Movimento Harmônico Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL 
DO RECÔNCAVO DA BAHIA (UFRB) 
 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS (CETEC) 
 
 
 
 
 
GCET-095 (P) – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 
 
Docente: Prof. Dr. Leandro Cerqueira 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II: CET097 P07 
 
Movimento Harmônico Simples 
 
 
 
 Discente: André Luiz Pereira de Jesus Júnior 
 
Discente: N° 201411162 – Ângela Maria Gomes 
E-mail: angelaengpesca@gmail.com 
 
Discente: N° 201410290 –José Antonio dos Santos Pereira 
 E-mail: zetonyroxo@gmail.com 
 
 Discente: N: 201311370 – Nadira Naiane Cerqueira Rocha 
 E-mail: nadirocha3@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cruz das Almas 
28/05/2019 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................3 
2. OBJETIVOS .........................................................................................................4 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ...............................................................4 
Materiais Utilizados ....................................................................................................4 
• sistema de sustentação composto por tripé triangular, sapatas niveladoras, haste 
principal e painel com saliência de posicionamento. ....................................................4 
4. RESULTADOS ....................................................................................................8 
6. CONCLUSÕES ....................................................................................................9 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................10 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Muitos comportamentos oscilatórios surgem a partir da existência de forças restauradoras que tendem a 
trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições, sendo essas forças restauradoras basicamente do 
tipo forças elásticas, obedecendo, portanto, a Lei de Hooke : F = - kX 
Onde k é a constante de força da mola, uma medida de sua rigidez. O sinal negativo indica que a força é 
uma força restauradora; isto é ela tem o sentido oposto ao do deslocamento a partir da posição de 
equilíbrio. Combinando a equação da força restauradora linear com a 2ª lei de Newton temos: 
- Kx = max 
A aceleração é proporcional ao deslocamento e o sinal negativo indica que a aceleração e o deslocamento 
possuem sentidos opostos. No movimento harmônico simples, a aceleração, e portanto, também a força 
resultante, são ambas proporcionais e opostas ao deslocamento a partir de sua posição de equilíbrio. 
Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa ser 
deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de massa m que 
não se deforme sob ação de qualquer força. 
Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja jamais será considerada 
um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. Enquanto um corpo de 
qualquer substância conhecida, quando sofre a aplicação de uma força, é deformado, mesmo que seja de 
medidas desprezíveis. 
Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema muito eficiente. E sob 
determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola. 
Quando um objeto fica sujeito a uma força elástica, o seu movimento recebe o nome de movimento 
harmônico simples. Uma das características desse movimento é que ele é periódico. Isso ocorre porque a 
partícula desprezando o atrito volta a uma certa posição a intervalos de tempo regulares. Esse intervalo de 
tempo é o período. Por exemplo, você perceberá que a partícula passará pelo centro na mesma direção a 
intervalos regulares (o período de tempo). O período se relaciona com a massa e a constante elástica. 
Verifica-se que o período é dado pela expressão: 
 
Onde m é a massa da partícula. Podemos determinar k a partir do período. Devido à força ser elástica, a 
partícula atinge uma certa distância máxima da origem e depois volta. Esse deslocamento máximo é 
conhecido como amplitude. Nota-se também que, nos pontos de maior velocidade, o deslocamento é 
pequeno e, onde o deslocamento é grande, a velocidade é pequena. Por exemplo, na origem 
(deslocamento igual a zero x = 0), a velocidade é máxima. Quando o deslocamento é máximo (atinge sua 
amplitude), a velocidade é nula (a partícula está instantaneamente em repouso). Pode-se verificar que, no 
movimento harmônico simples, vale o seguinte resultado: 
 
ou seja, a massa vezes a velocidade ao quadrado, quando adicionado ao produto de k vezes x2, é o 
mesmo em qualquer ponto onde a mola estiver. Veremos, depois, que a constante é igual a duas vezes o 
valor da energia no movimento harmônico simples. Isto é, 
constante = 2Energia 
Finalmente, usando a lei de Newton, podemos relacionar, para cada deslocamento x, o valor da 
aceleração. Tem-se que 
 
 
 
 
2. OBJETIVOS 
 
 Reconhecer o Movimento Harmônico Simples (MHS) executado pelo oscilador massa-
mola como o movimento de um ponto material sujeito à ação de uma força restauradora 
proporcional à elongação da mola. 
 
 Determinar, pelo processo dinâmico, a constante elástica k da mola helicoidal. 
 
 
 Reconhecer o MHS executado pelo pêndulo simples como o movimento de um ponto 
material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento 
angular. 
 
 Obter as relações entre o período de oscilação, a amplitude de oscilação, a massa 
pendurada e o comprimento da corda. 
 
 
 Determinar o valor da gravidade local por meio da medida do comprimento do fio e do 
período de oscilação. 
 
 Reconhecer o MHS executado pela régua como o movimento de um corpo extenso 
sujeito à ação de um torque restaurador proporcional ao seu deslocamento angular, bem 
como ao momento de inércia da barra. 
 
 
 Determinar, pelo processo dinâmico, o valor do momento de inércia da régua com 
relação a diferentes eixos de giro. 
 
 
 
 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Materiais Utilizados 
• sistema de sustentação composto por tripé triangular, sapatas niveladoras, haste principal e painel com 
saliência de posicionamento. 
 Mola helicoidal. 
 Régua milimetrada com dois orifícios (o maior na extremidade e o menor na posição da 
escala) 
 Conjunto de massas acopláveis e gancho lastro. 
 Balança digital. 
 Cronômetro 
 Suporte 
 Haste para mola 
 
 
O experimento foi realizado no Laboratório de Física II com a Orientação do Discente 
Leandro Cerqueira, que instruiu o desenvolvimento da atividade. Primeiramente 
medimos o comprimento da mola na posição horizontal. Feito isso, montamos o nosso 
sistema massa-mola como ilustrado na figura abaixo: 
 
Figura 1 
 
 
A mola foi esticada de acordo ao limite sem ocorrer deformação permanente, onde a 
mola e o gancho e a massa foram dependurados e acoplados na saliência do painel de 
posicionamento e, em seguida, determinado e anotado na folha de dados a posição de 
equilíbrio (X0) do sistema destendendo a mola 10 mm além de X0 e puxamos a mola com 
uma amplitude pequena, obedecendo a Lei de Hooke, e a soltamos cronometrando o 
tempo analisando deste modo o fenômeno observado pela equipe, onde foi classificado o 
tipo de movimento executado pela massa mpendurada na mola que foram repetidas 5 
vezes para cada medida analisando o comportamento da amplitude (A) e a frequência (f) 
do movimento à medida que o tempo passava. 
Como esta primeira medição foi um pouco difícil de fazer, devido a velocidade do 
período de cada oscilação, fizemos diversas medidas, selecionando as 3 mais 
aproximadas para definirmos uma média para ela (Tabela 1). Repetimos com esta massa 
a mesma medição, só que agora para um tempo de 20 oscilações e anotamos na tabela. 
Repetimos o experimento 5 vezes para cada massa. 
Em seguida, foi observado por todos e discutido sobre os resultados dessa análise que é 
condizente com as características usando o modelo de Movimento Harmônico Simples. 
Após esta observação no decorrer das medidas e a força massa e peso que ali atuava 
neste período de oscilação, retomamos a atividade distendendo mais uma vez a a mola 
em10 mm além X0 liberando o sistema. 
Foi obtido o intervalo de tempo com 5 oscilações completas, anotando os resultados 
repetindo por 5 vezes as medidas e os valores dos tempos na Tabela 1, Obtendo o valor 
médio do intervalo de tempo e, posteriormente, encontrando o período de uma oscilação 
completa. Assim, obtivemos os seguintes dados conforme consta na tabela abaixo: 
 
 
Tabela 1: Dados coletados no estudo do sistema massa mola. 
Na atividade A1 foi medido o comprimento inicial da primeira mola e depois prendemos uma massa de 
0,050 g a extremidade da mesma e assim que a mola parou de oscilar foi medido o novo comprimento, e 
utilizando os dados obtidos calculou-se a constante elástica da mola. 
 
O comprimento inicial da primeira mola de 10,22 cm 
Comprimento da mola após acoplada a massa de 0,050g 
Cálculo da Constante Elástica: 
1ª medida 2ª medida 3ª medida 4ª medida 5ª medida Valor Médio (T) ±0,01 s Desvio Padrão
0,050 1,980 2,180 2,250 1,400 1,580 1,878 0,373 1,878±0,373 0,3756
0,100 2,310 2,570 2,820 2,980 2,700 2,676 0,254 2,676±0,254 0,5352
0,122 3,140 3,020 2,830 3,090 2,950 3,006 0,122 3,006±0,122 0,6012
0,172 4,130 3,470 3,310 3,600 4,000 3,702 0,350 3,702±0,350 0,7404
Período ±0,01 s
Massa do porta peso(kg) : 0,006 kg Posição de equilíbrio (Xo) : 10,22 cm
Tempo das 5 oscilações (s)Massa (kg) ±0,001 Valor total 
 
 
F= -KX 
M*g = - KX 
0.050*9,8= -K(19,5-10,22) 
0,49 = -k 9,28 
-K= 0,49/9,28 = 0,052 
 
Massa (kg) Coluna1 
 Valor Médio (T) 
0,050 0,375 
0,100 0,535 
0,122 0,601 
0,172 0,740 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LogB=0,077 
 
 0,077 
B=10 
B=1,19 
 0,33 
Log T=log(1,19)+0,33*log m => log(1,19+log m ) 
 0,33 
Log T= log(1,19 * m ) 
 0,33 
T= 1,19*m 
 
 = 
 
 
 
 
K= 5,3² = 27,85 N/m 
 
Delta= 
 
 
|*100% 
 
 
Cálculo de frequência de oscilações experimental e teórica: 
F.Experimental = nº de oscilações / tempo 
 
 
 
 
 F. Teórica = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0, 16*1,02= 0,16 
 
 
F. Teórica – F.Experimental / F.Teórica *100 
 
%E = 0,15-0,052/ 0,15 = 
%E = 0,65*100 = 65 
 
Cálculos para determinação da constante elástica k, e construção do gráfico período versus 
massa pendurada. 
 
 
Tabela 1.2: Resultados para gráfico log-log. 
 
 
 
Massa (kg) Ln m Período (s) Ln T 
0,056 -2,8824 0,382 -0,96233467 
0,106 -2,24432 0,456 -0,78526247 
0,156 -1,8579 0,566 -0,5691612 
0,178 -1,72597 0,614 -0,48776035 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1.1. Sistema massa-mola 
 
 % = ( − ) × 100 
 % = 6,8% 
Utilizamos a equação para encontrarmos a massa da mola (Mm) e os novos valores das 
massas. 
+ 
 
 
Utilizando os valores obtidos para maior massa, temos: 
= 1,19 × 10−6 
Logo: 
 
Massa Corrigida (Kg) 
M1 = 0,056 
 
M2 = 0,106 
 
M3 = 0,156 
 
M4 = 0,178 
Constante elástica corrigida: 
= 18,64 / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1.2: sistema massa-mola corrigido. 
 
 
4. RESULTADOS 
 
 
 
Através da realização dos experimentos, verificou-se a ação das leis do MHS e como fatores como a 
massa dos corpos acoplados a mola, a constante elástica e amplitude, por exemplo, influenciam no 
comportamento do sistema massa-mola. Com os resultados obtidos, percebeu-se que conforme o peso 
aumenta, o comprimento da mola também aumenta, além disso, em nenhum dos experimentos a mola 
ultrapassou seu limite de elasticidade, já que assim que as massas foram retiradas, as molas voltaram ao 
seu comprimento inicial. 
Concluímos que o período de oscilação depende da massa do corpo suspenso e da constante elástica da 
mola que o sustenta. 
Percebemos ainda que para se encontrar o valor da Constante Elástica K, quando se aumenta o valor da 
massa diminui o seu resultado. 
Quanto ao comprimento não ocorreu diferença observada a olho nu, pois, o peso mola é relativamente 
muito pequeno. O período e a frequência no MHS são determinadas pela massa e pela constante, porém 
independente da amplitude por esta razão não obtiveram diferença de uma para a outra. Neste 
experimento do sistema massa-mola feito no laboratório, podemos comprovar a parte teórica e 
experimental, que diz que o período do sistema massa-mola, depende apenas da massa m e da constante k 
da mola. Como pesamos a massa, e cronometramos o tempo, para assim determinar o período, podemos 
calcular o valor da constante. pode-se observar, que mesmo diante de possíveis erros de cronometragem, 
e outros fatores, como o balanço na bancada de experimento, podendo alterar um pouco a posição de 
equilíbrio da mola, culminando assim num possível erro, nas cronometragens e oscilações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. CONCLUSÕES 
 
 
 
Neste relatório, apresentamos os resultados do estudo do comportamento de um sistema massa-
mola para a verificação da Lei de Hooke. De acordo com a Tabela 1 e a Figura 1 apresentada foi possível 
perceber que entre o deslocamento e a massa existe uma relação linear e que essas grandezas são 
proporcionais. Alguns fatores externos podem ter causado flutuação aos resultados, como o peso do 
suporte que sustenta as massas, assim como a mola. Outro fator relevante é a manipulação dos 
condutores, pois estes podem a uma maior propagação de erro, causando possivelmente alteração no 
valor da constante elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. REFERÊNCIAS 
 
 HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1. 
Tradução e revisão t4ecnica Ronaldo Sérgio de Biase. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
 
Só física. Energia do oscilador. Disponível 
em http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/massamola2.ph