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Exemplo 1: viga retangular 
 
1) Calcular a armadura longitudinal de 
tração da viga V1. 
Adote: 
- Materiais: 
 concreto fck = 30 MPa 
 aço fyk = 500 MPa 
 
- Cargas na laje maciça: 
 revestimento = 1,00 kN/m2 
 sobrecarga = 1,50 kN/m2 
 
- Alvenaria sobre a viga V1: 
 dimensões = 15 cm x 420 cm x 255 cm 
 peso específico = 15 kN/m3 
 
- Cobrimento de concreto: 
 c = 25 mm 
 
- Diâmetro do estribo na viga V1: 
 e = 5 mm 
 
- Dimensão máxima característica do 
agregado graúdo do concreto: 
 Dmáx = 25 mm 
 
 
 
Etapas para determinação da armadura longitudinal da viga V1: 
1) Determinação do esquema estrutural da viga V1 
2) Cálculo da carga sobre a viga V1 
3) Obtenção do momento fletor máximo na viga V1 
4) Determinação da armadura longitudinal da viga V1 
 
 
 
 
 
 
Etapa 1) Determinação do esquema estrutural da viga V1 
Vão efetivo da viga (item 14.6.2.4 NBR 6118, 2014) 
 
 
Da planta de formas, tem-se: 
 
Assim, 
lef = 420 + (40/2 ou 0,3.45) + (20/2 ou 0,3.45) = 420 + 13,5 + 10 = 443,5 cm 
O esquema estrutural da viga V1 é uma viga simplesmente apoiada com 4,435 m de vão 
efetivo. 
 k 
 
Etapa 2) Determinação da carga sobre a viga V1 
Carga permanente gV1: 
- Peso próprio: 
AV1 . CA = (0,15.0,45) m2 . 25 kN/m3 = 1,69 kN/m 
- Alvenaria: 
Valv.alv/lef = (0,15.2,55.4,20) m2 . 15 kN/m3/ 4,435 m = 5,43m 
- Reação da laje L1 sobre a viga V1: 
Esquema estrutural da laje L1 : 
Da planta de formas e tomando-se eixos centro a centro das vigas, chega-se a: 
 
A laje L1 é uma laje maciça totalmente apoiada continuamente sobre os quatro bordos 
(vigas). 
Para a determinação da reação da laje L1 sobre a viga V1 é preciso saber o quanto do seu 
peso total PV1 se transfere para o bordo, que é dado pela multiplicação entre a área de 
influência e a carga total p na laje L1. 
Pode-se adotar, simplificadamente, o item 14.7.6.1 da norma ABNT NBR 6118 (2014). 
 
Assim, 
 
A carga na laje L1, que é dada em kN/m
2 por ser um elemento bidimensional, é: 
- carga permanente gL1: 
peso próprio = hlaje.CA = 0,10 m . 25 kN/m3 = 2,50 kN/m2 
revestimento = 1,00 kN/m2 
Então, o peso PV1 é: 
A.p = (4,65.2,235/2) m2 . 3,50 kN/m2 = 18,92 kN 
Assim, a reação da laje L1 sobre a viga V1 é igual a: 
PV1/lef = 18,92 kN/4,435 m = 4,27 kN/m (referente à carga permanente gL1 da laje) 
 
- carga acidental qL1: 
sobrecarga = 1,50 kN/m2 (carga normalmente adotada para residências com área maior 
que 12 m2; caso a área fosse maior que 12 m2, a sobrecarga seria igual a 2,00 kN/m2) 
Então, o peso PV1 é: 
A.p = (4,65.2,235/2) m2 . 1,50 kN/m2 = 8,11 kN 
Assim, a reação da laje L1 sobre a viga V1 é igual a: 
PV1/lef = 8,11 kN/4,435 m = 1,83 kN/m (referente à carga acidental qL1 da laje) 
 
Portanto, as cargas permanente gV1 e acidental qV1 sobre a viga V1 são iguais a: 
gV1 = 1,69 kN/m + 5,43 kN/m + 4,27 kN/m = 11,39 kN/m 
qV1 = 1,83 kN/m 
 
Em resumo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Obtenção do momento fletor máximo na viga V1 
O momento fletor máximo em na viga biapoiada, devido a um carregamento 
uniformemente distribuído, ocorre no seu meio de vão e é igual a: 
Mmáx
+ = pl2/8 (momento em serviço) 
 
Assim, os valores de momentos fletores em serviço são: 
- para carga permanente: 
Mmáx
+ = gl2/8 = 11,39.4,4352/8 = 28,00 kNm 
- para carga acidental: 
Mmáx
+ = ql2/8 = 1,83.4,4352/8 = 4,45 kNm 
- para carga total: 
Mmáx
+ = pl2/8 = 13,22.4,4352/8 = 32,50 kNm 
 
Para se determinar o momento fletor de cálculo ou de projeto, deve-se utilizar a 
combinação última normal de ações segundo a equação abaixo. 
 
 
 
 
 
Nesse exemplo, não há ações indiretas permanente (retração) e variável (temperatura) e 
há apenas uma ação variável direta (sobrecarga sobre a laje). 
Assim, 
Fd = g.Fgk + q.Fq1k = 1,4.Fgk + 1,4.Fq1k 
Em termos de momentos fletores, 
Md = 1,4.Mgk + 1,4.Mq1k 
Md = 1,4.28,00 + 1,4.4,45 = 45,43 kNm (momento fletor de cálculo para carga total) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 4) Determinação da armadura longitudinal da viga V1 
Para a determinação da armadura longitudinal da viga V1, utiliza-se o momento fletor 
solicitante de cálculo para carga total (Msd = 45,43 kNm) 
A partir da figura abaixo, tem-se: 
 
Equações básicas de equilíbrio: 
1) Cd = Td (Resultante das forças de compressão = Resultante das forças de tração) 
 cfcd.(x.bw) = fyd.As 
Como fck = 30 MPa < 50 MPa e a seção tem largura constante ao longo de sua altura, 
então: 
 0,85fcd.(x.bw) = fyd.As (Equação 1) 
 0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.150) mm2 = 500/1,15 MPa .As mm
2 
2) M = 0 
 Msd = Mrd (momento externo = momento interno) 
 Msd = [cfcd.(x.bw)].z 
 Msd = [cfcd.(x.bw)].(d – x/2) 
 Msd = [0,85fcd.(x.bw)].(0,90.h – 0,40.x) (Equação 2) 
 45,43.106 Nmm = [0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.150) mm2].(0,90.450 mm – 0,40.x mm) 
 x = 54,22 mm ou 958,28 mm 
Como x = 958,28 mm > h = 450 mm, então a altura da linha neutra x é igual a 54,22 
mm. 
Substituindo x = 54,22 mm na equação 1, chega-se a As = 272,6 mm
2 
A área total longitudinal de tração de aço As = 272,6 mm
2 deve ser formada por 1 barra 
de aço de 16 mm (as = 201 mm
2) e por 1 barra de aço de 12,5 mm (as = 122,7 mm
2). 
As barras devem ser colocadas no comprimento face a face interna dos estribos, que 
mede 90 mm. 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais ah deve ser igual ou 
maior dentre os seguintes valores: 20 mm, diâmetro da barra (16 mm) ou 1,2.Dmáx 
(1,2.25 mm = 30 mm). 
Como as duas barras ( 16 mm e  12,5 mm) cabem dentro dos 90 mm, o espaçamento 
ah = 61,5 mm, que é maior que 30 mm, como mostra a figura abaixo. 
 
(cotas em mm) 
Para o cálculo das armaduras de aço, considerou-se altura útil d = 0,90h = 0,90.450 = 
405 mm. 
Da figura acima, 
yCG = (1.201.38,00 + 1.122,7.36,25)/(1.201 + 1.122,7) = 37,34 mm 
d = h - yCG = 450 – 37,34 = 412,66 mm 
Como dreal = 412,66 mm é diferente de dadotado = 405 mm, deve-se recalcular a armadura 
As com o uso das equações de equilíbrio supracitadas. 
Então, 
 45,43.106 Nmm = [0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.150) mm2].(412,66 mm – 0,40.x mm) 
 x = 53,10 mm ou 978,55 mm 
Como x = 978,55 mm > h = 450 mm, então a altura da linha neutra x é igual a 
53,10 mm. 
Substituindo x = 53,10 mm na equação 1, chega-se a As = 266,9 mm
2. 
A área total longitudinal de tração de aço As = 266,9 mm
2 continua a ser formada por 1 
barra de aço de 16 mm (as = 201 mm
2) e por 1 barra de aço de 12,5 mm (as = 122,7 
mm2), o que leva a uma área efetiva total longitudinal de tração de aço As = 323,7 mm
2. 
 
 
- Verificação do domínio para o E.L.U. (estado limite último) 
Como a altura da linha neutra x = 53,10 mm, a altura relativa da linha neutra x/d = 
53,10 mm/412,66 mm = 0,129. 
Como x/d = 0,129 < 0,259 (reta AB), então a viga é subarmada e encontra-se no 
domínio 2. 
Sabendo que x/d = 0,129 = cu/(cu + su) = cu/(cu + ), então cu = 1,48 e 
su = 
 
 
 
- Verificação da armadura longitudinal mínima 
Segundo item 17.3.5.2.1 da norma NBR 6118 (2014), a armadura longitudinal mínima 
As,mín é dada na tabela abaixo. 
Como fck = 30 MPa, mín = 0,15% = As,mín/Ac = As,mín/(150.450) 
Então, As,mín = 101,3 mm
2 
 
Segundo o item 17.3.5.2.1 da norma NBR 6118 (2014): 
 
Então: 
Wo = Ic/yt = (150.450
3/12) mm4/225 mm = 5062500 mm3 
fctk,sup = 1,3fctm = 1,3.0,3.30
2/3 =3,77 MPa 
Portanto, 
Md,mín = 0,8. 5062500 mm
3. 3,77 MPa = 15268500 Nmm = 15,27 kNm 
A partir da equação 2, tem-se: 
 15,27.106 Nmm = [0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.150) mm2].(0,90.450 mm – 0,40.x mm) 
 x = 17,55 mm ou 994,95 mm 
Como x = 994,95 mm > h = 450 mm, então a altura da linha neutra x é igual a 
17,55 mm. 
Substituindo x = 17,55 mm na equação 1, chega-se a As,mín = 88,2 mm
2. 
A área total mínima longitudinal de tração de aço As,mín = 88,2 mm
2 deve ser formada 
por 2 barras de aço de 8 mm (as = 50,3 mm
2), o que leva a uma área efetiva total mínima 
longitudinal de tração de aço As,mín = 100,6 mm
2. 
Dentre os dois valores de As,mín, escolhe-se o maior valor, que é 101,3 mm
2. 
Como a área efetiva As = 323,7 mm
2 > 101,3 mm2, a área de aço adotada respeita o 
valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: viga T (com 1 aba lateral) 
 
1) Calcular a armadura longitudinal de 
tração da viga V1. 
Adote: 
- Materiais: 
 concreto fck = 30 MPa 
 aço fyk = 500 MPa 
 
- Cargas na laje maciça: 
 revestimento = 1,00 kN/m2 
 sobrecarga = 1,50 kN/m2 
 
- Alvenaria sobre a viga V1: 
 dimensões = 15 cm x 420 cm x 255 cm 
 peso específico = 15 kN/m3 
 
- Cobrimento de concreto: 
 c = 25 mm 
 
- Diâmetro do estribo na viga V1: 
 e = 5 mm 
 
- Dimensão máxima característica do 
agregado graúdo do concreto: 
 Dmáx = 25 mm 
 
 
 
Etapas para determinação da armadura longitudinal da viga V1: 
1) Determinação do esquema estrutural da viga V1 
2) Cálculo da carga sobre a viga V1 
3) Obtenção do momento fletor máximo na viga V1 
4) Determinação da armadura longitudinal da viga V1 
 
 
 
 
 
 
Etapa 1) Determinação do esquema estrutural da viga V1 
Vão efetivo da viga (item 14.6.2.4 NBR 6118, 2014) 
 
 
Da planta de formas, tem-se: 
 
Assim, 
lef = 420 + (40/2 ou 0,3.45) + (20/2 ou 0,3.45) = 420 + 13,5 + 10 = 443,5 cm 
O esquema estrutural da viga V1 é uma viga simplesmente apoiada com 4,435 m de vão 
efetivo. 
 
 
Largura colaborante da viga de seção T (item 14.6.2.2 NBR 6118, 2014) 
 
 
Como a viga é simplesmente apoiada, a = l = 443,5 cm. 
Os valores de b1 e b3 são: 
b1 = 0,5. 550 = 225 cm (da planta de formas, b2 = 550 cm) ; 0,1.a = 44,35 cm 
Logo b1 = 44,35 cm 
b3 = 0 
Assim, a largura da mesa colaborante da viga T é: 
bf = bw + b1 = 15 cm + 44,35 cm = 59,35 cm = 539,5 mm, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 2) Determinação da carga sobre a viga V1 
Carga permanente gV1: 
- Peso próprio: 
AV1 . CA = (0,15.0,45) m2 . 25 kN/m3 = 1,69 kN/m 
- Alvenaria: 
Valv.alv/lef = (0,15.2,55.4,20) m2 . 15 kN/m3/ 4,435 m = 5,43m 
- Reação da laje L1 sobre a viga V1: 
Esquema estrutural da laje L1 : 
Da planta de formas e tomando-se eixos centro a centro das vigas, chega-se a: 
 
A laje L1 é uma laje maciça totalmente apoiada continuamente sobre os quatro bordos 
(vigas). 
Para a determinação da reação da laje L1 sobre a viga V1 é preciso saber o quanto do seu 
peso total PV1 se transfere para o bordo, que é dado pela multiplicação entre a área de 
influência e a carga total p na laje L1. 
Pode-se adotar, simplificadamente, o item 14.7.6.1 da norma ABNT NBR 6118 (2014). 
 
Assim, 
 
A carga na laje L1, que é dada em kN/m
2 por ser um elemento bidimensional, é: 
- carga permanente gL1: 
peso próprio = hlaje.CA = 0,10 m . 25 kN/m3 = 2,50 kN/m2 
revestimento = 1,00 kN/m2 
Então, o peso PV1 é: 
A.p = (4,65.2,235/2) m2 . 3,50 kN/m2 = 18,92 kN 
Assim, a reação da laje L1 sobre a viga V1 é igual a: 
PV1/lef = 18,92 kN/4,435 m = 4,27 kN/m (referente à carga permanente gL1 da laje) 
 
- carga acidental qL1: 
sobrecarga = 1,50 kN/m2 (carga normalmente adotada para residências com área maior 
que 12 m2; caso a área fosse maior que 12 m2, a sobrecarga seria igual a 2,00 kN/m2) 
Então, o peso PV1 é: 
A.p = (4,65.2,235/2) m2 . 1,50 kN/m2 = 8,11 kN 
Assim, a reação da laje L1 sobre a viga V1 é igual a: 
PV1/lef = 8,11 kN/4,435 m = 1,83 kN/m (referente à carga acidental qL1 da laje) 
 
Portanto, as cargas permanente gV1 e acidental qV1 sobre a viga V1 são iguais a: 
gV1 = 1,69 kN/m + 5,43 kN/m + 4,27 kN/m = 11,39 kN/m 
qV1 = 1,83 kN/m 
 
Em resumo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Obtenção do momento fletor máximo na viga V1 
O momento fletor máximo em na viga biapoiada, devido a um carregamento 
uniformemente distribuído, ocorre no seu meio de vão e é igual a: 
Mmáx
+ = pl2/8 (momento em serviço) 
 
Assim, os valores de momentos fletores em serviço são: 
- para carga permanente: 
Mmáx
+ = gl2/8 = 11,39.4,4352/8 = 28,00 kNm 
- para carga acidental: 
Mmáx
+ = ql2/8 = 1,83.4,4352/8 = 4,45 kNm 
- para carga total: 
Mmáx
+ = pl2/8 = 13,22.4,4352/8 = 32,50 kNm 
 
Para se determinar o momento fletor de cálculo ou de projeto, deve-se utilizar a 
combinação última normal de ações segundo a equação abaixo. 
 
 
 
 
 
Nesse exemplo, não há ações indiretas permanente (retração) e variável (temperatura) e 
há apenas uma ação variável direta (sobrecarga sobre a laje). 
Assim, 
Fd = g.Fgk + q.Fq1k = 1,4.Fgk + 1,4.Fq1k 
Em termos de momentos fletores, 
Md = 1,4.Mgk + 1,4.Mq1k 
Md = 1,4.28,00 + 1,4.4,45 = 45,43 kNm (momento fletor de cálculo para carga total) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 4) Determinação da armadura longitudinal da viga V1 
Para a determinação da armadura longitudinal da viga V1, utiliza-se o momento fletor 
solicitante de cálculo para carga total (Msd = 45,43 kNm) 
A partir da figura abaixo, tem-se: 
 
Equações básicas de equilíbrio: 
1) Cd = Td (Resultante das forças de compressão = Resultante das forças de tração) 
 cfcd.(x.bw) = fyd.As 
Como fck = 30 MPa < 50 MPa e a seção tem largura constante ao longo de sua altura, 
então: 
 0,85fcd.(x.bf) = fyd.As (Equação 1) 
 0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.593,5) mm2 = 500/1,15 MPa .As mm
2 
2) M = 0 
 Msd = Mrd (momento externo = momento interno) 
 Msd = [cfcd.(x.bw)].z 
 Msd = [cfcd.(x.bw)].(d – x/2) 
 Msd = [0,85fcd.(x.bw)].(0,90.h – 0,40.x) (Equação 2) 
 45,43.106 Nmm =[0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.593,5) mm2].(0,90.450 mm – 0,40.x mm) 
 x = 13,14 mm ou 999,36 mm 
Como x = 999,36 mm > h = 450 mm, então a altura da linha neutra x é igual a 13,14 
mm. 
Substituindo x = 13,14 mm na equação 1, chega-se a As = 261,4 mm
2 
A área total longitudinal de tração de aço As = 261,4 mm
2 deve ser formada por 1 barra 
de aço de 16 mm (as = 201 mm
2) e por 1 barra de aço de 12,5 mm (as = 122,7 mm
2). 
As barras devem ser colocadas no comprimento face a face interna dos estribos, que 
mede 90 mm. 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais ah deve ser igual ou 
maior dentre os seguintes valores: 20 mm, diâmetro da barra (16 mm) ou 1,2.Dmáx 
(1,2.25 mm = 30 mm). 
Como as duas barras ( 16 mm e  12,5 mm) cabem dentro dos 90 mm, o espaçamento 
ah = 61,5 mm, que é maior que 30 mm, como mostra a figura abaixo. 
 
(cotas em mm) 
Para o cálculo das armaduras de aço, considerou-se altura útil d = 0,90h = 0,90.450 = 
405 mm. 
Da figura acima, 
yCG = (1.201.38,00 + 1.122,7.36,25)/(1.201 + 1.122,7) = 37,34 mm 
d = h - yCG = 450 – 37,34 = 412,66 mm 
Como dreal = 412,66 mm é diferente de dadotado = 405 mm, deve-se recalcular a armadura 
As com o uso das equações de equilíbrio supracitadas. 
Então, 
 45,43.106 Nmm = [0,85.30/1,4MPa .(0,80.x.593,5) mm2].(412,66 mm – 0,40.x mm) 
 x = 12,89 mm ou 1018,76 mm 
Como x = 1018,76 mm > h = 450 mm, então a altura da linha neutra x é igual a 
12,89 mm. 
Substituindo x = 12,89 mm na equação 1, chega-se a As = 256,4 mm
2. 
A área total longitudinal de tração de aço As = 256,4 mm
2 continua a ser formada por 1 
barra de aço de 16 mm (as = 201 mm
2) e por 1 barra de aço de 12,5 mm (as = 122,7 
mm2), o que leva a uma área efetiva total longitudinal de tração de aço As = 323,7 mm
2. 
 
 
- Verificação do domínio para o E.L.U. (estado limite último) 
Como a altura da linha neutra x = 12,89 mm, a altura relativa da linha neutra x/d = 
12,89 mm/412,66 mm = 0,031. 
Como x/d = 0,031 < 0,259 (reta AB), então a viga é subarmada e encontra-se no 
domínio 2. 
Sabendo que x/d = 0,031 = cu/(cu + su) = cu/(cu + ), então cu = 0,32 e 
su = 
 
 
 
- Verificação da armadura longitudinal mínima 
Segundo item 17.3.5.2.1 da norma NBR 6118 (2014), a armadura longitudinal mínima 
As,mín é dada na tabela abaixo. 
Como fck = 30 MPa, mín = 0,15% = As,mín/Ac = As,mín/(150.450 + 443,5.100) 
Então, As,mín = 167,8 mm
2 
 
Segundo o item 17.3.5.2.1 da norma NBR 6118 (2014): 
 
Então: 
ycg = (150.450.225 + 443,5.100.50)/(150.450 + 443,5.100) = 155,61 mm (para seção T) 
Ic = 150.450
3/12 + 150.450.(225 – 155,61)2 + 443,5.1003/12 + 443,5.100.(155,61 – 50)2 
= 1995687937,7 mm4 (para seção T) 
yt = h - ycg = 450 - 155,61 = 294,39 mm (para seção T) 
Wo = Ic/yt = 1995687937,7 mm
4/294,39 mm = 6779061,6 mm3 
fctk,sup = 1,3fctm = 1,3.0,3.30
2/3 = 3,77 MPa 
Portanto, 
Md,mín = 0,8. 6779061,6 mm
3. 3,77 MPa = 20445649,8 Nmm = 20,45 kNm 
A partir da equação 2, tem-se: 
 20,45.106 Nmm = [0,85.30/1,4 MPa .(0,80.x.593,5) mm2].(0,90.450 mm – 0,40.x 
mm) 
 x = 5,87 mm ou 1006,63 mm 
Como x = 1006,63 mm > h = 450 mm, então a altura da linha neutra x é igual a 
5,87 mm. 
Substituindo x = 5,87 mm na equação 1, chega-se a As,mín = 116,8 mm
2. 
A área total mínima longitudinal de tração de aço As,mín = 116,8 mm
2 deve ser formada 
por 2 barras de aço de 10 mm (as = 78,5 mm
2), o que leva a uma área efetiva total 
mínima longitudinal de tração de aço As,mín = 157,0 mm
2. 
Dentre os dois valores de As,mín, escolhe-se o maior valor, que é 167,8 mm
2. 
Como a área efetiva As = 323,7 mm
2 > 167,8 mm2, a área de aço adotada respeita o 
valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: viga retangular 
 
2) Calcular a flecha no meio do vão da 
viga V1. 
Adote: 
- Materiais: 
 concreto fck = 30 MPa 
 aço fyk = 500 MPa 
 
- Cargas na laje maciça: 
 revestimento = 1,00 kN/m2 
 sobrecarga = 1,50 kN/m2 
 
- Alvenaria sobre a viga V1: 
 dimensões = 15 cm x 420 cm x 255 cm 
 peso específico = 15 kN/m3 
 
- Cobrimento de concreto: 
 c = 25 mm 
 
- Diâmetro do estribo na viga V1: 
 e = 5 mm 
 
- Dimensão máxima característica do 
agregado graúdo do concreto: 
 Dmáx = 25 mm 
 
 
Etapas para determinação da flecha no meio do vão da viga V1: 
1) Determinação do esquema estrutural da viga V1 
2) Cálculo da carga sobre a viga V1 
3) Obtenção do momento fletor máximo na viga V1 
4) Determinação da rigidez à flexão equivalente da viga V1 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 1) Determinação do esquema estrutural da viga V1 
Vão efetivo da viga (item 14.6.2.4 NBR 6118, 2014) 
 
 
Da planta de formas, tem-se: 
 
Assim, 
lef = 420 + (40/2 ou 0,3.45) + (20/2 ou 0,3.45) = 420 + 13,5 + 10 = 443,5 cm 
O esquema estrutural da viga V1 é uma viga simplesmente apoiada com 4,435 m de vão 
efetivo. 
 k 
 
Etapa 2) Determinação da carga sobre a viga V1 
Carga permanente gV1: 
- Peso próprio: 
AV1 . CA = (0,15.0,45) m2 . 25 kN/m3 = 1,69 kN/m 
- Alvenaria: 
Valv.alv/lef = (0,15.2,55.4,20) m2 . 15 kN/m3/ 4,435 m = 5,43m 
- Reação da laje L1 sobre a viga V1: 
Esquema estrutural da laje L1 : 
Da planta de formas e tomando-se eixos centro a centro das vigas, chega-se a: 
 
A laje L1 é uma laje maciça totalmente apoiada continuamente sobre os quatro bordos 
(vigas). 
Para a determinação da reação da laje L1 sobre a viga V1 é preciso saber o quanto do seu 
peso total PV1 se transfere para o bordo, que é dado pela multiplicação entre a área de 
influência e a carga total p na laje L1. 
Pode-se adotar, simplificadamente, o item 14.7.6.1 da norma ABNT NBR 6118 (2014). 
 
Assim, 
 
A carga na laje L1, que é dada em kN/m
2 por ser um elemento bidimensional, é: 
- carga permanente gL1: 
peso próprio = hlaje.CA = 0,10 m . 25 kN/m3 = 2,50 kN/m2 
revestimento = 1,00 kN/m2 
Então, o peso PV1 é: 
A.p = (4,65.2,235/2) m2 . 3,50 kN/m2 = 18,92 kN 
Assim, a reação da laje L1 sobre a viga V1 é igual a: 
PV1/lef = 18,92 kN/4,435 m = 4,27 kN/m (referente à carga permanente gL1 da laje) 
 
- carga acidental qL1: 
sobrecarga = 1,50 kN/m2 (carga normalmente adotada para residências com área maior 
que 12 m2; caso a área fosse maior que 12 m2, a sobrecarga seria igual a 2,00 kN/m2) 
Então, o peso PV1 é: 
A.p = (4,65.2,235/2) m2 . 1,50 kN/m2 = 8,11 kN 
Assim, a reação da laje L1 sobre a viga V1 é igual a: 
PV1/lef = 8,11 kN/4,435 m = 1,83 kN/m (referente à carga acidental qL1 da laje) 
 
Portanto, as cargas permanente gV1 e acidental qV1 sobre a viga V1 são iguais a: 
gV1 = 1,69 kN/m + 5,43 kN/m + 4,27 kN/m = 11,39 kN/m 
qV1 = 1,83 kN/m 
 
Em resumo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Obtenção do momento fletor máximo na viga V1 
O momento fletor máximo em na viga biapoiada, devido a um carregamento 
uniformemente distribuído, ocorre no seu meio de vão e é igual a: 
Mmáx
+ = pl2/8 (momento em serviço) 
 
Assim, os valores de momentos fletores em serviço são: 
- para carga permanente: 
Mmáx
+ = gl2/8 = 11,39.4,4352/8 = 28,00 kNm 
- para carga acidental: 
Mmáx
+ = ql2/8 = 1,83.4,4352/8 = 4,45 kNm 
- para carga total: 
Mmáx
+ = pl2/8 = 13,22.4,4352/8 = 32,50 kNm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 4) Determinação da rigidez à flexão equivalente da viga V1 
 
1) Momento de inércia da seção bruta de concreto: 
Ic = (150.450
3/12) mm4 = 1.139.062.500 mm4 
 
2) Momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II: 
Para o cálculo de III, deve-se encontrar a altura da linha neutra x de acordo com as 
forças e tensões da figura abaixo. 
 
Basta equilibrar as forças e os momentos, como se segue: 
 
a) F = 0 
 C = T 
 1/2c.(bwx) = As.s Equação 1 
b) M = 0 
 M = [1/2c.(bwx)].z 
 M = [1/2c.(bwx)].(d – 1/3x) Equação 2 
c) compatibilidade entre deformações 
 x/c = (d – x)/s 
 x/(Ecs.c) = Es/Ecs.(d – x)/(Es.s) 
 x/c = e.(d – x)/s 
 s = e.(d – x)/x.c Equação 3 
Substituindo s da equação 3 na equação 1, chega-se: 
 1/2c.(bwx) = Ase.(d – x)/x.c 
 (1/2bw).x2 + (Ase).x – (Ase.d) = 0 Equação 4 
A partir dessa equação do 2o em x, determina-se x 
Módulo de elasticidade secante do concreto: 
 
Ecs = (0,8 + 0,2.30/80).(1,0.5600.30
0,5) = 26838,4 MPa 
Módulo de elasticidade do aço: 
Es = 210000 MPa 
e = Es/Ecs = 210000 MPa / 26838,4 MPa = 7,82 
Na equação 4: 
 (1/2).x2 + (323,7).x – (323,7.412,66) = 0 
x = 102,34 mm ou -136,09 mm 
Logo, x = 102,34 mm 
Portanto , o valor de III é: 
III = bw.x
3/3 + e.As.(d – x)2 
III = 150.102,34
3/3 + 7,82.323,7.(412,66 – 102,34)2 = 297.356.447,9 mm4 
 
3) Momento fletor Ma: 
Para avaliação de flecha, trabalha-seno ELS-DEF para combinação quase permanente. 
 
 
Ma = Md,ser = 28,00 +0,3.4,45 = 29,34 kNm 
4) Momento fletor de fissuração Mr: 
 
Mr = (1,5.0,3.30
2/3 MPa. 1.139.062.500 mm4)/225 mm = 21995055,0 Nmm = 22,0 kNm 
 
5) Rigidez à flexão equivalente no tempo t = 0 
 
EIeq,t0 = 26838,4 MPa.{(22,0 kNm/29,34 kNm)
3. 1.139.062.500 mm4 + 
 + [1 - (22,0 kNm/29,34 kNm)3]. 297.356.447,9 mm4} < 
 < 26838,4 MPa. 1.139.062.500 mm4 
EIeq,t0 = 1,750425.10
13 Nmm2 = 17504,3 kNm2 
 
6) Flecha imediata no meio do vão da viga V1 
 
= 5/384. p.l4/(EIeq,t0) 
 
Para avaliação de flecha no ELS-DEF, utiliza-se combinação quase frequente para as 
ações. 
 
 
Logo, a carga p é igual a: 
p = g + 0,3.q = 11,39 kN/m + 0,3.1,83 = 11,94 kN/m 
 
Então, 
= 5/384. 11,94 kN/m.4,4354 m4/(17504,3 kNm2) = 3,44.10-3 m = 3,44 mm = 0,34 cm 
 
7) Flecha diferida no meio do vão da viga V1 
= f.
 
Para t > 70 meses e to = 1 mês: 
= 2 – 0,68 = 1,32 
’ = 0 (não há armadura de compressão) 
Assim, 
f = 1,32 
Portanto, 
= f. = 1,32.0,34 cm = 0,45 cm 
 
8) Flecha total no meio do vão da viga V1 
= + = (1 + f). = (1 + 1,32).0,34 cm = 0,79 cm 
Essa flecha total deve ser menor que a flecha limite para aceitabilidade sensorial, 
conforme tabela 13.3 da NBR 6118 (2014). 
lim= l/250 = 443,5 cm/250 = 1,77 cm 
Como <lim, não há necessidade de contra-flecha.