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se desloca segundo 
uma trajetória circular. Faremos um estudo do movimento muito próximo ao 
que já foi abordado nos outros módulos. Entretanto, vamos nos preocupar 
mais com grandezas angulares, em vez de lineares. Por exemplo: além 
de verificar a distância percorrida, precisaremos medir o ângulo varrido 
pelo móvel. 
1.1 Fase e deslocamento angular 
Unidade no SI: radianos; abreviação: rad
Outra unidade comum: grau (°)
Considere que, no instante t0 = 0, uma partícula se encontra no 
ponto PI de uma circunferência e que, em um instante posterior t, essa 
partícula se encontra num ponto Pf. O deslocamento angular (Δϕ) sofrido 
por essa partícula é a diferença entre os ângulos (ou fases) formados 
com um eixo. Normalmente, utilizamos como eixo de referência uma reta 
horizontal que possui origem coincidente com o centro da circunferência 
e positivo para a direita. 
Atenção: definir origem e referencial continua sendo essencial. A 
origem é dada por um eixo arbitrário (como dito acima). O referencial, no 
caso de movimentos circulares, é positivo de acordo com o sentido do 
movimento: horário ou anti-horário.
P1
P1
Dϕ
Dϕ = ϕ2– ϕ1
ϕ2
ϕ1
A unidade mais usual de ângulo é o radiano. Para determinar o ângulo 
nessa unidade, basta calcular a razão entre o arco percorrido e o raio. 
Por definição, um radiano é o ângulo descrito quando o comprimento do 
arco é igual ao raio. Portanto, se considerarmos uma volta, teremos que:
arco = 2πR → ângulo = 2≠R
R
=2π rad → 2π rad = 360° → π rad = 180°
1.2 Velocidade angular
Unidade no SI: radiano/segundo; abreviação: rad/s
Outras unidades comuns: grau/segundo
Definimos a velocidade angular média (ωm) como a razão entre o 
deslocamento angular e o tempo gasto para tal deslocamento. 
P2
P1
Dϕ
Dt
ω
ϕ
m t
=
∆
∆
Convém ressaltar que a velocidade angular não depende do raio do 
círculo e que esse valor obtido nos fornece uma média de deslocamento 
angular por unidade de tempo. 
Analogamente ao que foi dito na cinemática escalar, existe diferença 
entre velocidade angular média e velocidade angular instantânea. 
A velocidade angular instantânea é dada pela velocidade angular média 
para um intervalo de tempo tendendo a zero.
ω
ϕ ϕ
i t t
d
dt
= =
→
lim
∆
∆
∆0
1.3 Aceleração angular
Unidade no SI: radiano/segundo ao quadrado; abreviação: rad/s2
A aceleração angula média indica o quão rápido a velocidade angular 
sofre variações. Seu módulo é dado por:
α
ω
m t
=
∆
∆
Analogamente ao que foi dito na cinemática escalar, existe diferença 
entre aceleração angular média e aceleração angular instantânea. 
A aceleração angular instantânea é dada pela aceleração angular média 
para um intervalo de tempo tendendo a zero.
α
ω ω
i t t
d
dt
= =
→
lim
∆
∆
∆0
1.4 Relação entre a cinemática angular e 
escalar.
Para mostrar a relação direta entre a velocidade angular média (ωm) 
e velocidade escalar média (vm), vamos partir da definição de radiano.
∆
∆
∆ ∆ϕ ϕ= = → = ⋅
arco percorrido S
R
s R
raio
Diferenciando em relação ao tempo, temos que:
d
dt
s
dt
dt
R
ds
dt
R
d
dt
v R( ) ( )∆ ∆= ⋅ → = ⋅ → =ϕ
ϕ
ω
Movimentos circulares e cinemática vetorial
Física I
Assunto 3
274 Vol. 1
Diferenciando em relação ao tempo mais uma vez, temos que:
d
dt
v
d
dt
R
dv
dt
R
d
dt
a R( ) ( )= → = ⋅ → =ω
ω
α
1.5 Tipos de movimento circular
Os movimentos circulares normalmente seguem um padrão. Ou são 
movimentos circulares uniformes (MCU), ou são movimentos circulares 
uniformemente variados (MCUV). No primeiro caso, a velocidade angular 
é constante e, consequentemente sua aceleração angular é nula. A função 
horária no MCU nasce da mesma ideia do MRU.
s = so + v t
v = cte
a = 0
⇒
dividindo-se cada 
função horária por R 
obtemos as equações 
do MRU
⇒
ϕ = ϕo + ω t
ω = cte
α = o
No movimento circular uniformemente variado (MCUV), a aceleração 
angular é constante e não nula. Nesse caso a velocidade angular sofre 
alterações iguais para o mesmo intervalo de tempo. Suas funções horárias 
podem ser determinadas a partir das equações de MUV:
s s v t a t
v v at
a cte
o o
o
= + +
= +
=
.
.
1
2
2
⇒
dividindo-se 
cada função 
horária por R 
obtemos as 
equações do 
MRU
⇒
ϕ ϕ ω α
ω ω α
α
= + +
= +
=
o
o
te
t t
t
c
0
21
2
.
v2 = v2o + 2 aDϕ ⇒
dividindo-se 
cada função 
horária por R2 
obtemos as 
equações de 
Torricelli do 
MRU
⇒ ω2 = ω2o + 2 αDϕ
O comportamento gráfico do MCU é análogo ao comportamento do 
MRU enquanto os gráficos do MCUV são análogos ao do MRUV.
Ex.: (U.F.U.) Em uma pista circular de um velódromo, dois ciclistas correm 
em sentidos opostos. O ciclista A parte com uma velocidade angular 
constante de 0,50π rad/s e o cilclista B, com 1,5 π rad/s, 2,0 segundos 
após. Eles irão se encontrar pela primeira vez:
Ponto de partida
A
B
R
Q
P
(A) no ponto P.
(B) entre P e Q.
(C) no ponto Q.
(D) entre Q e R.
(E) no ponto R.
Solução: Adotaremos um sistema de referência com origem no ponto de 
partida e positivo no sentido anti-horário. O enunciado diz que os ciclistas 
mantêm a velocidade constante. Temos, portanto, um MCU. Escrevendo 
as equações horárias, a partir do movimento de B, teremos:
ϕA = 0 + 0,5 · π · (t + 2) ϕB = 0 – 1,5 · π · t
No encontro a soma dos módulos dos deslocamentos angulares tem 
que ser igual a 2π (uma volta completa).
Importante: Note como há uma diferença relevante aqui. Em MRU 
ou MRUV, o encontro acontecia quando as posições eram iguais. Aqui, 
é importante contar o número de voltas.
Isso significa que eles se encontraram 0,5 segundo após a saída de B. 
|ϕA|+|ϕB|= 2π → 0,5 · π · (t + 2) + 1,5 · π · t = 
= 2 · π → 0,5 · t + 1 + 1,5t = 2 → 2t = 1 → t = ½ s
Substituindo em qualquer equação descobriremos o ponto de encontro.
ϕA = 0,5 · π · (0,5 + 2) = 1,25π ou seja, entre os pontos Q e R
Obs.: Igualamos a soma dos módulos dos deslocamentos angulares a 
2π pois queremos o primeiro encontro. Se esse movimento continuasse 
infinito, encontros ocorreriam e poderíamos escrever de uma maneira 
genérica que 
|ϕA|+|ϕB|= 2 · k · π
Em que k representa o numero de vezes do encontro.
1.6 Período e frequência
Período (T) é o tempo gasto para que o corpo execute um ciclo. No 
SI, a unidade de período é o segundo [s]. 
Frequência (f) é o número de ciclos dados em uma unidade de tempo. 
No SI, a unidade é o Hertz [Hz] = [ciclos/s]. Contudo, existe uma unidade 
ainda muito utilizada denominada rpm (rotações por minuto). Sua relação 
com o Hertz é 1 Hz = 60 rpm.
A partir das definições apresentadas podemos escrever que: 
Pela definiçao
1volta segundos
voltas segundo
→
→
T
f 1
Então:
f.T T
f
= =1 ou
1
A velocidade angular no MCU para k voltas pode ser escrita como:
ω
pi pi
ω pi=
⋅
⋅
= → = ⋅
k
k T T
f
2 2
2
Movimentos circulares e cinemática vetorial
275AFA-EFOMM
1.7 Transmissão de movimento 
A transmissão de movimentos pode ser feita basicamente de duas 
maneiras: transmitindo velocidade angular (fazendo com que discos, 
rodas, polias ou engrenagens se toquem) ou transmitindo velocidade linear 
(interligando os corpos por meio de uma correia ou corrente).
Na transmissão de velocidade angular, os eixos dos discos são 
dispostos coaxialmente. Dessa maneira, quando um executar k voltas, o 
outro também terá executado k voltas.
CO1
CO2
R1
R1
Como a rotação das polias é igual à do eixo:
ω ω
ω ω
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
=
=
=
=








T T
V
R
V
R
Na transmissão de velocidade linear, os discos são interligados de 
modo que quando um deles tem um deslocamento

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