Lista Navier_Stokes

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MEC / UFRGS / IPH / DHH 22/03/04
IPH01-107 - MECÂNICA DOS FLUÍDOS
LISTA DE EXERCÍCIOS IX - EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES
Profa Nara M. Luzzi Rosauro
Soluções simplificadas das equações de Navier-Stokes
1) Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais conforme mostra a figura 1.
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na
direção do escoamento. Expresse dp/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q).
b) diga qual seria a vazão se dp/dy = 0 ?
Resp: a) dp/dy = -[γ +(3 q µ / 2 h3 )]; b) q = - 2h3 γ / (3 µ)
2) Na instalação da figura 2, a esteira móvel tem uma velocidade periférica U. Sendo o peso a única força de
campo que atua no escoamento, determine a vazão (q) em função: da espessura de fluído entre a esteira
móvel e o plano inclinado (e), da diferença de altura entre a entrada e a saída (h) e do comprimento total
(L).
Resp: 3e
L
h
12
e
2
Uq 



µ
γ
−


=
3) Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, passa através de um recipiente que contém um
líquido viscoso (figura 3). Devido às forças viscosas a esteira "pega" uma lâmina de fluído de espessura h. A
gravidade tende a drenar o fluído para baixo. Use as equações de Navier-Stokes para determinar uma
expressão para a velocidade média da lâmina de fluído à medida que ela é arrastada para cima pela esteira.
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
Resp: V = Vo - (γ h2 / 3 µ)
Solução:
1) Neste problema temos apenas a componente em y da velocidade e esta é uma função apenas de x para
escoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos:
u = w = 0
v = v (x)
Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de pressão na direção y, ou seja, devemos ter 0
y
p
≠
∂
∂
.
As equações de Navier-Stokes ficam:
2
2
y
zz
xx
x
v
y
pg0:yem
0gquejá0
z
p
z
pg0:zem
0gquejá0
x
p
x
pg0:xem
∂
∂µ+
∂
∂
−ρ=
==
∂
∂
⇒
∂
∂
−ρ=
==
∂
∂
⇒
∂
∂
−ρ=
 (1.1)
a) Substituindo gy = -g em (1), e sendo v = v(y) :
dy
dp1
dx
vd
2
2
µ
+
µ
γ
=
 (1.2)
2
2
Integrando uma primeira vez temos:
1Cxdy
dp1
x
dx
dv
+
µ
+
µ
γ
= (1.3)
Sabendo que τ = 0 em x = 0 e já que 
dy
dvµ=τ , temos que C1 = 0.
Integrando uma segunda vez temos:
2
22 Cx
dy
dp
2
1
x
2
v +
µ
+
µ
γ
= (1.4)
Sendo v = 0 em x = h , temos:
2
22 Ch
dy
dp
2
1h
2
0 +
µ
+
µ
γ
= , donde:


 γ+
µ
−=
dy
dp
2
hC
2
2
Substituindo C2 em (4) temos:
( )22 hx
dy
dp
2
1
v −

 γ+
µ
=
A vazão por unidade de largura é:




−

 γ+
µ
== ∫ ∫∫ +
−
+
−
+
−
h
h
h
h
22h
h
dxhdxx
dy
dp
2
1dxvq ou




−

 γ+
µ
=
33 h2h
3
2
dy
dp
2
1q donde temos:


 γ+
µ
−=
dy
dp
3
h2q
3
donde tiramos que: γ−µ−= 3h2
q3
dy
dp
 ou:


 µ
+γ−= 3h2
q3
dy
dp
Para dp / dy = 0 temos um escoamento devido apenas à gravidade e dado por:
µ
γ
−=
3
h2q
3
2) Neste caso temos: u = u (y)
v = w = 0 e 0
x
p
=
∂
∂
A equação de Navier-Stokes em y fica:
�cos�
y
p
y
pg!0 y −=∂
∂
⇒
∂
∂
−=
A equação de Navier-Stokes em x fica:
L
hg�senggonde
y
u�g!0 x2
2
x −=−=∂
∂
+= (2.1)
De (1) temos:
ou
dy
ud��sen�0 2
2
+−=
L
h
�
�
dy
ud
2
2
= (2.2)
Integrando (2) vem:
1CyL
h
�
�
dy
du
+



=
e integrando novamente:
21
2 CyCy
L
h
�2
�
u ++



= (2.3)
Introduzindo em (3) as condições de contorno:
em y = 0, u = 0
em y = e, u = U
obtemos: C2 = 0 e



−=
L
h
�2
�
e
UC1 (2.4)
Donde, o perfil de velocidades é dado por:
4
4
ye
L
h
�2
�
e
Uy
L
h
�2
�
u 2 






−+



= (2.5)
A vazão por unidade de largura é:
e
0
2e
0
2
e
0
e
0
3
2
y
e
L
h
�2
�y
e2
U
3
y
L
h
�2
�dxuq 



−+



== ∫ o que nos leva a:
3e
L
h
�12
�
e
2
Uq 


−=
3) Neste caso temos: v = v (x)
u = w = 0
e também: 0
z
p
y
p
x
p
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
A equação de Navier-Stokes em y fica:
2
2
y
x
v�g!0
∂
∂
+= sendo gy = -g temos:
�
�
dx
vd
2
2
= (3.1)
Integrando uma vez:
1Cx�
�
dx
dv
+= (3.2)
Podemos considerar que τ = 0 em x = h ( interface fluido/ar), o que nos leva a:
h�
�C0Ch�
��2 11 −=⇒=


+= (3.3)
Integrando outra vez:
o
2 Vxh�
�
x�2
�
v +



−=
A vazão por unidade de largura é:
:dondedxVxh�
�
x�2
�dxvq
h
0
h
0
o
2∫ ∫ 


+



−



==
:dondexV
2
xh�
�
3
x
�2
�q h0o
h
0
2h
0
3
+−=
�
h�
3
1hVq
3
o −=
A velocidade média fica, portanto:
�3
h�V
h
qV
2
o −==
6
6
Figura 1
Figura 2
Figura 3