Cisalhamento em Vigas

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS MATERIAIS
TENSÕES DE CISALHAMENTO 
EM VIGAS
1 INTRODUÇÃO
O carregamento transversal aplicado em uma viga resultará em tensões 
normais e de cisalhamento nas seções transversais.
DEC
DMF
VIGA
carregamento
A distribuição de tensões normais e de cisalhamento satisfazem:
( )
( ) MdAyMdAF
dAzMVdAF
dAzyMdAF
xzxzz
xyxyy
xyxzxxx
=−===
==−==
=−===






0
0
00
- Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais 
de um elemento, tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces 
horizontais.
- Cisalhamento longitudinal deve existir em qualquer elemento 
submetido a uma carga transversal.
 YXXY =
2 FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM ELEMENTO DE VIGA:
Considere a viga prismática
• Para o equilíbrio do elemento de viga ( )

 
−
=
−+==
A
CD
A
CDx
dAy
I
MM
H
dAHF

0
xVx
dx
dM
MM
dAyQ
CD
A
==−
=
• Nota,
tocisalhamendefluxo
I
VQ
x
H
q
x
I
VQ
H
==


=
=
• Substitutindo,
• onde
elemento do totalárea da inércia de momento 
. de acima área da estático momento 
'
2
=
=
=
=


+AA
1
A
dAyI
y
dAyQ
• Mesmo resultado encontrado para 
área inferior
HH
QQ
q
I
QV
x
H
q
−=
=
=+
−=

=


=
neutro eixo do 
respectivo estático momento 
0
tocisalhamendefluxo
I
VQ
x
H
q ==


=
. Fluxo de cisalhamento ou força 
horizontal por unidade de comprimento:
Para projetar os elementos de fixação (solda, cola, prego, pino ou 
parafuso), é necessário conhecer a força de cisalhamento à qual eles 
devem resistir ao longo do comprimento da estrutura.
Esse carregamento, quando medido como força por unidade de 
comprimento, é denominado fluxo de cisalhamento q.
tocisalhamendefluxo
I
VQ
x
H
q ==


=
3 APLICAÇÃO:
Uma viga é feita de três pranchas, pregadas juntas. Sabendo-se que o 
espaçamento entre os pregos é de 25 mm e que o cisalhamento vertical 
da viga é V = 500 N, determine a força cortante em cada prego.
4 Determinação das Tensões de Cisalhamento em uma Viga:
• A tensão de cisalhamento média na face 
horizontal do elemento é obtido dividindo a 
força de cisalhamento no elemento pela área 
da face.
It
VQ
xt
x
I
VQ
A
xq
A
H
méd
méd
=


=


=


=


• Nas superfícies superior e inferior da viga, yx= 
0. Segue-se que xy= 0 nas bordas superior e 
inferior das seções transversais.
• Para uma viga retangular estreita,
A
V
c
y
A
V
Ib
VQ
xy
2
3
1
2
3
max
2
2
=








−==


• Para vigas do tipo I (padrão 
americano) e tipo W (viga de 
mesas largas)
alma
máx
méd
A
V
It
VQ
=
=


5 Tensões de Cisalhamento em Tipos Comuns de Vigas:
XY
 Para uma viga com seção transversal retangular, a
tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a
altura. A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo
do eixo neutro (que passa pelo centróide).
A viga é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento vertical 
interna resultante V = 3 kN. Determine a tensão de cisalhamento na viga no 
ponto P e calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga.
6 EXEMPLOS:
Solução:
O momento de inércia da área da seção 
transversal calculado em torno do eixo horizontal 
que passa pelo centróide é:
( )( ) 4633 mm 1028,16125100
12
1
12
1
=== bhI
( ) ( )( ) 34 mm 1075,181005050
2
1
5,12' =





+== AyQ
O momento estático da área da seção 
transversal situada acima do ponto P, calculado 
em torno do eixo que passa pelo centróide é:
Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos para o ponto P:
( )( )
( )( )
(Resposta) MPa 35,0
1001028,16
1075,18103
6
43
=


==
It
VQ
P
A tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo que passa pelo centróide, visto 
que t é constante em toda a seção transversal,
( )( ) 34 mm 1053,195,62100
2
2,65
'' =





== AyQ
O momento estático da área da seção transversal situada acima do centróide, 
calculado em torno deste eixo é:
Aplicando a fórmula do cisalhamento,
( )( )
( )( )
(Resposta) MPa 36,0
1001028,16
1053,19103
6
43
máx =


==
It
VQ
7 APLICAÇÕES:
1) Uma viga de madeira deve suportar três forças concentradas mostradas.
Sabe-se que para o tipo de madeira utilizada tem-se:
Determinar a altura “d” mínima necessária para a viga.
MPa82,0MPa12 == admadm 
2) Uma viga caixão quadrada é construída a partir de quatro tábuas, 
como mostrado. Sabendo-se que o espaçamento entre os pregos é de 45 
mm e a viga está submetida a um cisalhamento vertical de magnitude V = 
2,7 KN, determine a força cortante em cada prego e a tensão máxima de 
cisalhamento atuante na seção.