APOSTILA QUE SERÁ UTILIZADA FUNÇÕES VÁRIAS VARIÁVEIS

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Capítulo 3
FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
3.1 Introdução
Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das
noções centrais da Matemática, o conceito de função.
Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma
quantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única.
Através das funções de várias variáveis poderemos modelar uma grande
quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência.
Definição 3.1. Seja A ⊂ Rn. Uma função f definida no subconjunto A com
valores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real
f(u).
Observação 3.1.
1. Os elementos de u ∈ A são chamados variáveis independentes da
função e os elementos w = f(u) são chamados variáveis dependentes
da função.
2. A notação que utilizaremos é:
f : A ⊂ Rn −→ R
u −→ f(u).
65
66 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
3. Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x, y, z) e a
função por:
w = f(x, y, z),
4. Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y) e a função
por:
z = f(x, y),
z é chamada variável dependente da função .
Exemplos 3.1.
[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende
essencialmente da quantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H de
água (cm3), da temperatura T (0C) e da presença de uma certa proteina L
(ml). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela:
N H T L Q
10 1 10 0.1 15
20 3.5 14 0.4 20
30 5.6 16 0.8 22
22 8 21 0.1 21
25 5.1 12 0.8 15
10 1.4 30 1.6 12
50 7.3 35 0.9 17
Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma
função bem definida:
Q = Q(N,H, T, L).
[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura
h:
V (r, h) = pi r2 h.
Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume:
3.1. INTRODUÇÃO 67
V (2, 10) = pi 22 × 10 = 40 pi cm3,
aproximadamente, 125.663 cm3
[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter
a forma de um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros),
com um hemisfério em cada extremidade. O volume do tanque é descrito
em função da altura l e do raio r.
r
l
Figura 3.1: O tanque do exemplo [3].
O volume do cilindro é pi l r2 m3 e o dos dois hemisférios é
4 pi r3
3
m3; logo, o
volume total é:
V (l, r) = pi
[
4 r3
3
+ l r2
]
m3.
Por exemplo, se a altura for 8m e o raio r = 1m, o volume é:
V (8, 1) =
28 pi
3
m3.
[4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:
IMC(P,A) =
P
A2
,
onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pes-
soa está acima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS
(Organização Mundial da Saude):
Condição IMC
Abaixo do peso < 18.5
Peso normal 18.5 ≤ IMC ≤ 25
Acima do peso 25 ≤ IMC ≤ 30
Obeso > 30
68 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65m e pesa 98 quilos, tem:
IMC(98, 1.65) = 35.9;
logo segundo a tabela está obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80m e
pesa 75 kg, tem
IMC(98, 1.75) = 23.1;
logo, segundo a tabela tem peso normal.
[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partícula
de massa m0 na origem de um sistema de coordenadas x y z, o módulo da
força F exercida sobre outra partícula de massam situada no ponto (x, y, z)
é dado por uma função de 5 variáveis independentes:
Figura 3.2: Exemplo [5].
F (m0, m, x, y, z) =
g m0 m
x2 + y2 + z2
,
onde g é a constante de gravitação universal.
[6] (Lei de Gay - Lussac) A lei de um gás ideal confinado é dada por:
P V = k T,
onde P é a pressão em N/u3 (N=Newton, u=unidades de medida), V é o
volume em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma constante que
depende do gás.
3.1. INTRODUÇÃO 69
Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da tempera-
tura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a tempe-
ratura do gás em função da pressão e do volume:
V (P, T ) =
k T
P
,
P (V, T ) =
k T
V
e
T (P, V ) =
P V
k
.
[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de hmetros de altura,
a concentração do poluente, a x quilômetros da origem da emissão e a y
metros do chão pode ser aproximada por:
P (x, y) =
a
x2
(
eh(x,y) + ek(x,y)
)
,
onde h(x, y) = − b
x2
(
y − h)2 e k(x, y) = − b
x2
(
y + h
)2.
O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são cons-
tantes que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do
poluente. Sejam a = 200 e b = −0.002. Por exemplo, para uma chaminé de
10m, a contaminação a 1 km de distância e a uma altura de 2m é:
P (1000, 2) = 0.004µg/m.
[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso,
como artérias ou veias. Como as quantidades envolvidas são pequenas,
podemos considerar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.
R
Figura 3.3: Fluxo laminar de Poiseuille.
Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido a
fricção nas paredes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do
70 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
eixo central do vaso e decresce se a distância d (cm) do eixo à parede cresce
e é zero na parede. v é uma função de quatro variáveis:
v(P,R, l, d) =
P (R2 − d2)
4 l η
,
onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entrada
e a da saída do sangue no vaso, medida em dina/cm2. Experimentalmente,
para o sangue humano numa veia: η = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675,
R = 0.0075, P = 4× 103 e d = 0.004, tem-se:
v(4× 103, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.
[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fór-
mula para calcular a área da superfície de uma pessoa em função de seu
peso e sua altura:
S(P,A) = 0.0072P 0.425A0.725,
onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido em
m2. Uma pessoa que pesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma área da
superfície corporal: S(50, 160) = 1.5044m2.
[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:
R R R
R
E
1 2 3
4
Figura 3.4: Circuito elétrico.
A intensidade da corrente I neste circuito é função das resistências Ri, onde
(i = 1, 2, 3, 4) e da tensão da fonte E; logo:
I(R1, R2, R3, R4, E) =
E
R1 +R2 +R3 +R4
.
[11] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de uma
fábrica é determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários
3.2. DOMÍNIO E IMAGEM 71
por horas trabalhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, compra
de maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela a produção é
chamada de Cobb-Douglas e é dada por:
P (L,K) = AKα L1−α,
onde L é a quantidade de trabalho, K é o capital investido, A e α são cons-
tantes positivas (0 < α < 1).
A função de produção de Cobb-Douglas tem a seguinte propriedade para
todo n ∈ N:
P (nL, nK) = AnKα L1−α,
isto é, para acréscimos iguais na quantidade de trabalho e de capital inves-
tido obtemos o mesmo acréscimo na produção.
Por exemplo, se o capital investido é de R$ 600.000 e são empregados 1000
operários/hora, a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:
P (L,K) = 1.01L
3
4 K
1
4 ;
então, P (1000, 600.000) = 4998.72.
3.2 Domínio e Imagem
De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Ima-
gem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias va-
riáveis.
Definição 3.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.
1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u)
existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f).
2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado
imagem de f e é denotado por Im(f).
Observação 3.2. Na prática o domínio de uma função é determinado pelo
contexto do problema.
72 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplos 3.2.
[1]O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura
h. Logo,
V (r, h) = pi r2 h.
Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:
Dom(f) = {(r, h) ∈ R2 / r > 0, h > 0} = (0,+∞)× (0,+∞) e
Im(f) = (0,+∞).
No caso de não estar considerando a função como volume, teríamos que:
Dom(f) = Im(f) = R2.
[2] Seja z = f(x, y) =
√
1− x2 − y2.
Note que f é definida se, e somente se:
1− x2 − y2 ≥ 0,
ou seja x2 + y2 ≤ 1; logo:
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.
Por outro lado 0 ≤ z =
√
1− x2 − y2 ≤ 1; logo, Im(f) = [0, 1].
1
1
Figura 3.5: Exemplo [2].
[3] Seja z = f(x, y) =
x
x− y .
3.2. DOMÍNIO E IMAGEM 73
Note que f é definida se o denominador x− y 6= 0; então, x 6= y e,
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x 6= y} = R2 − {(x, x)/x ∈ R}.
1
1
Figura 3.6: Exemplo [3].
[4] Seja z = f(x, y) = arcsen(x + y).
Note que arcsen(u) é definido se −1 ≤ u ≤ 1; logo, −1 ≤ x + y ≤ 1 o que
acontece, se, e somente se, y ≤ 1− x e −1− x ≤ y; então:
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/− 1− x ≤ y ≤ 1− x}.
1
1
Figura 3.7: Exemplo [4].
[5] Seja z = f(x, y) = ln(y − x).
Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0; logo, y − x > 0 e f
é definida em todo o semi-plano definido por:
{(x, y) ∈ R2/y > x}.
74 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1
1
Figura 3.8: Exemplo [5].
[6] Seja z = f(x, y) =
y√
x2 + y2 − 1 .
Note que o quociente é definido se x2 + y2 − 1 > 0; logo, a função é definida
em todo o plano menos a região determinada por x2 + y2 ≤ 1.
1
1
Figura 3.9: Exemplo [6].
[7] Seja w = f(x, y, z) = y
√
x2 + y2 + z2 − 1.
Note que a raiz quadrada está definida se, e somente se:
x2 + y2 + z2 − 1 ≥ 0;
logo, a função é definida em todo R3 menos a região determinada por:
x2 + y2 + z2 < 1.
De outro modo, todo o espaço menos os vetores de R3 de norma menor que
1.
3.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 75
Observação 3.3. Damesma forma que no caso de uma variável, as funções
polinomiais de grau n, de várias variáveis tem Dom(f) = Rn e a Im(f)
depende do grau do polinômio.
[8] Se f(x, y, z) = x5 + y3 − 3 x y z2 − x2 + x2 y z + z5 − 1, então, Im(f) = R.
Se g(x, y) = x2 + y2 − 2 x y, então Im(f) = [0,+∞).
3.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis
Definição 3.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. O gráfico de f é o
seguinte subconjunto de Rn+1:
G(f) = {(x, f(x)) ∈ Rn+1/x ∈ Dom(f)} ⊂ Rn ×R
Observações 3.1.
1. Se n = 2 e x = (x, y); então:
G(f) = {(x, y, f(x, y))/(x, y) ∈ Dom(f)}.
G(f) é, em geral, uma superfície em R3.
2. Por exemplo, o gráfico da função :
f(x, y) =
{
1 se x, y ∈ Q
0 se x, y /∈ Q,
não é uma superfície.
3. Se n = 3, x = (x, y, z) e G(f) é uma "hipersuperfície"em R4.
4. Para n = 2, a projeção do gráfico de f sobre o plano xy é exatamente
Dom(f).
76 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Figura 3.10: Esboço do gráfico de uma função , ponto a ponto.
Figura 3.11: Gráfico de uma função.
3.4 Conjuntos de nível
Definição 3.4. O conjunto de nível de f com valor c ∈ R é definido por:
{x ∈ Dom(f)/f(x) = c}
Em particular:
1. Se n = 2, o conjunto de nível c é dito curva de nível c de f :
Cc = {(x, y) ∈ Dom(f)/f(x, y) = c}
3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 77
2. As curvas de nível são obtidas pelas projeções no plano xy, das curvas
obtidas pela interseção do plano z = c com a superfície G(f).
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 3.12: Curvas de nível e gráficos, respectivamente.
3. Se n = 3, o conjunto de nível c é dito superfície de nível c de f :
Sc = {(x, y, z) ∈ Dom(f)/f(x, y, z) = c}
4. No caso n = 3, G(f) ⊂ R4; portanto, somente poderemos exibir esbo-
ços de suas seções.
5. Se z = T (x, y) é a temperatura em cada ponto de uma região do plano,
as curvas de nível correspondem a pontos de igual temperatura. Neste
caso, as curvas são chamadas isotermas.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 3.13: Curvas Isotermais.
78 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
6. Se z = P (x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma região
do plano, as curvas de nível correspondem a pontos de igual potencial
elétrico. Neste caso, as curvas são chamadas equipotenciais.
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
Figura 3.14: Curvas Equipotenciais.
Outra aplicação importante das curvas de nível é o esboço de gráficos de
função de duas variáveis:
A construção do esboço do G(f)
O esboço do grá fico de uma função é feita assim:
1. Uma vez dado o valor da "altura"z = c obtemos uma curva plana.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 3.15:
3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 79
2. Elevando cada curva, sem esticá-la ou incliná-la obtemos o contorno
aparente de G(f).
Figura 3.16:
3. Auxiliado pelas seções (como no caso das quádricas), podemos esbo-
çar G(f) de forma bastante fiel.
Figura 3.17:
4. Note que curvas de nível muito espaçadas, significa que o gráfico
cresce lentamente; duas curvas de nível muito próximas significa que
o gráfico cresce abruptamente.
80 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Figura 3.18:
Exemplos 3.1.
[1] Se T (x, y) = x + y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de uma
região do plano, as curvas de nível ou isotermas são T (x, y) = c, isto é:
x + y2 − 1 = c, c ∈ R.
Temos uma família de parábolas:
c x+ y2 − 1 = c
0 x + y2 = 1
1 x + y2 = 2
-1 x + y2 = 0
2 x + y2 = 3
-2 x+ y2 = −1
3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 81
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
- 2
- 1
0
1
2
Figura 3.19: Esboco das curvas de nível de T = T (x, y).
[2] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x2 − y2.
Note que Dom(f) = R2.
Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.
Simetrias: a equação:
z = x2 − y2
não se altera se substituimos x e y por−x e−y; logo, tem simetria em relação
aos planos yz e xz.
Curvas de nível:
Fazendo z = c, temos: x2 − y2 = c.
Se c < 0, temos x2− y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos y.
Se c = 0, temos y = ±x, que são duas retas passando pela origem.
Se c > 0, temos x2− y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos x.
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 3.20: Curvas de nível.
82 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Traços:
No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.
No plano yz: a parábola: y2 + z = 0.
No plano xz: a parábola: x2 − z = 0.
Logo z = f(x, y) = x2 − y2 é um parabolóide hiperbólico.
Figura 3.21: Gráfico.
[3] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x + y2.
Note queDom(f) = R2.
Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.
Simetrias: a equação:
z = x+ y2
não se altera se substituimos y por −y; logo, tem simetria em relação ao
plano xz.
Curvas de nível:
Fazendo z = c, temos y2 = c − x, que é uma família de parábolas com foco
no eixo dos y, para todo c ∈ R.
3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 83
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 3.22: Curvas de nível.
Traços:
No plano yz é a parábola: y2 − z = 0. No plano xz é a reta: x− z = 0.
Logo z = f(x, y) = x + y2 é um cilindro parabólico.
Figura 3.23: Gráfico.
[4] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = ln(x2 + y2).
Note que Dom(f) = R2 − {(0, 0)}.
Interseções com os eixos coordenados: (0,±1, 0), (±1, 0, 0).
Simetrias: a equação:
z = ln(x2 + y2)
84 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
não se altera se substituimos x e y por−x e−y; logo, tem simetria em relação
aos planos yz e xz.
Curvas de nível.
Fazendo z = c, temos:
x2 + y2 = ec,
para todo c ∈ R. As curvas de nível são círculos centrados na origem de
raios ec/2; se c→ −∞, o raio tende para zero e se c→ +∞, o raio cresce.
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 3.24: Curvas de nível.
A superfície tem o aspecto de um funil.
Figura 3.25: Gráfico.3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 85
[5] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = sen(x).
Note que Dom(f) = R2.
Como na equação falta a variável y, o gráfico de f é um cilindro de diretriz
z = sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.
Figura 3.26: Gráfico.
[6] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x−y+ z+2.
Note que Dom(f) = R3.
Superfícies de nível:
Fazendo w = c, temos:
x− y + z = c− 2,
que representa uma família de planos paralelos de normal (1,−1, 1), para
qualquer c.
86 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Figura 3.27: Superfícies de nível.
[7] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = z − x2 − y2.
Note queDom(f) = R3.
Superfícies de nível:
Fazendo w = c, temos:
z = x2 + y2 + c,
que para cada c é a equação de um parabolóide circular com eixo no eixo
dos z.
Figura 3.28: Superfícies de nível.
[8] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x2 − y2 + z2.
3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 87
Superfícies de nível:
Fazendo w = c temos:
x2 − y2 + z2 = c.
Se c < 0, é um hiperbolóide de duas folhas: x2 − y2 + z2 = c.
Figura 3.29: Hiperbolóide de duas folhas.
Se c = 0, é um cone circular: x2 − y2 + z2 = 0.
Figura 3.30: Cone circular.
Se c > 0, é um hiperbolóide de uma folha: x2 − y2 + z2 = c; etc.
88 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Figura 3.31: Hiperbolóide de uma folha.
Em alguns casos é mais conveniente esboçar as curvas nível do que o gráfico
da função.
[9] Considere a função de Cobb-Douglas:
P (L,K) = 1.01L
3
4 K
1
4 .
As curvas de nível de P para diversas produções são esboçadas, indicando
as possibilidades de L eK para cada produção.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 3.32: Curvas de nível da função de Cobb-Douglas.
[10] Sabemos que o índice de massa corporal é dado por:
IMC(P,A) =
P
A2
.
As curvas de nível de ICM indicam as possibilidades de:
3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 89
10 ≤ P ≤ 200 e 0.5 ≤ A ≤ 2.5.
50 100 150 200
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 3.33: Curvas de nível da função da massa corporal.
De forma análoga ao caso de uma variável, nem toda superfície em R3 é o
gráfico de uma função de duas variáveis. A condição necessária e suficiente
para que uma superfície em R3 seja o gráfico de uma função z = f(x, y)
é que toda reta paralela ao eixo dos z intersecte a superfície em um único
ponto. A esfera x2 +y2 + z2 = 1 não pode ser gráfico de uma função de duas
variáveis, mas os hemisférios da esfera são gráficos das funções:
z = f1(x, y) =
√
1− x2 − y2 e z = f2(x, y) = −
√
1− x2 − y2.
Em geral, toda equação de tres variáveis que represente uma superfície é
uma superfície de nível de alguma função de tres variáveis. As superfícies
quádricas são superfícies de algum nível de funções de três variáveis.
Exemplos 3.2.
[1] Seja x2 + y2 + z2 = 1; então: x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 0
para
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1,
x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 1 para
g(x, y, z) = x2 + y2 + z2
e x2+y2+z2 = 1 é superfície de nível c = 30 para h(x, y, z) = x2+y2+z2+29.
[2] Seja z = f(x, y), considere h(x, y, z) = z − f(x, y); então, G(f) é uma
superfície de nivel zero de h.
90 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
3.5 Exercícios
1. Determine o volume em função de h e r.
(a) Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de
altura h e raio r, com teto cônico.
(b) Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto de
altura h e raio r, com teto uma semi-esfera.
2. Se f(x, y) = x5−y5−4 x2 y3−3 x3 y2 +x y2 +x2−y2−x+y+1, calcule:
(a) f(0, 0)
(b) f(1, 1)
(c) f(x, x)
(d) f(y,−y)
(e) f(x2,
√
x y)
(f) f(1, h)
(g) f(h, 0)
(h)
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
(i)
f(x, y + h)− f(x, y)
h
3. Se f(x, y, z) = (x y z)2, calcule:
(a) f(0, 0, 0)
(b) f(1, 1, pi)
(c) f(x, x, x)
(d) f(y, z, z)
(e) f(x2,
√
x y z, z3 y)
(f)
f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)
h
(g)
f(x, y + h, z)− f(x, y, z)
h
(h)
f(x, y, z + h)− f(x, y, z)
h
3.5. EXERCÍCIOS 91
(i)
f(x + h, y + h, z + h)− f(x, y, z)
h
4. Determine Dom(f) se:
(a) f(x, y) =
√
x− y
x + y
(b) f(x, y) =
x2 − y2
x− y
(c) f(x, y) =
x+ y
x y
(d) f(x, y) = 16− x2 − y2
(e) f(x, y) = |x|e yx
(f) f(x, y) =
√|x| − |y|
(g) f(x, y) =
x− y
sen(x)− sen(y)
(h) f(x, y) =
√
y − x+√1− y
(i) f(x, y, z) = x y z − x4 + x5 − z7
(j) f(x, y, z) = sen(x2 − y2 + z2)
(k) f(x, y, x) =
y
z x
(l) f(x, y, z) = x2 sec(y) + z
(m) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1)
(n) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
(o) f(x, y, z) = ex
2+y2+z2
(p) f(x, y, z) = 3
√
1− x2 − y2 − z2.
5. Esboce Dom(f) no plano de cada função do exercício [4].
6. Seja x ∈ Rn. Uma função f(x) é dita homogênea de grau n ∈ Z se
para todo t > 0, f(tx) = tn f(x). Verifique que as seguintes funções
são homogêneas e determine o grau:
(a) f(x, y) = 3 x2 + 5 x y + y2
92 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
(b) f(x, y) =
2
x2 + y2
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2 sen(
y
x
), x 6= 0
(d) f(x, y, z) =
x
y3
+
y
z3
+
z
x3
(e) f(x, y, z) =
1
x+ y + z
(f) f(x, y, z) = x2 e−
y
z
7. Esboce as curvas de nível de f , para os seguintes c:
(a) f(x, y) =
√
100− x2 − y2, c = 0, 8, 10.
(b) f(x, y) =
√
x2 + y2, c = 0, 1, 2, 3, 4
(c) f(x, y) = 4 x2 + 9 y2, c = 0, 2, 4, 6
(d) f(x, y) = 3x− 7y, c = 0, ±1, ±2
(e) f(x, y) = x2 + xy, c = 0, ±1, ±2, ±3
(f) f(x, y) =
x2
y2 + 1
, c = 0, ±1, ±2, ±3
(g) f(x, y) = (x− y)2, c = 0, ±1, ±2, ±3
(h) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1), c = 0, ±1
(i) f(x, y) =
x
x2 + y2 + 1
, c = ±1, ±2
(j) f(x, y) = ex
2+y2 , c = 1, 2
8. Esboce as superfícies de nível de f , para os seguintes c:
(a) f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2, c = 0, ±1, ±2
(b) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2, c = 0, ±1
2
, ±1
(c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z, c = 0, ±1, ±2
(d) f(x, y, z) = x− y2 + z2, c = 0, ±1, ±2
(e) f(x, y, z) = x y z, c = 0, ±1, ±2
(f) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2), c = 0, ±1, ±2
9. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível
de f :
3.5. EXERCÍCIOS 93
(a) f(x, y) = x− y − 2
(b) f(x, y) = x2 + 4 y2
(c) f(x, y) = x y
(d) f(x, y) = 2 x2 − 3 y2
(e) f(x, y) = |y|
(f) f(x, y) =
√
16− x2 − y2
(g) f(x, y) =
√
9 x2 + 4 y2
(h) f(x, y) = e−(x
2+y2)
(i) f(x, y) = 1−
√
x2 + y2
(j) z = 1 + y2 − x2
(k) z = x2
(l) z =
√
1 + x2 + y2
(m) z = y3
(n) z = sen(x)
(o) z = ey
10. Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a se-
guinte função para determinar a superfície corporal de uma pessoa:
S(P, h) = 0.0072P 0.425 h0.725,
que estabelece uma relação entre a área da superfície S (m2) de uma
pessoa, o seu peso P (Kg) e sua altura h (cm).
(a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfície
corporal?
(b) Esboce as curvas de nível da função S.
(c) Esboce o gráfico de S.
11. De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas f
e g funções definidas em A ⊂ Rn, definimos:
(
f + g
)
(u) = f(u) + g(u).
(
f g
)
(u) = f(u) g(u);
em particular,
(
λ f
)
(u) = λ f(u), para todo λ ∈ R.
(f
g
)
(u) =
f(u)
g(u)
,
se g(u) 6= 0.
94 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
(a) Calcule: f + g, f g, e
f
g
, se:
i. f(x, y) = x3−x y2−x2 y−y3+x2+y2 e g(x, y) = x2 y+x y2−x3.
ii. f(x, y) = x y2 − x4 y3 e g(x, y) =
√
x2 + y2 + x y
(b) Calcule: f + g, f g, e
f
g
, se
i. f(x, y, z) = x y z − x2 z2 e g(x, y, z) = x y z − y2 z2.
ii. f(x, y, z) =
√
x y + z − x2 − y2 e g(x, y, z) = x5 − y2 z2.