Associação de capacitores

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Física 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................................................2 
Objetivos ..........................................................................................................................................2 
Conceitos .........................................................................................................................................2 
Associação de Capacitores em Paralelo ......................................................................................2 
Associação de Capacitores em Série ............................................................................................3 
Exercícios .........................................................................................................................................5 
Gabarito ...........................................................................................................................................6 
Resumo ............................................................................................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 
Os capacitores são dispositivos utilizados em circuitos elétricos que possuem 
a capacidade de armazenar cargas oriundas de um campo elétrico. Aqui estudaremos 
como associar esses elementos em um circuito. 
 
Objetivos 
 
• Entender conceitos referentes a associação de capacitores. 
• Compreender a associação de capacitores em série e em paralelo. 
• Entender como resolver exercícios básicos relacionados a associação de 
capacitores. 
 
Conceitos 
 
C
A capacitância representa a relação entre a quantidade de carga armazenada 
em um capacitor e sua tensão desenvolvida entre suas placas. Ela é obtida dividindo-
Q
ABV
se a carga , distribuída em suas armaduras, pela tensão aplicada a elas: 
 
AB
Q
C
V
=
 
 
1 CF
V
=
A unidade de medida da capacitância é o Farad . 
 
Associação de Capacitores em Paralelo 
 
Observe o circuito ilustrado na figura ao lado. Note que as 
armaduras dos capacitores estão ligadas em um mesmo terminal, 
portanto podemos afirmar que esses capacitores estão associados 
em paralelo. Uma outra forma de mostrar que dois ou mais 
capacitores estão em paralelo é verificar a diferença de potencial 
entre seus terminais, onde ela deve ser a mesma. Sejam as 
1C 2C
capacitâncias , 
3C 1Q 2Q 3Q
e , as cargas , e dos três capacitores do circuito. 
Podemos dizer que: 
 
1
1 1
Q
C
V
=
, 
2
2 1
Q
C
V
=
 e 
3
3 1
Q
C
V
=
 
 
 
3 
 
TOTALC
Nosso objetivo é calcular a capacitância total do circuito. Logo, devemos 
TOTALQ
encontrar a carga total do circuito: 
 
1 1 1Q C V=  2 2 1Q C V=  3 3 1Q C V= 
, e 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 1
1 ( )
TOTAL
TOTAL
TOTAL
Q Q Q Q
Q C V C V C V
Q V C C C
= + +
=  +  + 
=  + +
 
 
Conforme vimos anteriormente: 
 
1 2 3
1 2 3
1
1 ( )
1
AB
TOTAL
TOTAL
TOTAL
TOTAL
Q
C
V
Q
C
V
V C C C
C
V
C C C C
=
=
 + +
=
= + +
 
 
Dessa maneira, chegamos à conclusão de 
que a capacitância total de um circuito com 
capacitores associados em paralelo, é igual à soma 
das capacitâncias individuais. 
 
1 2 ...TOTAL nC C C C= + + +
Generalização: 
 
 
Associação de Capacitores em Série 
 
Quando os capacitores são percorridos pela mesma corrente, 
conforme a figura ao lado, dizemos que essa ligação de capacitores 
está em série. 
 
1C Q −
A tensão sobre o capacitor , faz com que uma carga 
1C
seja induzida na placa esquerda de . Dessa maneira, a mesma 
Q +
carga 
1C
(sinal contrário) é induzida na placa direta de . Dessa 
maneira, como todos os capacitores estão sendo percorridos pela 
 
4 
 
mesma corrente, eles recebem cargas induzidas conforme a figura ao lado. Suas 
capacitâncias são dadas por: 
 
1
1
Q
C
V
= 2
2
Q
C
V
= 3
3
Q
C
V
=
, e 
 
1 2 3, , eV V V 
A soma das tensões sobre cada capacitor é igual a tensão total 
1V
. Temos as relações: 
 
1
1
Q
V
C
= 2
2
Q
V
C
= 3
3
Q
V
C
=
, e 
 
1 2 3
1 2 3
1 3 3
1
1
1 1 1
1
V V V V
Q Q Q
V
C C C
V Q
C C C
= + +
= + +
 
=  + + 
 
 
 
TOTALC
Nosso objetivo é calcular a capacitância total do circuito: 
 
1 3 3
1
1 1 1 1
AB
TOTAL
TOTAL
Q
C
V
Q
C
V
C C C C
=
=
= + +
 
 
Dessa maneira, chegamos à conclusão de que o inverso da capacitância total 
de um circuito com capacitores associados em série, pode ser calculada como a soma 
do inverso de todos eles. 
 
1 3
1 1 1 1
...
TOTAL nC C C C
= + + +
Generalização: 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Exercícios 
 
1. Observe a figura desse exercício e responda: 
a) 
1C
Qual é o tipo de associação dos capacitores 
2C
e ? 
b) Qual é a diferença de potencial entre as armaduras de 
cada capacitor? 
c) Qual é o valor da capacitância equivalente dessa 
associação? 
 
 
2. Observe a figura desse exercício e responda: 
a) 
1C 2C
Qual é o tipo de associação dos capacitores e ? 
b) 
1Q 1C
A carga distribuída no capacitor , é maior, menor ou 
2C
igual a carga distribuída no capacitor ? 
c) Qual é o valor da capacitância equivalente dessa 
associação? 
 
 
3. A figura abaixo mostra um sistema de quatro capacitores 
50,0V
em que a diferença de potência através de ab é de
. Determine a capacitância equivalente desse sistema 
entre a e b. 
 
 
4. A figura desse problema, mostra um sistema de capacitores em que a 
25V
diferença de potencial através de ab é de . 
a) Determine a capacitância equivalente desse sistema entre a e b. 
b) Quanta carga é armazenada por esse sistema? 
 
 
 
 
 
6 
 
Gabarito 
 
1. 
a) A associação é em paralelo. 
b) 
150V
A diferença de potencial está ilustrada na figura . 
c) Conforme vimos anteriormente, a capacitância equivalente de capacitores em 
paralelo, é dada pela soma dos capacitores: 
1 2
2,0 F 4,0 F
6,0 F
EQ
EQ
EQ
C C C
C
C
 

= +
= +
=
 
2. 
a) A associação está em série. 
b) Conforme vimos, a carga armazenada igualmente para todos os que estão 
capacitores ligados em série. 
c) Conforme vimos anteriormente o inverso da capacitância equivalente para 
capacitores em série é dada pela soma inversos das capacitâncias: 
 
2 1
1 1 1
1 1 1
4 2
1,33 F
EQ
EQ
EQ
C C C
C
C 
= +
= +
=
 
 
3. Para resolvermos este problema, utilizaremos nossos conhecimentos a 
respeito dos arranjos em série e paralelo de capacitores, bem como sobre 
carga armazenada nestes dispositivos. 
Inicialmente vamos calcular a capacitância equivalente entre os capacitores 
2C 3C 2,3 2 3C C C= +
 e através da seguinte equação: 
A nova topologia do sistema fica da seguinte forma: 
 
 
Em seguida, vamos calcular a capacitância equivalente entre os três 
capacitores expostos no desenho acima através da seguinte equação: 
 
7 
 
 
1,(2,3),4 1 2,3 4
1 1 1 1
C C C C
= + +
 
 
Agora vamos desenvolver a expressão acima isolando a capacitância1,(2,3),4C
equivalente : 
1,(2,3),4 1 2,3 4
1 2,3 4
1,(2,3),4
1 2,3 4
1 1 1 1
C C C C
C C C
C
C C C
= + +
 
=
+ +
 
 
A expressão da capacitância a cima, é a capacitância equivalente entre 
os terminais ab do sistema como mostrada no desenho abaixo: 
 
 
 
Em seguida vamos calcular os componentes de capacitância equivalente entre 
2,3C
os terminais ab. Começaremos com o cálculo da capacitância expressa 
pela seguinte equação: 
2,3 2 3C C C= +
 
 
Substituindo os dados referentes às capacitâncias na equação do passo acima, 
obtemos: 
2,3 2 3
6 6
2,3
6
2,3
5 10 8 10
13 10
C C C
C
C
− −
−
= +
=  + 
= 
 
 
Agora vamos calcular a capacitância equivalente entre os terminais a,b 
representada pela seguinte equação: 
 
1 2,3 4
1,(2,3),4
1 2,3 4
C C C
C
C C C
 
=
+ +
 
 
Substituindo os dados na equação acima, obtemos: 
 
 
8 
 
1 2,3 4
1,(2,3),4
1 2,3 4
6 6 6
1,(2,3),4 6 6 6
12
1,(2,3),4
10 10 13 10 9 10
10 10 13 10 9 10
36,56 10
C C C
C
C C C
C
C
− − −
− − −
−
 
=
+ +
    
=
 +  + 
= 
 
 
Portanto, a capacitância equivalente entre os pontos a e b, vale 
12
1,(2,3),4 36,56 10 FC
−= 
aproximadamente . 
 
 
4. Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento 
sobre associação de capacitores, paralelo 
1 2 ...eqC C C= + +
 
 
Enquanto, para capacitores em série: 
1 2
1 1 1
...
eqC C C
= + +
 
 
Além disso, devemos nos lembrar ainda da seguinte relação: 
Q
C
V
=
 
 
a) Assim, para calcular a capacitância equivalente do sistema devemos utilizar os 
conceitos de associação de capacitores já citados. Neste contexto, temos que 
18 F 30 F 10 F
os capacitores de , e estão em série. Então calcularemos a 
capacitância equivalente destes: (Seria bom se pudesse detalhar melhor a 
resolução da questão abaixo) 
 
1 1 1 1
' 18 F 30 F 10 F
' 5.29 F
eq
eq
C
C
  

= + +
 =
 
 
5.29 F
E, temos ainda que o capacitância equivalente dos capacitores igual a , 
7.5 F 6.5 F
está em série com os capacitores de e . Deste modo, a capacitância 
a b
equivalente do sistema entre e é 
 
 
9 
 
5.29 F 6.5 F + 7.5 F
= 19.29 F
eqC   

= + 
 
a b
19.29 nF .eqC =
Portanto, a capacitância equivalente do sistema entre e é 
 
b) A carga armazenada por esse sistema é dada pela seguinte equação: 
 
Q
C
V
=
 
 
Q
Rearranjando a equação para calcular a carga, , e substituindo os valores, vem 
que: 
(19.29 F) (25 V)
= 482.3 C
Q CV


=
= 
 
 
 = 482.3 CQ 
Deste modo, temos que a carga armazenada por esse sistema é de 
 
Resumo 
 
Associação de Capacitores em Paralelo 
Nesse tópico aprendemos como identificar uma associação de capacitores em 
paralelo e deduzimos que a capacitância equivalente é dada pela soma de todos os 
capacitores em paralelo, conforme a fórmula: 
1 2 3TOTALC C C C= + +
 
 
Associação de Capacitores em Série 
Nesse tópico aprendemos como identificar uma associação de capacitores em 
série e deduzimos que o inverso da capacitância equivalente é dado pela soma dos 
inversos de todos os capacitores em série, conforme a fórmula: 
 
1 3 3
1 1 1 1
TOTALC C C C
= + +
 
 
 
10 
 
Referências 
ALVARENGA B, MÁXIMO A. Curso de Física: Volume 3. São Paulo: Scipione. 2000:221-41. 
Young HD, Freedman RA. Física III: eletromagnetismo. São Paulo: Person Education do Brasil. 
2009.