Distribuições Amostrais e Teorema Central do Limite

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DISTRIBUIC¸O˜ES AMOSTRAIS E TEOREMA
CENTRAL DO LIMITE
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 1/25
Amostra Aleato´ria Simples de uma Varia´vel Aleato´ria
Amostra Aleato´ria Simples
Varia´veis aleato´riasX1, X2, . . . , Xn constituem uma amostra aleato´ria
simples de tamanho n, ou simplesmente amostra aleato´ria (a.a.) de
uma varia´vel aleato´ria (v.a)X , quando satisfazem as seguintes condic¸o˜es:
� As varia´veis aleato´rias X1, X2, . . . , Xn sa˜o independentes, e
� Cada uma das varia´veis aleato´rias Xi, i = 1, 2, . . . , n, teˆm a
mesma distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel X .
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 2/25
Estatı´stica
Dada uma amostra aleato´ria X1, X2, ..., Xn de uma populac¸a˜o X , de-
finiremos uma estatı´stica T como qualquer func¸a˜o de X1, X2, ..., Xn,
ou seja T = f(X1, X2, ..., Xn).
Assim, dada uma amostra aleato´riaX1, X2, ..., Xn, podemos citar como
exemplos de estatı´sticas, dentre outros:
A me´dia amostral, X =
1
n
(X1 +X2 + . . .+Xn);
A variaˆncia amostral S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(Xi −X)2.
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 3/25
Distribuic¸a˜o Amostral
Sendo X1, X2, ..., Xn uma amostra aleato´ria da varia´vel X , uma per-
gunta natural seria o que acontece com a estatı´stica T quando reti-
ramos todas as amostras de uma populac¸a˜o conhecida segundo um
plano amostral adotado. Ou seja, qual a distribuic¸a˜o de T quando
X1, X2, ..., Xn assume todos os valores possı´veis? Essa distribuic¸a˜o
sera´ chamada de distribuic¸a˜o amostral da estatı´stica T .
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 4/25
Distribuic¸a˜o Amostral
Figura 01: (a) Esquema de infereˆncias sobre θ.
(b) Distribuic¸a˜o amostral da estatı´stica T .
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 5/25
Distribuic¸a˜o Amostral
Exemplo 8
Considere uma populac¸a˜o formada pelos elementos {1, 3, 5, 5, 7}. Con-
sidere a varia´vel X: valor assumido pelo elemento na populac¸a˜o. As-
sim, a distribuic¸a˜o de probabilidade de X e´ dada por:
X = x 1 3 5 7
P (X = x)
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 6/25
Distribuic¸a˜o Amostral
Exemplo 1
Considere uma populac¸a˜o formada pelos elementos {1, 3, 5, 5, 7}. Con-
sidere a varia´vel X: valor assumido pelo elemento na populac¸a˜o. As-
sim, a distribuic¸a˜o de probabilidade de X e´ dada por:
X = x 1 3 5 7
P (X = x) 1/5 1/5 2/5 1/5
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 7/25
Note que:
X = x 1 3 5 7
P (X = x) 1/5 1/5 2/5 1/5
µ = E(X) = 1× 1/5 + 3× 1/5 + 5× 2/5 + 7× 1/5 = 4, 2
e
E(X2) = 12 × 1/5 + 32 × 1/5 + 52 × 2/5 + 72 × 1/5 = 21, 8
de onde temos que
σ2 = V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 21, 8− (4, 2)2 = 4, 16.
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 8/25
Distribuic¸a˜o Amostral
Considere todas as amostras possı´veis de tamanho 2, com reposic¸a˜o,
da populac¸a˜o cuja distribuic¸a˜o e´ dada no exemplo anterior. Ale´m
disso considere X1 o nu´mero selecionado na primeira extrac¸a˜o e X2 o
nu´mero selecionado na segunda extrac¸a˜o. Assim, podemos construir a
distribuic¸a˜o de probabilidades conjunta de (X1, X2). Observe que X1
e X2 sa˜o independentes e teˆm distribuic¸o˜es iguais a` distribuic¸a˜o de X .
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 9/25
Distribuic¸a˜o Amostral
Inicialmente, identifiquemos todas as amostras possı´veis de tamanho
n = 2:
(1,1) (1,3) (1,5) (1,5) (1,7)
(3,1) (3,3) (3,5) (3,5) (3,7)
(5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)
(5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)
(7,1) (7,3) (7,5) (7,5) (7,7)
Sendo assim, a Distribuic¸a˜o Conjunta de (X1, X2) e´ dada por:
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 10/25
(X1, X2) Probabilidade
(1,1) 1/5× 1/5 = 1/25
(1,3) 1/25
(1,5) 1/5× 2/5 = 2/25
(1,7) 1/25
(3,1) 1/25
(3,3) 1/25
(3,5) 2/25
(3,7) 1/25
(5,1) 2/25
(5,3) 2/25
(5,5) 2/5× 2/5 = 4/25
(5,7) 2/25
(7,1) 1/25
(7,3) 1/25
(7,5) 2/25
(7,7) 1/25
Total 1
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 11/25
Distribuic¸a˜o Amostral
� Identifique a distribuic¸a˜o amostral para as estatı´sticas:
(i) X =
1
n
(X1 +X2 + · · ·+Xn);
(ii) S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(Xi −X)2.
� A partir das distribuic¸o˜es amostrais de X e S2, calcule E(X),
V ar(X) e E(S2).
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 12/25
(X1, X2) Probabilidade (i) X
(1,1) 1/25 (1+1)/2=1
(1,3) 1/25 (1+3)/2=2
(1,5) 2/25 3
(1,7) 1/25 4
(3,1) 1/25 2
(3,3) 1/25 3
(3,5) 2/25 4
(3,7) 1/25 5
(5,1) 2/25 3
(5,3) 2/25 4
(5,5) 4/25 5
(5,7) 2/25 6
(7,1) 1/25 4
(7,3) 1/25 5
(7,5) 2/25 6
(7,7) 1/25 7
Total 1 -
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 13/25
Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
Daı´, a distribuic¸a˜o de probabilidades de X e´ dada por:
X = x 1 2 3 4 5 6 7
P (X = x) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25
Sendo assim,
E(X) = 1× 1/25 + 2× 2/25 + · · ·+ 7× 1/25 = 4, 2 = E(X) = µ
e
E(X
2
) = 12 × 1/25 + 22 × 2/25 + · · ·+ 72 × 1/25 = 19, 72
de onde temos que
V ar(X) = E(X
2
)− [E(X)]2 = 19, 72− (4, 2)2 = 2, 08
= V ar(X)/2 = σ2/2.
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 14/25
(X1, X2) Probabilidade (i) X (ii) S2
(1,1) 1/25 1 (1− 1)2 + (1− 1)2 = 0
(1,3) 1/25 2 (1− 2)2 + (3− 2)2 = 2
(1,5) 2/25 3 (1− 3)2 + (5− 3)2 = 8
(1,7) 1/25 4 18
(3,1) 1/25 2 2
(3,3) 1/25 3 0
(3,5) 2/25 4 2
(3,7) 1/25 5 8
(5,1) 2/25 3 8
(5,3) 2/25 4 2
(5,5) 4/25 5 0
(5,7) 2/25 6 2
(7,1) 1/25 4 18
(7,3) 1/25 5 8
(7,5) 2/25 6 2
(7,7) 1/25 7 0
Total 1 -
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 15/25
Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
Sendo assim, a distribuic¸a˜o de probabilidades de S2 e´ dada por:
S2 = s2 0 2 8 18
P (S2 = s2) 7/25 10/25 6/25 2/25
De onde temos que
E(S2) = 0×7/25+2×10/25+8×6/25+18×2/25 = 4, 16 = σ2.
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 16/25
Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
Em resumo, identificamos que;
1) E(X) = 4, 2 = E(X) = µ;
2) V ar(X) = 2, 08 = 4, 16/2 = V ar(X)/2 = V ar(X)/n = σ2/n;
3) E(S2) = 4, 16 = V ar(X) = σ2.
Ale´m disso, pode-se perceber que
4) E(X1) = 4, 2 = E(X2) = E(X) = E(X) = µ.
Pergunta: Sera´ que estes resultados sa˜o meras coincideˆncias?
Resposta: Na˜o!
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 17/25
Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
Teorema
Seja X uma varia´vel aleato´ria com me´dia µ e variaˆncia σ2, e seja
(X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleato´ria de X . Enta˜o, a distribuic¸a˜o
da me´dia amostral (X) tera´ me´dia e variaˆncia dadas, respectivamente
por
E(X) = µ
e
V ar(X) =
σ2
n
.
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Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
Atenc¸a˜o!
Um teorema bem mais forte do que este e´ o que se refere a` distribuic¸a˜o
de probabilidade da varia´vel X . Este teorema e´ conhecido como o
Teorema Central do Limite.
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Teorema Central do Limite (TCL)
Para amostras aleato´rias (X1, X2, ..., Xn), retiradas de uma populac¸a˜o
com me´dia µ e variaˆncia σ2 finita, a distribuic¸a˜o amostral da me´dia
X aproxima-se, para n suficientemente grande, de uma distribuic¸a˜o
normal, com me´dia µ e variaˆncia σ2/n:
X ≈ N(µ, σ2/n).
Desta forma, temos que:
Z =
X − µ
σ/
√
n
≈ N(0, 1).
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Teorema Central do Limite (TCL)
Atenc¸a˜o!
1. No Teorema Central do Limite na˜o fizemos nenhuma suposic¸a˜o
sobre a natureza das distribuic¸o˜es das varia´veis X1, X2, ..., Xn;
ou seja, independentemente de como se comportam essas varia´veis,
sejam elas discretas ou contı´nuas, o Teorema continua va´lido.
2. Se as varia´veis X1, X2, ..., Xn teˆm distribuic¸a˜o normal, enta˜o X
tera´ tambe´m distribuic¸a˜o normal e na˜o apenas uma aproximac¸a˜o.
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Distribuic¸o˜esAmostrais e TCL 21/25
Teorema Central do Limite (TCL)
Figura 02: Histogramas correspondentes a`s distribuic¸o˜es amostrais de X
para amostras extraı´das de algumas populac¸o˜es.
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 22/25
Teorema Central do Limite (TCL)
Exemplo 2
A quantidade de tempo que um consumidor gasta esperando no balca˜o
de check-in de um aeroporto e´ uma varia´vel aleato´ria, com me´dia de
8,2 minutos e desvio-padra˜o de 2,5 minutos. Suponha que uma amos-
tra aleato´ria de n = 49 consumidores seja observada. Encontre a pro-
babilidade de o tempo me´dio de espera na fila para esses consumidores
ser:
a) menor que 9 minutos;
b) entre 7 e 9 minutos;
c) maior que 11 minutos.
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Distribuic¸o˜es Amostrais e TCL 23/25
Teorema Central do Limite (TCL)
Exemplo 3
Seja X o prec¸o, em reais, de um determinado produto. Admitindo
que X segue distribuic¸a˜o Normal, com me´dia 100 e desvio padra˜o 10,
calcule a probabilidade de:
a) Ao entrar em uma loja, observar que este produto esta´ sendo ven-
dido por um prec¸o entre 91 e 110 reais;
b) Pesquisando em 16 lojas distintas, encontrar prec¸o me´dio entre
91 e 110 reais;
c) Pesquisando em 9 lojas distintas, encontrar prec¸o me´dio superior
a 120 reais;
d) Pesquisando em 9 lojas distintas, encontrar prec¸o me´dio na˜o maior
que 70 reais.
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Exercı´cios
Problemas do Capı´tulo 10 do livro texto (BUSSAB - 6a Edic¸a˜o)
selecionados para resoluc¸a˜o:
03, 04, 05, 07, 08, 09 e 10.
Bom trabalho!
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