Intervalo de Confiança para Estimação de Parâmetros

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ESTIMAC¸A˜O DE PARAˆMETROS
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Estimac¸a˜o Intervalar 1/16
Estimac¸a˜o Intervalar
Intervalos de Confianc¸a
Em muitas situac¸o˜es, gostarı´amos de construir uma estimativa mais
informativa para o paraˆmetro de interesse, que inclua uma medida de
precisa˜o do valor obtido. Esse me´todo de estimac¸a˜o, denominado in-
tervalo de confianc¸a, incorpora a` estimativa pontual do paraˆmetro
informac¸o˜es a respeito de sua variabilidade. Intervalos de confianc¸a
sa˜o obtidos atrave´s da distribuic¸a˜o amostral de seus estimadores.
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Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Considere uma amostra aleato´riaX1, X2, ..., Xn de uma populac¸a˜oX ,
que tem me´dia µ desconhecida e variaˆncia σ2 conhecida. Daqui por
diante, faremos as seguintes considerac¸o˜es:
(i) P (0 < Z < zγ/2) =
γ
2
, em que Z ∼ N(0, 1) e 0 < γ < 1;
(ii) Pelo Teorema Central do Limite, a me´dia amostral
X ≈ N
(
µ,
σ2
n
)
.
Assim, temos que
Z =
X − µ
σ/
√
n
≈ N(0, 1).
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Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Portanto, podemos escrever:
P
(−zγ/2 < Z < zγ/2) = γ,
ou seja,
P
(
−zγ/2 <
X − µ
σ/
√
n
< zγ/2
)
= γ,
e assim,
P
(
−zγ/2
σ√
n
< X − µ < zγ/2
σ√
n
)
= γ.
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Estimac¸a˜o Intervalar 4/16
Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Portanto,
P
(
zγ/2
σ√
n
> −X + µ > −zγ/2
σ√
n
)
= γ,
de onde obtemos
P
(
X + zγ/2
σ√
n
> µ > X − zγ/2
σ√
n
)
= γ.
Logo, o intervalo de confianc¸a para µ, com coeficiente de confianc¸a γ,
e´ dado por
IC(µ, γ) =
(
X − zγ/2
σ√
n
;X + zγ/2
σ√
n
)
.
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Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Interpretac¸a˜o:
Observe que a expressa˜o IC(µ, γ) envolve a quantidade X que e´ uma
varia´vel aleato´ria e, portanto, o intervalo obtido tambe´m e´ aleato´rio.
Desta forma, podemos interpretar o intervalo acima da seguinte manei-
ra: se obtivermos va´rias amostras de mesmo tamanho e para cada
uma calcularmos os correspondentes intervalos de confianc¸a com coe-
ficiente de confianc¸a γ, esperamos que a proporc¸a˜o de intervalos que
contenham o valor de µ seja igual a γ.
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Estimac¸a˜o Intervalar 6/16
Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Observac¸a˜o:
A amplitude do intervalo de confianc¸a e´ dada pela diferenc¸a entre o
seu extremo superior e o seu extremo inferior, isto e´, 2zγ/2
σ√
n
. O erro
envolvido na estimac¸a˜o e´ dado pela semi-amplitude, ou seja, zγ/2
σ√
n
.
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Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Exemplo 1
Assentos desocupados nos voˆos provocam perda de receita para as em-
presas ae´reas. Suponha que uma grande empresa ae´rea deseje estimar
seu nu´mero me´dio de assentos desocupados por voˆo no ano anterior,
sabendo que o desvio padra˜o deste nu´mero de assentos e´ da ordem de
4,1. Para conseguir fazer esta estimac¸a˜o, os registros de 225 voˆos fo-
ram selecionados aleatoriamente e o nu´mero de assentos desocupados
foi anotado para cada um dos voˆos amostrados, obtendo-se nu´mero
me´dio de 11,6 assentos desocupados por voˆo.
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Intervalo de Confianc¸a para a Me´dia de uma Populac¸a˜o com
Variaˆncia Conhecida
Exemplo 1 - Continuac¸a˜o
(a) Estime µ, o nu´mero me´dio de assentos desocupados por voˆo no
ano anterior, usando um intervalo de 96% de confianc¸a.
(b) Qual o erro amostral cometido nessa estimac¸a˜o?
(c) Calcule a amplitude do intervalo de confianc¸a encontrado em (a).
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Intervalo de Confianc¸a para a Proporc¸a˜o Populacional
De maneira ana´loga ao caso da me´dia, podemos construir um
intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o populacional.
Considerando que:
(i) P (0 < Z < zγ/2) =
γ
2
, em que Z ∼ N(0, 1) e 0 < γ < 1;
(ii) Pelo Teorema Central do Limite, a proporc¸a˜o amostral
pˆ ≈ N
(
p,
p(1− p)
n
)
.
Assim, temos que
Z =
pˆ− p√
p(1−p)
n
≈ N(0, 1).
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Estimac¸a˜o Intervalar 10/16
Intervalo de Confianc¸a para a Proporc¸a˜o Populacional
Portanto, podemos escrever:
P
(−zγ/2 < Z < zγ/2) = γ,
ou seja,
P
−zγ/2 < pˆ− p√
p(1−p)
n
< zγ/2
 = γ,
e assim,
P
(
−zγ/2
√
p(1− p)
n
< pˆ− p < zγ/2
√
p(1− p)
n
)
= γ.
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Estimac¸a˜o Intervalar 11/16
Intervalo de Confianc¸a para a Proporc¸a˜o Populacional
Portanto,
P
(
zγ/2
√
p(1− p)
n
> −pˆ+ p > −zγ/2
√
p(1− p)
n
)
= γ,
de onde obtemos
P
(
pˆ− zγ/2
√
p(1− p)
n
< p < pˆ+ zγ/2
√
p(1− p)
n
)
= γ.
Logo, um intervalo de confianc¸a para p com nı´vel de confianc¸a γ e´
dado por
IC(p, γ) =
(
pˆ− zγ/2
√
p(1− p)
n
; pˆ+ zγ/2
√
p(1− p)
n
)
.
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Intervalo de Confianc¸a para a Proporc¸a˜o Populacional
Como p e´ desconhecido, o intervalo ainda na˜o pode ser calculado dire-
tamente. Uma possı´vel soluc¸a˜o e´ substituirmos p(1− p) por pˆ(1− pˆ).
Portanto, o intervalo sera´:
IC1(p, γ) =
(
pˆ− zγ/2
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ+ zγ/2
√
pˆ(1− pˆ)
n
)
.
Outra soluc¸a˜o possı´vel, e´ baseada no fato que a expressa˜o p(1−p) tem
valor ma´ximo igual a 1/4, visto que 0 ≤ p ≤ 1. Nesse caso, podemos
obter um intervalo de confianc¸a substituindo p(1− p) por 1/4:
IC2(p, γ) =
(
pˆ− zγ/2
√
1
4n
; pˆ+ zγ/2
√
1
4n
)
.
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Estimac¸a˜o Intervalar 13/16
Intervalo de Confianc¸a para a Proporc¸a˜o Populacional
Atenc¸a˜o!
Ao aceitarmos IC1(p, γ), estamos levando em considerac¸a˜o que a va-
riaˆncia de pˆ e´ bem aproximada por
pˆ(1− pˆ)
n
. Se preferirmos IC2(p, γ),
estaremos substituindo a variaˆncia por um valor seguramente maior
do que o real. Assim, estamos nos assegurando que o coeficiente de
confianc¸a sera´ de, no mı´nimo, γ. Ao utilizarmos IC2(p, γ), estamos
aceitando uma menor precisa˜o para p, o que se reflete numa maior
amplitude do intervalo de confianc¸a, quando comparado ao intervalo
IC1(p, γ).
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Estimac¸a˜o Intervalar 14/16
Intervalo de Confianc¸a para a Proporc¸a˜o Populacional
Exemplo 2
Em uma linha de produc¸a˜o de certa pec¸a mecaˆnica, colheu-se uma
amostra de 100 itens, constatando-se que 4 pec¸as eram defeituosas.
(a) Construa um intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o de itens
defeituosos na populac¸a˜o, com nı´vel confianc¸a de 90%.
(b) Qual o erro amostral cometido nessa estimac¸a˜o?
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Exercı´cios
Problemas do Capı´tulo 11 do livro texto (BUSSAB - 6a Edic¸a˜o)
selecionados para resoluc¸a˜o:
15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 29, 30 e 44.
Bom trabalho!
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