Lista de exercícios 13

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
13a lista de exerc´ıcios (17/06/2019 a 26/06/2019)
Parte 1. Nos exerc´ıcios 1 a 6, sa˜o trabalhadas equac¸o˜es e inequac¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas,
sendo o exerc´ıcio 6 um problema aplicado. O mesmo assunto e´ trabalhado nas questo˜es 1 a 10 da lista
complementar.
1. Resolva as equac¸o˜es abaixo.
2x = 32.(a) 2x =
1
4
.(b) 2x = 5
√
4.(c) 2x = 1.(d)
2x = −2.(e) ( 3√5)x = 1
4
√
125
.(f) 10x = 25.(g) e−2x = 7.(h)
21−x = 3.(i) 5x = 4x+1.(j) 7x/2 = 51−x.(k)
50
1 + e−x
= 4.(l)
2. Resolva as equac¸o˜es abaixo.
e2x − 3ex + 2 = 0.(a) ex − 12e−x − 1 = 0.(b)
x22x − 2x = 0.(c) x210x − x10x = 2 · 10x.(d)
3. Resolva as equac¸o˜es abaixo.
lnx = 10.(a) ln(2 + x) = 1.(b)
log x = −2.(c) log(x− 4) = 3.(d)
log2(x
2 − x− 2) = 2.(e) log2 3 + log2 x = log2 5 + log2(x− 2).(f)
log5(x+ 1)− log5(x− 1) = 2.(g) ln(x− 1) + ln(x+ 2) = 1.(h)
log2(log3 x) = 4.(i)
4. Resolva as inequac¸o˜es abaixo.
2x < 3.(a)
(
1
3
)2x−1
≤ 4.(b)
4−x < −1.(c) lnx ≥ 3.(d)
log1/4 x > −1.(e) x2ex − 2ex < 0.(f)
5. Encontre a inversa das func¸o˜es abaixo.
f(x) = 22x.(a) f(x) = log2(x− 1).(b)
1
6. A pressa˜o atmosfe´rica P (medida em kPa) a uma altura h (medida em km) e´ dada pela fo´rmula
ln
(
P
P0
)
= −h
k
,
em que k = 7 km e P0 = 100 kPa sa˜o constantes.
Determine P (h), isto e´, escreva P em func¸a˜o de h.(a)
Utilize o item (a) para determinar a pressa˜o a uma altura de 4 km.(b)
Parte 2. Nos exerc´ıcios 7 a 15, incia-se o assunto de trigonometria. Os assuntos trabalhados aqui sa˜o:
c´ırculo trigonome´trico, valor de refereˆncia, ponto terminal e as definic¸o˜es das operac¸o˜es trigonome´tricas
ba´sicas. O mesmo assunto e´ tratado nos exerc´ıcios 11 a 22 da lista complementar.
7. Sabendo que os pontos abaixo pertencem ao c´ırculo unita´rio, determine a componente que esta´ faltando.
P =
(−3
5
, y
)
e P pertence ao 3o quadrante.(a) P =
(
x,− 7
25
)
e P pertence ao 4o quadrante.(b)
P = (1, y).(c) P = (x,−1).(d)
8. Considere o c´ırculo de raio desenhado no plano cartesiano com centro na origem. Quando caminhamos
uma distaˆncia t sobre o c´ırculo a partir do ponto (1, 0) no sentido anti-hora´rio, o ponto final do trajeto
e´ denominado ponto terminal de t. Por exemplo, como o c´ırculo tem comprimento 2pi, enta˜o o ponto
terminal de t = 2pi e´ (1, 0), o ponto terminal de t = pi e´ (−1, 0) e o ponto terminal de t = pi/2 e´ (0, 1).
Se t e´ negativo, devemos andar no sentido hora´rio. Por exemplo, o ponto terminal de t = −pi/2 e´
(0,−1). Determine o ponto terminal dos valores de t abaixo.
t = 3pi.(a) t = 0.(b) t = −pi.(c) t = 3pi
2
.(d)
t =
5pi
6
.(e) t = −3pi
2
.(f) t =
2pi
3
.(g) t = −pi
2
.(h)
9. Seja P o ponto terminal de t. A distaˆncia (caminhando sobre o c´ırculo unita´rio) de P ate´ o eixo das
abscissas e´ denominada nu´mero de refereˆncia de t e e´ denotada por t¯. Por exemplo, se t = pi/3 enta˜o
t¯ = pi/3, se t = 2pi/3 enta˜o t¯ = pi/3, se t = pi enta˜o t¯ = 0 e se t = −5pi/6 enta˜o t¯ = pi/6. Determine o
nu´mero de refereˆncia dos valores de t abaixo.
t =
4pi
3
.(a) t = −2pi
3
.(b) t =
7pi
3
.(c)
t =
13pi
6
.(d) t = −11pi
3
.(e) t = −41pi
4
.(f)
10. Determine o ponto terminal dos valores de t¯ e t do exerc´ıcio anterior.
11. Determine (se fizer sentido) sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
t = 0.(a) t =
pi
2
.(b)
t = pi.(c) t =
3pi
2
.(d)
t = 2pi.(e) t = −pi
2
.(f)
t = 2kpi, em que k ∈ Z.(g) t = pi
2
+ 2kpi, em que k ∈ Z.(h)
12. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
2
t =
pi
4
.(a) t =
3pi
4
.(b)
t =
5pi
4
.(c) t =
7pi
4
.(d)
t = −3pi
4
.(e) t =
pi
4
+ 2kpi, em que k ∈ Z.(f)
13. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
t =
pi
6
.(a) t =
5pi
6
.(b)
t =
7pi
6
.(c) t =
11pi
6
.(d)
t = −5pi
6
.(e) t =
11pi
6
+ 2kpi, em que k ∈ Z.(f)
14. Determine o valor das outras func¸o˜es trigonome´tricas em t, sabendo o valor de uma delas e o quadrante
do terminal de t.
sen t = 3/5 com terminal de t no segundo quadrante.(a)
cos t = −1/5 com terminal de t no terceiro quadrante.(b)
tg t = −7 com terminal de t no quarto quadrante.(c)
cotg t = 2/3 com terminal de t no primeiro quadrante.(d)
sec t = −2 com terminal de t no segundo quadrante.(e)
cossec t = −5/4 com terminal de t no quarto quadrante.(f)
15. Sabendo que o ponto terminal de t esta´ no segundo quadrante, escreva cos t e tg t em func¸a˜o de sen t.
Parte 3. Nos exerc´ıcios 16 a 19, estudamos gra´ficos de func¸o˜es trigonome´tricas. O mesmo assunto
esta´ na lista complementar nos exerc´ıcios 23 a 26.
16. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es sen x, cosx, tg x, cotg x, secx e cossecx. Determine o domı´nio, a imagem,
o per´ıodo e a paridade de cada uma delas.
17. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo.
f(x) = 1 + cosx.(a) f(x) = − senx.(b) f(x) = 3 cosx.(c)
f(x) = 4− 2 senx.(d) f(x) = | senx|.(e)
18. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo, determinando o per´ıodo, a amplitude, a fase e a imagem.
f(x) = cos
(
x− pi
2
)
.(a) f(x) = −2 sen
(
x− pi
6
)
.(b)
f(x) = 3 sen
(
1
2
(
x+
pi
4
))
.(c) f(x) =
1
2
− 1
2
cos
(
2x− pi
3
)
.(d)
19. Estrelas varia´veis sa˜o aquelas cujo brilho varia periodicamente. Uma das mais vis´ıveis e´ a R Leonis,
cujo brilho b e´ modelado pela func¸a˜o
b(t) = 7,9− 2,1 cos
( pi
156
t
)
,
em que t e´ medido em dias.
3
Determine o per´ıodo da R Leonis.(a)
Determine os brilhos ma´ximo e mı´nimo.(b)
Parte 4. Os exerc´ıcios 20 e 21 sa˜o apenas para relembrar com transformar graus em radianos e
vice-versa. O mesmo assunto esta´ na lista complementar nos exerc´ıcios 27 a 28.
20. Converta de graus para radianos.
72◦.(a) 54◦.(b) −45◦.(c)
21. Converta de radianos para graus.
7pi
6
rad.(a)
11pi
3
rad.(b) −5pi
4
rad.(c)
Parte 3. Os exerc´ıcios 22 a 25 sa˜o sa˜o exerc´ıcios aplicados envolvendo trigonometria.
22. O matema´tico grego Eratosthenes (276-195 a.C.) mediu o raio da Terra usando um experimento similar
ao que vem a seguir. Em um certo dia e hora´rio do ano, os raios de luz emitidos pelo Sol sa˜o perpen-
diculares a` superf´ıcie da Terra na cidade de Floriano´polis. No mesmos dia e hora´rio, os raios formam
um aˆngulo de 2,7◦ com relac¸a˜o a` perpendicular a` superf´ıcie na cidade de Curitiba. Considerando que
Floriano´polis e Curitiba esta˜o a uma distaˆncia de 300 km determine, aproximadamente, o raio da Terra.
23. Do topo de um farol de 350m de altura avista-se um navio a um aˆngulo de 30◦ com a horizontal. A
que distaˆncia (da base) do farol o navio esta´?
24. Uma pessoa, sobre uma colina, avista um pre´dio de 100m. O segmento ligando seus olhos ao topo
do pre´dio e a` base do pre´dio formam aˆngulos de 18◦ e 14◦, respectivamente. Determine a distaˆncia
(horizontal) entre a pessoa e o pre´dio.
25. Uma pessoa mediu o aˆngulo de inclinac¸a˜o em relac¸a˜o a` horizontal entre sua posic¸a˜o e o topo de uma
montanha e obteve 32◦. Ao se aproximar 300m da montanha, o aˆngulo e´ novamente medido e o
resultado obtido e´ 35◦. Determine, aproximadamente, a altura da montanha.
Lista de exerc´ıcios parcialmente retirada e adaptada de
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
4