PROVA ANÁLISE MATEMÁTICA AVA III

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Disciplina: Análise Matemática 
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) 
 
Nota da Prova: 8,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Algumas sequências apresentam uma propriedade de que, quando n cresce 
arbitrariamente, o valor da sequência se aproxima de um número real chamado de 
limite de uma sequência. Outras, ao contrário, não possuem esta característica. 
Damos o nome a isso de estudo da convergência ou divergência de uma sequência. 
Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas sequências 
convergentes: 
 
 a) As opções I e III estão corretas. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) As opções I e II estão corretas. 
 d) As opções I e IV estão corretas. 
 
2. O limite de uma sequência numérica pode ser o infinito ou algum valor específico 
dentro do conjunto dos números reais. Observe o termo geral da sequência numérica 
a seguir e assinale a alternativa CORRETA que apresenta o seu limite: 
 
 a) Seu limite é 1. 
 b) Seu limite é 0 (zero). 
 c) Seu limite é 2. 
 d) Seu limite é infinito. 
 
3. A adição é uma das quatros operações fundamentais da aritmética. Consiste em 
adicionar um ou mais valores tendo um valor como resultado. O número 0 (zero) é 
um número neutro na adição, ou seja, somar alguma coisa com nada temos essa 
alguma coisa. Em termos de análise matemática podemos mostrar diversas 
propriedades que justificam as operações "elementares" que estamos aptos a realizar 
desde os primeiros anos de nosso estudo. Uma destas propriedades é a 
monotonicidade da adição: sejam u e v dois elementos de um corpo ordenado K tais 
que u < v. Então, para todo w pertencente a K, u + w < v + w. Dentre as opções a 
seguir, indique qual delas justificam numericamente a propriedade da 
monotonicidade: 
 
I) 2 < 3, então 2+4 < 3+4. 
II) 1<5, então 1+5 = 1 + 5. 
III) 2 < 3 e 3 < 5, então 2 <5. 
IV) 0 + 3 = 1 + 2, pois 2 < 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença I está correta. 
 b) Somente a sentença III está correta. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) Somente a sentença IV está correta. 
 
4. Em matemática, um corpo ordenado é um corpo no qual existe uma relação de ordem 
total, em que as operações binárias do corpo são compatíveis com essa relação de 
ordem. Sabe-se que o conjunto dos números racionais é um corpo ordenado. Assim: 
 
 a) F - V - F - V. 
 b) V - F - F - V. 
 c) F - F - V - V. 
 d) V - V - F - F. 
 
5. O conceito de limite constitui um dos principais fundamentos do cálculo, pois é 
através dele que definimos outros conceitos, como derivada, continuidade, integral, 
convergência, divergência, entre outros. Sobre o que é necessário observar quando 
somamos limites, analise as seguintes opções: 
 
 a) As opções I, II e IV estão corretas. 
 b) As opções II, III e IV estão corretas. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) As opções I, III e IV estão corretas. 
 
6. A propriedade da tricotomia é válida em conjuntos que possuem boa ordenação. 
Como o conjunto dos naturais é um conjunto bem ordenado, assinale a alternativa 
CORRETA: 
 a) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor 
que n. 
 b) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior ou igual a n, ou m é 
menor que n, ou m é igual a n. 
 c) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor 
ou igual a n, ou m é igual a n. 
 d) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor 
que n, ou m é igual a n. 
 
7. Um corpo K é, a grosso modo, um conjunto no qual podemos somar, subtrair, 
multiplicar e dividir por não nulo, no qual valem todas as propriedades usuais de tais 
operações, incluindo a comutativa da adição e multiplicação. A seguir, temos 
algumas definições acerca das propriedades da multiplicação: 
 
I- Associatividade: dados três elementos quaisquer u, v, w pertencentes a K, (u . v). 
w = v . w. 
II- Comutatividade: dados dois elementos quaisquer u, v pertencentes a K, u . v = v . 
u. 
III- Existência de elemento neutro: existe um elemento pertencente a K, que 
indicamos por 1 (um), tal que 1 . v = v, para todo v pertencentes a K. 
IV- Existência de inverso multiplicativo: para cada elemento v &#8712; K não nulo, 
existe um único elemento v´ pertencentes a K, tal que v . v´ = 1. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças II, III e IV estão corretas. 
 b) As sentenças I e IV estão corretas. 
 c) As sentenças I e III estão corretas. 
 d) As sentenças I, II e III estão corretas. 
 
8. Função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto (representado pela 
variável x) a um único elemento de outro conjunto (representado pela variável y). 
Para cada valor de x, podemos determinar um valor de y, dizemos então que "y está 
em função de x". 
Acerca das propriedades das funções, analisando a função f(x) = x³- 2x²+ 5x+ 16, 
assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Existem 3 números reais M maiores que zero, tal que f(M) = 0. 
 b) Existe um número real M menor que zero, tal que f(M) = 0. 
 c) Existe um número real M, tal que f(x) é maior ou igual a M, para todo x. 
 d) Existe um número real M, tal que f(x) é menor ou igual a M, para todo x. 
 
9. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas 
não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por 
exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos 
números naturais. Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Os números irracionais são fechados com relação à divisão. 
 b) Os números racionais são fechados com relação à divisão. 
 c) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. 
 d) Os números naturais são fechados com relação à adição. 
 
10. Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Prova por Absurdo. 
II- Prova Direta. 
III- Prova por Indução. 
 
( ) Prove que: 
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) 
i - para n = 1 
2 = 1(1+1) = 2 
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1 
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) 
 
( ) Prove que existem infinitos números primos. 
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último 
número primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos 
entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por 
nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, 
deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e 
último número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos. 
 
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b². 
(a + b)² = (a + b) (a + b) 
 = a(a + b) + b(a + b) 
 = a² + ab + ab + b² 
 = a² +2ab + b² 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) III - I - II. 
 b) III - II - I. 
 c) II - I - III. 
 d) I - III - II. 
 
11. (ENADE, 2014). 
 
 a) e. 
 b) 1. 
 c) infinito. 
 d) 0. 
 
12. (ENADE, 2005). 
 
 a) Todos os itens estão certos. 
 b) Apenas os itens I e III estão certos. 
 c) Apenas um item está certo. 
 d) Apenas os itens I e II estão certos.