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de integral de uma 
função (integral = área). Portanto, se integrarmos a velocidade em função 
do tempo para um intervalo de tempo dado, encontraremos o deslocamento 
que o móvel sofreu nesse período.
x
y
f(x)
S dt
a
b
= ∫ v t( )
Consequentemente, podemos escrever que ∆S t dt
t
t
= ∫ v( )
0
261AFA-EFOMM
Movimento uniformemente variado
Física I
Assunto 2
De forma parecida com a derivada, para calcular a integral de um 
polinômio, basta somar as integrais de cada termo. A regra a ser aplicada 
a cada termo é a seguinte: a t dt a
n
t Cn n⋅ = ⋅
+
⋅ +∫ +
1
1
1 . Note que, para 
uma integral indefinida como essa (não tem limites de tempo), surge uma 
constante C, que só poderá ser determinada com alguma informação do 
problema (são as chamadas condições de contorno).
Ex.: Usando o mesmo exemplo do módulo anterior, suponha que um móvel tem 
sua velocidade em função do tempo dada pela equação v(t) = t2 – 5t + 6. Para 
encontrar a equação horária da posição, precisamos integrar essa função. Daí:
s t v t dt t t dt t dt t dt dt t t( ) ( ) ( ) ( )= = − + = + − + = − ⋅ +∫∫∫∫∫ 2 2 3 25 6 5 6
1
3
5
1
2
66t C+ .
s t v t dt t t dt t dt t dt dt t t( ) ( ) ( ) ( )= = − + = + − + = − ⋅ +∫∫∫∫∫ 2 2 3 25 6 5 6
1
3
5
1
2
66t C+ . Essa constante poderia ser encontrada se o problema 
informasse a posição inicial do móvel (já que, pela equação encontrada, 
s(0) = C.
Integrais definidas são aquelas em que o intervalo de integração está 
definido. Elas são a área abaixo da curva de limites estabelecidos. A regra 
a ser aplicada a cada termo, nesse caso, é a seguinte:
a t dt a
n
t a
n
tn f
n
t
t nf ⋅ = ⋅
+
⋅




 − ⋅ +
⋅





+ +∫
1
1
1
1
1
0
1
0
No nosso exemplo, se quisermos descobrir o deslocamento do móvel 
entre 2s e 4s, precisamos fazer a integral da velocidade para os instantes 
de t = 2s a t = 4s. Daí: ∆s t t dt( )2
2
4 3 2 3 25 6
1
3
4 5
1
2
4 6 4
1
3
2 5
1
2
2 6 2− + = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅




 − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅∫





 =
2
3
m.
∆s t t dt( )2
2
4 3 2 3 25 6
1
3
4 5
1
2
4 6 4
1
3
2 5
1
2
2 6 2− + = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅




 − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅∫





 =
2
3
m.
Ex.: Essa propriedade gráfica nos permite visualizar um fato interessante 
no MUV. Considere uma partícula com velocidade inicial v0 e aceleração 
a. Seu gráfico v × t está representado na figura abaixo:
No primeiro intervalo de tempo o deslocamento é
∆s área
v at t
v t
at
1
0
0
22
2 2
= =
+( ) ⋅
= +�
No segundo intervalo de tempo o deslocamento é
∆s área
v at t
v t
at
2
0
0
22 3
2
3
2
= =
+( ) ⋅
= +�
No terceiro intervalo de tempo o deslocamento é
∆s área
v at t
v t
at
3
0
0
22 5
2
5
2
= =
+( ) ⋅
= +�
E assim sucessivamente.
Note que, em intervalos de tempos iguais, o corpo em MUV varia 
seus deslocamentos segundo uma progressão aritmética (P.A.) em que a 
razão é at2. Graficamente, note que, para cada “t” a mais no tempo, a área 
acrescentada é a de 2 metades de quadrado (ou 1 quadradinho inteiro), 
sendo a área do quadrado igual a at2.
É possível chegar à mesma conclusão usando a equação horária de 
posição.
1.2 Velocidade média no MUV
Considere um MUV qualquer de gráfico v x t abaixo:
V
S
t
áreagráfico
t t
v v t t
t t
V
v
m m= = −
=
+( )⋅ −( )
−( )
→ =
∆
∆
�
�
� � �
�
� �
0
0 0
0
1
2 ++( )v0
2
Ou seja, no MUV, a velocidade média em um dado percurso é a média 
das velocidades nos extremos desse percurso.
Outra maneira de enxergar isso é olhar para o gráfico. Para que a velocidade 
média seja a mesma, o deslocamento precisa ser igual. Portanto, a área 
abaixo da curva precisa ser igual. Como o MUV forma um trapézio e, 
portanto, sua área é bmédia · h, podemos traçar uma reta horizontal que diste 
bmédia da origem para chegarmos à mesma área. Como b
v v
média
f=
+1
2
, 
então essa é a velocidade constante que gera o mesmo deslocamento. 
Por esse motivo, essa é a velocidade média.
1.3 Função horária de posição
Considere um móvel se deslocando em MUV, cujo módulo da 
aceleração vale a e, no instante t0 =0, sua posição é s0 e sua velocidade, 
v0. Para esse móvel, podemos escrever que:
V
v v s
t
v v
m =
+( )
→ =
+( )
� 0 0
2 2
∆
Como v = v0+ a · t, temos:
 ∆ ∆ ∆
S
t
v at v S
t
v at
S
v t at
s s v t
at
o=
+ +
→ =
+
→ = + → − = +0 0 0 0
2
0
2
2
2
2
2
2 2 2
� � � � �
 
∆ ∆
∆
S
t
v at v S
t
v at
S
v t at
s s v t
at
o=
+ +
→ =
+
→ = + → − = +0 0 0 0
2
0
2
2
2
2
2
2 2 2
� � � � �
Daí:
s t s v t
at
o� � �( ) = + +0
2
2
Física I – Assunto 2
262 Vol. 1
Essa equação nos mostra que a posição em função do tempo para um 
móvel em MUV. Ela varia segundo uma função quadrática e deve ter seu 
gráfico representado por uma parábola, portanto. Conhecer essa parábola 
e suas propriedades é muito importante. Por isso vamos analisar os casos.
1o caso: parábola com concavidade para cima:
• Nesse tipo de gráfico a aceleração é positiva (a > 0).
• O ponto onde a curva toca o eixo S corresponde ao espaço inicial S0.
• Nos instantes t1 e t3 o corpo passa pela origem dos espaços (S = 0).
• No instante t2, vértice da parábola, o corpo inverte o sentido de seu 
movimento (v = 0).
• Do instante 0 até t2 o espaço diminui, o movimento é retrógrado (v < 0) 
e retardado, pois a e V tem sinais contrários (a > 0 e V < 0).
• Após t2 o espaço aumenta, o movimento é progressivo (v > 0) e 
acelerado, pois a e V têm mesmo sinal (a > 0 e V > 0).
2o caso: parábola com concavidade para baixo:
• Nesse tipo de gráfico a aceleração é negativa (a < 0).
• O ponto onde a curva toca o eixo S corresponde ao espaço inicial S0.
• Nos instante t2 o corpo passa pela origem dos espaços (S = 0).
• No instante t1, vértice da parábola, o corpo inverte o sentido de seu 
movimento (v = 0).
• Do instante o até t1 o espaço aumenta, o movimento é progressivo 
(v > 0) e retardado, pois a e V tem sinais contrários (a < 0 e V > 0).
• Após t1 o espaço diminui, o movimento é retrógrado (v < 0) e 
acelerado, pois a e V tem mesmo sinal (a < 0 e V < 0).
Independentemente do formato do gráfico s × t, podemos, sem fazer 
cálculos, descobrir em que ponto desse gráfico s × t o móvel possui maior 
velocidade. Veja o gráfico a seguir:
Dado um gráfico s × t qualquer, a velocidade em um um instante 
qualquer é dada pelo coeficiente angular da reta tangente ao ponto 
correspondente a esse instante. Nesse exemplo, vemos que a reta tangente 
a P0 é mais inclinada que a reta tangente a P1. Isso indica que vP0 > vP1.
1.4 Função horária de aceleração
Como no MUV, a aceleração tem valor constante, o gráfico a x t é uma 
reta paralela ao eixo do tempo, podendo a aceleração assumir valores 
positivos ou negativos. 
Note que, se calcularmos a área dele, estamos multiplicando o eixo 
do tempo pelo eixo da aceleração. Como DV = a × Dt, concluímos que 
a área do gráfico a × t é numericamente igual à variação de velocidade.
1.5. Equação de Torricelli
Existe uma equação, denominada equação de Torricelli, que é utilizada 
em problemas em que o tempo não é conhecido (ou ele não é importante 
para o problema). Essa equação nasce de uma “fusão” entre as funções 
horárias de velocidade e posição no MUV.
Dica: em geral, quando o problema não precisa da variável tempo, essa 
equação deve ser bem útil.
v = v0 + at (elevando-se ao quadrado)
v2 = v0
2 + 2av0t + a
2t2
v2 = v0
2 + 2a (v0t + a t
2/2)
v2 = vn
2 + 2aDS
 
1.6. Dica para problemas de gráfico
Para ajudar a memorização, podemos utilizar o fluxograma abaixo, 
que nos