Conjuntos Numéricos

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Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Conjunto dos Números Naturais (N)
Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos.
Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado da letra N e, nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}.
Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8...}
Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9...}
O conjunto de números naturais é infinito. Todos possuem um antecessor (número anterior) e um sucessor (número posterior), exceto o número zero (0). Assim:
o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2;
o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3;
o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4;
o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5.
Cada elemento é igual ao número antecessor mais um, exceptuando-se o zero. Assim, podemos notar que:
o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1;
o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2;
o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3;
o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4.
Números primos
Os Números Primos são números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores, ou seja, são divisíveis por 1 e por ele mesmo.
O Teorema Fundamental da Aritmética faz parte da "Teoria dos Números" e garante que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como o produto de números primos.
Para escrever um número como produto de números primos ou "fatores primos", utilizamos um processo de decomposição dos números chamado de fatoração.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos:
- ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo),
- ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
Noções de União e Intersecção
A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto mais os elementos dos outros conjuntos.
Se existirem elementos que se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma única vez no conjunto união.
Para representar a união usamos o símbolo U.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união (A U B).
Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos dados. Temos de ter o cuidado de incluir os elementos que se repetem nos dois conjuntos uma única vez.
Assim, o conjunto união será:
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u}
Intersecção de Conjuntos
A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo ∩.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto intersecção ().
Devemos identificar os elementos comuns nos conjuntos dados que, neste caso, são os elementos a e e, assim o conjunto intersecção ficará:
 = {a, e}
Obs: quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos que a intersecção entre eles é um conjunto vazio.
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø
Diferença de Conjuntos
A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que não aparecem no outro conjunto.
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A - B (lê-se A menos B).
Conjunto Complementar
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é determinado pelos elementos de um conjunto universo que não pertençam a A.
Este conjunto pode ser representado por 
Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A (), a diferença A - B é igual ao complemento de B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto diferença entre eles.
Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos pertencem ao conjunto A e que também aparecem ao conjunto B.
No exemplo, identificamos que os elementos d, e e f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, vamos retirar esses elementos do resultado. Logo, o conjunto diferença de A menos B sera dado por:
A – B = {a, b, c}
Propriedades da União e da Intersecção
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas:
Propriedade comutativa
Propriedade associativa
Propriedade distributiva
Se A está contido em B ():
Leis de Morgan
Considerando dos conjuntos pertencentes a um universo U, tem-se:
1.º) O complementar da união é igual à intersecção dos complementares:
2.º) O complementar da intersecção é igual à união dos complementares:
Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números que não são decimais. Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros é formado pelo conjunto dos números naturais e seus opostos aditivos. Por exemplo: o número 1 pertence ao conjunto dos números naturais e dos números inteiros. Já o número – 1 pertence apenas ao conjunto dos números inteiros, pois é o oposto aditivo do natural 1.
Elementos do conjunto dos números inteiros
Os elementos do conjunto dos números inteiros são os números naturais, seus opostos aditivos e o zero. Destacamos o zero, pois alguns autores não o consideram como número natural. Portanto, os elementos do conjunto dos números inteiros são:
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
A letra Z é usada para representar os números inteiros porque essa representação vem do alemão Zahl, que significa “número”.
Os conjuntos numéricos podem ser representados pelo diagrama de Venn. Usaremos essa representação também para mostrar que o conjunto dos números naturais está totalmente incluído no conjunto dos números inteiros, isto é, se um número é natural, então, ele também é inteiro:
Observe que todos os números inteiros estão dentro do diagrama e que os não negativos podem ser agrupados. Esse agrupamento é o conjunto dos números naturais.
Subconjuntos dos números inteiros
É possível encontrar, dentro do conjunto dos números inteiros, outros subconjuntos que são interessantes, como:
Z*: formado por todos os números inteiros, exceto pelo zero;
Z+: formado por todos os números inteiros não negativos, ou seja, pelo próprio conjunto dos números naturais. Assim, Z+ = N;
Z+*: formado por todos os números inteiros positivos. Assim, o número zero não está nesseconjunto. Seus elementos são: 1, 2, 3, 4, …;
Z–: formado por todos os números inteiros não positivos, ou seja, pelos opostos aditivos dos números naturais e pelo zero;
Z–*: formado por todos os números inteiros negativos. Assim, o número zero não pertence a esse conjunto.
Número oposto ou simétrico
Para determinar o oposto ou simétrico de um número, devemos considerar um número inteiro com sinal positivo. Esse mesmo número com sinal negativo será seu oposto ou simétrico.
 
Um número será o oposto ou simétrico de outro número quando for representado em uma reta numérica e possuir a mesma distância da origem em relação a outro número.
Considere o número sete positivo (+7). O oposto ou simétrico desse número é o sete negativo (-7). Podemos afirmar que o oposto ou simétrico de +7 é o -7, porque a distância de +7 à origem é igual à distância de – 7 à origem.
Lembre-se de que: A origem na reta numérica é o zero.
Temos então que:
O número oposto ou simétrico de +7 é -7
O número oposto de -7 é +7
Vejamos mais um exemplo de número oposto ou simétrico. Considere o número – 6. O oposto ou simétrico de – 6 é o número + 6. Para confirmar a validade dessa resposta, devemos calcular a distância de – 6 à origem e a distância de +6 à origem. Ao fazermos isso, constatamos que, em ambos os casos, a distância é a mesma. Com isso, podemos afirmar que:
O número oposto ou simétrico de - 6 é + 6.
O número oposto ou simétrico de + 6 é – 6.
Atribuímos o surgimento dos números opostos ou simétricos ao conjunto dos números inteiros, que possui termos numéricos positivos e negativos. No conjunto dos inteiros, cada número inteiro positivo possui um número negativo correspondente, ou seja, o valor numérico será o mesmo, o que altera é o sinal. 
Módulo ou valor absoluto
O módulo, ou valor absoluto, de um número inteiro é a distância desse número até a origem da reta numérica. Em outras palavras, o módulo é a distância entre zero e o número observado na unidade de medida em que a reta foi construída. Como não existem distâncias negativas, o módulo sempre será um número positivo. Além disso, o módulo de um número é representado por esse número entre duas barras, como em: | – 2|.
Então, o módulo de – 2 é a distância desse número até zero, portanto, | – 2| = 2. Observe isso na reta numérica:
Conjunto dos Números Racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
Subconjuntos dos Números Racionais
Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.
Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.
Subconjuntos dos Números Reais
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x
Intervalos Numéricos
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. Sejam a e b números reais e a intervalos reais:
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a
Propriedades dos Conjuntos Numéricos
Diagrama dos conjuntos numéricos
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:
O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).
Referências Bibliográficas:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é o conjunto dos números inteiros?"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-conjunto-dos-numeros-inteiros.htm>. 
https://www.todamateria.com.br/conjuntos-numericos/
https://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/numero-oposto-ou-simetrico.htm
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
Universidade Estácio de Sá
Curso de Logística
Conjuntos Numéricos
Professor: Jorge Militão
Aluno: Weliton Ribeiro da Fonseca
Matricula: 201902410841
Queimados
2019