UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DE REI (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DE REI – UFSJ 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gustavo José Ramalho Da Silva 
 
Leandro José De Paula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO PRÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São João Del Rei, Junho de 2019 
Introdução 
 
 
 
 
Na medida em que os processos se modernizam, diferentes tipos de 
opções vão surgindo para ajudar a simular situações e solucionar problemas. 
Entretanto, algumas técnicas desenvolvidas no século XVIII ainda possuem boa 
aplicabilidade e dinamismo. O método dos elementos finitos é bastante praticado 
na resolução de problemas de engenharia. 
 
Ela é uma técnica numérica para encontrar soluções aproximadas para 
um sistema. Esta metodologia subdivide o modelo em pequenas partes, 
chamados de elementos finitos. As equações que modelam estes elementos 
finitos são montados em um sistema maior de equações, que modela todo o 
problema. Então, o sistema é resolvido simultaneamente a fim de se aproximar 
a uma solução, minimizando uma função de erro associada. 
 
No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos 
(MEF) tem como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação 
de um sólido de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores. Este tipo de 
cálculo tem a designação genérica de análise de estruturas e surge, por 
exemplo, no estudo de edifícios, pontes, barragens, etc. Quando existe a 
necessidade de projetar uma estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão 
de análises e modificações das suas características, com o objetivo de se 
alcançar uma solução satisfatória, quer em termos econômicos, quer na 
verificação dos pré-requisitos funcionais e regulamentares. 
Objetivos Gerais 
 
Conhecer e aplicar o método dos elementos finitos no software Abaqus, 
na determinação de tensões e esforços em uma viga. 
 
Comparar os resultados obtidos na simulação computacional com os 
resultados obtidos analiticamente. 
 
Objetivos Específicos 
 
A) Mostrar graficamente o perfil de tensão σx e da tensão de cisalhamento 
τxy ao longo da viga, respectivamente. 
 
 
B) Utilizando a malha menos refinada, traçar os gráficos que mostrem os 
diagramas de força cortante e momento fletor. Comparar com o método 
analítico. Comentar os resultados. 
 
C) Para os três tipos de malha, mostrar graficamente o perfil de tensão σx 
ao longo da altura (utilize o Path) da viga no ponto de máximo momento 
fletor. Comparar com a previsão do modelo análogo de flexão de viga da 
Resistência dos Materiais. Comentar os resultados. 
 
 
D) Para os três tipos de malha, mostre graficamente o perfil das tensões de 
cisalhamento τxy ao longo da altura (utilize o Path) para o ponto de 
máxima força cortante. Comparar com a previsão do modelo análogo de 
flexão de viga da Resistência dos Materiais. Comentar os resultados. 
Viga a ser analisada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento: 
 
Foram feitas simulações no software Abaqus da viga em questão, 
utilizando-se de modelos de elementos finitos da viga com as seguintes malhas 
de elementos retangulares (utilizando o elemento do tipo casca CPS4R): 
 
i) 100 x 4 elementos 
 
ii) 100 x 6 elementos 
 
iii) 100 x 8 elementos 
 
Dados do material: E = 200 GPa e υ = 0,3; 
 
Após as simulações feitas, os resultados numéricos foram plotados no 
Excel em forma de tabelas e gráficos. 
A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 11
 
16
 
21
 
26
 
31
 
36
 
41
 
46
 
51
 
56
 
61
 
66
 
71
 
76
 
81
 
86
 
91
 
96
 
1
0
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
r
u
e 
D
i
s
t
a
 
B) 
 
 
V(kN) Malha 100x4 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
 
-20 
 
-40 
 
-60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V(kN) 
 
1 6 11
 
16
 
21
 
26
 
31
 
36
 
41
 
46
 
51
 
56
 
61
 
66
 
71
 
76
 
81
 
86
 
91
 
96
 
10
1
 
 
 
Com o método analítico obtivemos as seguintes equações para a força 
cortante: 
 
Seção 1 (0 < x < 3) 
 
V(x) = −6,190 kN 
 
Seção 2 (3 < x < 8) 
 
V(x) = −26,190 KN 
Seção 3 (8 < x < 14) 
 
V(x) = −1,250x2+7,500x−37,440 kN 
 
 
Resultando no seguinte diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E para o momento fletor obtivemos as seguintes equações: 
 
Seção 1 (0 < x < 3) 
 
M(x) = −6,190x kN. M 
 
Seção 2 (3 < x < 8) 
 
M(x) = −26,190x+30 kN. M 
 
Seção 3 (8 < x < 14) 
 
M(x) = −0,416x3+3,75x2−37,440x+41,25 kN. M 
 
 
 
 
 
 
 
Resultando no seguinte diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparativo entre as duas curvas (analítica x simulador) 
 
Os gráficos ficaram muito parecidos, mostrando que o método analítico se 
aproxima muito de uma simulação menos refinada, obtendo resultados muito 
satisfatórios. Destaque para o ponto onde está o apoio de rolete que é também 
o ponto crítico, que no método analítico é uma constante e na simulação é uma 
reta que varia de acordo com a distância. 
 
 Em relação ao momento fletor, novamente os gráficos estão muito próximos, 
apenas com uma diferença no início e no final com a simulação obtendo resultados 
que fogem da curva que obedece uma equação de 2ª ordem. Destaque também 
para o ponto de momento fletor máximo em que no método analítico é bem 
destacado e na simulação do Abaqus é mais suavizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) Tensão σx ao longo da altura da viga no ponto de máximo momento fletor. 
 
No método analítico foram utilizados apenas 5 pontos (0, 90, 180, 270, 370) para 
a determinação da tensão ao longo da altura, e momento fletor máximo de -180 
kN. M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores foram muito próximos para todas as malhas e também para o método