AULA 7- TENSâO POR CISALHAMENTO (2)

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TENSÃO POR CISALHAMENTO
Prof.Msc. Rivaildo da Silva Filho
Resistência dos Materiais II
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INTRODUÇÃO
❖O cisalhamento V é o resultado de uma
distribução de tensões de cisalhamento
transversal que age na seção da viga.
❖Devido à propriedade complementar de
cisalhamento, as tensões de cisalhamento
longitudinais também agirão ao longo dos
planos longitudinais da viga.
❖Por exemplo, um elemento retirado de um
ponto interno está sujeito a tensões de
cisalhamento transversal e longitudinal.
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INTRODUÇÃO
❖É possível explicar fisicamente porque a tensão de
cisalhamento também se desenvolve nos planos
longitudinais de uma viga considerando ela composta
por três tábuas.
❖Se as superfícies forem lisas e as tábuas estiverem
soltas elas deslizarão. Do contrário, surgirão tensões
que impedirão que deslizem e a viga agirá como uma
unidade única.
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INTRODUÇÃO
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EQUAÇÃO PARA TENSÃO POR CISALHAMENTO
❖Quando o cisalhamento V é aplicado, a seção
transversal não permanece plana.
❖Lembrem-se que no desenvolvimento da fórmula de
flexão, consideramos que as seções permaneciam
planas.
❖Embora essa regra seja infringida, podemos considerar
que a distorção da seção é pequena o suficiente para
ser desprezada, quando tratamos de uma viga esbelta
cuja largura é pequena em relação ao seu
comprimento.
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EQUAÇÃO PARA TENSÃO POR CISALHAMENTO
❖A fórmula para tensão por cisalhamento é obtida indiretamente, através da
relação entre o momento e o cisalhamento:
𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝐻𝑖𝑏𝑏𝑒𝑙𝑒𝑟, 𝑝𝑔. 263)
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EQUAÇÃO PARA TENSÃO POR CISALHAMENTO
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA (Q)
❖Define-se Momento Estático de um elemento de superfície como o produto
da área do elemento pela distância que o separa de um eixo de referência.
❖Para o cálculo do momento de estático de área de uma seção transversal
qualquer de uma viga, tomamos como referência o eixo que passa pelo
centroide da seção e calculamos a distância até o centroide da área que
queremos calcular o momento estático de área.
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA (Q)
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA (Q)
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA (Q)
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EXEMPLO 01
Uma viga de madeira está sujeita à uma força de cisalhamento vertical interna
resultante V=3KN. Determine:
a) A tensão de cisalhamento no ponto P.
b) A tensão de cisalhamento máxima na viga.
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA
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MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA
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EXEMPLO 02
Traçar o gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que atua sobre a área
da seção transversal mostrada abaixo.
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SOLUÇÃO
Passo 1: Cálculo do momento de inércia da seção transversal
PARTE
𝐴𝑖
(mm²)
𝑦𝑖
(mm)
𝑑𝑖=
(𝑦𝑖-𝑦)
(mm)
𝑑𝑖
2
(mm)²
𝐼𝑖
(mm)4
1 1,2.105 2200 1395,10 1,95.106 0,40.109
2 7,2.105 1200 395,10 0,16.106 1,94.1011
3 6,9.105 150 -654,90 0,43.106 5,18.109
𝑐𝑚
40
𝑦 =
σ𝐴𝑖 . 𝑦𝑖
σ𝐴𝑖
=
1,23. 109
1,53. 106
= 80,49 cm = 804,90 mm
𝐼 = σ(𝐼𝑖 + 𝐴𝑖 . 𝑑𝑖²) = 2,34. 1011 + 3,09. 1011 + 3,02. 1011
𝐼 = 8,4. 1011 mm4
LN
80,49
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
Passo 3: Cálculo dos momentos estáticos de área
80,49
130
20
139,51
LN
60
𝑄𝐵 =෍𝑦𝑖′. 𝐴𝑖′
𝑄𝐵 = 1,67. 108𝑚𝑚³
𝑄𝐵 = 1395,1.1,2. 105
B
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SOLUÇÃO
Passo 3: Cálculo dos momentos estáticos de área
80,49
129,51
20
139,51
LN
60
𝑄𝐶 =෍𝑦𝑖′. 𝐴𝑖′
𝑄𝐶 = 5,02. 108𝑚𝑚³
64,75𝑄𝐶 = 1,67. 107𝑚𝑚³ +
(6,475. 102. 1,29. 103. 4,0. 102)
40
C
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SOLUÇÃO
Passo 3: Cálculo dos momentos estáticos de área
180
20
139,51
LN
60
𝑄𝐷 =෍𝑦𝑖′. 𝐴𝑖′
𝑄𝐷 = 4,5. 108𝑚𝑚³
𝑄𝐷 = 𝑄𝑐 −
(2,575.102. 5,049. 102. 4,0. 102)
40
D
3080,49
50,49𝑄𝐷 = 5,02. 108 −
(2,575.102. 5,049. 102. 4,0. 102)
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SOLUÇÃO
Passo 4: Aplicação da fórmula de cisalhamento para cada fibra
Fibra B
𝜏𝐵 =
𝑉.𝑸𝐵
𝐼. 𝑡1
=
9,5. 105𝑁. 1,67. 108𝑚𝑚³
8,4. 1011 mm4. 6,0.10² 𝑚𝑚
= 0,31 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐵
′ =
𝑉.𝑸𝐵
𝐼. 𝑡2
=
9,5. 105𝑁. 1,68. 108𝑚𝑚3
8,4. 1011 mm4. 4,0.102𝑚𝑚
= 0,47 𝑀𝑃𝑎
Fibra C
𝜏𝐶 =
𝑉.𝑸𝐶
𝐼. 𝑡2
=
9,5. 105𝑁. 5,02. 108𝑚𝑚³
8,4. 1011 mm4. 4,0.10² 𝑚𝑚
= 1,42 𝑀𝑃𝑎
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SOLUÇÃO
Passo 4: Aplicação da fórmula de cisalhamento para cada fibra
Fibra D
𝜏𝐷 =
𝑉.𝑸𝐷
𝐼. 𝑡2
=
9,5. 105𝑁. 4,5. 108𝑚𝑚³
8,4. 1011 mm4. 4,0.10² 𝑚𝑚
= 1, 27 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐷
′ =
𝑉.𝑸𝐷
𝐼. 𝑡3
=
9,5. 105𝑁. 4,5. 108𝑚𝑚3
8,4. 1011 mm4. 2,3.103𝑚𝑚
= 0,22 𝑀𝑃𝑎
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SOLUÇÃO
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OBRIGADO!
DÚVIDAS