82. **Problema:** Encontre os autovalores da matriz \( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \).

Para encontrar os autovalores da matriz \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \), seguimos os seguintes passos: 1. Calcular o polinômio característico: Precisamos resolver a equação \( \det(A - \lambda I) = 0 \), onde \( I \) é a matriz identidade e \( \lambda \) é o autovalor. \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} \] 2. Calcular o determinante: \[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(4 - \lambda) - (1)(1) = (4 - \lambda)^2 - 1 \] \[ = 16 - 8\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 8\lambda + 15 \] 3. Resolver a equação quadrática: \[ \lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Portanto, temos: \[ \lambda_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = \frac{6}{2} = 3 \] 4. Conclusão: Os autovalores da matriz \( A \) são \( \lambda_1 = 5 \) e \( \lambda_2 = 3 \).