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dá uma visão de conjunto de todas as propriedades gráficas:
Convém ressaltar que, matematicamente, ao calcularmos a tangente 
a um gráfico, estamos calculando a sua derivada e, ao calcularmos a área 
sob a curva, a integral das respectivas funções.
Movimento uniformemente variado
263AFA-EFOMM
2. Movimentos verticais em 
campos gravitacionais uniformes
Todos os corpos ao redor da Terra são puxados para o seu centro. Isso 
ocorre devido ao que chamamos de campo gravitacional e a cada ponto 
desse campo temos associado um vetor chamado aceleração gravitacional 
(ou simplesmente gravidade).
O que gera essa gravidade, suas propriedades e efeitos serão 
discutidos no módulo de Gravitação. Aqui, iremos ver do ponto de vista da 
cinemática como isso influencia os corpos abandonados na proximidade 
da Terra.
Primeiro, temos que saber que, nos problemas que envolvem 
movimentos no campo gravitacional terrestre, considera-se a aceleração 
da gravidade constante quando esses movimentos envolvem alturas muito 
pequenas comparadas com o raio da Terra. A aceleração da gravidade 
próxima à superfície da Terra é g = 9,8 m/s2, porém utiliza-se comumente 
o valor de 10 m/s2. A gravidade terrestre varia em função da latitude, mas 
isso também será abordado no tópico de Gravitação.
Por ter valor aproximadamente constante, podemos dizer que todos 
os corpos lançados ou abandonados na superfície da Terra ficam sujeitos 
à mesma aceleração, executando, assim, um MUV. Em outras palavras, 
sempre podemos utilizar os conhecimentos adquiridos no estudo de MUV 
(gráficos, equações, etc.) para os movimentos verticais. Cabe ressaltar 
que a gravidade não depende da massa do corpo que está submetido a ela. 
O livro, a formiga, você, um avião e qualquer outro objeto ficam sujeitos 
à mesma aceleração (desde que a resistência do ar seja desprezada).
2.1 Queda livre
Todo corpo abandonado em um local livre da resistência do ar possui 
aceleração constante, executando um movimento uniformemente variado 
em que a = g. Se orientarmos seu referencial para baixo, com origem no 
ponto de lançamento, teremos as seguintes equações horárias:
MUV Queda livre
v = v0 + a · t v = gt
∆S v t
at
= +0
2
2
H
gt
=
2
2
v2 = v0
2 + 2aDS v2 = 2 gH
Note que as equações de queda livre não são novas equações. Como 
já dito anteriormente, são as equações de MUV para essa situação.
Observação:
Quando um corpo está em queda livre, as alturas percorridas a 
cada segundo de movimento seguem uma P.A., como já mencionado 
anteriormente. Por ter velocidade inicial nula, os deslocamentos a cada 
segundo seguem a seguinte sequência:
No primeiro segundo de movimento a altura é H
g g
=
⋅
=
1
2 2
2
No secundário segundo de movimento a altura é H
g g
=
⋅
= ⋅
2
2
4
2
2
No terceiro segundo de movimento a altura é H
g g
=
⋅
= ⋅
3
2
9
2
2
E assim sucessivamente.
Fazendo x
g
=
2
, teremos que no n-ésimo segundo de queda livre, a 
distância percorrida pelo corpo é d = x · (2n – 1) , em que x é a distância 
percorrida no primeiro segundo e n, o instante pedido. 
Dica: esse problema também poderia ser resolvido com a ideia de que 
a distância percorrida no n-ésimo segundo é a distância percorrida 
pelo móvel até o instante n menos a distância percorrida pelo móvel 
até o instante n-1. Ao fazer isso, você transforma um problema que 
aparentemente não é de queda livre (já que o corpo tem velocidade no 
instante n-1) em um problema de queda livre. É muito mais interessante 
transformar em queda livre, porque as equações são bem mais simples.
2.2. Lançamento vertical para baixo
No lançamento vertical para baixo, consideramos um corpo que é 
lançado para baixo (tem, portanto, velocidade inicial vertical para baixo) 
em um local livre da resistência do ar e com aceleração da gravidade 
constante. Esse corpo, tal como na queda livre, vai executar um MUV em 
que a = g. Nesse caso, as equações podem ser escritas como:
g
V
Vo = 0
x
y
Solo
MUV
LANÇAMENTO VERTICAL 
PARA BAIXO
v v a to= + . v v gto= +
∆S v t
at
o= +
2
2 H v
gt
to= +
2
2
v v a So
2 2 2= + ∆ v v gHo
2 2 2= +
2.3. Lançamento vertical para cima
Um corpo lançado verticalmente para cima tem a subida como um 
movimento retardado e a descida como um movimento acelerado em 
que v0 = 0 (queda livre). Esses movimentos de subida e de descida são 
simétricos. Há 2 conclusões importantes acerca disso:
I. O módulo da velocidade com que um corpo passa subindo por uma 
altura qualquer é a mesma que ele passa descendo pela mesma altura.
Física I – Assunto 2
264 Vol. 1
Demonstração:
Aplicando a equação de Torricelli:
v22 = v
2
1 + 2gDS
 DS = 0 (S1 = S2)
 v22 = v
2
1 ⇒ v2 = – v1
II. O intervalo de tempo decorrido entre as passagens por dois patamares 
determinados A e B é o mesmo na subida e na descida. 
Demonstração:
 
g
v
t
g
v v
t
v v
t
t t
B a
AB
A B
AB
AB AB
=
=
−
=
− +
=
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
'
'
As equações para um corpo lançado verticalmente para cima são as 
mesmas do MUV.
Atenção!
Uma vez adotado o referencial, ele precisa ser mantido para todas 
as variáveis. A maneira mais comum de resolver problemas desse tipo é 
orientarmos o referencial positivo para cima e a origem na posição inicial do 
móvel. Nesse caso, a gravidade é negativa sempre. É comum as pessoas 
trocarem o sinal da gravidade de acordo com o movimento de descida 
ou subida. Isso não existe. A gravidade vai ter um único sinal em todo o 
problema e isso só depende do referencial adotado! 
Dica: em um número significativo das questões desse tipo de 
lançamento, é muito mais fácil estudar a descida (já que a descida é 
como se fosse uma queda livre). Lembre-se disso!
Ex.:
Um corpo é lançado para cima do topo de um prédio de 200 metros com 
velocidade inicial de 30 m/s em um local onde a resistência do ar pode 
ser considerada desprezível. Considerando a gravidade igual a 10 m/s2, 
determine:
a. o tempo total de permanência no ar.
b. a altura máxima atingida por esse corpo.
c. a velocidade do corpo imediatamente antes de tocar no solo.
Solução:
Antes de responder à pergunta, vamos definir nosso referencial 
orientado para cima e com origem no solo. A figura a seguir representa 
o exposto:
A equação horária de posição para o corpo que é lançado para cima fica 
assim:
h h v t
gt
h t t= + − → = + −0 0
2
2
2
200 30 5� � �
a. O tempo de permanência no ar é o tempo que ele leva para atingir o 
solo (h = 0).
 0 = 200 + 30t – 5t2 → 0 = 40 + 6t – t2
 t = – 4s (não convém) ou t = 10s (convém) 
b. Matematicamente a altura máxima é o vértice da equação.
 y aV
=
−
=
− − ⋅ −( ) ⋅( )
−( )
=
−( )
−( )
=
∆
4
30 4 5 200
4 5
4900
20
245
2
�
�m
Obs: Esse item poderia ser feito sem a utilização da equação horária de 
posição.
Tempo para atingir a altura máxima: v = v0 – gt → 0 = 30 – 10t → t = 3s
Para retornar a altura do lançamento gastará 3 segundos em queda livre. 
H
gt
m= =
⋅
=
2 2
2
10 3
2
45
��
Como a altura de subida é igual à de descida, temos que a altura máxima 
é 200 + 45 = 245 m.
c. A equação horária de velocidade no MUV é v = v0 – gt → v = 30 – 10t
O corpo chega ao solo no instante 10 segundos.
v = 30 – 10t → v = 30 – 10 . 10 → v = – 70 m/s (negativo) pois 
imediatamente antes de chegar ao solo o vetor velocidade aponta para 
baixo, ou seja, contra o sentido do referencial adotado.)
2.4. Influência do ar
Alguns problemas, mais empíricos, não desprezam a influência do ar 
nos movimentos verticais. Tal fenômeno será estudado mais adiante, em 
dinâmica. No entanto, pode-se adiantar que a resistência do ar depende 
da forma e da velocidade do corpo e sua expressão é dada por: