Roteiro_tempo de esvaziamento_v1 4_2016 2 (1)

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA 
CAMPUS DE SALVADOR – DEPARTAMENTO DE PROCESSOS INDUSTRIAIS 
E ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 1 
Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I 
Período: 2016.2 rev. 1.4 
 
TEMPO DE ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIOS 
 
 
1. Objetivo 
 
Estudar o escoamento de fluidos no problema do esvaziamento de distintos tipos de 
recipientes. 
 
Objetivos específicos 
 
1.1 Analisar o escoamento de fluidos através de diferentes recipientes com diâmetros 
de orifício de saída também distintos, determinar a altura em função do tempo por 
meio de diferentes equacionamentos; 
 
1.2 Comparar os valores obtidos experimentalmente com aqueles esperados por 
abordagens teóricas (Equação de Bernoulli e aproximações); 
 
1.3 Determinar em cada ensaio o número de Reynolds e caracterizar o regime de 
escoamento (laminar ou turbulento). 
 
2. Fundamentação Teórica 
 
O experimento aborda o tema de esvaziamento de reservatórios contendo fluidos, que 
constitui um problema corriqueiro na prática industrial. Este tema será estudado a luz 
de conceitos básicos da mecânica dos fluidos. 
 
O tema de esvaziamento de reservatórios é um problema clássico da mecânica dos 
fluidos que aparece em diversas situações de interesse industrial. Para ilustrar 
consideremos o tanque cilíndrico indicado na Figura a seguir. 
 
D é o diâmetro do reservatório; 
d é o diâmetro do orifício de saída de fluido; 
h é a altura (nível de líquido) no tanque. 
 
 
Figura 1 – Esquema mostrando o 
esvaziamento de um tanque cilíndrico. 
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Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 2 
Uma abordagem teórica rigorosa para este problema modela o mesmo como um 
escoamento em regime transiente, viscoso e rotacional. Entretanto, estimativas 
aproximadas podem ser obtidas a partir de adaptações de equações tais como a de 
Bernoulli com as devidas correções. Sabe-se que o emprego da equação de Bernoulli 
se justifica em situações de escoamento em regime permanente, invíscido e 
incompressível e deve ser aplicado em pontos do escoamento situados numa mesma 
linha de corrente. Fazendo-se isso para os pontos 1 e 2 da figura, tem-se: 
𝑝1
𝛾⁄ +
𝑉1
2
2𝑔⁄ + 𝑧1 =
𝑝2
𝛾⁄ +
𝑉2
2
2𝑔⁄ + 𝑧2 = 𝐻 (1) 
Sendo: 
𝑝
𝛾⁄ é a carga referente à pressão; 
𝑉2
2𝑔⁄ é a carga da velocidade (cinética); 
z é a cota ou carga da elevação 
H é a carga total do escoamento. 
 
Uma das grandes limitações do emprego da equação de Bernoulli para o problema em 
questão é o fato de a situação real ocorrer em regime transiente. 
 
Modelo Dinâmico 1: Adaptação da Equação de Bernoulli com V1<< V2 e processo 
pseudo-estacionário. 
Para superar a dificuldade descrita nas suposições necessárias ao emprego da 
Equação 1, supõe-se que a velocidade da superfície do líquido no reservatório é muito 
menor que a velocidade na saída, visto que sua área de seção transversal é grande 
comparativamente ao diâmetro de saída em 2. Considerando ainda que os dois pontos 
estão submetidos à pressão atmosférica, a Equação (1) torna-se: 
𝑧1 =
𝑉2
2
2𝑔⁄ + 𝑧2 (2) 
Nota-se que a velocidade instantânea (dh/dt) no ponto 1 não aparece na equação (2). 
Esta poderá ser obtida através da aplicação da lei de conservação da massa 
(Equação da Continuidade) para o sistema em questão, admitindo escoamento 
incompressível e regime pseudo-estacionário. Procedendo-se desta forma, tem-se: 
𝐴1𝑉1 ≅ 𝐴2𝑉2 ∴ 𝜋
𝐷2
4
𝑑ℎ
𝑑𝑡
≅ 𝜋
𝑑2
4
𝑉2  𝑉2 ≅
𝐷2
𝑑2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 (3) 
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Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 3 
Substituindo-se (3) em (2), tem-se uma primeira estimativa teórica para dh/dt: 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
𝑑2
𝐷2
√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (4) 
A integração da equação (4) permite escrever h(t) como: 
𝒉 =
𝟏
𝟐
(
𝒅
𝑫
)
𝟒
𝒈𝒕𝟐 − (
𝒅
𝑫
)
𝟐
√𝟐𝒈𝒉𝟎𝒕 + 𝒉𝟎 (𝟓) 
Onde, h0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório. 
 
Modelo Dinâmico 2: Adaptação da Equação de Bernoulli partindo-se da hipótese 
de processo pseudo-estacionário. 
Uma outra possibilidade de estimativa para dh/dt pode ser obtida substituindo-se 
diretamente a Equação (3) em (1). Neste caso, obtém-se: 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
√
2𝑔(𝑧1 − 𝑧2)
[(
𝐷
𝑑)
4
− 1]
 (6) 
A integração da equação (6) permite escrever h(t) como: 
𝒉 =
𝟏
𝟐
𝒈
[(
𝑫
𝒅)
𝟒
− 𝟏]
𝒕𝟐 −
{
 
 
 
 
√
𝟐𝒈𝒉𝟎
[(
𝑫
𝒅)
𝟒
− 𝟏]
}
 
 
 
 
𝒕 + 𝒉𝟎 (𝟕) 
Onde, h0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório. 
 
Modelo dinâmico 3: Adaptação da Equação de Bernoulli com V1<< V2 e processo 
pseudo-estacionário, levando em conta a perda de carga e a contração do jato 
de fluido na saída do reservatório. 
O coeficiente de descarga é um parâmetro adimensional definido por: 
𝐶𝑑 =
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎
 (8) 
A velocidade real no ponto 2 (V’2) é dada pelo produto entre a velocidade teórica, dada 
na equação 2, e o coeficiente de velocidade Cv, que reflete a perda de carga 
associada ao escoamento. 
𝑉′2 = 𝐶𝑣𝑉2 = 𝐶𝑣√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (9) 
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O ponto 2 está logo após o orifício de descarga do reservatório, devido à contração do 
jato do fluido, a área real do jato no ponto 2 é dada por: 
𝐴′2 = 𝐶𝑐𝐴2 (10) 
Onde (Cc) é o coeficiente de contração, um parâmetro adimensional para correção da 
área do jato. A vazão real de fluido é dada por: 
𝑄′ = 𝐴′2𝑉
′
2 = 𝐶𝑣𝐶𝑐𝐴2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) = 𝐶𝑑𝐴2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (11) 
Sendo: 
𝑄′ = −𝐴1
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 (12) 
Igualando as equações (12) e (11): 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −𝐶𝑑
𝐴2
𝐴1
√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (13) 
A integração da equação (11) permite escrever h(t) como: 
𝒉 =
𝑪𝒅
𝟐
𝟐
(
𝒅
𝑫
)
𝟒
𝒈𝒕𝟐 − [𝑪𝒅 (
𝒅
𝑫
)
𝟐
√𝟐𝒈𝒉𝟎] 𝒕 + 𝒉𝟎 (14) 
 
Modelo para esvaziamento de recipientes cônicos 
Figura 2 – Esquema mostrando o 
esvaziamento de um tanque cônico. 
Através da análise da geometria do 
problema, tem-se: 
𝑟0
𝑧0
=
𝑟
𝑧
=
�̅�
𝑧̅
=
𝑟2
𝑧2
 
Aplicando balanço de massa, em 
termos da elevação da superfície do 
líquido: 𝑉(𝑧̅) = −
𝑧2
�̅�2
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 
𝑉2 = 𝑉(𝑧2) = −
𝑧2
𝑧2
2
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 
O balanço de energia mecânica fornece: 
𝑑
𝑑𝑡
(𝐾𝑡𝑜𝑡 +Φ𝑡𝑜𝑡) = −Δ [(
1
2
𝑉2 + 𝑔𝑧)𝑤] − Δ(𝑝 < 𝑉 > 𝐴) −𝑊 − 𝐸𝑣 
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No qual Ev é a energiadissipada. 
O trabalho realizado sobre a superfície líquida é dado por: 
−𝑊 = 𝑝(𝜋𝑟2)(𝑑𝑧 𝑑𝑡⁄ ) 
Considerando que 𝑉1 ≈ 0, tem-se: 
−Δ(𝑝 < 𝑉 > 𝐴) = −𝑝𝑉2𝐴2 = −𝑝(𝜋𝑟2
2) (
𝑧2
𝑧2
2)(
𝑑𝑧
𝑑𝑡
) 
Este termo é cancelado com o trabalho realizado sobre a superfície livre. 
Desprezando a dissipação viscosa 𝐸𝑣 ≈ 0 e o termo associado ao acúmulo de energia 
cinética. O balanço de energia mecânica é escrito: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝜌𝑔𝑧̅)𝜋�̅�2𝑑𝑧̅
𝑧
𝑧2
= −
1
2
𝑉2
2𝑤2 − 𝑔𝑧2𝑤2 
Dividindo por 𝑤2 = 𝜌𝑉2𝜋𝑟2
2 e usando �̅�2 = 𝑧̅2(
𝑟2
2
𝑧2
2⁄ ) (15). 
𝑔
𝑉2𝑧2
2 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑧4 − 𝑧2
4
4
) = −
1
2
𝑉2
2 − 𝑔𝑧2 
Substituindo 𝑉2 = −
𝑧2
𝑧2
2
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 e resolvendo: 
−𝑔𝑧 = −
1
2
𝑉2
2 − 𝑔𝑧2  𝑉2 = √2𝑔(𝑧 − 𝑧2) (16) 
Do balanço de massa: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝜋�̅�2𝑑𝑧̅
𝑧
𝑧2
= −𝜌𝑉2𝜋𝑟2
2 (17) 
Substituindo as equações 12 e 13 na 14: 
(
1
𝑧2
)
2
 
𝑑
𝑑𝑡
[
1
3
(𝑧3 − 𝑧2
3)] = −√2𝑔(𝑧 − 𝑧2) 
Para 𝑧2 ≪ 𝑧: 𝑧
3
2⁄ 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −𝑧2
2√2𝑔 
Sendo 𝑧 = 𝑧0 quando 𝑡 = 𝑡0 = 0 a integração fornece: 
𝑧0
5
2⁄ − 𝑧
5
2⁄ =
5
2
𝑧2
2𝑡√2𝑔 
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Isolando z: 𝑧5 =
25
4
𝑧2
42𝑔𝑡2 − 5√2𝑔𝑧2
2𝑧0
5
2⁄ 𝑡 + 𝑧0
5 (18) 
A equação 15 representa um modelo pseudo-estacionário para a altura de fluido 
durante o escoamento em recipiente cônico. Levando em conta o coeficiente de 
descarga, tem-se: 
𝒛𝟓 =
𝟐𝟓
𝟒
𝒛𝟐
𝟒𝟐𝒈𝑪𝒅
𝟐𝒕𝟐 − 𝟓√𝟐𝒈𝒛𝟐
𝟐𝒛𝟎
𝟓
𝟐⁄ 𝑪𝒅𝒕 + 𝒛𝟎
𝟓 (19) 
3. Materiais 
 
- Água e/ou um outro fluido a ser testado; 
 
- Pigmento solúvel em água (Anilina azul); 
 
- 01 Becker de 2 L (frascos coletores); 
 
- 01 Barrilete para armazenamento de água; 
 
- 01 Bureta sem válvula e 01 Bureta 50 mL; 
 
- Termômetros (utilizar sempre o mesmo termômetro para as medições); 
- 01 Argola; 
 
- 02 Suportes para bureta e 01 Suporte universal; 
 
- 01 Garrafa PET de 1 L adaptada; 
 
- Tampas de garrafa PET perfuradas ao centro (mensurar e escolher somente 3); 
 
- Suporte para a garrafa; 
 
- Rolhas perfuradas ao centro de diferentes diâmetros (mensurar e escolher somente 
três); 
 
- Papel milimetrado, 01 Paquímetro e 01 Régua graduada ou trena; 
 
- Fita adesiva; 
 
- 01 Cronômetro; 
 
- Câmera de filmagem com boa resolução (celular ou máquina fotográfica). 
 
 
 
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4. Procedimento Experimental 
 
4.1 - Teste 1: Esvaziamento de uma bureta de vidro sem válvula com diâmetros 
diferentes na saída 
 
a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no 
recipiente para a descrição do fenômeno. Efetuar cada leitura em triplicata e 
adotar a média do resultado. 
b. Com o uso de um termômetro, registrar a temperatura do fluido a ser testado. 
c. Adicione uma gota do pigmento ao fluido. 
d. Use a fita adesiva para criar marcas na bureta correspondentes aos volumes 
de 0; 10; 20; 30; 40 e 50 mL. 
e. Adaptar a rolha ao recipiente de vidro e posicionar o recipiente de coleta. 
f. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de tampar a 
saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala 
criada). 
g. Destampar a saída de fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até 
a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. 
h. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 mL 
escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum 
programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por 
exemplo: Movie Maker®) 
i. Anotar os valores obtidos. 
j. Repetir os passos anteriores com as demais rolhas testadas. 
 
De posse dos dados coletados, obter h x t para cada rolha, comparando os valores 
experimentais com os três modelos teóricos propostos. 
 
4.2.- Teste 2: Esvaziamento de uma bureta de vidro com válvula 
a. Repetir os passos de a. a d. do item 4.1. 
b. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de deixar a 
válvula na posição fechada. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto 
da escala criada). 
c. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo da 
primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de 
coleta. 
d. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 mL 
escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. . (DICA: Utilize algum 
programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por 
exemplo: Movie Maker®) 
e. Anotar os valores obtidos. 
Com esses dados obter h x t para a bureta com válvula, comparando os valores 
experimentais com os modelos teóricos propostos e com os resultados obtidos no 
experimento 4.1. 
 
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4.3.- Teste 3: Esvaziamento da água existente em um barrilete 
a. Com o uso de um paquímetro e/ou 
régua, registrar as dimensões 
importantes no recipiente para a 
descrição do fenômeno. 
b. Estando a válvula de saída de água 
fechada, encher o barrilete com água. 
(OBS: Encher o reservatório até o 
primeiro ponto da escala). 
c. Abrir totalmente a válvula de saída, 
deixando a água escoar. Anotar os 
tempos correspondentes a variações 
de 1 cm no nível de água do 
recipiente. (DICA: Neste experimento 
a velocidade é lenta o suficiente para 
permitir o uso de um cronômetro de 
voltas). 
d. Fechar a válvula quando o mesmo 
atingir na última marcação indicada. 
e. Anotar os valores obtidos. 
 
 
Figura 3 – Teste 3: Esvaziamento de 
água em um barrilete. 
4.4.-Teste 4: Esvaziamento da água existente em 
uma garrafa PET adaptada utilizando 1 tampa com 
diâmetro de orifício distinto para cada grupo. 
 
a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, 
registrar as dimensões importantes no 
recipiente para a descrição do fenômeno. 
b. Adaptar a tampa ao recipiente e posicionar o 
recipiente de coleta quando necessário. 
c. Adicione uma gota do pigmento à água. 
d. Encher o recipiente inicialmente com água, 
tomando o cuidado de tampar a saída do 
orifício. (OBS: Encher o reservatório até o 
primeiro ponto da escala). 
e. Destampar a saída de fluido, filmando o 
movimento da superfície do líquido ao 
longo da escala, e deixando-o escoar para 
o recipiente de coleta. 
Figura 4 – Teste 4: Esvaziamento 
de uma garrafa PET adaptada. 
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f. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm 
escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum 
programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por 
exemplo: Movie Maker®). 
g. Anotar os valores obtidos.4.5.- Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico 
a. Com o uso de um paquímetro e régua, 
registrar as dimensões importantes no 
recipiente para a descrição do 
fenômeno (Ver equação 15 e Figura 2). 
Efetuar a leitura em triplicata e adotar a 
média do resultado. 
b. Adicione uma gota do pigmento ao 
fluido. 
c. Encher o recipiente com o fluido testado 
até o limite da região cônica, tomando o 
cuidado de deixar a válvula na posição 
fechada. 
d. Abrir a válvula de saída do fluido, 
filmando o escoamento do mesmo ao 
longo da escala colocada atrás do 
recipiente, deixando-o escoar para o 
recipiente de coleta. 
e. Através da análise da gravação 
determinar os tempos referentes a cada 
1 cm escoado e o tempo total de 
esvaziamento do recipiente. 
f. Anotar os valores obtidos. 
Figura 5 – Teste 5: Esvaziamento de 
recipiente cônico. 
6. Cálculos e análises dos resultados 
Os resultados e discussões efetuados deverão ser apresentados no relatório da 
prática na forma de tabelas e gráficos que possam apresentar/responder ao que se 
pede, conforme questionamento descrito abaixo. 
 
 A partir de um ajuste de curvas aos dados experimentais é possível propor um 
modelo dinâmico empírico. Este modelo está de acordo com a teoria? 
Justifique. 
 Porque é mais adequado utilizar os modelos na forma integrada do que na 
diferencial? 
 Qual modelo dinâmico teórico apresentado se aproxima mais dos resultados 
empíricos? O que justifica este comportamento? 
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Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 10 
 Ao considerarmos que a velocidade na superfície do líquido é 
aproximadamente zero estaremos cometendo um erro significativo? Compare 
os modelos empregados para responder esta pergunta. O atrito no recipiente e 
a formação da vena contracta foram importantes? 
 Em cada intervalo de medição, Δt, determinar se o escoamento é laminar ou 
turbulento. Observar se o tipo de escoamento se mantém sempre o mesmo, 
justificando. 
 Sabendo que o coeficiente de descarga depende do número de Reynolds, 
proponha uma modificação no modelo teórico que leve em conta a 
transitoriedade do escoamento. Para isto calcule em cada intervalo de 
medição, Δt, o coeficiente de descarga, em seguida relacione-o com o tempo 
médio entre as medições. De que fato decorre a incerteza associada ao novo 
modelo? 
 Com base nos fatores desprezados pelos modelos, que condições 
experimentais permitiriam uma maior aproximação dos modelos teóricos com o 
resultado empírico? 
 É possível exprimir uma relação funcional entre altura adimensional (h/H) e 
tempo adimensional (t/T) para os resultados experimentais? 
 
7. Conclusões 
Inserir as conclusões com base nos resultados alcançados. 
 
8. Bibliografia: 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill – 
Artmed, 2007. 
 
FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Mecânica dos Fluidos - 6ª 
edição, LTC, 2006. 
 
YOUNG, D. F.; MUNSON, B. R.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos 
Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004. 
 
BIRD, R. B.; STEWART, W. E; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte - 2ª 
edição, Editora LTC, 2004. 
 
 
 
Histórico de revisões/atualizações deste roteiro: 
 
Versão 1.1 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2013.2 
Versão 1.2 - Discente Murilo Fontes em 2014.1 
Versão 1.3 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2015.2 
Versão 1.4 – Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2016.2