Questões resolvidas
Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questões abaixo. Não serão consideradas as respostas sem justificativa. Atenção para posição do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos metálicos de forma arbitrária, ocos ou não, o campo elétrico é nulo em seu interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuição de cargas da questão acima porém, não possui o campo elétrico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esféricas de raios diferentes, muito distantes entre si, são carregadas de modo a ficarem com a mesma diferença de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q está localizada no centro de uma superf́ıcie gaussiana cúbica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo elétrico sobre cada base do cubo será q/(6ε0)
e) ( ) Um triângulo equilátero é formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triângulo equilátero de mesmas dimensões é formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em módulo, é o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos são iguais em módulo e sinal.
(a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
Se esse elétron esta inicialmente em repouso, que distancia radial irá viajar antes de alcançar uma energia cinética de 11,8 eV? Assuma um campo constante e que não há colisão com moléculas de ar durante esse deslocamento.
(a) 2,07× 10−3 m, (B) 2,37× 10−3 m, (C) 3,24× 10−3 m, (D) 1,77× 10−3 m, (E) 1,58× 10−3 m, (Correto:F) 1,41× 10−3 m, (G) 2,75× 10−3 m
(b) (A) 9,99×10−10 C, (B) 5,96×10−10 C, (C) 8,83×10−10 C, (D) 1,43×10−9 C, (Correto:E) 6,66× 10−10 C, (F) 1,61 × 10−9 C, (G) 7,57 × 10−10 C, (H) 2,60 × 10−9 C, (I) 1,26 × 10−9 C, (J) 1,14 × 10−9 C, (K) 1,91× 10−9 C, (L) 2,24× 10−9 C, (M) 3,51× 10−9 C, (N) 3,19× 10−9 C
(c) (A) 5,17× 10−6 m, (Correto:B) 3,93× 10−6 m, (C) 4,60× 10−6 m, (D) 3,33× 10−6 m, (E) 6,13× 10−6 m
Se duas cascas esféricas de raios diferentes, muito distantes entre si, são carregadas de modo a ficarem com a mesma diferença de potencial, a de maior raio possui a maior carga?
Verdadeiro (1) ou Falso (0)
(c) (1 ponto) (Correto:A) 1, (e1:B) 0
3 Os relâmpagos são fenômenos que se originam de descargas elétricas na atmosfera. Uma descarga elétrica é uma reação em cadeia que se da quando um elétron tem energia suficiente para ionizar uma molécula de ar (essa energia e de ∼17,9 eV). A energia que os elétrons ganham vem do campo elétrico que permeia o meio. Assim, se o campo elétrico for muito grande, o elétron ira ionizar uma molécula de ar, os novos elétrons livres irão ionizar mais duas moléculas. Em condições normais de pressão e temperatura, o ar irá descarregar (isto é, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez dielétrica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 540 V. Qual é o raio mı́nimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga? b) Qual é a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um elétron livre no ar, muito próximo da esfera. Se esse elétron esta inicialmente em repouso, que distancia radial irá viajar antes de alcançar uma energia cinética de 17,9 eV? Assuma um campo constante e que não há colisão com moléculas de ar durante esse deslocamento.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,186 m que está entre a esfera de raio R e a casca esférica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que é a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S E⃗ · dA⃗ = q ε0 => E4πr21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4πε0r21 Como Q = 4πε0 e estamos interessados no módulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,186 m)2 = −57,8 V/m
Verdadeiro
Falso
Falso
Falso
a) 6,24 V/m
b) 3,70 V/m
c) 5,33 V/m
d) 3,12 V/m
e) −23,8 V/m
f) −185 V/m
g) −32,5 V/m
h) 8,54 V/m
Correto) −57,8 V/m
j) −46,7 V/m
k) 11,3 V/m
l) 9,83 V/m
m) 7,34 V/m
n) 4,13 V/m
o) 6,24 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo elétrico tem que ser zero.
Verdadeiro
a) −9,45 V/m
b) 4,41 V/m
c) −7,17 V/m
d) 3,56 V/m
Correto) 0 V/m
f) −10,9 V/m
g) −6,24 V/m
h) 4,92 V/m
i) 3,12 V/m
j) 5,75 V/m
k) 3,95 V/m
l) −8,06 V/m
d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo elétrico entre as superf́ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V
Falso
Falso
Falso
Falso
Correto
a) 24,9 V
b) 8,62 V
c) 30,9 V
d) 9,66 V
e) 17,0 V
f) 37,3 V
g) 12,3 V
h) 7,69 V
i) 27,7 V
j) 19,0 V
k) 10,8 V
l) 15,0 V
m) 6,67 V
Correto) 1,67 V
o) 22,5 V
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 280 V. Qual é o raio mı́nimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga?
(A) 1,84× 10−3 m
(Correto:B) 2,43× 10−3 m
(C) 1,43× 10−3 m
(D) 2,91× 10−3 m
(E) 2,12× 10−3 m
(F) 1,67× 10−3 m
(G) 3,29× 10−3 m
b) Qual é a carga total da esfera neste raio?
(A) 7,37 × 10−10 C
(B) 1,39 × 10−9 C
(C) 1,25 × 10−9 C
(D) 1,96× 10−9 C
(E) 9,53 × 10−10 C
(F) 2,31 × 10−9 C
(G) 2,83 × 10−9 C
(H) 3,61 × 10−9 C
(I) 3,28 × 10−9 C
(J) 8,36 × 10−10 C
(Correto:K) 1,96× 10−9 C
(L) 6,66× 10−10 C
(M) 1,10× 10−9 C
(N) 5,96× 10−10 C
(O) 1,76× 10−9 C
c) Agora considere um elétron livre no ar, muito próximo da esfera. Se esse elétron esta inicialmente em repouso, que distancia radial irá viajar antes de alcançar uma energia cinética de 10,5 eV? Assuma um campo constante e que não há colisão com moléculas de ar durante esse deslocamento.
(A) 3,87× 10−6 m
(Correto:B) 3,50× 10−6 m
(C) 5,23× 10−6 m
(D) 6,40× 10−6 m
(E) 4,50× 10−6 m
Os relâmpagos são fenômenos que se originam de descargas elétricas na atmosfera. Uma descarga elétrica é uma reação em cadeia que se da quando um elétron tem energia suficiente para ionizar uma molécula de ar (essa energia e de ∼15,6 eV). A energia que os elétrons ganham vem do campo elétrico que permeia o meio. Assim, se o campo elétrico for muito grande, o elétron ira ionizar uma molécula de ar, os novos elétrons livres irão ionizar mais duas moléculas e assim por diante. Em condições normais de pressão e temperatura, o ar irá descarregar (isto é, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez dielétrica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 850 V. Qual é o raio mı́nimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga? b) Qual é a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um elétron livre no ar, muito próximo da esfera. Se esse elétron esta inicialmente em repouso, que distancia radial irá viajar antes de alcançar uma energia cinética de 15,6 eV? Assuma um campo constante e que não há colisão com moléculas de ar durante esse deslocamento.
(a) (4 pontos) (A) 2,78× 10−3 m, (B) 1,52× 10−3 m, (C) 1,93× 10−3 m, (D) 3,14× 10−3 m, (E) 1,69
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questões abaixo. Não serão consideradas as respostas sem justificativa. Atenção para posição do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos metálicos de forma arbitrária, ocos ou não, o campo elétrico é nulo em seu interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuição de cargas da questão acima porém, não possui o campo elétrico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esféricas de raios diferentes, muito distantes entre si, são carregadas de modo a ficarem com a mesma diferença de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q está localizada no centro de uma superf́ıcie gaussiana cúbica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo elétrico sobre cada base do cubo será q/(6ε0)
e) ( ) Um triângulo equilátero é formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triângulo equilátero de mesmas dimensões é formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em módulo, é o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos são iguais em módulo e sinal.
(a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
3 Os relâmpagos são fenômenos que se originam de descargas elétricas na atmosfera. Uma descarga elétrica é uma reação em cadeia que se da quando um elétron tem energia suficiente para ionizar uma molécula de ar (essa energia e de ∼11,5 e
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 290 V. Qual é o raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga?
b) Qual é a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um elétron livre no ar, muito próximo da esfera. Se esse elétron está inicialmente em repouso, que distância radial irá viajar antes de alcançar uma energia cinética de 11,5 eV? Assuma um campo constante e que não há colisão com moléculas de ar durante esse deslocamento.
(a) (4 pontos) (Correto:A) 1,43× 10−3 m, (B) 3,18× 10−3 m, (C) 1,58× 10−3 m, (D) 2,24× 10−3 m, (E) 1,85× 10−3 m, (F) 2,66× 10−3 m,
(b) (4 pontos) (A) 1,56× 10−9 C, (B) 9,12× 10−10 C, (C) 2,23× 10−9 C, (D) 3,13× 10−9 C, (E) 6,08× 10−10 C, (F) 1,88× 10−9 C, (G) 1,03× 10−9 C, (Correto:H) 6,82× 10−10 C, (I) 1,29× 10−9 C, (J) 7,98× 10−10 C, (K) 2,68× 10−9 C, (L) 3,63× 10−9 C, (M) 1,14× 10−9 C,
(c) (2 pontos) (Correto:A) 3,83× 10−6 m, (B) 5,20× 10−6 m, (C) 3,33× 10−6 m, (D) 6,07× 10−6 m, (E) 4,27× 10−6 m,
d) Encontre a expressão literal para a diferença de potencial entre a e b e depois calcule seu módulo e marque nos resultados.
(A) 5,36 V/m
(B) -60,4 V/m
(C) -25,7 V/m
(D) -69,2 V/m
(E) 6,76 V/m
(F) 11,7 V/m
(G) 10,5 V/m
(H) 5,92 V/m
(I) 3,38 V/m
(J) 8,16 V/m
(K) 9,29 V/m
(L) 6,76 V/m
(M) 4,08 V/m
(N) -35,9 V/m
(O) 2,88 V/m
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 630 V. Qual é o raio mı́nimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga?
(A) 1,42× 10−3 m
(B) 1,78× 10−3 m
(C) 1,59× 10−3 m
(D) 3,32× 10−3 m
(E) 1,96× 10−3 m
(F) 2,22× 10−3 m
(G) 2,88× 10−3 m
(H) 2,59× 10−3 m
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questões abaixo. Não serão consideradas as respostas sem justificativa. Atenção para posição do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos metálicos de forma arbitrária, ocos ou não, o campo elétrico é nulo em seu interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuição de cargas da questão acima porém, não possui o campo elétrico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esféricas de raios diferentes, muito distantes entre si, são carregadas de modo a ficarem com a mesma diferença de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q está localizada no centro de uma superf́ıcie gaussiana cúbica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo elétrico sobre cada base do cubo será q/(6ε0)
e) ( ) Um triângulo equilátero é formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triângulo equilátero de mesmas dimensões é formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em módulo, é o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos são iguais em módulo e sinal.
(a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
2 Uma esfera metálica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma esfera metálica maciça de raio R =3,98 cm e carga total negativa −2Q, concêntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4πε0 Vm e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, deduza a expressão literal para o campo elétrico para todo o espaço e depois determine o valor do campo elétrico nas seguintes posições: a) r⃗1=0,189 mî, b) r⃗2=0,417 m î, c) r⃗3=1,19 m î. d) Encontre a expressão literal para a diferença de potencial entre a e b e depois calcule seu módulo e marque nos resultados.
I ) 25,4 V, (J) 8,62 V, (K) 28,7 V, (L) 45,4 V, (M) 38,9 V, (N) 13,8 V, (e1:O) 10,6 V,
Três cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,87 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, estão em posições fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distâncias r1 =1,00 cm e r2 =3,25 cm conforme a figura. a) Encontre a força sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrostática U do sistema.
(a) (5 pontos) (A) −7,78×10−4 N, (B) −1,36×10−3 N, (C) −4,24×10−4 N, (D) −3,31×10−4 N, (E) −1,23×101 N, (F) −2,57× 100 N, (G) −9,12× 100 N, (H) −9,12× 10−4 N, (I) −4,99× 100 N, (Correto:J) −6,17× 100 N, (K) −5,46× 10−4 N, (e1:L) −6,17× 10−4 N, (M) −2,27× 10−4 N, (N) −1,12× 10−3 N, (O) −4,49× 100 N,
(b) (5 pontos) (A) −2,97×10−1 J, (B) −1,57×10−1 J, (C) −3,82×10−1 J, (D) −1,18×10−1 J, (E) −2,66×10−1 J, (F) −9,64×10−2 J, (G) −8,71×10−2 J, (H) −6,80×10−4 J, (I) −7,68×10−2 J, (Correto:J) −1,97×10−1 J, (K) −1,34× 10−1 J, (L) −2,26× 10−1 J, (M) −3,41× 10−1 J, (N) −1,74× 10−1 J, (O) −6,22× 10−2 J,
Solução: A superf́ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf́ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal é nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservação da carga na casca é: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,207 m que está entre a esfera de raio R e a casca esférica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que é a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S E⃗ · dA⃗ = q ε0 => E4πr21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4πε0r21 Como Q = 4πε0 e estamos interessados no módulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,207 m)2 = −46,7 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo elétrico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna é q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S E⃗ · dA⃗ = q ε0 => E4πr23 = Q ε0 => E = Q 4πε0r23 Como Q = 4πε0: E = 1 r23 = 1 (1,34 m)2 = 0,557 V/m
d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo elétrico entre as superf́ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V
(Correto:L) −46,7 V/m
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Versa˜o 000 Versa˜o Nome Turma 000 versa˜o 000 somente para con- fereˆncia FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,00 × 10−9 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,00 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,12× 10−2 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −6,80× 10−4 J (a) (5 pontos) (A) −3,15× 100 N, (e1:B) −6,12× 10−6 N, (C) −4,79× 100 N, (D) −6,58× 10−4 N, (E) −4,10× 10−4 N, (F) −3,23× 10−4 N, (G) −9,25× 10−4 N, (H) −1,28× 101 N, (I) −6,03× 100 N, (J) −4,69× 10−4 N, (K) −1,27×10−3 N, (L) −1,42×101 N, (M) −1,89×10−3 N, (N) −8,15×100 N, (Correto:O) −6,12×10−2 N, (b) (5 pontos) (A) −6,22×10−2 J, (B) −2,25×10−1 J, (C) −1,85×10−1 J, (D) −2,93×10−1 J, (E) −2,63×10−1 J, (F) −1,50 × 10−1 J, (G) −1,11 × 10−1 J, (H) −9,46 × 10−2 J, (I) −3,41 × 10−1 J, (J) −8,35 × 10−2 J, (K) −3,82× 10−1 J, (L) −1,25× 10−1 J, (Correto:M) −6,80× 10−4 J, (N) −7,33× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,00 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,100 miˆ, b) ~r2=0,500 m iˆ, c) ~r3=1,00 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 000 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,100 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,100 m)2 = − 200 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,00 m)2 = 1,00 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −38,5 V/m, (B) 9,66 V/m, (C) −43,7 V/m, (Correto:D) − 200 V/m, (E) 11,9 V/m, (F) −24,6 V/m, (G) − 124 V/m, (H) 6,38 V/m, (e3:I ) 8,00 V/m, (e2:J ) 4,00 V/m, (K) − 178 V/m, (L) −68,4 V/m, (M) 5,21 V/m, (e1:N ) 8,00 V/m, (O) 7,12 V/m, (b) (2.5 pontos) (e1:A) −8,00 V/m, (B) 3,55 V/m, (C) 2,87 V/m, (D) 4,40 V/m, (E) −10,4 V/m, (F) 5,48 V/m, (G) −9,17 V/m, (e2:H ) 4,00 V/m, (I) 4,92 V/m, (J) −11,9 V/m, (K) −5,97 V/m, (L) 3,19 V/m, (M) −6,86 V/m, (Correto:N) 0 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −9,96 V/m, (B) 0,683 V/m, (C) 1,19 V/m, (D) 0,601 V/m, (E) −8,83 V/m, (F) −6,35 V/m, (G) −7,04 V/m, (H) 0,525 V/m, (I) 1,81 V/m, (J) 1,63 V/m, (K) −11,2 V/m, (L) 0,842 V/m, (e1:M ) −8,00 V/m, (Correto:N) 1,00 V/m, (O) 0,463 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 17,7 V, (B) 29,4 V, (e1:C ) 20,0 V, (D) 10,9 V, (E) 14,3 V, (F) 6,85 V, (e2:G) 40,0 V, (H) 22,3 V, (I) 35,2 V, (Correto:J) 1,67 V, (K) 26,1 V, (L) 13,0 V, (M) 8,37 V, (N) 15,9 V, (O) 9,66 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,0 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 000 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 000 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,0 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 000 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 000 V 3,00 ×106V/m = 1,33× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 5,93× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,0 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,33× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,42× 10−3 m, (B) 2,75× 10−3 m, (C) 1,91× 10−3 m, (D) 3,24× 10−3 m, (E) 1,63× 10−3 m, (F) 2,15× 10−3 m, (Correto:G) 1,33× 10−3 m, Versa˜o 000 (b) (4 pontos) (A) 3,49× 10−9 C, (B) 2,55× 10−9 C, (C) 6,63× 10−10 C, (D) 9,53× 10−10 C, (E) 1,58× 10−9 C, (F) 1,37× 10−9 C, (G) 2,30× 10−9 C, (H) 3,17× 10−9 C, (I) 7,37× 10−10 C, (Correto:J) 5,93× 10−10 C, (K) 1,05× 10−9 C, (L) 1,17× 10−9 C, (M) 1,87× 10−9 C, (N) 2,83× 10−9 C, (O) 8,43× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 6,07× 10 −6 m, (B) 3,93× 10−6 m, (Correto:C) 3,33× 10−6 m, (D) 5,37× 10−6 m, (E) 4,43× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜odo 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 001 Versa˜o Nome Turma 001 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,19 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,43 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −1,14× 101 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,74× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −4,14 × 10−4 N, (B) −3,72 × 100 N, (C) −6,57 × 100 N, (D) −9,87 × 100 N, (E) −5,40 × 10−4 N, (F) −1,32 × 10−3 N, (G) −8,37 × 10−4 N, (Correto:H) −1,14 × 101 N, (e1:I ) −1,14 × 10−3 N, (J) −3,16 × 10−4 N, (K) −6,57 × 10−4 N, (L) −7,60 × 10−4 N, (M) −1,64 × 10−3 N, (N) −1,62 × 10−4 N, (O) −5,80× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −1,02×10−1 J, (B) −6,22×10−2 J, (C) −3,82×10−1 J, (D) −2,44×10−1 J, (E) −1,72×10−1 J, (F) −6,80×10−4 J, (Correto:G) −2,74×10−1 J, (H) −7,30×10−2 J, (I) −1,49×10−1 J, (J) −1,30×10−1 J, (K) −1,17× 10−1 J, (L) −1,94× 10−1 J, (M) −2,21× 10−1 J, (N) −8,71× 10−2 J, (O) −3,31× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =1,01 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,129 miˆ, b) ~r2=0,582 m iˆ, c) ~r3=1,13 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 001 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,129 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,129 m)2 = − 120 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,13 m)2 = 0,783 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e2:A) 2,95 V/m, (B) −24,6 V/m, (e1:C ) 5,90 V/m, (D) −62,4 V/m, (Correto:E) − 120 V/m, (F) − 196 V/m, (G) − 146 V/m, (e3:H ) 5,90 V/m, (I) 3,67 V/m, (J) 10,6 V/m, (K) − 104 V/m, (L) −78,1 V/m, (M) 7,60 V/m, (N) −30,8 V/m, (O) 8,54 V/m, (b) (2.5 pontos) (A)−11,4 V/m, (B) 5,64 V/m, (e2:C ) 2,95 V/m, (e1:D)−5,90 V/m, (E) 3,59 V/m, (F) 4,00 V/m, (G) 4,41 V/m, (H) −10,3 V/m, (I) −6,52 V/m, (J) −8,16 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) −9,02 V/m, (M) 4,92 V/m, (N) 3,26 V/m, (O) −7,28 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,72 V/m, (B) 1,36 V/m, (C) −6,73 V/m, (D) 0,610 V/m, (Correto:E) 0,783 V/m, (F) −8,79 V/m, (G) −10,1 V/m, (H) 0,482 V/m, (e1:I ) −5,90 V/m, (J) −11,3 V/m, (K) 1,06 V/m, (L) 1,54 V/m, (M) −7,48 V/m, (N) 0,925 V/m, (O) 0,549 V/m, (d) (2.5 pontos) (e2:A) 26,6 V, (B) 23,8 V, (C) 9,95 V, (D) 13,2 V, (E) 21,5 V, (F) 30,5 V, (G) 40,7 V, (H) 7,14 V, (I) 8,47 V, (J) 11,6 V, (K) 19,1 V, (L) 45,4 V, (M) 35,2 V, (e1:N ) 15,5 V, (Correto:O) 1,67 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼13,2 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 001 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 000 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 13,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜ofixa de 7 000 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 000 V 3,00 ×106V/m = 2,33× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,82× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =13,2 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,40× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 2,33× 10−3 m, (B) 1,62× 10−3 m, (C) 2,76× 10−3 m, (D) 1,93× 10−3 m, (E) 3,13× 10−3 m, (F) 1,36× 10−3 m, Versa˜o 001 (b) (4 pontos) (A) 1,14× 10−9 C, (B) 6,32× 10−10 C, (C) 9,72× 10−10 C, (D) 3,59× 10−9 C, (E) 1,39× 10−9 C, (F) 3,06 × 10−9 C, (G) 2,24 × 10−9 C, (H) 8,43 × 10−10 C, (I) 1,55 × 10−9 C, (Correto:J) 1,82 × 10−9 C, (K) 2,02× 10−9 C, (L) 2,51× 10−9 C, (M) 7,44× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 5,60× 10−6 m, (B) 3,87× 10−6 m, (C) 3,40× 10−6 m, (Correto:D) 4,40× 10−6 m, (E) 4,87× 10−6 m, (F) 6,30× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 002 Versa˜o Nome Turma 002 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,37 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,65 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,28× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,65× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −1,39× 10−3 N, (B) −5,11× 10−4 N, (C) −5,55× 100 N, (e1:D) −6,28× 10−4 N, (E) −9,12× 100 N, (F)−1,39×101 N, (G)−3,67×100 N, (H)−4,59×100 N, (I)−1,21×10−3 N, (Correto:J) −6,28×100 N, (K) −1,67× 101 N, (L) −2,57× 100 N, (M) −4,30× 10−4 N, (N) −7,66× 10−4 N, (O) −2,27× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −6,80×10−4 J, (B) −7,30×10−2 J, (C) −1,99×10−1 J, (D) −1,38×10−1 J, (E) −8,39×10−2 J, (F) −3,30×10−1 J, (G) −1,02×10−1 J, (H) −6,22×10−2 J, (Correto:I) −1,65×10−1 J, (J) −3,82×10−1 J, (K) −2,43× 10−1 J, (L) −2,76× 10−1 J, (M) −1,17× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =4,77 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,184 miˆ, b) ~r2=0,536 m iˆ, c) ~r3=1,06 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 002 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,184 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,184 m)2 = −59,1 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,06 m)2 = 0,890 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 11,3 V/m, (B) −26,1 V/m, (C) 6,22 V/m, (D) 4,03 V/m, (e1:E ) 6,96 V/m, (Cor- reto:F) −59,1 V/m, (G) − 196 V/m, (H) −46,7 V/m, (I) −33,9 V/m, (e3:J ) 6,96 V/m, (K) − 162 V/m, (L) 4,77 V/m, (e2:M ) 3,48 V/m, (N) 9,83 V/m, (O) 8,10 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −11,7 V/m, (e2:B) 3,48 V/m, (Correto:C) 0 V/m, (D) 4,36 V/m, (E) 4,92 V/m, (F) 5,64 V/m, (G) −5,88 V/m, (H) −9,79 V/m, (I) −8,10 V/m, (J) 3,89 V/m, (K) 3,07 V/m, (e1:L) −6,96 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,549 V/m, (B) 1,86 V/m, (C) 1,30 V/m, (D) 0,463 V/m, (E) 0,718 V/m, (Cor- reto:F) 0,890 V/m, (G) 0,640 V/m, (H) −6,05 V/m, (I) 1,54 V/m, (J) −8,26 V/m, (K) 1,10 V/m, (L) −9,88 V/m, (M) −11,4 V/m, (N) 0,797 V/m, (e1:O) −6,96 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 16,0 V, (B) 24,5 V, (C) 35,2 V, (D) 28,4 V, (E) 31,5 V, (F) 8,03 V, (Correto:G) 1,67 V, (H) 18,2 V, (e1:I ) 10,9 V, (J) 6,94 V, (K) 12,2 V, (L) 14,2 V, (M) 9,66 V, (N) 40,0 V, (e2:O) 20,3 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´trontem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼16,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 002 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 9 720 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 16,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 9 720 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 9 720 V 3,00 ×106V/m = 3,24× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 3,50× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =16,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,53× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,80× 10−3 m, (B) 1,51× 10−3 m, (C) 2,26× 10−3 m, (D) 2,88× 10−3 m, (Correto:E) 3,24× 10−3 m, (F) 2,01× 10−3 m, (G) 2,55× 10−3 m, (H) 1,37× 10−3 m, Versa˜o 002 (b) (4 pontos) (A) 1,48× 10−9 C, (B) 9,19× 10−10 C, (Correto:C) 3,50× 10−9 C, (D) 2,46× 10−9 C, (E) 2,14× 10−9 C, (F) 2,92 × 10−9 C, (G) 7,98 × 10−10 C, (H) 1,71 × 10−9 C, (I) 1,33 × 10−9 C, (J) 1,94 × 10−9 C, (K) 7,14× 10−10 C, (L) 6,26× 10−10 C, (M) 1,17× 10−9 C, (N) 1,06× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 4,97× 10−6 m, (B) 4,00× 10−6 m, (C) 6,13× 10−6 m, (D) 3,50× 10−6 m, (Correto:E) 5,53× 10−6 m, (F) 4,50× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 003 Versa˜o Nome Turma 003 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−9,99 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,58 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −1,23× 101 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −3,15× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −4,43×100 N, (B) −2,73×100 N, (C) −4,11×10−4 N, (D) −2,88×10−4 N, (E) −2,56×10−4 N, (e1:F ) −1,23×10−3 N, (G) −6,26×100 N, (Correto:H) −1,23×101 N, (I) −5,30×10−4 N, (J) −8,63×100 N, (K) −3,88× 100 N, (L) −8,73× 10−4 N, (M) −1,89× 101 N, (N) −4,98× 100 N, (O) −7,54× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −1,02×10−1 J, (B) −6,80×10−4 J, (C) −1,84×10−1 J, (D) −2,33×10−1 J, (E) −7,02×10−2 J, (F) −1,61 × 10−1 J, (G) −2,09 × 10−1 J, (H) −8,27 × 10−2 J, (I) −6,22 × 10−2 J, (J) −9,15 × 10−2 J, (K) −2,66×10−1 J, (Correto:L) −3,15×10−1 J, (M) −1,35×10−1 J, (N) −1,17×10−1 J, (O) −3,82×10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =4,04 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,234 miˆ, b) ~r2=0,427 m iˆ, c) ~r3=0,871 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 003 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,234 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,234 m)2 = −36,5 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q +3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,871 m)2 = 1,32 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −76,2 V/m, (B) −40,2 V/m, (C) 4,73 V/m, (D) 7,40 V/m, (E) 3,89 V/m, (F) 6,13 V/m, (G) −25,1 V/m, (Correto:H) −36,5 V/m, (e2:I ) 5,48 V/m, (J) 2,95 V/m, (K) −59,1 V/m, (e1:L) 11,0 V/m, (e3:M ) 11,0 V/m, (N) −45,4 V/m, (O) 3,43 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −6,13 V/m, (e2:B) 5,48 V/m, (C) 3,21 V/m, (D) 4,25 V/m, (E) 3,77 V/m, (F) −9,41 V/m, (G) −7,20 V/m, (Correto:H) 0 V/m, (I) 4,77 V/m, (J) 2,88 V/m, (e1:K ) −11,0 V/m, (L) −8,13 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,13 V/m, (B) 1,46 V/m, (Correto:C) 1,32 V/m, (D) 0,743 V/m, (e1:E ) −11,0 V/m, (F) 1,64 V/m, (G) 0,557 V/m, (H) −9,88 V/m, (I) −5,90 V/m, (J) 0,457 V/m, (K) −6,68 V/m, (L) −8,23 V/m, (M) 0,650 V/m, (N) 1,87 V/m, (O) 0,890 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 13,5 V, (B) 25,4 V, (C) 15,7 V, (D) 18,0 V, (E) 22,4 V, (e2:F ) 20,0 V, (G) 34,1 V, (H) 28,8 V, (e1:I ) 8,55 V, (J) 10,4 V, (K) 44,0 V, (Correto:L) 1,67 V, (M) 12,1 V, (N) 38,4 V, (O) 7,41 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,8 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 003 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 240 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,8 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 240 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 240 V 3,00 ×106V/m = 1,41× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 6,66× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,8 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,93× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,07× 10−3 m, (B) 2,37× 10−3 m, (C) 3,24× 10−3 m, (D) 1,77× 10−3 m, (E) 1,58× 10−3 m, (Correto:F) 1,41× 10−3 m, (G) 2,75× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 9,99×10−10 C, (B) 5,96×10−10 C, (C) 8,83×10−10 C, (D) 1,43×10−9 C, (Correto:E) 6,66× 10−10 C, (F) 1,61 × 10−9 C, (G) 7,57 × 10−10 C, (H) 2,60 × 10−9 C, (I) 1,26 × 10−9 C, (J) 1,14 × 10−9 C, (K) 1,91× 10−9 C, (L) 2,24× 10−9 C, (M) 3,51× 10−9 C, (N) 3,19× 10−9 C, Versa˜o 003 (c) (2 pontos) (A) 5,17× 10 −6 m, (Correto:B) 3,93× 10−6 m, (C) 4,60× 10−6 m, (D) 3,33× 10−6 m, (E) 6,13× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 004 Versa˜o Nome Turma 004 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,07 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,01 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −2,80× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −8,27× 10−2 J (a) (5 pontos) (A) −1,89 × 101 N, (Correto:B) −2,80 × 100 N, (C) −1,87 × 10−4 N, (e1:D) −2,80 × 10−4 N, (E) −1,14 × 101 N, (F) −3,77 × 10−4 N, (G) −3,31 × 100 N, (H) −4,23 × 100 N, (I) −9,87 × 10−4 N, (J) −5,87 × 100 N, (K) −6,72 × 10−4 N, (L) −4,27 × 10−4 N, (M) −6,05 × 10−4 N, (N) −1,17 × 10−3 N, (O) −7,97× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −9,19×10−2 J, (B) −1,27×10−1 J, (C) −6,80×10−4 J, (D) −1,40×10−1 J, (E) −2,44×10−1 J, (F) −7,30 × 10−2 J, (G) −1,64 × 10−1 J, (H) −1,98 × 10−1 J, (I) −2,21 × 10−1 J, (J) −1,14 × 10−1 J, (K) −2,72×10−1 J, (L) −3,83×10−1 J, (Correto:M) −8,27×10−2 J, (N) −1,02×10−1 J, (O) −3,30×10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-fera meta´lica macic¸a de raio R =5,00 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,117 miˆ, b) ~r2=0,440 m iˆ, c) ~r3=1,38 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 004 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,117 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,117 m)2 = − 146 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,38 m)2 = 0,525 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 6,38 V/m, (B) −76,2 V/m, (C) 2,92 V/m, (D) −61,7 V/m, (E) 7,63 V/m, (Cor- reto:F) − 146 V/m, (e3:G) 10,3 V/m, (H) −53,1 V/m, (e1:I ) 10,3 V/m, (J) 11,4 V/m, (K) 4,51 V/m, (L) − 110 V/m, (M) −28,5 V/m, (N) 8,98 V/m, (e2:O) 5,17 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −6,56 V/m, (B) −8,47 V/m, (C) −11,7 V/m, (e1:D) −10,3 V/m, (e2:E ) 5,17 V/m, (F) 2,97 V/m, (G) −7,57 V/m, (H) 3,61 V/m, (Correto:I) 0 V/m, (J) −5,84 V/m, (K) 4,27 V/m, (L) 5,83 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,04 V/m, (B) −7,20 V/m, (C) 0,812 V/m, (D) −11,8 V/m, (E) −8,33 V/m, (F) 1,37 V/m, (G) 0,718 V/m, (Correto:H) 0,525 V/m, (I) 0,640 V/m, (J) 0,463 V/m, (K) 1,53 V/m, (L) −9,21 V/m, (M) 1,21 V/m, (N) −6,47 V/m, (e1:O) −10,3 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 9,76 V, (B) 31,2 V, (C) 19,4 V, (D) 43,0 V, (E) 15,0 V, (F) 34,8 V, (e1:G) 17,1 V, (e2:H ) 38,9 V, (Correto:I) 1,67 V, (J) 8,55 V, (K) 7,02 V, (L) 11,2 V, (M) 26,4 V, (N) 13,5 V, (O) 23,5 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼17,9 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 004 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 540 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 17,9 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 5 540 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 5 540 V 3,00 ×106V/m = 1,85× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,14× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =17,9 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,97× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,83× 10−3 m, (B) 2,33× 10−3 m, (C) 1,65× 10−3 m, (D) 1,37× 10−3 m, (Correto:E) 1,85× 10−3 m, (F) 3,23× 10−3 m, (G) 2,04× 10−3 m, Versa˜o 004 (b) (4 pontos) (A) 6,63× 10−10 C, (B) 9,53× 10−10 C, (C) 5,96× 10−10 C, (D) 2,31× 10−9 C, (E) 3,37× 10−9 C, (F) 7,37 × 10−10 C, (G) 1,87 × 10−9 C, (H) 1,68 × 10−9 C, (Correto:I) 1,14 × 10−9 C, (J) 2,65 × 10−9 C, (K) 1,39× 10−9 C, (L) 2,07× 10−9 C, (M) 8,65× 10−10 C, (N) 2,97× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 4,10× 10−6 m, (Correto:B) 5,97× 10−6 m, (C) 4,53× 10−6 m, (D) 5,10× 10−6 m, (E) 6,63× 10−6 m, (F) 3,50× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 005 Versa˜o Nome Turma 005 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,13 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,56 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −8,93× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,26× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −1,32× 10−3 N, (B) −7,97× 10−4 N, (C) −5,86× 100 N, (D) −4,38× 10−4 N, (e1:E ) −8,93× 10−4 N, (F) −5,46×10−4 N, (Correto:G) −8,93×100 N, (H) −1,17×101 N, (I) −9,87×100 N, (J) −3,79× 100 N, (K) −4,66× 100 N, (L) −6,54× 100 N, (M) −6,28× 10−4 N, (N) −2,69× 10−4 N, (O) −3,79× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −1,90 × 10−1 J, (B) −6,80 × 10−4 J, (C) −2,72 × 10−1 J, (D) −6,22 × 10−2 J, (Cor- reto:E) −2,26 × 10−1 J, (F) −1,17 × 10−1 J, (G) −1,67 × 10−1 J, (H) −3,22 × 10−1 J, (I) −3,83 × 10−1 J, (J) −9,21× 10−2 J, (K) −1,03× 10−1 J, (L) −8,34× 10−2 J, (M) −7,30× 10−2 J, (N) −1,40× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =8,21 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,186 miˆ, b) ~r2=0,566 m iˆ, c) ~r3=1,35 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 005 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,186 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,186 m)2 = −57,8 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,35 m)2 = 0,549 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e1:A) 6,24 V/m, (B) 3,70 V/m, (C) 5,33 V/m, (e2:D) 3,12 V/m, (E) −23,8 V/m, (F) − 185 V/m, (G) −32,5 V/m, (H) 8,54 V/m, (Correto:I) −57,8 V/m, (J) −46,7 V/m, (K) 11,3 V/m, (L) 9,83 V/m, (M) 7,34 V/m, (N) 4,13 V/m, (e3:O) 6,24 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −9,45 V/m, (B) 4,41 V/m, (C) −7,17 V/m, (D) 3,56 V/m, (Correto:E) 0 V/m, (F) −10,9 V/m, (e1:G) −6,24 V/m, (H) 4,92 V/m, (e2:I ) 3,12 V/m, (J) 5,75 V/m, (K) 3,95 V/m, (L) −8,06 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −9,05 V/m, (B) 0,620 V/m, (e1:C ) −6,24 V/m, (D) 0,683 V/m, (E) −6,91 V/m, (Cor- reto:F) 0,549 V/m, (G) 0,476 V/m, (H) −10,1 V/m, (I) −11,3 V/m, (J) 1,36 V/m, (K) −7,78 V/m, (L) 1,87 V/m, (M) 0,826 V/m, (N) 1,11 V/m, (O) 0,925 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 24,9 V, (B) 8,62 V, (C) 30,9 V, (D) 9,66 V, (E) 17,0 V, (F) 37,3 V, (G) 12,3 V, (H) 7,69 V, (I) 27,7 V, (e2:J ) 19,0 V, (e1:K ) 10,8 V, (L) 15,0 V, (M) 6,67 V, (Correto:N) 1,67 V, (O) 22,5 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼18,2 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 005 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 960 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 18,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 960 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 960 V 3,00 ×106V/m = 1,65× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 9,12× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =18,2 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,07× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,14× 10−3 m, (Correto:B) 1,65× 10−3 m, (C) 1,46× 10−3 m, (D) 2,47× 10−3 m, (E) 3,01× 10−3 m, (F) 1,93× 10−3 m, (G) 3,32× 10−3 m, Versa˜o 005 (b) (4 pontos) (A) 2,46× 10−9 C, (B) 2,73× 10−9 C, (C) 2,17× 10−9 C, (D) 3,60× 10−9 C, (E) 1,74× 10−9 C, (F) 1,29×10−9 C, (G) 6,32×10−10 C, (H) 1,49×10−9 C, (I) 7,95×10−10 C, (J) 1,01×10−9 C, (K) 3,17×10−9 C, (L) 1,14× 10−9 C, (M) 7,14× 10−10 C, (Correto:N) 9,12× 10−10 C, (O) 1,96× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 3,37× 10−6 m, (B) 4,33× 10−6 m, (Correto:C) 6,07× 10−6 m, (D) 3,87× 10−6 m, (E) 5,37× 10−6 m, (F) 4,83× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual qesta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 006 Versa˜o Nome Turma 006 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,92 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,72 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,58× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,77× 10−1 J (a) (5 pontos) (e1:A)−6,58×10−4 N, (B)−1,14×10−3 N, (C)−3,83×100 N, (D)−7,54×100 N, (E)−4,17×10−4 N, (F) −4,22 × 100 N, (G) −1,42 × 10−3 N, (H) −5,55 × 10−4 N, (I) −6,12 × 10−6 N, (J) −2,39 × 10−4 N, (K) −5,46×100 N, (L) −3,03×10−4 N, (M) −9,04×10−4 N, (Correto:N) −6,58×100 N, (O) −7,70×10−4 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −1,77 × 10−1 J, (B) −1,03 × 10−1 J, (C) −7,02 × 10−2 J, (D) −6,80 × 10−4 J, (E) −1,26 × 10−1 J, (F) −2,65 × 10−1 J, (G) −3,83 × 10−1 J, (H) −1,59 × 10−1 J, (I) −7,83 × 10−2 J, (J) −6,22 × 10−2 J, (K) −2,02 × 10−1 J, (L) −3,15 × 10−1 J, (M) −2,24 × 10−1 J, (N) −8,71 × 10−2 J, (O) −1,43× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,37 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,139 miˆ, b) ~r2=0,546 m iˆ, c) ~r3=1,33 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 006 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,139 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,139 m)2 = − 104 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,33 m)2 = 0,565 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e2:A) 3,35 V/m, (B) −69,2 V/m, (C) 5,54 V/m, (D) −91,3 V/m, (E) 11,7 V/m, (F) 3,70 V/m, (G) 4,57 V/m, (H) 7,63 V/m, (e1:I ) 6,71 V/m, (J) −40,9 V/m, (e3:K ) 6,71 V/m, (L) −53,7 V/m, (M) −23,9 V/m, (Correto:N) − 104 V/m, (O) −28,1 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 2,90 V/m, (B) 5,05 V/m, (e2:C ) 3,35 V/m, (e1:D) −6,71 V/m, (E) 3,94 V/m, (F) 4,36 V/m, (G) −11,8 V/m, (H) −8,30 V/m, (I) 5,72 V/m, (J) −6,01 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) −9,83 V/m, (M) −7,40 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,31 V/m, (B) −7,90 V/m, (C) 1,15 V/m, (D) 0,489 V/m, (Correto:E) 0,565 V/m, (F) −8,98 V/m, (G) 0,718 V/m, (H) 1,87 V/m, (I) −11,3 V/m, (J) 0,640 V/m, (e1:K ) −6,71 V/m, (L) −5,92 V/m, (M) 0,857 V/m, (N) 1,01 V/m, (O) −9,88 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 17,0 V, (B) 19,8 V, (C) 7,17 V, (e2:D) 26,4 V, (E) 33,8 V, (F) 22,6 V, (G) 8,10 V, (H) 29,9 V, (I) 11,9 V, (J) 37,9 V, (K) 45,4 V, (Correto:L) 1,67 V, (e1:M ) 14,4 V, (N) 9,76 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,5 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 006 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 280 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 280 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 280 V 3,00 ×106V/m = 2,43× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,96× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,5 eV, de acordo com eEl= K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,50× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,84× 10−3 m, (Correto:B) 2,43× 10−3 m, (C) 1,43× 10−3 m, (D) 2,91× 10−3 m, (E) 2,12× 10−3 m, (F) 1,67× 10−3 m, (G) 3,29× 10−3 m, Versa˜o 006 (b) (4 pontos) (A) 1,58 × 10−9 C, (B) 7,37 × 10−10 C, (C) 1,39 × 10−9 C, (D) 1,25 × 10−9 C, (E) 9,53 × 10−10 C, (F) 2,31 × 10−9 C, (G) 2,83 × 10−9 C, (H) 3,61 × 10−9 C, (I) 3,28 × 10−9 C, (J) 8,36 × 10−10 C, (Correto:K) 1,96× 10−9 C, (L) 6,66× 10−10 C, (M) 1,10× 10−9 C, (N) 5,96× 10−10 C, (O) 1,76× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 3,87× 10 −6 m, (Correto:B) 3,50× 10−6 m, (C) 5,23× 10−6 m, (D) 6,40× 10−6 m, (E) 4,50× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 007 Versa˜o Nome Turma 007 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,63 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,66 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,54× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,72× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −9,91×10−4 N, (B) −8,00×100 N, (C) −1,28×101 N, (D) −4,34×100 N, (E) −2,27×10−4 N, (F) −5,55×100 N, (G) −2,80×100 N, (e1:H ) −6,54×10−4 N, (Correto:I) −6,54×100 N, (J) −3,04×10−4 N, (K) −1,89× 10−3 N, (L) −1,21× 10−3 N, (M) −4,59× 10−4 N, (N) −4,80× 100 N, (O) −9,97× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −3,83×10−1 J, (B) −1,50×10−1 J, (C) −2,26×10−1 J, (D) −3,33×10−1 J, (E) −8,39×10−2 J, (F) −7,13 × 10−2 J, (G) −6,22 × 10−2 J, (H) −2,97 × 10−1 J, (I) −6,80 × 10−4 J, (J) −1,02 × 10−1 J, (K) −1,18×10−1 J, (L) −2,65×10−1 J, (Correto:M) −1,72×10−1 J, (N) −1,31×10−1 J, (O) −2,04×10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =7,08 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,228 miˆ, b) ~r2=0,471 m iˆ, c) ~r3=1,25 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 007 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,228 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,228 m)2 = −38,5 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,25 m)2 = 0,640 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −29,1 V/m, (B) −56,6 V/m, (C) 6,83 V/m, (e1:D) 9,02 V/m, (E) 3,11 V/m, (Cor- reto:F) −38,5 V/m, (G) 5,86 V/m, (e2:H ) 4,51 V/m, (I) 11,4 V/m, (J) 3,64 V/m, (K) −24,3 V/m, (L) −93,8 V/m, (e3:M ) 9,02 V/m, (N) 7,97 V/m, (O) 9,96 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 3,31 V/m, (B) −6,38 V/m, (C) −7,07 V/m, (Correto:D) 0 V/m, (E) 5,24 V/m, (F) −11,8 V/m, (G) 5,92 V/m, (H) 2,96 V/m, (e1:I ) −9,02 V/m, (J) 3,95 V/m, (e2:K ) 4,51 V/m, (L) −7,90 V/m, (M) −10,1 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −10,2 V/m, (e1:B) −9,02 V/m, (C) −6,76 V/m, (D) 0,743 V/m, (E) −7,54 V/m, (Cor- reto:F) 0,640 V/m, (G) 0,469 V/m, (H) 1,86 V/m, (I) 0,961 V/m, (J) 1,32 V/m, (K) −5,92 V/m, (L) 0,574 V/m, (M) 1,07 V/m, (N) 0,857 V/m, (O) 1,61 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 37,9 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 9,66 V, (e2:D) 18,6 V, (e1:E ) 8,77 V, (F) 7,49 V, (G) 30,7 V, (H) 26,6 V, (I) 15,6 V, (J) 43,0 V, (K) 33,9 V, (L) 13,5 V, (M) 22,5 V, (N) 12,0 V, (O) 10,9 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,0 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 007 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perdersuas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 980 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,0 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 980 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 980 V 3,00 ×106V/m = 2,66× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,36× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,0 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,33× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 2,66× 10−3 m, (B) 1,35× 10−3 m, (C) 3,08× 10−3 m, (D) 2,22× 10−3 m, (E) 1,84× 10−3 m, (F) 1,55× 10−3 m, Versa˜o 007 (b) (4 pontos) (A) 3,61× 10−9 C, (B) 1,90× 10−9 C, (C) 9,72× 10−10 C, (D) 1,25× 10−9 C, (E) 6,20× 10−10 C, (F) 3,18 × 10−9 C, (G) 2,83 × 10−9 C, (H) 1,11 × 10−9 C, (Correto:I) 2,36 × 10−9 C, (J) 8,36 × 10−10 C, (K) 2,12× 10−9 C, (L) 1,56× 10−9 C, (M) 6,95× 10−10 C, (N) 1,39× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 6,43× 10−6 m, (B) 5,77× 10−6 m, (C) 3,73× 10−6 m, (D) 4,20× 10−6 m, (Correto:E) 3,33× 10−6 m, (F) 5,03× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 008 Versa˜o Nome Turma 008 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,32 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,42 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −3,07× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,03× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −6,12 × 10−2 N, (Correto:B) −3,07 × 100 N, (C) −9,87 × 10−4 N, (D) −6,58 × 100 N, (E) −2,57 × 10−4 N, (F) −6,13 × 10−4 N, (G) −6,99 × 10−4 N, (H) −1,99 × 100 N, (I) −7,59 × 100 N, (J) −2,57 × 100 N, (K) −4,52 × 100 N, (L) −5,40 × 100 N, (M) −1,21 × 10−3 N, (e1:N ) −3,07 × 10−4 N, (O) −4,24× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −7,68 × 10−2 J, (Correto:B) −1,03 × 10−1 J, (C) −6,80 × 10−4 J, (D) −1,86 × 10−1 J, (E) −3,28 × 10−1 J, (F) −1,17 × 10−1 J, (G) −2,10 × 10−1 J, (H) −2,64 × 10−1 J, (I) −2,91 × 10−1 J, (J) −6,22 × 10−2 J, (K) −8,48 × 10−2 J, (L) −1,36 × 10−1 J, (M) −2,39 × 10−1 J, (N) −1,57 × 10−1 J, (O) −3,82× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =1,38 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,280 miˆ, b) ~r2=0,507 m iˆ, c) ~r3=1,06 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 008 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,280 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,280 m)2 = −25,5 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,06 m)2 = 0,890 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 5,92V/m, (B) 5,28 V/m, (C) 9,45 V/m, (D) −22,2 V/m, (E) 2,90 V/m, (F) −73,5 V/m, (G) 11,8 V/m, (e3:H ) 7,78 V/m, (e1:I ) 7,78 V/m, (e2:J ) 3,89 V/m, (K) 10,5 V/m, (L) 3,21 V/m, (M) 4,40 V/m, (N) −83,2 V/m, (Correto:O) −25,5 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 3,19 V/m, (e1:B) −7,78 V/m, (C) −6,18 V/m, (Correto:D) 0 V/m, (E) 5,81 V/m, (F) −8,98 V/m, (G) −11,3 V/m, (H) 4,57 V/m, (e2:I ) 3,89 V/m, (J) −6,83 V/m, (K) 5,28 V/m, (L) 2,90 V/m, (M) −10,2 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,61 V/m, (B) −8,98 V/m, (C) 1,21 V/m, (D) 0,661 V/m, (E) −6,76 V/m, (F) 0,783 V/m, (G) −6,01 V/m, (H) −10,8 V/m, (I) 0,496 V/m, (J) 1,93 V/m, (K) 1,38 V/m, (L) 0,583 V/m, (e1:M ) −7,78 V/m, (Correto:N) 0,890 V/m, (O) 1,07 V/m, (d) (2.5 pontos) (e1:A) 7,14 V, (B) 10,9 V, (C) 34,1 V, (D) 9,66 V, (E) 24,9 V, (F) 12,3 V, (G) 19,4 V, (e2:H ) 14,1 V, (I) 8,70 V, (J) 29,3 V, (K) 44,0 V, (L) 15,8 V, (Correto:M) 1,67 V, (N) 22,2 V, (O) 38,1 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼16,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 008 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 310 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 16,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 6 310 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 310 V 3,00 ×106V/m = 2,10× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,48× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =16,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,53× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,62× 10−3 m, (B) 2,71× 10−3 m, (C) 3,03× 10−3 m, (D) 1,81× 10−3 m, (E) 1,41× 10−3 m, (F) 2,41× 10−3 m, (Correto:G) 2,10× 10−3 m, Versa˜o 008 (b) (4 pontos) (A) 1,74× 10−9 C, (B) 2,11× 10−9 C, (C) 1,29× 10−9 C, (D) 2,83× 10−9 C, (E) 7,95× 10−10 C, (F) 3,39 × 10−9 C, (G) 2,53 × 10−9 C, (Correto:H) 1,48 × 10−9 C, (I) 6,92 × 10−10 C, (J) 1,10 × 10−9 C, (K) 9,05× 10−10 C, (L) 6,14× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 4,10× 10−6 m, (B) 3,33× 10−6 m, (C) 4,57× 10−6 m, (Correto:D) 5,53× 10−6 m, (E) 6,30× 10−6 m, (F) 3,67× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 009 Versa˜o Nome Turma 009 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−6,70 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,65 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −7,84× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,05× 10−1 J (a) (5 pontos) (e1:A)−7,84×10−4 N, (B)−2,52×10−4 N, (C)−8,93×10−4 N, (D)−1,17×101 N, (E)−1,83×101 N, (F) −3,77× 100 N, (G) −2,88× 10−4 N, (H) −4,90× 100 N, (I) −5,55× 100 N, (Correto:J) −7,84× 100 N, (K) −4,59× 10−4 N, (L) −8,73× 100 N, (M) −1,30× 10−3 N, (N) −3,31× 10−4 N, (O) −1,30× 101 N, (b) (5 pontos) (A) −6,80×10−4 J, (B) −1,62×10−1 J, (C) −2,46×10−1 J, (D) −2,95×10−1 J, (E) −1,43×10−1 J, (F) −3,84 × 10−1 J, (G) −6,22 × 10−2 J, (H) −1,81 × 10−1 J, (I) −7,68 × 10−2 J, (J) −9,35 × 10−2 J, (K) −1,26× 10−1 J, (L) −3,26× 10−1 J, (M) −1,10× 10−1 J, (Correto:N) −2,05× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =8,47 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,221 miˆ, b) ~r2=0,565 m iˆ, c) ~r3=0,764 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencialentre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 009 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,221 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,221 m)2 = −40,9 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,764 m)2 = 1,71 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 9,49 V/m, (B) 5,07 V/m, (C) 3,64 V/m, (D) −88,9 V/m, (E) −66,1 V/m, (F) 7,20 V/m, (e3:G) 6,27 V/m, (Correto:H) −40,9 V/m, (I) 4,05 V/m, (J) − 146 V/m, (K) −32,5 V/m, (L) 8,10 V/m, (M) 10,8 V/m, (e1:N ) 6,27 V/m, (e2:O) 3,13 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 3,49 V/m, (B) 3,94 V/m, (e2:C ) 3,13 V/m, (D) −7,48 V/m, (E) −10,1 V/m, (F) 5,28 V/m, (Correto:G) 0 V/m, (H) −8,94 V/m, (I) −11,7 V/m, (J) 4,75 V/m, (e1:K ) −6,27 V/m, (L) 5,83 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −10,8 V/m, (B) 1,41 V/m, (C) 1,01 V/m, (D) 0,842 V/m, (E) 0,592 V/m, (Cor- reto:F) 1,71 V/m, (G) 0,450 V/m, (e1:H ) −6,27 V/m, (I) 0,743 V/m, (J) 0,503 V/m, (K) −9,29 V/m, (L) −7,12 V/m, (M) 0,661 V/m, (N) 1,26 V/m, (O) −8,20 V/m, (d) (2.5 pontos) (Correto:A) 1,67 V, (B) 20,0 V, (C) 28,7 V, (D) 12,5 V, (E) 25,4 V, (F) 13,9 V, (e2:G) 16,0 V, (H) 34,1 V, (I) 22,3 V, (J) 18,1 V, (K) 10,9 V, (L) 44,0 V, (M) 40,0 V, (e1:N ) 9,05 V, (O) 7,43 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼15,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 009 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 850 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 15,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 6 850 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 850 V 3,00 ×106V/m = 2,28× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,74× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =15,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,20× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,78× 10−3 m, (B) 1,52× 10−3 m, (C) 1,93× 10−3 m, (D) 3,14× 10−3 m, (E) 1,69× 10−3 m, (F) 1,33× 10−3 m, (G) 2,52× 10−3 m, (Correto:H) 2,28× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 1,56× 10−9 C, (Correto:B) 1,74× 10−9 C, (C) 2,71× 10−9 C, (D) 2,27× 10−9 C, (E) 7,14× 10−10 C, (F) 8,36 × 10−10 C, (G) 1,37 × 10−9 C, (H) 1,14 × 10−9 C, (I) 6,26 × 10−10 C, (J) 3,28 × 10−9 C, (K) 3,67× 10−9 C, (L) 1,98× 10−9 C, (M) 9,76× 10−10 C, Versa˜o 009 (c) (2 pontos) (A) 4,67× 10−6 m, (B) 4,10× 10−6 m, (C) 6,47× 10−6 m, (Correto:D) 5,20× 10−6 m, (E) 5,73× 10−6 m, (F) 3,40× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 010 Versa˜o Nome Turma 010 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−9,75 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =4,00 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −5,11×100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,99× 10−1 J (a) (5 pontos) (e1:A)−5,11×10−4 N, (B)−9,20×10−4 N, (C)−3,07×10−4 N, (D)−4,24×100 N, (E)−8,83×100 N, (F) −6,22× 100 N, (G) −1,33× 10−3 N, (H) −6,17× 10−4 N, (I) −1,54× 101 N, (Correto:J) −5,11× 100 N, (K) −1,17× 10−3 N, (L) −7,32× 10−4 N, (M) −3,87× 10−4 N, (N) −8,10× 10−4 N, (O) −1,14× 101 N, (b) (5 pontos) (A) −6,22 × 10−2 J, (B) −1,74 × 10−1 J, (C) −1,09 × 10−1 J, (D) −2,22 × 10−1 J, (Cor- reto:E) −1,99 × 10−1 J, (F) −1,26 × 10−1 J, (G) −8,27 × 10−2 J, (H) −3,26 × 10−1 J, (I) −1,45 × 10−1 J, (J) −6,80× 10−4 J, (K) −2,72× 10−1 J, (L) −3,84× 10−1 J, (M) −7,33× 10−2 J, (N) −9,46× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =4,20 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,127 miˆ, b) ~r2=0,453 m iˆ, c) ~r3=0,842 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 010 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,127 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,127 m)2 = − 124 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,842 m)2 = 1,41 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 6,54 V/m, (B) −35,9 V/m, (C) 3,19 V/m, (D) 3,97 V/m, (E) −40,6 V/m, (F) 5,38 V/m, (G) 7,28 V/m, (e3:H ) 9,75 V/m, (I) 11,2 V/m, (Correto:J) − 124 V/m, (K) −23,8 V/m, (L) − 196 V/m, (M) 8,72 V/m, (e1:N ) 9,75 V/m, (e2:O) 4,87 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 2,88 V/m, (e2:B) 4,87 V/m, (C) −11,7 V/m, (e1:D) −9,75 V/m, (E) 4,06 V/m, (F) −6,38 V/m, (G) 3,32 V/m, (Correto:H) 0 V/m, (I) −7,45 V/m, (J) 5,64 V/m, (K) −8,57 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,450 V/m, (B) 0,783 V/m, (C) −7,40 V/m, (D) −8,33 V/m, (e1:E ) −9,75 V/m, (F) 0,640 V/m, (G) 1,96 V/m, (H) 0,503 V/m, (I) −6,40 V/m, (J) 0,574 V/m, (K) 1,11 V/m, (Cor- reto:L) 1,41 V/m, (M) 0,890 V/m, (N) 1,63 V/m, (O) −11,3 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 39,3 V, (B) 7,14 V, (Correto:C) 1,67 V, (D) 14,1 V, (e2:E ) 34,8 V, (F) 28,7 V, (G) 11,7 V, (H) 44,0 V, (I) 8,10 V, (e1:J ) 15,7 V, (K) 24,9 V, (L) 22,3 V, (M) 19,0 V, (N) 10,5 V, (O) 9,52 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,5 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 010 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 290 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 290 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 290 V 3,00 ×106V/m = 1,43× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 6,82× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,5 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,83× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 1,43× 10−3 m, (B) 3,18× 10−3 m, (C) 1,58× 10−3 m, (D) 2,24× 10−3 m, (E) 1,85× 10−3 m, (F) 2,66× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 1,56× 10−9 C, (B) 9,12× 10−10 C, (C) 2,23× 10−9 C, (D) 3,13× 10−9 C, (E) 6,08× 10−10 C, (F) 1,88× 10−9 C, (G) 1,03× 10−9 C, (Correto:H) 6,82× 10−10 C, (I) 1,29× 10−9 C, (J) 7,98× 10−10 C, (K) 2,68× 10−9 C, (L) 3,63× 10−9 C, (M) 1,14× 10−9 C, Versa˜o 010 (c) (2 pontos) (Correto:A) 3,83× 10 −6 m, (B) 5,20× 10−6 m, (C) 3,33× 10−6 m, (D) 6,07× 10−6 m, (E) 4,27× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B)0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 011 Versa˜o Nome Turma 011 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,12 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,35 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −5,26× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,73× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −1,17×101 N, (B) −1,21×10−3 N, (C) −8,89×100 N, (D) −2,88×10−4 N, (E) −1,91×100 N, (F) −1,42×10−3 N, (G) −4,50×10−4 N, (H) −9,91×10−4 N, (I) −2,57×100 N, (Correto:J) −5,26×100 N, (K) −8,83× 10−4 N, (e1:L) −5,26× 10−4 N, (M) −6,05× 10−4 N, (N) −4,57× 100 N, (O) −6,12× 10−6 N, (b) (5 pontos) (A) −1,10×10−1 J, (B) −2,12×10−1 J, (C) −2,69×10−1 J, (D) −3,14×10−1 J, (E) −3,83×10−1 J, (F) −2,40×10−1 J, (G) −7,33×10−2 J, (Correto:H) −1,73×10−1 J, (I) −6,22×10−2 J, (J) −1,30×10−1 J, (K) −9,35× 10−2 J, (L) −8,14× 10−2 J, (M) −6,80× 10−4 J, (N) −1,48× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =7,62 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,193 miˆ, b) ~r2=0,493 m iˆ, c) ~r3=1,40 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 011 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,193 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,193 m)2 = −53,7 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,40 m)2 = 0,510 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −69,2 V/m, (B) 10,9 V/m, (C) −37,8 V/m, (D) −33,3 V/m, (e2:E ) 4,11 V/m, (e3:F ) 8,23 V/m, (G) − 104 V/m, (H) 6,64 V/m, (I) −29,8 V/m, (Correto:J) −53,7 V/m, (K) 3,42 V/m, (L) 9,17 V/m, (M) 2,90 V/m, (e1:N ) 8,23 V/m, (O) 4,57 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 2,98 V/m, (B) 3,38 V/m, (e2:C ) 4,11 V/m, (D) −6,76 V/m, (Correto:E) 0 V/m, (e1:F ) −8,23 V/m, (G) −10,4 V/m, (H) −11,5 V/m, (I) 4,87 V/m, (J) −5,95 V/m, (K) −9,13 V/m, (L) 5,75 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 2,01 V/m, (B) −11,3 V/m, (C) 0,797 V/m, (D) 0,620 V/m, (E) 1,40 V/m, (F) 1,67 V/m, (G) −10,1 V/m, (H) 0,890 V/m, (I) −7,12 V/m, (e1:J ) −8,23 V/m, (K) 1,11 V/m, (Correto:L) 0,510 V/m, (M) −5,80 V/m, (N) 0,683 V/m, (O) −6,40 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 13,5 V, (B) 28,7 V, (C) 7,02 V, (D) 8,47 V, (E) 18,3 V, (F) 32,6 V, (G) 9,35 V, (H) 11,8 V, (I) 40,2 V, (J) 46,5 V, (K) 16,4 V, (Correto:L) 1,67 V, (e1:M ) 10,4 V, (N) 24,8 V, (e2:O) 21,0 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼18,0 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 011 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 200 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 18,0 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 6 200 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 200 V 3,00 ×106V/m = 2,07× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,43× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =18,0 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,00× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,85× 10−3 m, (Correto:B) 2,07× 10−3 m, (C) 1,67× 10−3 m, (D) 3,29× 10−3 m, (E) 2,39× 10−3 m, (F) 1,41× 10−3 m, (G) 2,85× 10−3 m, Versa˜o 011 (b) (4 pontos) (A) 2,73× 10−9 C, (B) 1,58× 10−9 C, (Correto:C) 1,43× 10−9 C, (D) 3,38× 10−9 C, (E) 1,17× 10−9 C, (F) 7,84 × 10−10 C, (G) 5,93 × 10−10 C, (H) 2,24 × 10−9 C, (I) 9,57 × 10−10 C, (J)3,03 × 10−9 C, (K) 1,76× 10−9 C, (L) 6,92× 10−10 C, (M) 1,96× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 5,17× 10 −6 m, (B) 3,70× 10−6 m, (C) 6,63× 10−6 m, (Correto:D) 6,00× 10−6 m, (E) 4,43× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 012 Versa˜o Nome Turma 012 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,96 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,47 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,18× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,10× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −3,92×100 N, (B) −9,12×10−4 N, (C) −7,70×10−4 N, (D) −1,42×10−3 N, (E) −4,85×10−4 N, (F) −2,89× 100 N, (G) −4,61× 100 N, (H) −1,23× 101 N, (Correto:I) −6,18× 100 N, (J) −7,97× 100 N, (K) −4,24× 10−4 N, (L) −9,89× 100 N, (M) −5,38× 100 N, (N) −1,64× 10−3 N, (e1:O) −6,18× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −1,38×10−1 J, (B) −1,11×10−1 J, (C) −1,73×10−1 J, (D) −1,54×10−1 J, (E) −7,94×10−2 J, (F) −3,84 × 10−1 J, (G) −2,56 × 10−1 J, (H) −9,19 × 10−2 J, (I) −6,80 × 10−4 J, (J) −3,18 × 10−1 J, (K) −7,13× 10−2 J, (Correto:L) −2,10× 10−1 J, (M) −6,22× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,65 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,279 miˆ, b) ~r2=0,544 m iˆ, c) ~r3=0,949 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 012 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,279 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,279 m)2 = −25,7 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,949 m)2 = 1,11 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 5,36 V/m, (B) −60,4 V/m, (Correto:C) −25,7 V/m, (D) −69,2 V/m, (e1:E ) 6,76 V/m, (F) 11,7 V/m, (G) 10,5 V/m, (H) 5,92 V/m, (e2:I ) 3,38 V/m, (J) 8,16 V/m, (K) 9,29 V/m, (e3:L) 6,76 V/m, (M) 4,08 V/m, (N) −35,9 V/m, (O) 2,88 V/m, (b) (2.5 pontos) (e2:A) 3,38 V/m, (B)−11,3 V/m, (C)−8,47 V/m, (D)−7,45 V/m, (E) 2,91 V/m, (F)−5,97 V/m, (G) 4,23 V/m, (H) −10,1 V/m, (I) 3,83 V/m, (Correto:J) 0 V/m, (K) 5,43 V/m, (L) 4,73 V/m, (e1:M ) −6,76 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −9,79 V/m, (B) 0,463 V/m, (C) 0,650 V/m, (D) −8,68 V/m, (E) 1,62 V/m, (F) −11,5 V/m, (G) 0,812 V/m, (H) −5,88 V/m, (I) 0,541 V/m, (J) 0,961 V/m, (e1:K ) −6,76 V/m, (L) 1,89 V/m, (M) −7,54 V/m, (N) 1,43 V/m, (Correto:O) 1,11 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 8,55 V, (B) 14,7 V, (e1:C ) 7,17 V, (D) 18,1 V, (E) 10,8 V, (F) 9,66 V, (G) 44,0 V, (H) 16,4 V, (I) 22,6 V, (J) 20,3 V, (K) 26,4 V, (e2:L) 13,2 V, (M) 38,1 V, (Correto:N) 1,67 V, (O) 32,6 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,1 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 012 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 630 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,1 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campoele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 8 630 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 8 630 V 3,00 ×106V/m = 2,88× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,76× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,1 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,37× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,42× 10−3 m, (B) 1,78× 10−3 m, (C) 1,59× 10−3 m, (D) 3,32× 10−3 m, (E) 1,96× 10−3 m, (F) 2,22× 10−3 m, (Correto:G) 2,88× 10−3 m, (H) 2,59× 10−3 m, Versa˜o 012 (b) (4 pontos) (A) 8,43× 10−10 C, (B) 1,28× 10−9 C, (C) 3,50× 10−9 C, (Correto:D) 2,76× 10−9 C, (E) 3,13× 10−9 C, (F) 9,76 × 10−10 C, (G) 1,58 × 10−9 C, (H) 6,63 × 10−10 C, (I) 1,88 × 10−9 C, (J) 7,57 × 10−10 C, (K) 2,17× 10−9 C, (L) 5,96× 10−10 C, (M) 1,14× 10−9 C, (N) 2,44× 10−9 C, (c) (2 pontos) (Correto:A) 3,37× 10−6 m, (B) 4,20× 10−6 m, (C) 4,77× 10−6 m, (D) 5,53× 10−6 m, (E) 3,77× 10−6 m, (F) 6,30× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 013 Versa˜o Nome Turma 013 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,89 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,87 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −8,89× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,52× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −3,79×10−4 N, (B) −9,97×10−4 N, (C) −4,90×10−4 N, (e1:D) −8,89×10−4 N, (E) −6,54× 100 N, (F) −2,27× 10−4 N, (G) −2,80× 10−4 N, (H) −1,17× 101 N, (I) −1,03× 101 N, (J) −4,24× 10−4 N, (K) −6,75×10−4 N, (Correto:L) −8,89×100 N, (M) −3,15×100 N, (N) −1,50×101 N, (O) −5,74×10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −1,02×10−1 J, (B) −1,48×10−1 J, (C) −1,28×10−1 J, (D) −8,34×10−2 J, (E) −2,16×10−1 J, (F) −6,22 × 10−2 J, (G) −1,93 × 10−1 J, (H) −3,82 × 10−1 J, (I) −2,93 × 10−1 J, (J) −7,13 × 10−2 J, (K) −1,14×10−1 J, (L) −3,41×10−1 J, (M) −9,21×10−2 J, (Correto:N) −2,52×10−1 J, (O) −1,67×10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =3,98 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,189 miˆ, b) ~r2=0,417 m iˆ, c) ~r3=1,19 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 013 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,189 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,189 m)2 = −56,0 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,19 m)2 = 0,706 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e3:A) 11,5 V/m, (B) −24,1 V/m, (C) 3,38 V/m, (D) 4,08 V/m, (E) 7,97 V/m, (e1:F ) 11,5 V/m, (G) −26,6 V/m, (H) − 120 V/m, (I) 9,05 V/m, (J) 10,3 V/m, (K) −35,0 V/m, (Correto:L) −56,0 V/m, (M) 6,73 V/m, (e2:N ) 5,75 V/m, (O) −47,6 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 2,88 V/m, (B) −9,88 V/m, (C) 4,05 V/m, (e2:D) 5,75 V/m, (E) 4,53 V/m, (F) −8,86 V/m, (G) 3,20 V/m, (e1:H ) −11,5 V/m, (Correto:I) 0 V/m, (J) −6,73 V/m, (K) −5,88 V/m, (L) 3,64 V/m, (M) −7,57 V/m, (N) 5,05 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −9,92 V/m, (B) 1,00 V/m, (C) −5,77 V/m, (D) −7,28 V/m, (E) −6,42 V/m, (e1:F ) −11,5 V/m, (G) 1,77 V/m, (H) 1,12 V/m, (I) −8,20 V/m, (J) 0,450 V/m, (Correto:K) 0,706 V/m, (L) 1,26 V/m, (M) 0,592 V/m, (N) 1,47 V/m, (O) 0,826 V/m,(d) (2.5 pontos) (A) 20,3 V, (B) 7,72 V, (C) 12,4 V, (D) 22,5 V, (E) 6,85 V, (F) 31,8 V, (Correto:G) 1,67 V, (H) 17,0 V, (e2:I ) 25,4 V, (J) 8,62 V, (K) 28,7 V, (L) 45,4 V, (M) 38,9 V, (N) 13,8 V, (e1:O) 10,6 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼18,1 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 013 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 460 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 18,1 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 8 460 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 8 460 V 3,00 ×106V/m = 2,82× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,65× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =18,1 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,03× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,03× 10−3 m, (B) 1,34× 10−3 m, (Correto:C) 2,82× 10−3 m, (D) 2,24× 10−3 m, (E) 1,49× 10−3 m, (F) 1,82× 10−3 m, (G) 2,49× 10−3 m, (H) 3,26× 10−3 m, Versa˜o 013 (b) (4 pontos) (A) 3,17 × 10−9 C, (B) 1,37 × 10−9 C, (C) 6,66 × 10−10 C, (D) 8,43 × 10−10 C, (E) 3,63 × 10−9 C, (F) 2,20 × 10−9 C, (G) 5,96 × 10−10 C, (H) 1,88 × 10−9 C, (I) 1,14 × 10−9 C, (J) 1,00 × 10−9 C, (Correto:K) 2,65× 10−9 C, (L) 1,70× 10−9 C, (M) 1,51× 10−9 C, (N) 7,44× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 3,33× 10 −6 m, (B) 5,03× 10−6 m, (C) 4,27× 10−6 m, (D) 3,73× 10−6 m, (Correto:E) 6,03× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 014 Versa˜o Nome Turma 014 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,87 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,25 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,17× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,97× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −7,78×10−4 N, (B) −1,36×10−3 N, (C) −4,24×10−4 N, (D) −3,31×10−4 N, (E) −1,23×101 N, (F) −2,57× 100 N, (G) −9,12× 100 N, (H) −9,12× 10−4 N, (I) −4,99× 100 N, (Correto:J) −6,17× 100 N, (K) −5,46× 10−4 N, (e1:L) −6,17× 10−4 N, (M) −2,27× 10−4 N, (N) −1,12× 10−3 N, (O) −4,49× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −2,97×10−1 J, (B) −1,57×10−1 J, (C) −3,82×10−1 J, (D) −1,18×10−1 J, (E) −2,66×10−1 J, (F) −9,64×10−2 J, (G) −8,71×10−2 J, (H) −6,80×10−4 J, (I) −7,68×10−2 J, (Correto:J) −1,97×10−1 J, (K) −1,34× 10−1 J, (L) −2,26× 10−1 J, (M) −3,41× 10−1 J, (N) −1,74× 10−1 J, (O) −6,22× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =1,12 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,207 miˆ, b) ~r2=0,538 m iˆ, c) ~r3=1,34 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 014 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,207 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicandoa Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,207 m)2 = −46,7 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,34 m)2 = 0,557 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −30,5 V/m, (B) 8,57 V/m, (C) 4,15 V/m, (D) 3,01 V/m, (E) 10,0 V/m, (F) 11,5 V/m, (G) 4,77 V/m, (e2:H ) 3,45 V/m, (I) 5,77 V/m, (J) −39,2 V/m, (K) −25,3 V/m, (Correto:L) −46,7 V/m, (e1:M ) 6,91 V/m, (N) −74,4 V/m, (e3:O) 6,91 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 5,56 V/m, (B) 5,00 V/m, (C) −6,09 V/m, (Correto:D) 0 V/m, (E) 4,47 V/m, (F) −10,2 V/m, (G) 2,90 V/m, (e1:H ) −6,91 V/m, (I) −9,02 V/m, (J) −7,66 V/m, (e2:K ) 3,45 V/m, (L) 3,84 V/m, (M) −11,5 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,812 V/m, (B) 0,706 V/m, (C) −8,47 V/m, (D) −7,69 V/m, (E) 0,961 V/m, (e1:F ) −6,91 V/m, (G) 1,64 V/m, (H) −11,9 V/m, (I) 0,620 V/m, (J) 1,87 V/m, (K) −5,77 V/m, (L) 0,476 V/m, (M) −9,53 V/m, (Correto:N) 0,557 V/m, (O) −10,6 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 29,6 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 8,26 V, (D) 15,3 V, (E) 19,8 V, (F) 33,9 V, (G) 37,3 V, (H) 13,1 V, (I) 11,0 V, (e1:J ) 9,66 V, (K) 46,5 V, (L) 7,41 V, (M) 26,1 V, (e2:N ) 18,0 V, (O) 22,4 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,8 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 014 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 760 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,8 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 760 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 760 V 3,00 ×106V/m = 2,59× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,23× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,8 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,60× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,33× 10−3 m, (B) 1,36× 10−3 m, (C) 2,89× 10−3 m, (D) 1,73× 10−3 m, (E) 3,24× 10−3 m, (F) 1,54× 10−3 m, (Correto:G) 2,59× 10−3 m, (H) 2,02× 10−3 m, Versa˜o 014 (b) (4 pontos) (Correto:A) 2,23×10−9 C, (B) 3,38×10−9 C, (C) 7,67×10−10 C, (D) 8,97×10−10 C, (E) 1,50× 10−9 C, (F) 1,00 × 10−9 C, (G) 2,69 × 10−9 C, (H) 1,96 × 10−9 C, (I) 1,70 × 10−9 C, (J) 1,10 × 10−9 C, (K) 6,20× 10−10 C, (L) 3,02× 10−9 C, (M) 1,28× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 3,97× 10−6 m, (B) 5,23× 10−6 m, (C) 4,43× 10−6 m, (Correto:D) 3,60× 10−6 m, (E) 6,43× 10−6 m, (F) 5,77× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 015 Versa˜o Nome Turma 015 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,92 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,48 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −2,69× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −9,15× 10−2 J (a) (5 pontos) (A) −3,08× 10−4 N, (B) −8,73× 10−4 N, (e1:C ) −2,69× 10−4 N, (D) −1,64× 101 N, (E) −3,67× 100 N, (Correto:F) −2,69×100 N, (G)−4,29×100 N, (H)−9,87×100 N, (I)−1,14×101 N, (J)−6,98×10−4 N, (K) −6,13× 10−4 N, (L) −7,84× 100 N, (M) −5,40× 10−4 N, (N) −6,10× 100 N, (O) −1,21× 10−3 N, (b) (5 pontos) (A) −1,18×10−1 J, (B) −6,80×10−4 J, (C) −1,32×10−1 J,(D) −1,65×10−1 J, (E) −2,21×10−1 J, (F) −3,15 × 10−1 J, (G) −8,13 × 10−2 J, (H) −1,05 × 10−1 J, (I) −6,22 × 10−2 J, (J) −2,63 × 10−1 J, (K) −3,82×10−1 J, (Correto:L) −9,15×10−2 J, (M) −1,89×10−1 J, (N) −1,48×10−1 J, (O) −7,20×10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,51 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,217 miˆ, b) ~r2=0,532 m iˆ, c) ~r3=1,41 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 015 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,217 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,217 m)2 = −42,5 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,41 m)2 = 0,503 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 4,03 V/m, (B) −99,2 V/m, (e1:C ) 7,07 V/m, (D) 2,96 V/m, (E) 6,07 V/m, (F) −53,7 V/m, (e2:G) 3,53 V/m, (H) − 189 V/m, (I) 10,5 V/m, (e3:J ) 7,07 V/m, (K) 4,87 V/m, (Correto:L) −42,5 V/m, (M) 8,16 V/m, (N) −84,3 V/m, (O) −32,8 V/m, (b) (2.5 pontos) (e1:A) −7,07 V/m, (B) −9,53 V/m, (C) 5,95 V/m, (Correto:D) 0 V/m, (E) −5,88 V/m, (F) 4,40 V/m, (G) −8,20 V/m, (H) −10,9 V/m, (I) 3,11 V/m, (J) 4,00 V/m, (K) 4,96 V/m, (e2:L) 3,53 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −8,79 V/m, (Correto:B) 0,503 V/m, (C) −10,9 V/m, (e1:D) −7,07 V/m, (E) 1,95 V/m, (F) 1,30 V/m, (G) −7,87 V/m, (H) 0,826 V/m, (I) 0,610 V/m, (J) −9,79 V/m, (K) 1,12 V/m, (L) 0,683 V/m, (M) 0,943 V/m, (N) −5,95 V/m, (O) 1,47 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 34,1 V, (B) 19,6 V, (e1:C ) 9,22 V, (D) 22,5 V, (E) 26,6 V, (F) 6,73 V, (Correto:G) 1,67 V, (H) 29,9 V, (I) 10,9 V, (e2:J ) 17,3 V, (K) 15,3 V, (L) 12,3 V, (M) 7,91 V, (N) 13,7 V, (O) 40,0 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼15,7 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 015 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 470 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 15,7 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 470 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 470 V 3,00 ×106V/m = 2,49× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,07× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =15,7 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,23× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,52× 10−3 m, (B) 3,18× 10−3 m, (Correto:C) 2,49× 10−3 m, (D) 1,69× 10−3 m, (E) 2,04× 10−3 m, (F) 2,86× 10−3 m, (G) 1,36× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 1,29× 10−9 C, (B) 7,57× 10−10 C, (C) 9,99× 10−10 C, (D) 9,05× 10−10 C, (E) 2,90× 10−9 C, (F) 2,49 × 10−9 C, (Correto:G) 2,07 × 10−9 C, (H) 3,39 × 10−9 C, (I) 6,14 × 10−10 C, (J) 1,81 × 10−9 C, (K) 1,14× 10−9 C, (L) 1,58× 10−9 C, Versa˜o 015 (c) (2 pontos) (A) 5,77× 10−6 m, (B) 4,20× 10−6 m, (C) 4,70× 10−6 m, (D) 3,63× 10−6 m, (Correto:E) 5,23× 10−6 m, (F) 6,43× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 016 Versa˜o Nome Turma 016 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e)Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,50 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,21 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −3,62× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,14× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −8,93×10−4 N, (B) −7,54×100 N, (C) −3,21×10−4 N, (D) −4,99×10−4 N, (E) −1,67×101 N, (F) −9,87 × 100 N, (G) −4,40 × 10−4 N, (H) −2,88 × 10−4 N, (I) −1,23 × 101 N, (J) −5,87 × 100 N, (K) −6,77×100 N, (L) −3,07×100 N, (e1:M ) −3,62×10−4 N, (N) −6,54×10−4 N, (Correto:O) −3,62×100 N, (b) (5 pontos) (A) −1,51 × 10−1 J, (B) −7,88 × 10−2 J, (C) −6,22 × 10−2 J, (Correto:D) −1,14 × 10−1 J, (E) −1,75 × 10−1 J, (F) −3,15 × 10−1 J, (G) −1,01 × 10−1 J, (H) −3,60 × 10−1 J, (I) −2,69 × 10−1 J, (J) −6,80 × 10−4 J, (K) −9,05 × 10−2 J, (L) −2,21 × 10−1 J, (M) −7,02 × 10−2 J, (N) −1,30 × 10−1 J, (O) −1,99× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,31 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,244 miˆ, b) ~r2=0,574 m iˆ, c) ~r3=1,27 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 016 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,244 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,244 m)2 = −33,6 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,27 m)2 = 0,620 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e3:A) 6,07 V/m, (B) 4,36 V/m, (C) 11,6 V/m, (D) 5,43 V/m, (E) −23,0 V/m, (e2:F ) 3,04 V/m, (G) −26,1 V/m, (Correto:H) −33,6 V/m, (I) −60,4 V/m, (J) −75,3 V/m, (K) 6,86 V/m, (e1:L) 6,07 V/m, (M) −52,6 V/m, (N) 9,05 V/m, (O) − 196 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −6,68 V/m, (B) 3,38 V/m, (e1:C ) −6,07 V/m, (D) 5,62 V/m, (E) −7,63 V/m, (F) 4,45 V/m, (e2:G) 3,04 V/m, (H) 3,97 V/m, (Correto:I) 0 V/m, (J) −9,96 V/m, (K) 4,98 V/m, (L) −11,6 V/m, (M) −8,61 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −6,83 V/m, (B) 1,30 V/m, (C) 0,890 V/m, (D) −9,21 V/m, (E) 0,463 V/m, (F) 0,743 V/m, (G) −8,10 V/m, (H) 0,541 V/m, (I) 1,10 V/m, (J) 1,99 V/m, (e1:K ) −6,07 V/m, (L) −11,1 V/m, (Cor- reto:M) 0,620 V/m, (N) 1,53 V/m, (O) 1,74 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 40,0 V, (B) 45,4 V, (C) 11,0 V, (e1:D) 8,20 V, (E) 25,4 V, (F) 35,2 V, (Correto:G) 1,67 V, (H) 16,3 V, (I) 12,3 V, (e2:J ) 14,3 V, (K) 7,22 V, (L) 19,0 V, (M) 30,9 V, (N) 9,22 V, (O) 22,2 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼19,2 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 016 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 920 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 19,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 920 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 920 V 3,00 ×106V/m = 1,64× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 8,97× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =19,2 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,40× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,41× 10−3 m, (B) 1,96× 10−3 m, (Correto:C) 1,64× 10−3 m, (D) 2,32× 10−3 m, (E) 2,91× 10−3 m, (F) 3,26× 10−3 m, (G) 2,57× 10−3 m, Versa˜o 016 (b) (4 pontos) (A) 2,14× 10−9 C, (B) 2,38× 10−9 C, (C) 6,95× 10−10 C, (D) 7,98× 10−10 C, (E) 1,72× 10−9 C, (F) 1,29×10−9 C, (G) 1,08×10−9 C, (H) 1,92×10−9 C, (I) 3,03×10−9 C, (J) 2,66×10−9 C, (K) 1,45×10−9 C, (L) 3,45× 10−9 C, (M) 5,93× 10−10 C, (Correto:N) 8,97× 10−10 C, (c) (2 pontos) (Correto:A) 6,40× 10−6 m, (B) 5,60× 10−6 m, (C) 3,33× 10−6 m, (D) 4,40× 10−6 m, (E) 3,73× 10−6 m, (F) 5,03× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( )Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 017 Versa˜o Nome Turma 017 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,89 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,05 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,34× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,30× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −8,93×10−4 N, (B) −1,14×10−3 N, (C) −6,26×100 N, (D) −6,99×10−4 N, (E) −2,80×100 N, (F) −1,87 × 10−4 N, (G) −6,26 × 10−4 N, (H) −2,73 × 10−4 N, (I) −2,45 × 100 N, (e1:J ) −4,34 × 10−4 N, (Correto:K) −4,34×100 N, (L) −3,21×100 N, (M) −3,79×100 N, (N) −6,12×10−6 N, (O) −9,85×100 N, (b) (5 pontos) (A) −3,41 × 10−1 J, (Correto:B) −1,30 × 10−1 J, (C) −1,79 × 10−1 J, (D) −1,05 × 10−1 J, (E) −2,26 × 10−1 J, (F) −2,87 × 10−1 J, (G) −1,53 × 10−1 J, (H) −7,02 × 10−2 J, (I) −9,35 × 10−2 J, (J) −1,16 × 10−1 J, (K) −3,82 × 10−1 J, (L) −2,57 × 10−1 J, (M) −8,39 × 10−2 J, (N) −1,99 × 10−1 J, (O) −6,80× 10−4 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =4,29 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,120 miˆ, b) ~r2=0,524 m iˆ, c) ~r3=1,26 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 017 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,120 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,120 m)2 = − 139 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,26 m)2 = 0,630 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (Correto:A) − 139 V/m, (e1:B) 7,28 V/m, (e3:C ) 7,28 V/m, (D) 5,90 V/m, (E) −74,4 V/m, (F) −25,5 V/m, (G) 4,15 V/m, (H) −40,2 V/m, (I) −66,8 V/m, (J) 8,47 V/m, (K) 10,9 V/m, (L) 2,88 V/m, (M) −32,5 V/m, (e2:N ) 3,64 V/m, (O) 4,77 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −6,24 V/m, (B) −8,61 V/m, (e2:C ) 3,64 V/m, (D) 5,24 V/m, (E) 4,13 V/m, (F) 5,92 V/m, (G) 4,59 V/m, (e1:H ) −7,28 V/m, (Correto:I) 0 V/m, (J) 3,02 V/m, (K) −11,3 V/m, (L) −9,75 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,43 V/m, (B) 1,70 V/m, (C) −5,92 V/m, (D) 0,496 V/m, (E) −9,79 V/m, (F) −11,3 V/m, (G) 0,731 V/m, (e1:H ) −7,28 V/m, (I) 1,23 V/m, (J) 0,565 V/m, (Correto:K) 0,630 V/m, (L) −8,13 V/m, (M) 0,842 V/m, (N) 1,01 V/m, (O) 2,00 V/m, (d) (2.5 pontos) (Correto:A) 1,67 V, (B) 22,6 V, (C) 7,60 V, (e1:D) 16,7 V, (E) 19,8 V, (F) 35,2 V, (G) 8,73 V, (H) 45,4 V, (I) 40,0 V, (e2:J ) 31,8 V, (K) 12,4 V, (L) 10,7 V, (M) 27,4 V, (N) 14,8 V, (O) 6,78 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,9 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 017 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 900 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,9 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 8 900 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 8 900 V3,00 ×106V/m = 2,97× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,94× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,9 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,97× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,78× 10−3 m, (B) 3,32× 10−3 m, (C) 2,20× 10−3 m, (D) 2,50× 10−3 m, (E) 2,00× 10−3 m, (Correto:F) 2,97× 10−3 m, (G) 1,54× 10−3 m, (H) 1,37× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 1,48× 10−9 C, (B) 8,36× 10−10 C, (C) 2,47× 10−9 C, (D) 3,63× 10−9 C, (E) 1,90× 10−9 C, (F) 2,24×10−9 C, (G) 3,25×10−9 C, (H) 1,00×10−9 C, (I) 1,32×10−9 C, (J) 7,37×10−10 C, (K) 1,70×10−9 C, (Correto:L) 2,94× 10−9 C, (M) 1,13× 10−9 C, (N) 6,29× 10−10 C, Versa˜o 017 (c) (2 pontos) (A) 4,50× 10 −6 m, (B) 6,20× 10−6 m, (Correto:C) 3,97× 10−6 m, (D) 5,37× 10−6 m, (E) 3,37× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 018 Versa˜o Nome Turma 018 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−6,93 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,33 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −1,05× 101 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,41× 10−1 J (a) (5 pontos) (e1:A)−1,05×10−3 N, (B)−6,18×100 N, (C)−1,87×101 N, (D)−8,93×10−4 N, (E)−5,74×10−4 N, (F) −6,57 × 10−4 N, (G) −7,76 × 10−4 N, (H) −3,67 × 100 N, (I) −9,02 × 100 N, (J) −1,92 × 10−4 N, (Correto:K) −1,05×101 N, (L) −1,50×10−3 N, (M) −4,11×100 N, (N) −4,79×10−4 N, (O) −3,23×10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −2,95×10−1 J, (B) −2,67×10−1 J, (C) −3,30×10−1 J, (D) −9,05×10−2 J, (E) −3,83×10−1 J, (F) −1,38×10−1 J, (Correto:G) −2,41×10−1 J, (H) −1,18×10−1 J, (I) −8,14×10−2 J, (J) −1,02×10−1 J, (K) −6,80× 10−4 J, (L) −2,02× 10−1 J, (M) −1,70× 10−1 J, (N) −1,53× 10−1 J, (O) −7,30× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =8,94 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,145 miˆ, b) ~r2=0,507 m iˆ, c) ~r3=1,13 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 018 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,145 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,145 m)2 = −95,1 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,13 m)2 = 0,783 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −42,1 V/m, (Correto:B) −95,1 V/m, (e2:C ) 3,89 V/m, (D) 4,71 V/m, (e1:E ) 7,78 V/m, (F) 9,53 V/m, (G) 3,08 V/m, (H) −78,1 V/m, (I) − 113 V/m, (J) −25,5 V/m, (K) 5,83 V/m, (L) 10,6 V/m, (M) 6,54 V/m, (e3:N ) 7,78 V/m, (O) −32,5 V/m, (b) (2.5 pontos) (e2:A) 3,89 V/m, (B) 3,13 V/m, (C) −8,98 V/m, (D) 5,07 V/m, (E) 3,49 V/m, (e1:F ) −7,78 V/m, (G) −6,86 V/m, (H) 4,59 V/m, (I) 5,62 V/m, (J) −6,09 V/m, (K) −11,2 V/m, (Correto:L) 0 V/m, (M) −10,0 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,683 V/m, (B) 0,873 V/m, (C) 1,03 V/m, (D) 1,74 V/m, (E) 0,601 V/m, (F) 2,00 V/m, (e1:G) −7,78 V/m, (H) 1,46 V/m, (I) 1,19 V/m, (Correto:J) 0,783 V/m, (K) −8,83 V/m, (L) 0,496 V/m, (M) −5,80 V/m, (N) −6,64 V/m, (O) −10,5 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 7,14 V, (B) 15,2 V, (C) 22,5 V, (Correto:D) 1,67 V, (E) 43,0 V, (F) 19,1 V, (G) 17,0 V, (e2:H ) 27,2 V, (e1:I ) 13,8 V, (J) 30,1 V, (K) 33,9 V, (L) 38,4 V, (M) 8,37 V, (N) 12,3 V, (O) 10,2 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,5 eV). A energia que os ele´trons ganhamvem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 018 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 770 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 770 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 770 V 3,00 ×106V/m = 1,59× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 8,43× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,5 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,83× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 3,29× 10−3 m, (B) 2,04× 10−3 m, (Correto:C) 1,59× 10−3 m, (D) 2,32× 10−3 m, (E) 2,63× 10−3 m, (F) 2,95× 10−3 m, (G) 1,39× 10−3 m, (H) 1,81× 10−3 m, Versa˜o 018 (b) (4 pontos) (A) 3,16× 10−9 C, (B) 2,47× 10−9 C, (C) 2,12× 10−9 C, (D) 1,25× 10−9 C, (Correto:E) 8,43× 10−10 C, (F) 1,10× 10−9 C, (G) 9,72× 10−10 C, (H) 1,91× 10−9 C, (I) 5,96× 10−10 C, (J) 7,14× 10−10 C, (K) 1,70× 10−9 C, (L) 2,83× 10−9 C, (M) 1,49× 10−9 C, (N) 3,49× 10−9 C, (c) (2 pontos) (Correto:A) 3,83× 10−6 m, (B) 4,23× 10−6 m, (C) 6,20× 10−6 m, (D) 3,37× 10−6 m, (E) 4,83× 10−6 m, (F) 5,43× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 019 Versa˜o Nome Turma 019 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−6,80 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,99 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,28× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,85× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −5,26×10−4 N, (B) −1,83×101 N, (C) −4,23×100 N, (D) −4,59×10−4 N, (E) −7,13×100 N, (F) −7,13 × 10−4 N, (G) −8,10 × 100 N, (H) −8,18 × 10−4 N, (I) −2,73 × 100 N, (J) −4,80 × 100 N, (e1:K ) −6,28×10−4 N, (L) −2,47×10−4 N, (M) −1,14×101 N, (Correto:N) −6,28×100 N, (O) −2,47×100 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −1,85 × 10−1 J, (B) −7,88 × 10−2 J, (C) −7,02 × 10−2 J, (D) −9,21 × 10−2 J, (E) −1,29 × 10−1 J, (F) −2,89 × 10−1 J, (G) −3,31 × 10−1 J, (H) −2,59 × 10−1 J, (I) −1,03 × 10−1 J, (J) −1,14 × 10−1 J, (K) −2,12 × 10−1 J, (L) −3,84 × 10−1 J, (M) −6,22 × 10−2 J, (N) −2,35 × 10−1 J, (O) −1,54× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =7,95 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,239 miˆ, b) ~r2=0,450 m iˆ, c) ~r3=1,21 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 019 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,239 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,239 m)2 = −35,0 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E= Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,21 m)2 = 0,683 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 3,81 V/m, (B)−95,1 V/m, (e1:C ) 9,88 V/m, (D) 8,36 V/m, (e2:E ) 4,94 V/m, (F)−44,9 V/m, (e3:G) 9,88 V/m, (H) 3,12 V/m, (I) 6,99 V/m, (Correto:J) −35,0 V/m, (K) −39,5 V/m, (L) −56,6 V/m, (M) 5,62 V/m, (N) 4,27 V/m, (O) − 124 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 4,03 V/m, (e1:B) −9,88 V/m, (C) −6,47 V/m, (D) 3,15 V/m, (E) 5,64 V/m, (F) −7,28 V/m, (e2:G) 4,94 V/m, (H) −11,3 V/m, (Correto:I) 0 V/m, (J) −8,33 V/m, (K) 3,55 V/m, (L) −5,84 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,873 V/m, (B) 1,47 V/m, (C) 0,557 V/m, (e1:D) −9,88 V/m, (E) −8,10 V/m, (F) 1,89 V/m, (G) −5,75 V/m, (H) 1,64 V/m, (I) −6,42 V/m, (J) −11,3 V/m, (K) 1,13 V/m, (Correto:L) 0,683 V/m, (M) 0,769 V/m, (N) 1,26 V/m, (O) 0,482 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 30,6 V, (B) 23,5 V, (Correto:C) 1,67 V, (D) 40,0 V, (E) 13,5 V, (F) 45,4 V, (G) 10,7 V, (H) 35,2 V, (I) 9,30 V, (J) 20,6 V, (K) 27,2 V, (e1:L) 8,37 V, (e2:M ) 18,6 V, (N) 6,85 V, (O) 16,0 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,8 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 019 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 160 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,8 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 160 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 160 V 3,00 ×106V/m = 2,39× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,90× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,8 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,60× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,69× 10−3 m, (B) 1,41× 10−3 m, (C) 1,91× 10−3 m, (D) 2,73× 10−3 m, (E) 2,15× 10−3 m, (F) 3,18× 10−3 m, (Correto:G) 2,39× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 1,70× 10−9 C, (B) 2,77× 10−9 C, (C) 1,48× 10−9 C, (D) 6,51× 10−10 C, (E) 3,13× 10−9 C, (F) 2,34 × 10−9 C, (G) 1,29 × 10−9 C, (H) 3,61 × 10−9 C, (Correto:I) 1,90 × 10−9 C, (J) 7,95 × 10−10 C, (K) 1,17× 10−9 C, (L) 9,19× 10−10 C, (M) 1,03× 10−9 C, Versa˜o 019 (c) (2 pontos) (A) 6,37× 10−6 m, (B) 5,07× 10−6 m, (C) 4,00× 10−6 m, (D) 4,50× 10−6 m, (Correto:E) 3,60× 10−6 m, (F) 5,60× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 020 Versa˜o Nome Turma 020 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,30 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,45 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −5,87× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,42× 10−1 J (a) (5 pontos) (Correto:A) −5,87 × 100 N, (B) −1,07 × 101 N, (C) −4,22 × 10−4 N, (D) −2,89 × 10−4 N, (E) −5,26 × 10−4 N, (F) −8,83 × 10−4 N, (G) −8,73 × 100 N, (H) −3,49 × 100 N, (e1:I ) −5,87 × 10−4 N, (J) −4,98 × 100 N, (K) −1,91 × 10−4 N, (L) −7,59 × 100 N, (M) −7,66 × 10−4 N, (N) −2,89 × 100 N, (O) −4,11× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −1,59×10−1 J, (B) −8,71×10−2 J, (C) −6,80×10−4 J, (D) −3,28×10−1 J, (E) −1,17×10−1 J, (Correto:F) −1,42×10−1 J, (G) −2,69×10−1 J, (H) −6,22×10−2 J, (I) −1,77×10−1 J, (J) −7,88×10−2 J, (K) −7,02× 10−2 J, (L) −3,82× 10−1 J, (M) −2,44× 10−1 J, (N) −1,02× 10−1 J, (O) −2,11× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =8,13 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordocom a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,211 miˆ, b) ~r2=0,421 m iˆ, c) ~r3=1,28 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 020 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,211 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,211 m)2 = −44,9 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,28 m)2 = 0,610 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 5,07 V/m, (B) − 128 V/m, (e1:C ) 11,3 V/m, (D) −78,1 V/m, (Correto:E) −44,9 V/m, (e2:F ) 5,64 V/m, (G) 3,89 V/m, (H) −39,9 V/m, (I) 7,78 V/m, (e3:J ) 11,3 V/m, (K) 8,79 V/m, (L) 6,38 V/m, (M) −24,1 V/m, (N) −59,7 V/m, (O) 3,13 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 3,98 V/m, (e2:B) 5,64 V/m, (C) −5,77 V/m, (D) −6,38 V/m, (E) 2,95 V/m, (F) −10,0 V/m, (Correto:G) 0 V/m, (H) 4,98 V/m, (I) −7,09 V/m, (J) 3,42 V/m, (K) −8,98 V/m, (L) 4,49 V/m, (M) −7,97 V/m, (e1:N ) −11,3 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −6,24 V/m, (B) −9,45 V/m, (e1:C ) −11,3 V/m, (D) 1,18 V/m, (Correto:E) 0,610 V/m, (F) 1,46 V/m, (G) −8,26 V/m, (H) 0,857 V/m, (I) 1,81 V/m, (J) 0,743 V/m, (K) −7,28 V/m, (L) 1,00 V/m, (M) 1,61 V/m, (N) 0,541 V/m, (O) 0,476 V/m, (d) (2.5 pontos) (e1:A) 9,48 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 37,2 V, (D) 19,4 V, (E) 7,97 V, (F) 15,2 V, (G) 17,2 V, (H) 32,1 V, (I) 12,1 V, (J) 24,9 V, (K) 10,6 V, (L) 13,8 V, (M) 7,02 V, (N) 27,7 V, (e2:O) 22,5 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼17,2 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 020 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 880 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 17,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 8 880 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 8 880 V 3,00 ×106V/m = 2,96× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,92× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =17,2 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,73× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,49× 10−3 m, (B) 1,81× 10−3 m, (Correto:C) 2,96× 10−3 m, (D) 1,33× 10−3 m, (E) 2,26× 10−3 m, (F) 2,03× 10−3 m, (G) 3,30× 10−3 m, (H) 2,59× 10−3 m, Versa˜o 020 (b) (4 pontos) (A) 2,30× 10−9 C, (B) 1,87× 10−9 C, (C) 8,79× 10−10 C, (Correto:D) 2,92× 10−9 C, (E) 9,76× 10−10 C, (F) 3,67 × 10−9 C, (G) 1,11 × 10−9 C, (H) 6,26 × 10−10 C, (I) 7,14 × 10−10 C, (J) 3,28 × 10−9 C, (K) 1,29× 10−9 C, (L) 2,60× 10−9 C, (M) 2,08× 10−9 C, (N) 1,55× 10−9 C, (O) 7,91× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 4,47× 10−6 m, (B) 4,97× 10−6 m, (C) 6,37× 10−6 m, (D) 3,37× 10−6 m, (Correto:E) 5,73× 10−6 m, (F) 3,87× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 021 Versa˜o Nome Turma 021 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas,q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,12 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,01 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −1,64× 101 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −3,28× 10−1 J (a) (5 pontos) (A)−6,05×10−4 N, (B)−8,82×10−4 N, (C)−6,15×100 N, (D)−7,95×100 N, (Correto:E) −1,64× 101 N, (F) −3,07× 100 N, (G) −9,25× 100 N, (e1:H ) −1,64× 10−3 N, (I) −4,49× 10−4 N, (J) −3,72× 100 N, (K) −1,99× 100 N, (L) −4,32× 100 N, (M) −2,19× 10−4 N, (N) −5,40× 10−4 N, (O) −3,31× 10−4 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −3,28 × 10−1 J, (B) −7,02 × 10−2 J, (C) −7,88 × 10−2 J, (D) −1,30 × 10−1 J, (E) −1,05 × 10−1 J, (F) −9,35 × 10−2 J, (G) −6,80 × 10−4 J, (H) −2,02 × 10−1 J, (I) −2,41 × 10−1 J, (J) −2,67 × 10−1 J, (K) −2,95 × 10−1 J, (L) −1,48 × 10−1 J, (M) −3,82 × 10−1 J, (N) −1,16 × 10−1 J, (O) −1,74× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =3,99 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,270 miˆ, b) ~r2=0,520 m iˆ, c) ~r3=1,31 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 021 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,270 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,270 m)2 = −27,4 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,31 m)2 = 0,583 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −59,1 V/m, (B) 9,70 V/m, (C) 6,47 V/m, (Correto:D) −27,4 V/m, (E) −46,7 V/m, (e1:F ) 7,40 V/m, (e3:G) 7,40 V/m, (H) 3,26 V/m, (I) 2,90 V/m, (e2:J ) 3,70 V/m, (K) 11,9 V/m, (L) −36,2 V/m, (M) − 192 V/m, (N) 8,26 V/m, (O) 5,86 V/m, (b) (2.5 pontos) (Correto:A) 0 V/m, (B) 3,32 V/m, (C) 5,59 V/m, (D) 2,96 V/m, (e2:E ) 3,70 V/m, (F)−8,79 V/m, (G)−11,6 V/m, (H) 4,75 V/m, (I)−5,82 V/m, (J)−9,88 V/m, (K)−6,52 V/m, (L) 4,18 V/m, (e1:M ) −7,40 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −6,09 V/m, (B) 1,44 V/m, (Correto:C) 0,583 V/m, (D) 0,457 V/m, (E) −8,54 V/m, (F) 0,890 V/m, (G) 1,30 V/m, (e1:H )−7,40 V/m, (I) 1,67 V/m, (J) 0,683 V/m, (K) 1,99 V/m, (L)−10,4 V/m, (M) 0,769 V/m, (N) 1,07 V/m, (O) −11,5 V/m, (d) (2.5 pontos) (e1:A) 7,41 V, (B) 10,9 V, (C) 22,6 V, (D) 16,1 V, (Correto:E) 1,67 V, (e2:F ) 14,2 V, (G) 8,47 V, (H) 37,3 V, (I) 30,6 V, (J) 25,3 V, (K) 12,4 V, (L) 9,48 V, (M) 19,0 V, (N) 33,9 V, (O) 45,4 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼16,9 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 021 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 120 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 16,9 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 5 120 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 5 120 V 3,00 ×106V/m = 1,71× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 9,72× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =16,9 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,63× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,51× 10−3 m, (B) 2,76× 10−3 m, (C) 1,96× 10−3 m, (D) 2,26× 10−3 m, (Correto:E) 1,71× 10−3 m, (F) 1,36× 10−3 m, (G) 3,32× 10−3 m, Versa˜o 021 (b) (4 pontos) (A) 2,76× 10−9 C, (B) 2,44× 10−9 C, (C) 6,26× 10−10 C, (D) 2,17× 10−9 C, (E) 1,13× 10−9 C, (F) 1,76×10−9 C, (G) 7,57×10−10 C, (H) 1,96×10−9 C, (I) 8,43×10−10 C, (J) 1,25×10−9 C, (K) 3,16×10−9 C, (Correto:L) 9,72× 10−10 C, (M) 3,50× 10−9 C, (N) 1,45× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 4,33× 10−6 m, (Correto:B) 5,63× 10−6 m, (C) 3,40× 10−6 m, (D) 6,47× 10−6 m, (E) 4,93× 10−6 m, (F) 3,83× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıciegaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 022 Versa˜o Nome Turma 022 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,71 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,19 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −3,83× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,20× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −9,20×10−4 N, (B) −2,80×100 N, (C) −6,12×10−6 N, (D) −6,05×10−4 N, (E) −1,91×100 N, (F) −4,46 × 10−4 N, (G) −2,27 × 100 N, (H) −9,53 × 100 N, (I) −8,13 × 10−4 N, (J) −4,61 × 100 N, (K) −5,99×100 N, (L) −1,32×101 N, (e1:M ) −3,83×10−4 N, (Correto:N) −3,83×100 N, (O) −1,27×10−3 N, (b) (5 pontos) (A) −8,34×10−2 J, (B) −2,61×10−1 J, (C) −6,22×10−2 J, (D) −7,30×10−2 J, (E) −1,54×10−1 J, (F) −1,34×10−1 J, (G) −9,67×10−2 J, (Correto:H) −1,20×10−1 J, (I) −3,15×10−1 J, (J) −6,80×10−4 J, (K) −1,73× 10−1 J, (L) −1,95× 10−1 J, (M) −2,17× 10−1 J, (N) −3,60× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,91 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,260 miˆ, b) ~r2=0,482 m iˆ, c) ~r3=0,838 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 022 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,260 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,260 m)2 = −29,6 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,838 m)2 = 1,42 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 11,5 V/m, (B) −69,2 V/m, (C) 10,1 V/m, (D) 6,45 V/m, (E) − 124 V/m, (e3:F ) 8,61 V/m, (G) 5,05 V/m, (e2:H ) 4,30 V/m, (I) −60,4 V/m, (e1:J ) 8,61 V/m, (Correto:K) −29,6 V/m, (L) 7,63 V/m, (M) 2,88 V/m, (N) −83,2 V/m, (O) −40,6 V/m, (b) (2.5 pontos) (e2:A) 4,30 V/m, (B) −9,79 V/m, (C) 4,94 V/m, (e1:D) −8,61 V/m, (E) 5,75 V/m, (F) −6,40 V/m, (G) 3,42 V/m, (H) 2,90 V/m, (I) −5,75 V/m, (J) −7,20 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) 3,79 V/m, (M) −11,2 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,890 V/m, (B) −9,66 V/m, (C) −6,86 V/m, (e1:D) −8,61 V/m, (E) 2,00 V/m, (F) 0,783 V/m, (Correto:G) 1,42 V/m, (H) −5,90 V/m, (I) 1,19 V/m, (J) 1,71 V/m, (K) −10,9 V/m, (L) 1,00 V/m, (M) 0,661 V/m, (N) 0,583 V/m, (O) 0,482 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 19,8 V, (B) 25,4 V, (C) 10,1 V, (D) 8,55 V, (E) 12,3 V, (F) 40,0 V, (G) 6,90 V, (e2:H ) 16,0 V, (I) 14,1 V, (J) 30,3 V, (K) 46,5 V, (L) 33,8 V, (Correto:M) 1,67 V, (e1:N ) 7,69 V, (O) 22,4 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼12,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 022 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 290 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 12,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 8 290 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 8 290 V 3,00 ×106V/m = 2,76× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,55× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =12,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:l = K eE = 4,20× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,45× 10−3 m, (B) 3,32× 10−3 m, (C) 1,84× 10−3 m, (D) 1,44× 10−3 m, (E) 1,63× 10−3 m, (F) 2,12× 10−3 m, (Correto:G) 2,76× 10−3 m, Versa˜o 022 (b) (4 pontos) (A) 2,83× 10−9 C, (B) 1,51× 10−9 C, (C) 8,97× 10−10 C, (Correto:D) 2,55× 10−9 C, (E) 6,20× 10−10 C, (F) 7,98× 10−10 C, (G) 7,14× 10−10 C, (H) 9,99× 10−10 C, (I) 1,37× 10−9 C, (J) 2,02× 10−9 C, (K) 1,22× 10−9 C, (L) 1,80× 10−9 C, (M) 3,45× 10−9 C, (N) 2,23× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 5,03× 10−6 m, (B) 3,37× 10−6 m, (C) 6,23× 10−6 m, (D) 5,60× 10−6 m, (E) 3,73× 10−6 m, (Correto:F) 4,20× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 023 Versa˜o Nome Turma 023 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,75 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,84 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −8,94× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,50× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −7,59×10−4 N, (B) −3,62×10−4 N, (C) −9,91×100 N, (D) −4,30×10−4 N, (E) −3,87×100 N, (F) −6,98 × 100 N, (G) −6,18 × 100 N, (H) −4,99 × 100 N, (I) −2,47 × 100 N, (e1:J ) −8,94 × 10−4 N, (Correto:K) −8,94×100 N, (L) −5,11×10−4 N, (M) −1,64×101 N, (N) −1,27×10−3 N, (O) −1,05×10−3 N, (b) (5 pontos) (A) −1,43×10−1 J, (B) −3,82×10−1 J, (C) −2,76×10−1 J, (D) −1,86×10−1 J, (E) −7,30×10−2 J, (F) −9,46 × 10−2 J, (G) −3,15 × 10−1 J, (H) −8,48 × 10−2 J, (I) −2,10 × 10−1 J, (J) −6,80 × 10−4 J, (K) −1,27×10−1 J, (Correto:L) −2,50×10−1 J, (M) −1,11×10−1 J, (N) −1,69×10−1 J, (O) −6,22×10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =3,00 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,176 miˆ, b) ~r2=0,557 m iˆ, c) ~r3=1,46 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 023 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,176 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,176 m)2 = −64,6 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,46 m)2 = 0,469 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 4,05 V/m, (B) 5,43 V/m, (C) 9,17 V/m, (D) − 185 V/m, (Correto:E) −64,6 V/m, (F) 11,2 V/m, (e3:G) 6,45 V/m, (H) −28,1 V/m, (I) −43,3 V/m, (J) −32,5 V/m, (e2:K ) 3,22 V/m, (L) 7,51 V/m, (M) − 104 V/m, (e1:N ) 6,45 V/m, (O) 3,61 V/m, (b) (2.5 pontos) (e2:A) 3,22 V/m, (B) 5,41 V/m, (C) 2,87 V/m, (D) 4,77 V/m, (E) −7,23 V/m, (e1:F ) −6,45 V/m, (G) −5,80 V/m, (H) −8,10 V/m, (I) 3,59 V/m, (J) 4,11 V/m, (K) −11,3 V/m, (L) −9,79 V/m, (Cor- reto:M) 0 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,46 V/m, (B) 0,683 V/m, (C) 0,907 V/m, (D) 1,02 V/m, (Correto:E) 0,469 V/m, (e1:F ) −6,45 V/m, (G) 0,592 V/m, (H) 1,75 V/m, (I) −9,75 V/m, (J) −7,78 V/m, (K) −11,8 V/m, (L) 2,00 V/m, (M) 1,19 V/m, (N) −8,83 V/m, (O) 0,783 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 9,52 V, (e2:B) 20,4 V, (C) 30,9 V, (D) 23,5 V, (e1:E ) 11,4 V, (F) 16,1 V, (G) 8,47 V, (H) 14,3 V, (I) 6,90 V, (J) 27,4 V, (K) 40,0 V, (Correto:L) 1,67 V, (M) 35,2 V, (N) 7,60 V, (O) 12,9 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼12,4 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 023 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´tricado ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 900 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 12,4 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 900 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 900 V 3,00 ×106V/m = 2,63× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,31× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =12,4 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,13× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,59× 10−3 m, (B) 2,22× 10−3 m, (C) 3,01× 10−3 m, (D) 1,85× 10−3 m, (E) 3,32× 10−3 m, (F) 1,39× 10−3 m, (Correto:G) 2,63× 10−3 m, Versa˜o 023 (b) (4 pontos) (A) 2,06× 10−9 C, (B) 1,00× 10−9 C, (Correto:C) 2,31× 10−9 C, (D) 7,95× 10−10 C, (E) 1,36× 10−9 C, (F) 1,87 × 10−9 C, (G) 3,18 × 10−9 C, (H) 6,45 × 10−10 C, (I) 2,83 × 10−9 C, (J) 7,14 × 10−10 C, (K) 1,64× 10−9 C, (L) 3,68× 10−9 C, (M) 8,97× 10−10 C, (N) 1,13× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 6,63× 10 −6 m, (B) 6,00× 10−6 m, (C) 5,03× 10−6 m, (Correto:D) 4,13× 10−6 m, (E) 3,37× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 024 Versa˜o Nome Turma 024 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,91 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,75 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,69× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,72× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −8,93×10−4 N, (B) −3,02×100 N, (C) −6,52×100 N, (D) −5,87×100 N, (E) −4,10×100 N, (F) −6,02×10−4 N, (G) −2,63×10−4 N, (H) −9,85×10−4 N, (I) −7,95×10−4 N, (Correto:J) −4,69×100 N, (K) −5,26× 100 N, (L) −3,16× 10−4 N, (e1:M ) −4,69× 10−4 N, (N) −1,83× 101 N, (O) −7,32× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −8,34×10−2 J, (B) −1,10×10−1 J, (C) −3,83×10−1 J, (D) −6,22×10−2 J, (E) −1,90×10−1 J, (F) −9,99×10−2 J, (G) −7,30×10−2 J, (Correto:H) −1,72×10−1 J, (I) −6,80×10−4 J, (J) −1,25×10−1 J, (K) −1,54× 10−1 J, (L) −3,41× 10−1 J, (M) −2,78× 10−1 J, (N) −2,30× 10−1 J, (O) −1,39× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,67 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,243 miˆ, b) ~r2=0,589 m iˆ, c) ~r3=0,791 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 024 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,243 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,243 m)2 = −33,9 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,791 m)2 = 1,60 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e3:A) 5,77 V/m, (e1:B) 5,77 V/m, (e2:C ) 2,88 V/m, (D) −86,6 V/m, (E) 3,60 V/m, (F) −25,9 V/m, (G) 8,50 V/m, (H) 6,42 V/m, (Correto:I) −33,9V/m, (J) 10,1 V/m, (K) 5,05 V/m, (L) − 111 V/m, (M) 4,13 V/m, (N) 7,12 V/m, (O) 11,3 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −7,04 V/m, (Correto:B) 0 V/m, (C) −8,72 V/m, (D) −6,38 V/m, (E) 3,80 V/m, (F) 4,23 V/m, (G) 5,33 V/m, (H) 5,95 V/m, (I) −9,92 V/m, (J) −11,4 V/m, (e1:K ) −5,77 V/m, (L) 3,23 V/m, (e2:M ) 2,88 V/m, (N) −7,87 V/m, (O) 4,73 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,87 V/m, (Correto:B) 1,60 V/m, (C) 0,873 V/m, (e1:D) −5,77 V/m, (E) 0,457 V/m, (F) 0,718 V/m, (G) 0,961 V/m, (H) −6,42 V/m, (I) −8,10 V/m, (J) 0,620 V/m, (K) −11,8 V/m, (L) −7,23 V/m, (M) 0,557 V/m, (N) −9,88 V/m, (O) 1,23 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 16,9 V, (B) 26,6 V, (C) 37,2 V, (D) 7,02 V, (E) 9,52 V, (F) 44,0 V, (G) 10,5 V, (H) 12,3 V, (I) 21,1 V, (J) 23,5 V, (e1:K ) 8,23 V, (L) 18,7 V, (Correto:M) 1,67 V, (e2:N ) 14,0 V, (O) 30,1 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼19,4 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 024 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 390 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 19,4 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 390 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 390 V 3,00 ×106V/m = 1,46× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 7,14× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =19,4 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,47× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,88× 10−3 m, (B) 2,55× 10−3 m, (C) 1,99× 10−3 m, (Correto:D) 1,46× 10−3 m, (E) 2,26× 10−3 m, (F) 1,80× 10−3 m, (G) 1,61× 10−3 m, (H) 3,33× 10−3 m, Versa˜o 024 (b) (4 pontos) (A) 1,36× 10−9 C, (B) 3,03× 10−9 C, (C) 1,68× 10−9 C, (D) 2,40× 10−9 C, (E) 2,75× 10−9 C, (F) 6,17× 10−10 C, (G) 1,22× 10−9 C, (Correto:H) 7,14× 10−10 C, (I) 1,50× 10−9 C, (J) 3,45× 10−9 C, (K) 1,91× 10−9 C, (L) 2,17× 10−9 C, (M) 9,99× 10−10 C, (N) 8,65× 10−10 C, (c) (2 pontos) (Correto:A) 6,47× 10−6 m, (B) 4,27× 10−6 m, (C) 5,03× 10−6 m, (D) 3,33× 10−6 m, (E) 5,80× 10−6 m, (F) 3,83× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 025 Versa˜o Nome Turma 025 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,02 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,22 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −3,21× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,01× 10−1 J (a) (5 pontos) (Correto:A) −3,21 × 100 N, (B) −4,88 × 10−4 N, (C) −4,34 × 10−4 N, (D) −7,66 × 100 N, (E) −4,59 × 100 N, (F) −3,83 × 10−4 N, (G) −5,11 × 100 N, (H) −1,27 × 10−3 N, (I) −1,67 × 10−3 N, (J) −9,94 × 100 N, (K) −6,75 × 10−4 N, (L) −1,14 × 10−3 N, (e1:M ) −3,21 × 10−4 N, (N) −6,54 × 100 N, (O) −2,69× 10−4 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −1,01 × 10−1 J, (B) −1,80 × 10−1 J, (C) −3,83 × 10−1 J, (D) −1,30 × 10−1 J, (E) −8,27 × 10−2 J, (F) −2,95 × 10−1 J, (G) −6,80 × 10−4 J, (H) −7,33 × 10−2 J, (I) −2,46 × 10−1 J, (J) −3,26× 10−1 J, (K) −1,54× 10−1 J, (L) −1,13× 10−1 J, (M) −6,22× 10−2 J, (N) −2,05× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =4,07 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,290 miˆ, b) ~r2=0,497 m iˆ, c) ~r3=0,857 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a eb e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 025 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,290 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,290 m)2 = −23,8 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,857 m)2 = 1,36 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −28,9 V/m, (e2:B) 4,05 V/m, (C) 5,67 V/m, (D) −47,6 V/m, (E) 7,12 V/m, (F) −40,9 V/m, (G) 3,25 V/m, (H) 4,85 V/m, (I) 10,5 V/m, (J) 3,59 V/m, (e3:K ) 8,10 V/m, (e1:L) 8,10 V/m, (M) −35,3 V/m, (N) 6,40 V/m, (Correto:O) −23,8 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −6,03 V/m, (B) −6,91 V/m, (Correto:C) 0 V/m, (e1:D) −8,10 V/m, (e2:E ) 4,05 V/m, (F) 3,42 V/m, (G) −8,98 V/m, (H) 2,92 V/m, (I) 5,41 V/m, (J) −10,0 V/m, (K) −11,3 V/m, (L) 4,85 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −7,28 V/m, (B) 0,496 V/m, (C) 0,450 V/m, (D) 1,70 V/m, (E) 1,89 V/m, (F) 0,925 V/m, (G) 1,10 V/m, (H) −6,42 V/m, (I) −11,1 V/m, (e1:J ) −8,10 V/m, (Correto:K) 1,36 V/m, (L) −9,88 V/m, (M) 0,797 V/m, (N) 0,565 V/m, (O) 0,683 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 30,3 V, (B) 8,97 V, (C) 35,3 V, (D) 16,2 V, (E) 39,3 V, (F) 12,4 V, (G) 18,5 V, (H) 21,3 V, (I) 24,9 V, (e2:J ) 13,9 V, (K) 10,7 V, (L) 7,81 V, (Correto:M) 1,67 V, (N) 46,5 V, (e1:O) 6,90 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,2 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 025 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 960 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 6 960 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 960 V 3,00 ×106V/m = 2,32× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,80× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,2 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,40× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 2,32× 10−3 m, (B) 1,38× 10−3 m, (C) 3,30× 10−3 m, (D) 2,85× 10−3 m, (E) 1,63× 10−3 m, (F) 1,85× 10−3 m, (G) 2,07× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 6,42× 10−10 C, (B) 2,00× 10−9 C, (C) 8,86× 10−10 C, (D) 1,37× 10−9 C, (E) 7,98× 10−10 C, (F) 1,53 × 10−9 C, (G) 2,26 × 10−9 C, (Correto:H) 1,80 × 10−9 C, (I) 1,01 × 10−9 C, (J) 3,16 × 10−9 C, (K) 3,68× 10−9 C, (L) 1,13× 10−9 C, (M) 7,14× 10−10 C, (N) 2,68× 10−9 C, Versa˜o 025 (c) (2 pontos) (A) 3,93× 10−6 m, (B) 6,30× 10−6 m, (C) 4,43× 10−6 m, (Correto:D) 3,40× 10−6 m, (E) 5,07× 10−6 m, (F) 5,60× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 026 Versa˜o Nome Turma 026 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,62 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,32 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,23× 100 Nb) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,38× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −2,64 × 10−4 N, (B) −4,77 × 10−4 N, (C) −1,67 × 10−3 N, (D) −9,97 × 10−4 N, (Cor- reto:E) −4,23 × 100 N, (F) −2,47 × 100 N, (G) −5,50 × 100 N, (H) −3,31 × 100 N, (I) −1,12 × 10−3 N, (J) −2,88 × 100 N, (K) −7,78 × 10−4 N, (L) −7,97 × 100 N, (M) −1,83 × 101 N, (e1:N ) −4,23 × 10−4 N, (O) −6,16× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −9,99 × 10−2 J, (B) −3,82 × 10−1 J, (C) −6,22 × 10−2 J, (D) −2,10 × 10−1 J, (Cor- reto:E) −1,38 × 10−1 J, (F) −3,33 × 10−1 J, (G) −1,16 × 10−1 J, (H) −2,43 × 10−1 J, (I) −1,59 × 10−1 J, (J) −7,13× 10−2 J, (K) −8,14× 10−2 J, (L) −1,84× 10−1 J, (M) −6,80× 10−4 J, (N) −2,89× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,26 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,146 miˆ, b) ~r2=0,447 m iˆ, c) ~r3=0,945 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 026 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,146 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,146 m)2 = −93,8 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,945 m)2 = 1,12 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 3,21 V/m, (Correto:B) −93,8 V/m, (C) −31,7 V/m, (e1:D) 10,0 V/m, (E) 4,05 V/m, (F) −39,5 V/m, (G) 5,84 V/m, (H) 6,71 V/m, (e2:I ) 5,00 V/m, (J) −25,5 V/m, (K) − 151 V/m, (e3:L) 10,0 V/m, (M) 8,13 V/m, (N) −47,1 V/m, (O) 11,4 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 3,79 V/m, (e2:B) 5,00 V/m, (Correto:C) 0 V/m, (D) −7,17 V/m, (E) 2,98 V/m, (F) −11,5 V/m, (G) −6,05 V/m, (H) −8,33 V/m, (I) 4,34 V/m, (J) 3,38 V/m, (e1:K ) −10,0 V/m, (L) 5,72 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,672 V/m, (B) −5,95 V/m, (C) 0,756 V/m, (D) −8,20 V/m, (E) 0,961 V/m, (e1:F ) −10,0 V/m, (G) 0,592 V/m, (H) 1,41 V/m, (I) −11,3 V/m, (J) 1,74 V/m, (K) −6,56 V/m, (L) 1,57 V/m, (M) −7,34 V/m, (Correto:N) 1,12 V/m, (O) 0,450 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 38,5 V, (B) 18,9 V, (C) 16,0 V, (D) 22,2 V, (E) 33,9 V, (Correto:F) 1,67 V, (G) 26,6 V, (e1:H ) 13,7 V, (I) 7,49 V, (J) 6,67 V, (K) 46,5 V, (L) 8,55 V, (M) 11,1 V, (N) 10,0 V, (e2:O) 30,6 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,5 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 026 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 560 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 560 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 560 V 3,00 ×106V/m = 2,52× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,12× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,5 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,50× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,75× 10−3 m, (Correto:B) 2,52× 10−3 m, (C) 1,59× 10−3 m, (D) 1,37× 10−3 m, (E) 2,83× 10−3 m, (F) 2,24× 10−3 m, (G) 2,01× 10−3 m, (H) 3,27× 10−3 m, Versa˜o 026 (b) (4 pontos) (A) 6,42× 10−10 C, (B) 1,86× 10−9 C, (C) 1,61× 10−9 C, (D) 1,01× 10−9 C, (E) 1,37× 10−9 C, (F) 2,58 × 10−9 C, (Correto:G) 2,12 × 10−9 C, (H) 3,39 × 10−9 C, (I) 7,44 × 10−10 C, (J) 1,14 × 10−9 C, (K) 2,96× 10−9 C, (L) 2,34× 10−9 C, (M) 9,12× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 3,87× 10−6 m, (Correto:B) 3,50× 10−6 m, (C) 5,47× 10−6 m, (D) 6,30× 10−6 m, (E) 4,87× 10−6 m, (F) 4,33× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.(a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 027 Versa˜o Nome Turma 027 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,10 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,33 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,68× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,08× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −1,32 × 10−3 N, (B) −6,05 × 10−4 N, (Correto:C) −4,68 × 100 N, (D) −7,54 × 100 N, (E) −1,14 × 10−3 N, (F) −1,43 × 101 N, (G) −8,64 × 100 N, (e1:H ) −4,68 × 10−4 N, (I) −8,17 × 10−4 N, (J) −9,97 × 10−4 N, (K) −3,08 × 10−4 N, (L) −3,16 × 100 N, (M) −3,50 × 100 N, (N) −5,23 × 100 N, (O) −6,03× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −1,22×10−1 J, (B) −2,17×10−1 J, (C) −1,84×10−1 J, (D) −7,13×10−2 J, (E) −1,63×10−1 J, (F) −6,22×10−2 J, (Correto:G) −1,08×10−1 J, (H) −9,35×10−2 J, (I) −3,82×10−1 J, (J) −3,28×10−1 J, (K) −2,64× 10−1 J, (L) −7,94× 10−2 J, (M) −2,93× 10−1 J, (N) −6,80× 10−4 J, (O) −1,39× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =2,95 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,147 miˆ, b) ~r2=0,569 m iˆ, c) ~r3=0,707 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 027 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,147 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,147 m)2 = −92,6 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,707 m)2 = 2,00 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 7,66 V/m, (B) −50,5 V/m, (e2:C ) 3,09 V/m, (D) −29,6 V/m, (E) 10,5 V/m, (F) 4,92 V/m, (G) 3,94 V/m, (H) 11,8 V/m, (e3:I ) 6,18 V/m, (Correto:J) −92,6 V/m, (e1:K ) 6,18 V/m, (L) 9,21 V/m, (M) − 154 V/m, (N) −59,7 V/m, (O) 6,83 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −7,94 V/m, (B) −7,01 V/m, (C) 4,36 V/m, (D) 3,92 V/m, (E) 5,62 V/m, (e2:F ) 3,09 V/m, (e1:G) −6,18 V/m, (Correto:H) 0 V/m, (I) 3,56 V/m, (J) −11,4 V/m, (K) −9,70 V/m, (L) 4,89 V/m, (c) (2.5 pontos) (Correto:A) 2,00 V/m, (B) −11,5 V/m, (e1:C ) −6,18 V/m, (D) 1,15 V/m, (E) 0,769 V/m, (F) 1,72 V/m, (G) −7,28 V/m, (H) 0,496 V/m, (I) −8,98 V/m, (J) 0,683 V/m, (K) 1,01 V/m, (L) 0,890 V/m, (M) −10,1 V/m, (N) 0,620 V/m, (O) 1,56 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 16,0 V, (B) 6,90 V, (C) 32,1 V, (Correto:D) 1,67 V, (E) 26,7 V, (e1:F ) 13,6 V, (G) 8,97 V, (H) 17,8 V, (I) 46,5 V, (J) 11,6 V, (K) 20,4 V, (e2:L) 23,9 V, (M) 10,3 V, (N) 40,0 V, (O) 7,97 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼15,0 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 027 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 470 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 15,0 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 5 470 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 5 470 V 3,00 ×106V/m = 1,82× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,11× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =15,0 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,00× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 3,24× 10−3 m, (B) 2,26× 10−3 m, (Correto:C) 1,82× 10−3 m, (D) 2,01× 10−3 m, (E) 1,44× 10−3 m, (F) 2,53× 10−3 m, (G) 2,83× 10−3 m, (H) 1,62× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 7,67× 10−10 C, (B) 1,31× 10−9 C, (C) 9,99× 10−10 C, (D) 6,63×10−10 C, (E) 2,83× 10−9 C, (F) 8,83× 10−10 C, (G) 3,70× 10−9 C, (H) 5,96× 10−10 C, (I) 1,51× 10−9 C, (Correto:J) 1,11× 10−9 C, (K) 2,47× 10−9 C, (L) 1,69× 10−9 C, (M) 1,86× 10−9 C, (N) 2,24× 10−9 C, (O) 3,28× 10−9 C, Versa˜o 027 (c) (2 pontos) (A) 3,67× 10−6 m, (B) 4,10× 10−6 m, (C) 6,13× 10−6 m, (Correto:D) 5,00× 10−6 m, (E) 5,50× 10−6 m, (F) 3,33× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 028 Versa˜o Nome Turma 028 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,31 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,78 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,59× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,26× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −5,19× 100 N, (B) −3,83× 10−4 N, (e1:C ) −4,59× 10−4 N, (D) −6,70× 100 N, (E) −9,25× 10−4 N, (F) −6,58×10−4 N, (G) −9,02×100 N, (H) −1,27×101 N, (I) −8,18×10−4 N, (Correto:J) −4,59× 100 N, (K) −1,13× 10−3 N, (L) −2,73× 10−4 N, (M) −1,27× 10−3 N, (N) −3,92× 100 N, (O) −7,76× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −9,99 × 10−2 J, (B) −3,82 × 10−1 J, (C) −1,12 × 10−1 J, (Correto:D) −1,26 × 10−1 J, (E) −3,28 × 10−1 J, (F) −2,33 × 10−1 J, (G) −2,60 × 10−1 J, (H) −6,22 × 10−2 J, (I) −1,81 × 10−1 J, (J) −8,14 × 10−2 J, (K) −7,20 × 10−2 J, (L) −6,80 × 10−4 J, (M) −2,89 × 10−1 J, (N) −2,05 × 10−1 J, (O) −1,48× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,31 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,110 miˆ, b) ~r2=0,558 m iˆ, c) ~r3=1,35 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 028 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,110 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,110 m)2 = − 165 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,35 m)2 = 0,549 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e2:A) 3,21 V/m, (B) −45,4 V/m, (Correto:C) − 165 V/m, (D) 7,66 V/m, (E) −30,5 V/m, (F) −24,6 V/m, (e3:G) 6,42 V/m, (H) 10,7 V/m, (I) 5,77 V/m, (J) 4,98 V/m, (K) −88,9 V/m, (L) −35,9 V/m, (M) 4,45 V/m, (e1:N ) 6,42 V/m, (O) 3,64 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 5,75 V/m, (B) 4,51 V/m, (e2:C ) 3,21 V/m, (D) 4,03 V/m, (E)−7,12 V/m, (e1:F )−6,42 V/m, (G) −11,8 V/m, (H) −9,62 V/m, (I) −10,6 V/m, (Correto:J) 0 V/m, (K) 5,05 V/m, (L) −5,77 V/m, (M) −8,06 V/m, (N) 3,56 V/m, (O) 2,87 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,05 V/m, (B) 0,826 V/m, (C) 0,482 V/m, (D) −8,54 V/m, (E) 1,36 V/m, (F) −10,5 V/m, (G) −7,12 V/m, (e1:H ) −6,42 V/m, (I) 0,610 V/m, (J) 1,18 V/m, (Correto:K) 0,549 V/m, (L) 1,96 V/m, (M) −9,45 V/m, (N) 1,60 V/m, (O) 0,706 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 15,4 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 39,3 V, (D) 12,3 V, (E) 21,5 V, (F) 9,22 V, (G) 6,97 V, (H) 23,9 V, (e1:I ) 18,2 V, (J) 10,8 V, (K) 27,8 V, (L) 7,81 V, (M) 45,4 V, (e2:N ) 32,6 V, (O) 13,6 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼18,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 028 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 160 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radialira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 18,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 160 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 160 V 3,00 ×106V/m = 2,39× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,90× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =18,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,20× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,77× 10−3 m, (B) 1,59× 10−3 m, (Correto:C) 2,39× 10−3 m, (D) 3,09× 10−3 m, (E) 1,39× 10−3 m, (F) 2,68× 10−3 m, (G) 1,99× 10−3 m, Versa˜o 028 (b) (4 pontos) (A) 8,86× 10−10 C, (B) 1,17× 10−9 C, (C) 3,12× 10−9 C, (D) 1,45× 10−9 C, (E) 2,38× 10−9 C, (F) 3,61× 10−9 C, (Correto:G) 1,90× 10−9 C, (H) 6,42× 10−10 C, (I) 1,01× 10−9 C, (J) 7,44× 10−10 C, (K) 1,31× 10−9 C, (L) 2,14× 10−9 C, (M) 1,64× 10−9 C, (N) 2,78× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 4,23× 10−6 m, (B) 3,57× 10−6 m, (C) 5,03× 10−6 m, (Correto:D) 6,20× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 029 Versa˜o Nome Turma 029 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−6,08 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,44 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −8,37× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,02× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −2,73×100 N, (B) −9,89×10−4 N, (C) −3,31×100 N, (D) −3,62×10−4 N, (E) −1,11×101 N, (F) −5,79× 10−4 N, (G) −1,21× 10−3 N, (H) −7,32× 10−4 N, (e1:I ) −8,37× 10−4 N, (Correto:J) −8,37× 100 N, (K) −6,12× 10−6 N, (L) −5,97× 100 N, (M) −4,38× 100 N, (N) −2,56× 10−4 N, (O) −4,29× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −8,27×10−2 J, (B) −3,83×10−1 J, (C) −3,22×10−1 J, (D) −2,50×10−1 J, (E) −7,22×10−2 J, (Correto:F) −2,02×10−1 J, (G) −1,13×10−1 J, (H) −2,87×10−1 J, (I) −6,80×10−4 J, (J) −1,80×10−1 J, (K) −1,63× 10−1 J, (L) −1,26× 10−1 J, (M) −9,71× 10−2 J, (N) −1,39× 10−1 J, (O) −6,22× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,56 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,261 miˆ, b) ~r2=0,491 m iˆ, c) ~r3=0,738 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 029 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,261 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,261 m)2 = −29,4 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,738 m)2 = 1,84 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e3:A) 8,30 V/m, (e2:B) 4,15 V/m, (C) 5,88 V/m, (D) 7,40 V/m, (E) 4,96 V/m, (F) −35,0 V/m, (Correto:G) −29,4 V/m, (H) −40,6 V/m, (I) −57,8 V/m, (J) 11,3 V/m, (K) −50,0 V/m, (L) 3,11 V/m, (e1:M ) 8,30 V/m, (N) 9,83 V/m, (O) −24,1 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 5,75 V/m, (B) −11,4 V/m, (C) 5,00 V/m, (D) −5,75 V/m, (e1:E ) −8,30 V/m, (e2:F ) 4,15 V/m, (G) −7,40 V/m, (H) 3,64 V/m, (I) 2,88 V/m, (J) −6,47 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) −10,1 V/m, (M) 3,22 V/m, (c) (2.5 pontos) (Correto:A) 1,84 V/m, (B) 0,450 V/m,(C) 0,890 V/m, (D) 1,19 V/m, (E) −7,40 V/m, (F) −10,8 V/m, (G) 0,797 V/m, (H) −5,77 V/m, (I) 0,640 V/m, (J) 1,02 V/m, (K) −6,47 V/m, (e1:L) −8,30 V/m, (M) 1,44 V/m, (N) 0,510 V/m, (O) 0,706 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 39,3 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 12,2 V, (e1:D) 7,66 V, (E) 22,6 V, (F) 20,1 V, (e2:G) 15,6 V, (H) 17,8 V, (I) 27,2 V, (J) 6,73 V, (K) 10,3 V, (L) 8,73 V, (M) 35,2 V, (N) 14,0 V, (O) 30,7 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,2 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 029 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 9 840 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 9 840 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 9 840 V 3,00 ×106V/m = 3,28× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 3,59× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,2 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,73× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,39× 10−3 m, (B) 1,85× 10−3 m, (C) 1,66× 10−3 m, (Correto:D) 3,28× 10−3 m, (E) 2,39× 10−3 m, (F) 2,10× 10−3 m, (G) 2,71× 10−3 m, Versa˜o 029 (b) (4 pontos) (A) 1,08× 10−9 C, (B) 3,19× 10−9 C, (C) 6,20× 10−10 C, (D) 2,73× 10−9 C, (E) 1,55× 10−9 C, (F) 8,36× 10−10 C, (G) 7,14× 10−10 C, (H) 9,27× 10−10 C, (I) 2,24× 10−9 C, (Correto:J) 3,59× 10−9 C, (K) 1,29× 10−9 C, (L) 1,76× 10−9 C, (M) 1,96× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 3,33× 10−6 m, (B) 5,20× 10−6 m, (C) 4,67× 10−6 m, (Correto:D) 3,73× 10−6 m, (E) 6,60× 10−6 m, (F) 5,97× 10−6 m, (G) 4,17× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 030 Versa˜o Nome Turma 030 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,64 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,32 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −3,49× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,14× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −2,98×10−4 N, (B) −8,63×100 N, (C) −4,40×100 N, (D) −6,26×100 N, (E) −2,39×10−4 N, (F) −1,39×101 N, (G) −2,87×100 N, (H) −1,21×101 N, (I) −4,43×10−4 N, (J) −6,75×10−4 N, (K) −5,55× 100 N, (L) −8,63× 10−4 N, (e1:M ) −3,49× 10−4 N, (Correto:N) −3,49× 100 N, (O) −1,06× 10−3 N, (b) (5 pontos) (A) −1,70 × 10−1 J, (B) −2,52 × 10−1 J, (C) −9,67 × 10−2 J, (D) −6,22 × 10−2 J, (Cor- reto:E) −1,14 × 10−1 J, (F) −7,02 × 10−2 J, (G) −2,78 × 10−1 J, (H) −1,90 × 10−1 J, (I) −1,51 × 10−1 J, (J) −1,35 × 10−1 J, (K) −2,16 × 10−1 J, (L) −8,35 × 10−2 J, (M) −3,83 × 10−1 J, (N) −3,14 × 10−1 J, (O) −6,80× 10−4 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,13 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,289 miˆ, b) ~r2=0,566 m iˆ, c) ~r3=0,833 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 030 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gaussnuma esfera de raio r1 =0,289 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,289 m)2 = −23,9 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,833 m)2 = 1,44 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e2:A) 3,12 V/m, (e3:B) 6,24 V/m, (C) −37,2 V/m, (D) 3,49 V/m, (e1:E ) 6,24 V/m, (F) 10,4 V/m, (G) 4,49 V/m, (H) − 128 V/m, (I) 7,87 V/m, (J) −65,3 V/m, (K) −84,3 V/m, (L) 8,72 V/m, (Correto:M) −23,9 V/m, (N) 5,05 V/m, (O) −43,3 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 4,27 V/m, (B) 5,75 V/m, (C) 3,73 V/m, (D) −6,99 V/m, (E) −11,7 V/m, (F) −10,6 V/m, (G) −9,41 V/m, (e1:H ) −6,24 V/m, (e2:I ) 3,12 V/m, (J) −8,20 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) 4,83 V/m, (c) (2.5 pontos) (Correto:A) 1,44 V/m, (B) −7,28 V/m, (C) 0,549 V/m, (D) 1,61 V/m, (E) 1,26 V/m, (F) 0,812 V/m, (G) 0,482 V/m, (H) −11,0 V/m, (I) 1,10 V/m, (J) 0,925 V/m, (K) 0,630 V/m, (L) −9,79 V/m, (M) 1,89 V/m, (N) −8,50 V/m, (e1:O) −6,24 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 10,9 V, (e2:B) 12,2 V, (C) 27,7 V, (D) 13,7 V, (E) 38,5 V, (F) 17,1 V, (G) 8,73 V, (H) 34,1 V, (I) 44,0 V, (e1:J ) 6,92 V, (K) 15,2 V, (Correto:L) 1,67 V, (M) 19,3 V, (N) 24,8 V, (O) 9,71 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼19,3 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto Versa˜o 030 e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 260 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 19,3 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 260 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 260 V 3,00 ×106V/m = 2,42× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,95× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =19,3 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 6,43× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,16× 10−3 m, (B) 1,93× 10−3 m, (C) 1,59× 10−3 m, (D) 3,12× 10−3 m, (Correto:E) 2,42× 10−3 m, (F) 2,73× 10−3 m, (G) 1,44× 10−3 m, (b) (4 pontos) (A) 2,75× 10−9 C, (B) 7,14× 10−10 C, (C) 3,13× 10−9 C, (D) 3,56× 10−9 C, (E) 5,96× 10−10 C, (F) 2,41×10−9 C, (G) 7,95×10−10 C, (H) 1,61×10−9 C, (I) 1,39×10−9 C, (J) 8,83×10−10 C, (K) 1,25×10−9 C, (L) 1,13× 10−9 C, (M) 1,00× 10−9 C, (Correto:N) 1,95× 10−9 C, Versa˜o 030 (c) (2 pontos) (A) 5,70× 10−6 m, (Correto:B) 6,43× 10−6 m, (C) 4,40× 10−6 m, (D) 5,00× 10−6 m, (E) 3,77× 10−6 m, (F) 3,37× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 031 Versa˜o Nome Turma 031 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,28 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,61 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −2,73× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −9,64× 10−2 J (a) (5 pontos) (A) −5,83×100 N, (B) −6,05×10−4 N, (C) −4,56×10−4 N, (D) −4,23×100 N, (E) −7,70×10−4 N, (F) −6,54 × 100 N, (e1:G) −2,73 × 10−4 N, (H) −1,96 × 100 N, (I) −1,18 × 10−3 N,(J) −3,78 × 10−4 N, (K) −9,87×10−4 N, (L) −3,23×100 N, (M) −3,83×100 N, (Correto:N) −2,73×100 N, (O) −2,27×100 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −9,64 × 10−2 J, (B) −2,22 × 10−1 J, (C) −8,13 × 10−2 J, (D) −6,80 × 10−4 J, (E) −1,70 × 10−1 J, (F) −3,83 × 10−1 J, (G) −1,95 × 10−1 J, (H) −2,60 × 10−1 J, (I) −7,22 × 10−2 J, (J) −1,42× 10−1 J, (K) −6,22× 10−2 J, (L) −2,95× 10−1 J, (M) −3,41× 10−1 J, (N) −1,16× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,88 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,184 miˆ, b) ~r2=0,517 m iˆ, c) ~r3=1,35 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 031 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,184 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,184 m)2 = −59,1 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,35 m)2 = 0,549 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 11,3 V/m, (B) −29,1 V/m, (Correto:C) −59,1 V/m, (e3:D) 7,48 V/m, (E) − 122 V/m, (F) 6,42 V/m, (G) −48,5 V/m, (H) 2,98 V/m, (e1:I ) 7,48 V/m, (J) 8,83 V/m, (K) 5,67 V/m, (L) −35,0 V/m, (e2:M ) 3,74 V/m, (N) −24,3 V/m, (O) 4,18 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) 4,85 V/m, (B) 5,64 V/m, (C) 3,35 V/m, (D) 4,13 V/m, (E) −10,4 V/m, (F) −8,26 V/m, (G) −6,38 V/m, (e1:H ) −7,48 V/m, (I) −11,7 V/m, (e2:J ) 3,74 V/m, (K) −9,21 V/m, (Correto:L) 0 V/m, (M) 3,01 V/m, (c) (2.5 pontos) (e1:A) −7,48 V/m, (B) −6,52 V/m, (Correto:C) 0,549 V/m, (D) 1,36 V/m, (E) 0,610 V/m, (F) 0,743 V/m, (G) 1,54 V/m, (H) 0,826 V/m, (I) 1,84 V/m, (J) 1,12 V/m, (K) −8,40 V/m, (L) 1,00 V/m, (M) 0,489 V/m, (N) −9,96 V/m, (O) −11,2 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 8,73 V, (B) 31,5 V, (C) 35,3 V, (D) 14,4 V, (E) 39,3 V, (F) 16,5 V, (G) 7,49 V, (Cor- reto:H) 1,67 V, (e2:I ) 21,0 V, (J) 23,5 V, (K) 12,8 V, (L) 18,2 V, (e1:M ) 10,9 V, (N) 27,2 V, (O) 9,76 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼12,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 031 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 330 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 12,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 5 330 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 5 330 V 3,00 ×106V/m = 1,78× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,05× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =12,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,20× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,35× 10−3 m, (Correto:B) 1,78× 10−3 m, (C) 2,26× 10−3 m, (D) 1,96× 10−3 m, (E) 2,92× 10−3 m, (F) 2,59× 10−3 m, (G) 1,55× 10−3 m, (H) 3,26× 10−3 m, Versa˜o 031 (b) (4 pontos) (A) 6,14× 10−10 C, (B) 3,25× 10−9 C, (C) 1,25× 10−9 C, (D) 1,70× 10−9 C, (Correto:E) 1,05× 10−9 C, (F) 9,19 × 10−10 C, (G) 1,49 × 10−9 C, (H) 2,90 × 10−9 C, (I) 3,63 × 10−9 C, (J) 2,17 × 10−9 C, (K) 1,95× 10−9 C, (L) 7,37× 10−10 C, (M) 2,57× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 3,77× 10−6 m, (B) 4,70× 10−6 m, (C) 6,47× 10−6 m, (D) 5,33× 10−6 m, (E) 3,37× 10−6 m, (Correto:F) 4,20× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 032 Versa˜o Nome Turma 032 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,10 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,37 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −1,04× 101 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,43× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −2,87×10−4 N, (B) −3,07×100 N, (C) −2,47×100 N, (D) −6,99×100 N, (E) −8,10×10−4 N, (F) −1,99 × 100 N, (e1:G) −1,04 × 10−3 N, (H) −2,47 × 10−4 N, (I) −1,39 × 10−3 N, (J) −4,74 × 100 N, (Correto:K) −1,04×101 N, (L) −6,13×10−4 N, (M) −1,87×101 N, (N) −5,40×100 N, (O) −4,50×10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −3,83×10−1 J, (B) −8,48×10−2 J, (C) −7,02×10−2 J, (D) −3,22×10−1 J, (E) −1,25×10−1 J, (F) −1,54 × 10−1 J, (G) −6,80 × 10−4 J, (H) −2,74 × 10−1 J, (I) −1,38 × 10−1 J, (J) −6,22 × 10−2 J, (K) −1,10×10−1 J, (L) −9,64×10−2 J, (M) −1,74×10−1 J, (Correto:N) −2,43×10−1 J, (O) −2,04×10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,60 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,250 miˆ, b) ~r2=0,544 m iˆ, c) ~r3=1,10 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 032 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,250 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,250 m)2 = −32,0 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,10 m)2 = 0,826 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −93,8 V/m, (B) − 110 V/m, (Correto:C) −32,0 V/m, (D) 7,60 V/m, (E) −76,2 V/m, (F) 10,1 V/m, (G) 5,95 V/m, (e2:H ) 3,38 V/m, (e1:I ) 6,76 V/m, (J) −41,3 V/m, (K) − 200 V/m, (L) 11,3 V/m, (M) 8,47 V/m, (e3:N ) 6,76 V/m, (O) 3,97 V/m, (b) (2.5 pontos) (e1:A) −6,76 V/m, (B) 5,59 V/m, (C) −8,40 V/m, (D) 4,89 V/m, (E) −11,3 V/m, (e2:F ) 3,38 V/m, (G) −6,07 V/m, (H) −7,51 V/m, (I) 4,06 V/m, (J) 2,91 V/m, (K) −9,66 V/m, (Cor- reto:L) 0 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,02 V/m, (B) −11,4 V/m, (C) −9,62 V/m, (Correto:D) 0,826 V/m, (E) 0,743 V/m, (e1:F ) −6,76 V/m, (G) −5,82 V/m, (H) 0,463 V/m, (I) 1,95 V/m, (J) 0,630 V/m, (K) 0,525 V/m, (L) 1,38 V/m, (M) −7,94 V/m, (N) 1,57 V/m, (O) 1,13 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 44,0 V, (B) 26,6 V, (C) 9,48 V, (e2:D) 14,7 V, (E) 18,6 V, (F) 33,9 V, (G) 6,85 V, (H) 12,5 V, (I) 29,6 V, (Correto:J) 1,67 V, (K) 22,6 V, (L) 10,9 V, (M) 40,0 V, (e1:N ) 8,00 V, (O) 16,5 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 032 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 800 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 800 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 800 V 3,00 ×106V/m = 2,60× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,26× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,87× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 3,33× 10−3 m, (B) 1,55× 10−3 m, (C) 1,74× 10−3 m, (D) 2,86× 10−3 m, (Correto:E) 2,60× 10−3 m, (F) 2,10× 10−3 m, (G) 1,34× 10−3 m, (H) 2,33× 10−3 m, Versa˜o 032 (b) (4 pontos) (A) 1,04× 10−9 C, (Correto:B) 2,26× 10−9 C, (C) 3,61× 10−9 C, (D) 7,67× 10−10 C, (E) 1,36× 10−9 C, (F) 6,29 × 10−10 C, (G) 8,65 × 10−10 C, (H) 3,19 × 10−9 C, (I) 1,22 × 10−9 C, (J) 2,51 × 10−9 C, (K) 2,83× 10−9 C, (L) 1,61× 10−9 C, (M) 6,95× 10−10 C, (N) 1,86× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 5,30× 10 −6 m, (B) 4,43× 10−6 m, (C) 3,40× 10−6 m, (Correto:D) 3,87× 10−6 m, (E) 6,37× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostassem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 033 Versa˜o Nome Turma 033 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,99 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,09 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −7,78× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,37× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −3,46×100 N, (B) −6,16×10−4 N, (C) −4,88×100 N, (D) −2,39×100 N, (E) −4,93×10−4 N, (F) −9,89 × 100 N, (e1:G) −7,78 × 10−4 N, (H) −1,37 × 10−3 N, (I) −3,67 × 10−4 N, (J) −6,57 × 100 N, (K) −8,56×100 N, (L) −9,25×10−4 N, (M) −4,38×100 N, (Correto:N) −7,78×100 N, (O) −3,07×10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −1,35 × 10−1 J, (B) −9,35 × 10−2 J, (C) −3,84 × 10−1 J, (D) −2,76 × 10−1 J, (Cor- reto:E) −2,37 × 10−1 J, (F) −7,68 × 10−2 J, (G) −6,22 × 10−2 J, (H) −1,49 × 10−1 J, (I) −3,30 × 10−1 J, (J) −1,20× 10−1 J, (K) −6,80× 10−4 J, (L) −1,05× 10−1 J, (M) −1,78× 10−1 J, (N) −2,10× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =1,98 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,277 miˆ, b) ~r2=0,577 m iˆ, c) ~r3=1,36 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 033 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,277 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,277 m)2 = −26,1 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,36 m)2 = 0,541 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −41,3 V/m, (B) 5,12 V/m, (C) −35,3 V/m, (e3:D) 6,01 V/m, (e2:E ) 3,00 V/m, (e1:F ) 6,01 V/m, (G) −75,3 V/m, (Correto:H) −26,1 V/m, (I) −91,3 V/m, (J) 10,5 V/m, (K) −47,6 V/m, (L) 8,36 V/m, (M) 3,70 V/m, (N) 6,78 V/m, (O) −53,7 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −7,90 V/m, (B) 5,67 V/m, (C) 3,80 V/m, (e1:D) −6,01 V/m, (E) −9,75 V/m, (F) −11,8 V/m, (G) 5,07 V/m, (H) 4,29 V/m, (I) −6,68 V/m, (e2:J ) 3,00 V/m, (K) 3,45 V/m, (Cor- reto:L) 0 V/m, (M) −8,72 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −11,5 V/m, (B) −9,13 V/m, (C) 1,95 V/m, (D) 0,743 V/m, (E) 1,39 V/m, (F) 0,610 V/m, (G) 1,61 V/m, (Correto:H) 0,541 V/m, (e1:I ) −6,01 V/m, (J) 0,961 V/m, (K) 0,842 V/m, (L) −8,13 V/m, (M) −10,2 V/m, (N) 1,23 V/m, (O) −7,28 V/m, (d) (2.5 pontos) (e2:A) 12,5 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 14,8 V, (D) 10,8 V, (E) 8,37 V, (e1:F ) 7,22 V, (G) 38,4 V, (H) 31,5 V, (I) 23,3 V, (J) 17,5 V, (K) 28,1 V, (L) 9,22 V, (M) 34,8 V, (N) 44,0 V, (O) 20,3 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼12,3 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 033 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 990 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 12,3 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜ofixa de 6 990 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 990 V 3,00 ×106V/m = 2,33× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,81× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =12,3 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,10× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 1,63× 10−3 m, (Correto:B) 2,33× 10−3 m, (C) 3,13× 10−3 m, (D) 2,03× 10−3 m, (E) 1,36× 10−3 m, (F) 2,72× 10−3 m, (G) 1,82× 10−3 m, Versa˜o 033 (b) (4 pontos) (A) 7,91× 10−10 C, (B) 1,36× 10−9 C, (C) 3,60× 10−9 C, (D) 7,14× 10−10 C, (E) 2,17× 10−9 C, (F) 2,83× 10−9 C, (G) 1,61× 10−9 C, (H) 9,05× 10−10 C, (Correto:I) 1,81× 10−9 C, (J) 5,93× 10−10 C, (K) 3,21× 10−9 C, (L) 1,13× 10−9 C, (M) 1,01× 10−9 C, (N) 2,53× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 4,70× 10 −6 m, (B) 3,60× 10−6 m, (C) 5,63× 10−6 m, (D) 6,30× 10−6 m, (Correto:E) 4,10× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 034 Versa˜o Nome Turma 034 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,65 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,04 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −1,11× 101 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,25× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −3,49× 100 N, (B) −6,54× 10−4 N, (C) −4,68× 10−4 N, (e1:D) −1,11× 10−3 N, (E) −1,89× 10−3 N, (F) −5,80× 100 N, (G) −4,32× 100 N, (H) −2,56× 10−4 N, (Correto:I) −1,11× 101 N, (J) −1,64× 101 N, (K) −2,09× 100 N, (L) −3,79× 10−4 N, (M) −6,12× 10−6 N, (N) −6,57× 100 N, (O) −9,53× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −1,11×10−1 J, (B) −1,25×10−1 J, (C) −1,63×10−1 J, (D) −2,59×10−1 J, (E) −3,33×10−1 J, (F) −8,39×10−2 J, (G) −6,80×10−4 J, (H) −3,82×10−1 J, (I) −1,84×10−1 J, (Correto:J) −2,25×10−1 J, (K) −6,22× 10−2 J, (L) −1,48× 10−1 J, (M) −7,33× 10−2 J, (N) −9,99× 10−2 J, (O) −2,93× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =3,56 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,224 miˆ, b) ~r2=0,559 m iˆ, c) ~r3=1,49 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 034 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,224 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,224 m)2 = −39,9 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,49 m)2 = 0,450 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) −87,7 V/m, (e1:B) 6,40 V/m, (Correto:C) −39,9 V/m, (D) 4,10 V/m, (E) 11,3 V/m, (F) 4,81 V/m, (G) − 175 V/m, (H) 7,48 V/m, (I) − 117 V/m, (J) − 139 V/m, (K) −53,7 V/m, (L) 10,0 V/m, (e3:M ) 6,40 V/m, (e2:N ) 3,20 V/m, (O) −28,5 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −5,75 V/m, (B) 2,88 V/m, (C) 4,10 V/m, (D) 5,95 V/m, (E) −8,79 V/m, (F) −7,12 V/m, (G) −11,3 V/m, (H) −7,94 V/m, (I) −9,83 V/m, (e2:J ) 3,20 V/m, (K) 4,57 V/m, (L) 5,31 V/m, (e1:M ) −6,40 V/m, (N) 3,60 V/m, (Correto:O) 0 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,62 V/m, (B) 1,86 V/m, (C) −8,50 V/m, (D) 0,510 V/m, (E) 0,718 V/m, (F) −9,96 V/m, (G) 1,46 V/m, (H) −11,3 V/m, (I) 1,19 V/m, (J) 0,592 V/m, (K) −7,54 V/m, (e1:L) −6,40 V/m, (M) 0,812 V/m, (N) 1,02 V/m, (Correto:O) 0,450 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 17,8 V, (B) 22,6 V, (e1:C ) 8,93 V, (e2:D) 16,0 V, (E) 19,8 V, (F) 25,6 V, (G) 11,2 V, (H) 30,9 V, (I) 13,2 V, (J) 7,17 V, (K) 35,2 V, (L) 8,03 V, (M) 40,0 V, (N) 10,0 V, (Correto:O) 1,67 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargasele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,5 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 034 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 670 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 6 670 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 670 V 3,00 ×106V/m = 2,22× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,65× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,5 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,50× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,51× 10−3 m, (B) 1,65× 10−3 m, (C) 1,95× 10−3 m, (D) 1,40× 10−3 m, (Correto:E) 2,22× 10−3 m, (F) 3,32× 10−3 m, (G) 2,88× 10−3 m, Versa˜o 034 (b) (4 pontos) (A) 1,19× 10−9 C, (B) 2,90× 10−9 C, (Correto:C) 1,65× 10−9 C, (D) 3,28× 10−9 C, (E) 1,06× 10−9 C, (F) 9,49 × 10−10 C, (G) 2,44 × 10−9 C, (H) 1,48 × 10−9 C, (I) 1,33 × 10−9 C, (J) 3,68 × 10−9 C, (K) 1,87× 10−9 C, (L) 2,07× 10−9 C, (M) 7,67× 10−10 C, (N) 6,51× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 5,03× 10−6 m, (B) 4,23× 10−6 m, (Correto:C) 3,50× 10−6 m, (D) 6,03× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 035 Versa˜o Nome Turma 035 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,78 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,11 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −3,23× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −9,86× 10−2 J (a) (5 pontos) (A) −5,00×100 N, (B) −1,23×10−3 N, (C) −2,88×10−4 N, (D) −4,11×100 N, (E) −8,89×100 N, (e1:F ) −3,23×10−4 N, (G) −2,47×100 N, (H) −1,02×10−3 N, (Correto:I) −3,23×100 N, (J) −2,19×100 N, (K) −6,57× 10−4 N, (L) −2,57× 10−4 N, (M) −5,87× 100 N, (N) −4,46× 10−4 N, (O) −1,31× 101 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −9,86 × 10−2 J, (B) −1,26 × 10−1 J, (C) −2,89 × 10−1 J, (D) −2,50 × 10−1 J, (E) −6,80 × 10−4 J, (F) −3,31 × 10−1 J, (G) −8,71 × 10−2 J, (H) −1,56 × 10−1 J, (I) −3,83 × 10−1 J, (J) −2,10 × 10−1 J, (K) −1,09 × 10−1 J, (L) −1,74 × 10−1 J, (M) −7,68 × 10−2 J, (N) −1,40 × 10−1 J, (O) −6,22× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,03 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,239 miˆ, b) ~r2=0,421 m iˆ, c) ~r3=1,21 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 035 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,239 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,239 m)2 = −35,0 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,21 m)2 = 0,683 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e2:A) 5,64 V/m, (e1:B) 11,3 V/m, (C) 7,12 V/m, (D) −49,5 V/m, (E) 2,92 V/m, (Cor- reto:F) −35,0 V/m, (G) 10,1 V/m, (H) − 101 V/m, (I) −65,3 V/m, (J) 8,57 V/m, (K) 4,23 V/m, (L) − 124 V/m, (e3:M ) 11,3 V/m, (N) 6,40 V/m, (O) 3,77 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −5,77 V/m, (Correto:B) 0 V/m, (C) 4,25 V/m, (D) −6,52 V/m, (e2:E ) 5,64 V/m, (e1:F ) −11,3 V/m, (G) −7,60 V/m, (H) −8,83 V/m, (I) 2,92 V/m, (J) −10,1 V/m, (K) 3,74 V/m, (L) 4,89 V/m, (M) 3,33 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,19 V/m, (e1:B) −11,3 V/m, (C) −10,1 V/m, (D) 1,40 V/m, (E) 1,07 V/m, (F) 0,769 V/m, (G) 0,549 V/m, (Correto:H) 0,683 V/m, (I) −7,75 V/m, (J) −5,80 V/m, (K) −6,83 V/m, (L) 0,482 V/m, (M) 1,61 V/m, (N) −8,86 V/m, (O) 1,93 V/m, (d) (2.5 pontos) (Correto:A) 1,67 V, (B) 9,85 V, (C) 32,9 V, (D) 23,5 V, (E) 11,9 V, (F) 17,7 V, (G) 46,5 V, (H) 6,97 V, (I) 37,9 V, (J) 26,4 V, (e1:K ) 8,37 V, (e2:L) 19,9 V, (M) 14,2 V, (N) 15,7 V, (O) 29,6 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼16,4 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 035 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 6 750 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 16,4 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 6 750 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 6 750 V 3,00 ×106V/m = 2,25× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,69× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =16,4 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 5,47× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 3,32× 10−3 m, (B) 2,50× 10−3 m, (C) 1,49× 10−3 m, (D) 1,85× 10−3 m, (Correto:E) 2,25× 10−3 m, (F) 2,88× 10−3 m, (G) 1,35× 10−3 m, (H) 1,66× 10−3 m, Versa˜o 035 (b) (4 pontos) (A) 3,68× 10−9 C, (B) 6,82× 10−10 C, (C) 7,67× 10−10 C, (D) 5,96× 10−10 C, (E) 1,26× 10−9 C, (F) 2,92 × 10−9 C, (G) 2,44 × 10−9 C, (Correto:H) 1,69 × 10−9 C, (I) 3,33 × 10−9 C, (J) 1,51 × 10−9 C, (K) 1,10× 10−9 C, (L) 1,98× 10−9 C, (M) 9,19× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 3,77× 10−6 m, (Correto:B) 5,47× 10−6 m, (C) 6,23× 10−6 m, (D) 4,87× 10−6 m, (E) 4,33× 10−6 m, (F) 3,37× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 036 Versa˜o Nome Turma 036 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,96 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,79 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −2,88× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,06× 10−1 J (a) (5 pontos) (e1:A) −2,88× 10−4 N, (B) −5,46× 10−4 N, (C) −1,54× 101 N, (D) −7,32× 100 N, (E) −4,61× 10−4 N, (F) −3,87× 100 N, (G) −5,81× 100 N, (H) −1,17× 10−3 N, (I) −9,91× 100 N, (J) −6,55× 100 N, (K) −3,49×10−4 N, (Correto:L) −2,88×100 N, (M) −2,56×10−4 N, (N) −6,15×10−4 N, (O) −1,04×10−3 N, (b) (5 pontos) (A) −6,80×10−4 J, (B) −3,26×10−1 J, (C) −1,20×10−1 J, (D) −2,02×10−1 J, (E) −6,22×10−2 J, (F) −9,35 × 10−2 J, (G) −1,78 × 10−1 J, (H) −2,66 × 10−1 J, (I) −2,30 × 10−1 J, (J) −8,39 × 10−2 J, (K) −1,40×10−1 J, (L) −3,84×10−1 J, (M) −7,22×10−2 J, (Correto:N) −1,06×10−1 J, (O) −1,55×10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio internoa =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =8,27 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,206 miˆ, b) ~r2=0,590 m iˆ, c) ~r3=1,48 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 036 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,206 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,206 m)2 = −47,1 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,48 m)2 = 0,457 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e1:A) 5,75 V/m, (B) −24,3 V/m, (C) 11,7 V/m, (D) 6,96 V/m, (E) 4,73 V/m, (F) 9,70 V/m, (G) 8,26 V/m, (H) −33,6 V/m, (e2:I ) 2,87 V/m, (J) − 162 V/m, (K) − 128 V/m, (Correto:L) −47,1 V/m, (M) −74,4 V/m, (e3:N ) 5,75 V/m, (O) 4,03 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −7,54 V/m, (B) 4,13 V/m, (Correto:C) 0 V/m, (D) −9,88 V/m, (E) −11,0 V/m, (F) −6,42 V/m, (G) 4,73 V/m, (H) 3,73 V/m, (e1:I ) −5,75 V/m, (J) −8,79 V/m, (K) 5,26 V/m, (L) 3,21 V/m, (e2:M ) 2,87 V/m, (N) 5,92 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −11,4 V/m, (B) −6,96 V/m, (C) 1,89 V/m, (D) 1,25 V/m, (E) −10,1 V/m, (F) 0,797 V/m, (G) −7,87 V/m, (e1:H ) −5,75 V/m, (I) 1,51 V/m, (J) 0,525 V/m, (K) 0,620 V/m, (Correto:L) 0,457 V/m, (M) −9,05 V/m, (N) 1,10 V/m, (O) 0,683 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 20,0 V, (e1:B) 9,71 V, (C) 6,78 V, (D) 43,0 V, (E) 14,3 V, (F) 8,73 V, (G) 22,1 V, (Correto:H) 1,67 V, (I) 25,6 V, (J) 31,2 V, (e2:K ) 16,5 V, (L) 13,0 V, (M) 11,5 V, (N) 7,72 V, (O) 37,5 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼13,5 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 036 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 9 960 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 13,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 9 960 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 9 960 V 3,00 ×106V/m = 3,32× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 3,68× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =13,5 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,50× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 3,32× 10−3 m, (B) 1,71× 10−3 m, (C) 1,33× 10−3 m, (D) 2,67× 10−3 m, (E) 2,98× 10−3 m, (F) 1,49× 10−3 m, (G) 2,33× 10−3 m, (H) 2,02× 10−3 m, Versa˜o 036 (b) (4 pontos) (A) 1,76× 10−9 C, (B) 3,21× 10−9 C, (C) 1,10× 10−9 C, (D) 2,14× 10−9 C, (Correto:E) 3,68× 10−9 C, (F) 1,32 × 10−9 C, (G) 2,86 × 10−9 C, (H) 2,38 × 10−9 C, (I) 6,42 × 10−10 C, (J) 1,94 × 10−9 C, (K) 9,19× 10−10 C, (L) 1,48× 10−9 C, (M) 7,67× 10−10 C, (c) (2 pontos) (A) 5,30× 10 −6 m, (B) 3,53× 10−6 m, (C) 6,20× 10−6 m, (D) 4,00× 10−6 m, (Correto:E) 4,50× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 037 Versa˜o Nome Turma 037 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos.Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,56 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,47 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,79× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,17× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −1,89 × 101 N, (e1:B) −4,79 × 10−4 N, (Correto:C) −4,79 × 100 N, (D) −2,47 × 10−4 N, (E) −7,95 × 100 N, (F) −6,12 × 10−2 N, (G) −6,28 × 10−4 N, (H) −3,15 × 10−4 N, (I) −6,90 × 100 N, (J) −1,21 × 101 N, (K) −5,49 × 10−4 N, (L) −4,22 × 100 N, (M) −1,64 × 10−3 N, (N) −3,31 × 100 N, (O) −6,17× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −2,12 × 10−1 J, (B) −1,59 × 10−1 J, (C) −1,05 × 10−1 J, (D) −8,27 × 10−2 J, (Cor- reto:E) −1,17 × 10−1 J, (F) −7,33 × 10−2 J, (G) −1,42 × 10−1 J, (H) −1,80 × 10−1 J, (I) −9,21 × 10−2 J, (J) −2,54 × 10−1 J, (K) −2,89 × 10−1 J, (L) −3,22 × 10−1 J, (M) −6,80 × 10−4 J, (N) −3,84 × 10−1 J, (O) −6,22× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =7,01 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,152 miˆ, b) ~r2=0,421 m iˆ, c) ~r3=1,38 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 037 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,152 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,152 m)2 = −86,6 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,38 m)2 = 0,525 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 9,92 V/m, (B) 6,27 V/m, (e1:C ) 11,3 V/m, (D) 7,75 V/m, (E) −26,1 V/m, (F) −39,2 V/m, (G) −65,3 V/m, (H) 8,72 V/m, (Correto:I) −86,6 V/m, (J) − 120 V/m, (K) 3,26 V/m, (L) − 196 V/m, (M) 5,07 V/m, (e2:N ) 5,64 V/m, (e3:O) 11,3 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −7,90 V/m, (B) 4,77 V/m, (C) 3,56 V/m, (D) −9,02 V/m, (E) 3,19 V/m, (Cor- reto:F) 0 V/m, (G) 4,13 V/m, (H) −5,92 V/m, (I) −10,1 V/m, (e1:J ) −11,3 V/m, (K) 2,90 V/m, (e2:L) 5,64 V/m, (M) −6,83 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 0,890 V/m, (B) 1,23 V/m, (C) −10,1 V/m, (D) 0,592 V/m, (E) 0,661 V/m, (F) −7,28 V/m, (G) 1,61 V/m, (H) 1,40 V/m, (Correto:I) 0,525 V/m, (J) −8,16 V/m, (K) 2,01 V/m, (e1:L) −11,3 V/m, (M) 0,797 V/m, (N) 1,03 V/m, (O) −6,13 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 11,7 V, (B) 37,9 V, (Correto:C) 1,67 V, (e2:D) 31,3 V, (E) 22,5 V, (F) 9,17 V, (G) 27,2 V, (H) 18,0 V, (e1:I ) 13,2 V, (J) 44,0 V, (K) 16,1 V, (L) 8,20 V, (M) 20,0 V, (N) 7,19 V, (O) 10,5 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼14,4 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 037 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 970 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 14,4 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 5 970 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 5 970 V 3,00 ×106V/m = 1,99× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 1,32× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =14,4 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,80× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 1,99× 10−3 m, (B) 1,65× 10−3 m, (C) 3,19× 10−3 m, (D) 1,41× 10−3 m, (E) 2,78× 10−3 m, (F) 2,41× 10−3 m, Versa˜o 037 (b) (4 pontos) (A) 1,70× 10−9 C, (B) 1,11× 10−9 C, (C) 2,98× 10−9 C, (D) 2,32× 10−9 C, (E) 2,66× 10−9 C, (F) 1,48× 10−9 C, (G) 5,93× 10−10 C, (H) 8,43× 10−10 C, (I) 7,57× 10−10 C, (J) 1,97× 10−9 C, (K) 6,82× 10−10 C, (L) 3,59× 10−9 C, (M) 9,99× 10−10 C, (Correto:N) 1,32× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 3,77× 10−6 m, (B) 4,27× 10−6 m, (C) 3,37× 10−6 m, (D) 5,47× 10−6 m, (E) 6,37× 10−6 m, (Correto:F) 4,80× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo aficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 038 Versa˜o Nome Turma 038 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−9,51 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,10 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −8,18× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −2,50× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −1,05×101 N, (B) −1,12×10−3 N, (C) −2,88×100 N, (D) −4,88×10−4 N, (E) −9,91×10−4 N, (F) −2,47×100 N, (G) −4,56×100 N, (H) −3,02×10−4 N, (e1:I ) −8,18×10−4 N, (Correto:J) −8,18×100 N, (K) −5,95× 100 N, (L) −9,20× 100 N, (M) −7,32× 10−4 N, (N) −3,73× 100 N, (O) −1,62× 10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −2,16×10−1 J, (B) −6,22×10−2 J, (C) −9,71×10−2 J, (D) −1,39×10−1 J, (E) −6,80×10−4 J, (F) −1,10×10−1 J, (Correto:G) −2,50×10−1 J, (H) −1,26×10−1 J, (I) −3,82×10−1 J, (J) −1,94×10−1 J, (K) −7,20× 10−2 J, (L) −3,28× 10−1 J, (M) −2,97× 10−1 J, (N) −1,59× 10−1 J, (O) −8,71× 10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =6,81 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,155 miˆ, b) ~r2=0,450 m iˆ, c) ~r3=1,28 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 038 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,155 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,155 m)2 = −83,2 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,28 m)2 = 0,610 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e2:A) 4,94 V/m, (B) − 196 V/m, (C) 6,27 V/m, (Correto:D) −83,2 V/m, (E) 11,2 V/m, (F) 2,95 V/m, (G) 8,30 V/m, (e1:H ) 9,88 V/m, (I) 3,81 V/m, (J) − 157 V/m, (K) −36,5 V/m, (L) 3,42 V/m, (M) −74,4 V/m, (e3:N ) 9,88 V/m, (O) −24,6 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −7,20 V/m, (B) 4,34 V/m, (Correto:C) 0 V/m, (D) −11,3 V/m, (E) −8,06 V/m, (F) −5,77 V/m, (G) 5,81 V/m, (e1:H ) −9,88 V/m, (I) 3,28 V/m, (J) −6,49 V/m, (K) 3,83 V/m, (L) 2,92 V/m, (e2:M ) 4,94 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) 1,26 V/m, (B) 1,70 V/m, (C) 0,463 V/m, (D) 0,541 V/m, (E) 0,769 V/m, (F) 1,39 V/m, (G) 0,873 V/m, (e1:H ) −9,88 V/m, (I) −11,4 V/m, (J) −5,80 V/m, (K) 0,683 V/m, (L) 1,93 V/m, (M) 1,05 V/m, (N) −8,16 V/m, (Correto:O) 0,610 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 10,7 V, (B) 15,5 V, (C) 33,8 V, (Correto:D) 1,67 V, (E) 17,5 V, (e2:F ) 28,7 V, (G) 19,5 V, (H) 21,5 V, (I) 7,07 V, (J) 25,4 V, (e1:K ) 12,9 V, (L) 37,9 V, (M) 8,03 V, (N) 9,26 V, (O) 44,0 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼12,6 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 038 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 940 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 12,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 4 940 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 4 940 V 3,00 ×106V/m = 1,65× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 9,05× 10−10 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energiaque vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =12,6 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,20× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 3,09× 10−3 m, (B) 2,33× 10−3 m, (C) 1,82× 10−3 m, (D) 2,03× 10−3 m, (E) 2,65× 10−3 m, (Correto:F) 1,65× 10−3 m, (G) 1,41× 10−3 m, Versa˜o 038 (b) (4 pontos) (A) 2,26 × 10−9 C, (B) 1,29 × 10−9 C, (C) 2,92 × 10−9 C, (D) 6,08 × 10−10 C, (E) 7,95 × 10−10 C, (F) 1,58 × 10−9 C, (G) 7,14 × 10−10 C, (H) 1,87 × 10−9 C, (I) 3,38 × 10−9 C, (J) 2,49 × 10−9 C, (Correto:K) 9,05× 10−10 C, (L) 1,10× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 5,83× 10 −6 m, (Correto:B) 4,20× 10−6 m, (C) 6,53× 10−6 m, (D) 4,97× 10−6 m, (E) 3,60× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 039 Versa˜o Nome Turma 039 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,42 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,11 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,28× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,31× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −4,49×10−4 N, (B) −3,45×100 N, (C) −8,73×10−4 N, (D) −8,17×100 N, (E) −7,13×10−4 N, (F) −5,46 × 10−4 N, (G) −1,36 × 101 N, (H) −4,50 × 100 N, (e1:I ) −6,28 × 10−4 N, (J) −2,14 × 10−4 N, (K) −3,25×10−4 N, (L) −5,55×100 N, (Correto:M) −6,28×100 N, (N) −4,98×100 N, (O) −2,57×10−4 N, (b) (5 pontos) (A) −2,10×10−1 J, (B) −1,48×10−1 J, (C) −1,90×10−1 J, (D) −6,22×10−2 J, (E) −9,15×10−2 J, (F) −2,41×10−1 J, (G) −7,20×10−2 J, (H) −6,80×10−4 J, (Correto:I) −1,31×10−1 J, (J) −1,12×10−1 J, (K) −2,76× 10−1 J, (L) −8,14× 10−2 J, (M) −3,84× 10−1 J, (N) −1,63× 10−1 J, (O) −3,30× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,57 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,170 miˆ, b) ~r2=0,468 m iˆ, c) ~r3=1,16 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 039 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,170 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,170 m)2 = −69,2 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (1,16 m)2 = 0,743 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 11,3 V/m, (B) 7,17 V/m, (C) −26,1 V/m, (D) − 196 V/m, (e1:E ) 9,13 V/m, (F) 3,38 V/m, (G) 4,06 V/m, (Correto:H) −69,2 V/m, (I) −48,5 V/m, (e3:J ) 9,13 V/m, (K) 2,95 V/m, (L) − 175 V/m, (M) 5,41 V/m, (N) −32,0 V/m, (e2:O) 4,57 V/m, (b) (2.5 pontos) (A) −5,88 V/m, (B) 2,91 V/m, (C) −7,78 V/m, (D) −6,83 V/m, (E) −10,1 V/m, (F) 3,31 V/m, (G) −11,8 V/m, (H) 5,12 V/m, (e2:I ) 4,57 V/m, (Correto:J) 0 V/m, (K) 5,72 V/m, (e1:L) −9,13 V/m, (M) 3,81 V/m, (c) (2.5 pontos) (e1:A) −9,13 V/m, (B) −10,5 V/m, (C) −5,86 V/m, (Correto:D) 0,743 V/m, (E) 0,620 V/m, (F) 1,60 V/m, (G) 1,44 V/m, (H) −7,01 V/m, (I) 0,549 V/m, (J) −8,16 V/m, (K) 0,476 V/m, (L) 1,30 V/m, (M) 0,826 V/m, (N) 1,15 V/m, (O) 1,00 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 13,9 V, (B) 9,30 V, (C) 10,4 V, (e2:D) 25,1 V, (E) 35,2 V, (F) 8,10 V, (G) 30,9 V, (H) 16,2 V, (I) 46,5 V, (J) 6,78 V, (K) 18,9 V, (Correto:L) 1,67 V, (M) 27,8 V, (e1:N ) 11,8 V, (O) 39,3 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,5 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 039 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o arira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 9 480 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 11,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 9 480 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 9 480 V 3,00 ×106V/m = 3,16× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 3,33× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,5 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,83× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,71× 10−3 m, (Correto:B) 3,16× 10−3 m, (C) 2,02× 10−3 m, (D) 2,33× 10−3 m, (E) 1,55× 10−3 m, (F) 1,74× 10−3 m, (G) 1,33× 10−3 m, Versa˜o 039 (b) (4 pontos) (A) 1,61× 10−9 C, (B) 8,43× 10−10 C, (C) 1,10× 10−9 C, (D) 1,88× 10−9 C, (Correto:E) 3,33× 10−9 C, (F) 1,00 × 10−9 C, (G) 3,67 × 10−9 C, (H) 2,53 × 10−9 C, (I) 2,83 × 10−9 C, (J) 5,96 × 10−10 C, (K) 6,66× 10−10 C, (L) 1,29× 10−9 C, (M) 2,23× 10−9 C, (N) 7,44× 10−10 C, (O) 1,43× 10−9 C, (c) (2 pontos) (A) 5,53× 10−6 m, (Correto:B) 3,83× 10−6 m, (C) 6,30× 10−6 m, (D) 4,23× 10−6 m, (E) 3,37× 10−6 m, (F) 4,93× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 040 Versa˜o Nome Turma 040 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,77 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,05 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −4,24× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,27× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −6,12 × 10−2 N, (Correto:B) −4,24 × 100 N, (C) −6,72 × 100 N, (D) −8,10 × 10−4 N, (E) −3,23 × 10−4 N, (F) −4,69 × 10−4 N, (G) −1,12 × 101 N, (H) −2,45 × 100 N, (I) −3,23 × 100 N, (J) −3,62 × 100 N, (K) −6,18 × 10−4 N, (L) −5,55 × 100 N, (M) −7,42 × 100 N, (e1:N ) −4,24 × 10−4 N, (O) −2,35× 10−4 N, (b) (5 pontos) (Correto:A) −1,27 × 10−1 J, (B) −6,22 × 10−2 J, (C) −1,85 × 10−1 J, (D) −2,87 × 10−1 J, (E) −2,10 × 10−1 J, (F) −7,22 × 10−2 J, (G) −9,64 × 10−2 J, (H) −6,80 × 10−4 J, (I) −1,12 × 10−1 J, (J) −1,56 × 10−1 J, (K) −8,13 × 10−2 J, (L) −3,83 × 10−1 J, (M) −3,28 × 10−1 J, (N) −1,40 × 10−1 J, (O) −2,55× 10−1 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =5,67 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,171 miˆ, b) ~r2=0,438 m iˆ, c) ~r3=0,931 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 040 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,171 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,171 m)2 = −68,4 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,931 m)2 = 1,15 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr =−2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (A) 8,61 V/m, (e3:B) 10,4 V/m, (C)−31,7 V/m, (D)−36,5 V/m, (E) 2,90 V/m, (e1:F ) 10,4 V/m, (G) 11,7 V/m, (H) 4,59 V/m, (I) 3,98 V/m, (J) 3,56 V/m, (K) 5,97 V/m, (L) 6,76 V/m, (Cor- reto:M) −68,4 V/m, (e2:N ) 5,21 V/m, (O) − 101 V/m, (b) (2.5 pontos) (Correto:A) 0 V/m, (B) 4,36 V/m, (C) 3,81 V/m, (D) −6,71 V/m, (e1:E ) −10,4 V/m, (F) −8,98 V/m, (G) 3,42 V/m, (H) −11,7 V/m, (I) 3,05 V/m, (J) −6,07 V/m, (e2:K ) 5,21 V/m, (L) 5,83 V/m, (M) −7,90 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −11,5 V/m, (B) 1,30 V/m, (e1:C ) −10,4 V/m, (D) 1,61 V/m, (E) −6,71 V/m, (F) 1,01 V/m, (G) 0,496 V/m, (Correto:H) 1,15 V/m, (I) −5,84 V/m, (J) 0,610 V/m, (K) 0,812 V/m, (L) −8,90 V/m, (M) 0,907 V/m, (N) 1,87 V/m, (O) −8,06 V/m, (d) (2.5 pontos) (Correto:A) 1,67 V, (B) 10,4 V, (C) 7,02 V, (D) 8,47 V, (E) 14,2 V, (e2:F ) 26,7 V, (G) 23,2 V, (H) 33,9 V, (I) 44,0 V, (J) 38,9 V, (e1:K ) 11,7 V, (L) 18,8 V, (M) 9,35 V, (N) 30,5 V, (O) 16,3 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼12,7 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 040 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 590 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 12,7 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 7 590 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 7 590 V 3,00 ×106V/m = 2,53× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,14× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =12,7 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 4,23× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (A) 2,95× 10−3 m, (B) 3,33× 10−3 m, (C) 1,37× 10−3 m, (D) 1,74× 10−3 m, (E) 1,55× 10−3 m, (Correto:F) 2,53× 10−3 m, (G) 2,07× 10−3 m, Versa˜o 040 (b) (4 pontos) (A) 2,78× 10−9 C, (B) 1,51× 10−9 C, (C) 6,29× 10−10 C, (D) 2,46× 10−9 C, (E) 1,87× 10−9 C, (F) 9,99×10−10 C, (G) 1,10×10−9 C, (H) 8,40×10−10 C, (I) 1,68×10−9 C, (J) 3,56×10−9 C, (K) 3,18×10−9 C, (Correto:L) 2,14× 10−9 C, (M) 1,29× 10−9 C, (N) 7,37× 10−10 C, (c) (2 pontos) (Correto:A) 4,23× 10−6 m, (B) 5,97× 10−6 m, (C) 3,37× 10−6 m, (D) 4,93× 10−6 m, (E) 3,73× 10−6 m, (F) 6,60× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 041 Versa˜o Nome Turma 041 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−6,99 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,09 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ 4piε0r , a forc¸a em q2 e´: F2 = F21 + F23 = 1 4piε0 [ q1q2 r21 + q2q3 r22 ] = −6,05× 100 N b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ 4piε0|rq−rQ| , para treˆs cargas temos: U = U12 + U23 + U13 = 1 4piε0 [ q1q2 r1 + q2q3 r2 + q1q3 r1 + r2 ] = −1,84× 10−1 J (a) (5 pontos) (A) −7,54 × 100 N, (B) −9,85 × 10−4 N, (Correto:C) −6,05 × 100 N, (D) −1,14 × 101 N, (E) −6,12 × 10−2 N, (e1:F ) −6,05 × 10−4 N, (G) −3,16 × 100 N, (H) −9,46 × 100 N, (I) −7,54 × 10−4 N, (J) −4,45 × 100 N, (K) −1,64 × 101 N, (L) −4,17 × 10−4 N, (M) −1,67 × 10−3 N, (N) −1,86 × 101 N, (O) −2,09× 100 N, (b) (5 pontos) (A) −7,83×10−2 J, (B) −1,02×10−1 J, (C) −6,22×10−2 J, (D) −2,61×10−1 J, (E) −3,31×10−1 J, (F) −1,59 × 10−1 J, (G) −2,89 × 10−1 J, (H) −3,83 × 10−1 J, (I) −7,02 × 10−2 J, (J) −1,14 × 10−1 J, (K) −1,39×10−1 J, (Correto:L) −1,84×10−1 J, (M) −2,17×10−1 J, (N) −6,80×10−4 J, (O) −9,15×10−2 J, 2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es- fera meta´lica macic¸a de raio R =4,13 cm e carga total negativa −2Q, conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori- gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´triconas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,215 miˆ, b) ~r2=0,575 m iˆ, c) ~r3=0,738 m iˆ. d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados. Versa˜o 041 Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q. a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,215 m que esta´ entre a esfera de raio R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir21 = −2Q ε0 => E = −2Q 4piε0r21 Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos: E = 2 r21 = 2 (0,215 m)2 = −43,3 V/m b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero. c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de Gauss temos: ∮ S ~E · d ~A = q ε0 => E4pir23 = Q ε0 => E = Q 4piε0r23 Como Q = 4piε0: E = 1 r23 = 1 (0,738 m)2 = 1,84 V/m d) Como Va−Vb = − ∫ a b Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar o potencial. V = − ∫ a b Edr = ∫ b a −2 r2 dr = −2 r b a = 2(b− a) ab = 1,67 V (a) (2.5 pontos) (e3:A) 6,05 V/m, (B) 3,67 V/m, (e2:C ) 3,02 V/m, (D) 10,1 V/m, (E) −62,4 V/m, (F) −91,3 V/m, (G) − 189 V/m, (e1:H ) 6,05 V/m, (Correto:I) −43,3 V/m, (J) − 120 V/m, (K) 5,21 V/m, (L) 8,54 V/m, (M) −72,6 V/m, (N) 7,09 V/m, (O) −81,1 V/m, (b) (2.5 pontos) (e2:A) 3,02 V/m, (B) −11,3 V/m, (C) −9,92 V/m, (Correto:D) 0 V/m, (E) −8,94 V/m, (F) 3,45 V/m, (G) −6,83 V/m, (H) 5,92 V/m, (I) 5,31 V/m, (J) −7,78 V/m, (K) 4,45 V/m, (e1:L) −6,05 V/m, (M) 3,94 V/m, (c) (2.5 pontos) (A) −7,04 V/m, (B) −7,94 V/m, (C) 1,40 V/m, (D) 1,61 V/m, (E) −8,90 V/m, (F) −10,9 V/m, (G) 0,610 V/m, (H) 0,718 V/m, (e1:I ) −6,05 V/m, (Correto:J) 1,84 V/m, (K) 0,489 V/m, (L) 0,873 V/m, (M) 1,04 V/m, (N) 0,541 V/m, (O) 1,18 V/m, (d) (2.5 pontos) (A) 19,0 V, (B) 23,5 V, (C) 7,02 V, (D) 12,7 V, (Correto:E) 1,67 V, (F) 10,9 V, (G) 21,1 V, (H) 32,3 V, (I) 43,0 V, (J) 8,20 V, (e2:K ) 16,2 V, (L) 37,2 V, (M) 14,2 V, (e1:N ) 9,30 V, (O) 26,6 V, 3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,1 eV). A energia que os ele´trons ganham vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas Versa˜o 041 e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica do ar). a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 8 110 V. Qual e´ o raio mı´nimo que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga? b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio? c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica de 10,1 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante esse deslocamento. Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora o campo ele´trico esta dado por E(r = a) = Q 4piε0a2 E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´ V (r = a) = Q 4piε0a Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V : E(r = a) = V (r = a) a Para uma tensa˜o fixa de 8 110 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma descarga precisamos: a > 8 110 V 3,00 ×106V/m = 2,70× 10 −3 m b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos calcular Q = 4piε0aV = 2,44× 10−9 C c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,1 eV, de acordo com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l: l = K eE = 3,37× 10−6 m De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida. (a) (4 pontos) (Correto:A) 2,70× 10−3 m, (B) 3,08× 10−3 m, (C) 2,04× 10−3 m, (D) 1,63× 10−3 m, (E) 1,85× 10−3 m, (F) 1,36× 10−3 m, (G) 2,41× 10−3 m, Versa˜o 041 (b) (4 pontos) (Correto:A) 2,44× 10−9 C, (B) 1,61× 10−9 C, (C) 3,32× 10−9 C, (D) 3,70× 10−9 C, (E) 2,98× 10−9 C, (F) 8,43 × 10−10 C, (G) 1,36 × 10−9 C, (H) 6,42 × 10−10 C, (I) 1,13 × 10−9 C, (J) 9,53 × 10−10 C, (K) 2,17× 10−9 C, (L) 1,89× 10−9 C, (M) 7,37× 10−10 C, (N) 2,69× 10−9 C, (c) (2 pontos) (Correto:A) 3,37× 10 −6 m, (B) 4,60× 10−6 m, (C) 3,77× 10−6 m, (D) 6,03× 10−6 m, (E) 5,23× 10−6 m, 4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item. a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu interior. b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o possui o campo ele´trico nulo em seu interior. c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga. d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0) e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva. O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal. (a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1, (c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, (d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1, (e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0, ε0 = 8,85× 10−12 F/m E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ; ∮ S ~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3; A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l; d ~E = dq 4piε0r2 rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2 Versa˜o 042 Versa˜o Nome Turma 042 FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota • Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta . • Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores nume´ricos. • Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os resultados. • E´ permitido o uso de calculadora. 1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,67 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,03 cm conforme a figura. a) Encontre a forc¸a sobre carga q2. b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema. Soluc¸a˜o: a) usando
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