemos considerar um modelo matemático matricial. 
35 
Representação matricial de operações de simetria 
• Cada operação de simetria pode ser expressa como uma transformação 
matricial, como no exemplo a seguir: 
[Novas coordenadas] = [matriz transformação] × [ antigas coordenadas] 
36 
37 
• Exemplo de verificação de representações matriciais: 
C2 σv (xz) 
σvʼ(yz) 
38 
Caracteres 
• Um caractere, definido somente para uma matriz quadrada, é o traço desta matriz 
ou, em outras palavras a soma dos números de sua diagonal do canto superior 
esquerdo para o inferior direito. Para o grupo de ponto C2v os seguintes 
caracteres podem ser obtidos: 
• Este conjunto de caracteres formam uma representação, ou seja uma versão 
resumida das matrizes de representação. 
• Esta representação é chamada de representação redutível pois, é formada de 
representações mais fundamentais ditas representações irredutíveis. 
39 
Representações redutíveis e irredutíveis 
• Cada matriz transformação do grupo C2v pode ser diagonalizada em bloco, ou 
seja, “quebrada” em matrizes 1×1. 
• Estas representações irredutíveis (cada linha abaixo) dão então origem a 
representação redutível geral (Γ). 
40 
A tabela de caracteres 
• Um conjunto completo de representações irredutíveis para um dado grupo de 
ponto é chamado de tabela de caracteres. Cada grupo de ponto possui uma 
tabela única. 
• O restante das informações presentes serão apresentadas a seguir considerando 
as propriedades dos caracteres de representação irredutível para um determinado 
grupo de ponto em questão. 
41 
Propriedades dos caracteres de uma representação irredutível 
42 
43 
44 
• A tabela de caracteres possui 4 colunas (4 classes de operações de simetria) logo 
deverá ter também 4 grupos de representações irredutíveis. Assim as 
propriedades 3 e 4 serão respeitadas. 
A1 
B1 
B2 
Até então para a molécula de água (C2v) temos: 
Mas... 
?! ?! 
45 
• Como a soma dos produtos de caracteres de duas representações deve ser igual 
a zero (propriedade 6), o produto de A1 com uma representação desconhecida 
deverá ser 1 para dois caracteres e -1 para os outros dois para que a 
propriedade 6 seja satisfeita. 
E C2 σv (xz) σvʼ (yz) 
A1 1 1 1 1 
A2 ? ? ? ? 
• O caractere para a operação identidade deverá ser 1 (propriedade 4). 
• Como duas representações não podem ser idênticas χ(E) = χ(C2) = 1 e 
χ(σxz) = χ(σxz) = -1. Nesta configuração a ortogonalidade com B1 e B2 é mantida. 
E C2 σv (xz) σvʼ (yz) 
A1 1 1 1 1 
A2 1 1 -1 -1 
46 
Outro exemplo: NH3 (C3v) 
• Considere o eixo de rotação C3 ao longo do eixo z: 
47 
• A matriz transformação para C3 não pode ser bloco-diagonalizada em matrizes 
1×1, uma vez que valores diferentes de zero estão presentes fora da diagonal. 
• Neste caso é dito que as coordenadas x e y são dependentes entre si. Neste caso 
são feitas duas diagonalizações independentes conforme a figura abaixo: 
48 
• Feito isso a soma dos valores das diagonais podem ser feitas como no exemplo 
do grupo de ponto C2v anterior porém em duas etapas: 
• A matriz 2×2 (coordenadas x e y) correspondem a representação E. Enquanto a 
matriz 1×1 (z) corresponde a representação A1 (totalmente simétrica). Assim como 
no exemplo anterior (grupo C2v) a representação A2 é gerada pelas propriedades 
dos caracteres de um grupo. 
49 
50 
Propriedades adicionais da tabela de caracteres 
1. Operações de simetria que estão na mesma 
classe (C3 e C3
2, por exemplo) aparecem 
agrupadas na tabela de caracteres. 
2. Eixos de rotação não coincidentes são apresentados de forma independe 
utilizando a seguinte notação: Cn (eixo de maior ordem); Cnʼ (eixo passa por vários 
átomos) e Cnʼʼ (eixo passa entre os átomos). 
51 
3. Um plano de reflexão é perpendicular ao eixo de rotação de maior ordem é 
definido como σh. Planos paralelos ao eixo de maior ordem são ditos σv ou σd. 
4. Expressões listadas a direita dos caracteres indicam propriedades de simetria do 
grupo de ponto para os eixos x, y e z, funções matemáticas e rotações sobre os 
eixos (Rx, Ry e Rz). 
52 
Exemplos: 
O eixo x e suas direções (+) e (-) se 
encaixam na representação do orbital 
(px) com o nó definido pelo plano yz. 
A função xy, com sinais alternados 
nos quatro quadrantes dentro do 
plano xy se encaixam no orbital dxy. 
• O orbital s (totalmente simétrico) é sempre descrito pela primeira representação 
do grupo (A). 
53 
6. As representações irredutíveis são rotuladas de acordo com as seguintes regras: 
a) Caracteres simétricos (1) e caracteres antissimétricos (-1); 
b) As letras são designadas de acordo com a dimensão da representação 
irredutível (o caractere da operação identidade). 
c) O índices subscritos 1 e 2 designam a representação simétrica ou 
antissimétrica, respectivamente, ao eixo de rotação C2 perpendicular ao 
eixo principal. 
54 
Exemplo: [Pt(Cl)4]
2- 
• Caso não hajam eixos C2 
perpendiculares, devem ser 
considerados os planos verticais σv: 
55 
d) O índices subscritos g (gerade) e u (ungerade) designam a representação simétrica 
ou antissimétrica, respectivamente, quanto ao centro de inversão da molécula. 
Exemplo: trans-1,2-dicloroeteno 
e) O índices sobrescritos ( ʼ ) e ( ʼʼ ) indicam uma representação simétrica 
ou antissimétrica, respectivamente, quanto ao plano σh. Quando esta 
distinçãose faz necessária (grupos C3h, C5h, D3h, D5h) 
56 
Simetria e Teoria de Grupo: Aplicações 
1. Predição de polaridade de moléculas: Uma molécula não pode possuir um 
momento de dipolo permanente se: 
• Possuir um centro de inversão (i); 
• Pertencer a qualquer grupo de ponto “D” 
• Pertencer os grupos cúbicos “T” ou “O”. 
 H2O 
E, C2, σv, σ’ 
Grupo de ponto: C2v 
Polar 
 BF3 
E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv 
Grupo de ponto:D3h 
Apolar 
 CH4 
E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd 
Grupo de ponto: Td 
Apolar 
Exemplos: 
 Ciclobutano 
 
E, 2C4, 5C2, i, 2S4, σh, 
2σv, 2σd 
Grupo de ponto: D4h 
Apolar 
57 
Definição: Moléculas quirais ou dissimétricas não possuem imagens especulares 
sobreponíveis. Como consequência, propriedades químicas destas substâncias 
podem ser diferentes. 
É importante lembrar que existem moléculas quirais que não possuem carbono 
assimétrico. São os chamados atropoisômeros, do grego “sem rotação”. 
58 
• Substâncias quirais possuem atividade ótica, ou seja, tem a capacidade de 
desviar um feixe de luz plano polarizada. 
• Mas como saber se uma molécula é 
oticamente ativa? Um equipamento 
relativamente simples pode revelar tal fato: O 
polarímetro. 
59 
2. Predição de quiralidade: Moléculas quirais não possuem eixos de rotação 
imprópria (Sn), centro de inversão (i) e planos especulares (σ). 
Exemplos quirais 
C1 
T 
O 
C3 
D3 
60 
Exemplos não-quirais 
C∞v 
D∞h 
Td 
Ih Oh 
Th 
61 
Exemplos não-quirais 
Cs 
Ci 
C3h 
C2v 
D4h D3d 
62 
3. Determinação de modos vibracionais: 
Exemplo 1: A molécula de água (C2v) 
• Cada átomo pode se mover em todas as três direções no espaço: x, y e z. Para 
tal, devem ser determinados os graus de liberdade da mesma segundo a tabela 
abaixo: 
63 
• Como á água possui três átomos, deverão haver 9 movimentos distintos. 
• Matrizes de transformação devem ser utilizadas para determinar a simetria dos 9 
movimentos do grupo C2v: Translação, rotação e vibração. O exemplo abaixo é 
para a operação C2. 
• Feita a operação de simetria, valores nulos indicam que o átomo em questão 
trocou de lugar, entradas diferentes de zero indicam que um átomo 
permaneceu em sua posição inicial. 
64 
• Operações do grupo C2v: 
E 
• Todos os 9 vetores permanecem inalterados, logo o caractere resultante será 9. 
E C2 σv (xz) σvʼ (yz) 
Γ 9 
Onde os valores de gama (Γ) são as representações redutíveis. 
1 2 1 2 
65 
C2 
1 2 1 2 
• Quando os vetores permanecem inalterados recebem o valor (1). Quando sofrem 
inversão recebem valor (-1). 
χ(C2) = (-1) + (-1) + (1) = -1 
x y z 
E C2 σv (xz) σvʼ (yz) 
Γ 9 -1 
66 
σv (xz) 
1 2 
χ(σv (xz)) = 3∙(1) + 3∙(-1) + 3∙(1) = 3 
x y z 
σvʼ (yz) 
1 2 1 2 
χ(σv (xz)) = (-1) + (1) + (1) = 1 
x y z 
1 2 
67 
• Desta forma, os caracteres da representação redutível para o grupo de ponto C2v 
são: 
E C2 σv (xz) σvʼ (yz) 
Γ 9 -1 3 1 
• A representação redutível Γ deve então ser reduzida à representações irredutíveis 
segundo a expressão abaixo: 
• Esta equação traduz o número de vezes que cada representação irredutível 
contribui para a formação da representação redutível. 
68 
• Para a água (C2v), a ordem do grupo é 4 onde consta apenas 1 operação de 
simetria em cada classe (E, C2, σv, σʼ). 
• A representação redutível para todos os movimentos da água pode ser reduzida 
aos termos: 3A1+ A2 + 3B1 + 2B2. 
69 
• Análise do conjunto de representações: 3A1+ A2 + 3B1 + 2B2 
70 
Translação: 
Rotação: 
Vibração: 
71 
• Acima: Espectro de IV da água gasosa (Spartan ʼ04 © Wavefunction Inc. 2003) mostrando as três 
absorções fundamentais. Valores experimentais: 37556 cm-1, 3657 cm-1 e 1595 cm-1. Abaixo: Espectro 
de IV da água líquida. 
72 
Espectroscopia no Infravermelho e Raman: Diferenças básicas 
• Absorção de radiação pela vibração 
molecular; 
Infravermelho Raman 
• Espalhamento de luz pela vibração 
molecular; 
• A molécula não necessita possuir um 
momento de dipolo permanente; 
• A vibração deve alterar o momento de dipolo 
dessa vibração; 
• Água pode ser utilizada como solvente; • Água não pode ser utilizada como solvente 
pois absorve fortemente no IV; 
• Dá um indicativo do grau de covalência da 
molécula; 
• Dá um indicativo do caráter iônico da 
molécula; 
73 
Espectroscopia no Infravermelho e Raman: Regras de seleção 
• Para um modo vibracional ser ativo no infravermelho (IV) ele deve alterar o valor 
do momento de dipolo da molécula em questão. 
• Para um modo vibracional ser ativo no Raman ele deve alterar a 
polarizabilidade da molécula. 
74 
Mudança de polarizabilidade?! Como assim?! 
• Considerando ainda o exemplo do CO2: 
Durante o estiramento simétrico do CO2 a polarizabilidade fica menor tanto 
quando a molécula é “esticada” ou quando é “comprimida”. Essa alteração 
de polarizabilidade torna este modo vibracional Raman-ativo. 
Durante o estiramento assimétrico do CO2, de maneira contrária a 
polarizabilidade não é alterada e este fato caracteriza um modo vibracional 
Raman-inativo. 
Resultado: A regra da Exclusão 
Para moléculas centrossimétricas vibrações ativas no IV são inativas no 
Raman e vice versa. Isso torna as técnicas complementares. 
Exemplo: A molécula de água (C2v) Modos vibracionais 2A1ʼ e B1 
75 
• Para evitar qualquer tipo de confusão, a tabela de caracteres pode auxiliar na 
busca por modos vibracionais ativos no IV e no Raman: Caso o modo vibracional 
em questão esteja relacionado com as funções x, y e/ou z então este modo será 
ativo no IV. 
Modos Ativos no IV Ativos no Raman 
A1 X OK 
B1 OK OK 
76 
• Caso o modo vibracional em questão esteja relacionado com funções 
quadráticas ou produtos de funções, então este modo será ativo no Raman. 
Exemplo: A molécula de SO3 (D3h) Modos vibracionais A1ʼ; A2ʼʼ; 2Eʼ 
Modos Ativos no IV Ativos no Raman 
A1ʼ X OK 
Eʼ OK OK 
A2ʼʼ OK X 
77 
Exemplo 2: A molécula de XeF4 (D4h) 
1. Determinação dos graus de liberdade: 
Número de 
átomos 
Graus de 
liberdade 
Modos 
translacionais 
Modos 
rotacionais 
Modos 
vibracionais 
N (não-linear) 3N 3 3 3N-6 
5 (XeF4) 15 3 3 9 
2. Determinação dos átomos invariantes e representação redutível: 
E 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 
78 
C4 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 
Obs. Quando os vetores não invertem (180º) mas trocam de coordenada a contribuição é nula. 
C2 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 
79 
C2ʼ 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 
C2ʼʼ 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 -1 
80 
i 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 
S4 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 
81 
σh 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 5 
σv 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 5 3 
82 
σd 
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd 
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 5 3 1 
• Para o XeF4 (D4h), a ordem do grupo é 10. 
• A representação redutível para todos os movimentos da água pode ser reduzida 
aos seguintes termos: 
Γ = A1g+ A2g + B1g + B2g + Eg + 2A2u + B2u + 3Eu 
83 
Raman 
IV 
84 
85