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1 Revisão da 1a. parte 1) Introdução - Esforços comuns Materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente se romperem) quando submetidos a solicitações mecânicas. A Resistência dos Materiais é um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para suportá-los nas condições previstas de utilização. Fig 1.1 A Figura 1.1 dá formas gráficas aproximadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos construtivos. (a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da mesma. (b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução do elemento na direção da mesma. (c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma. (d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às outras. (e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra. Construções I 2 (f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais. Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente. 2) Tensão normal e tensão transversal Seja, por exemplo, uma barra cilíndrica de seção transversal S submetida a uma força de tração F. É evidente que uma outra barra de seção transversal maior (por exemplo, 2A), submetida à mesma força F, trabalha em condições menos severas do que a primeira. Isto sugere a necessidade de definição de uma grandeza que tenha relação com força e área, de forma que os esforços possam ser comparados e caracterizados para os mais diversos materiais. Fig 2.1 Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa superfície. Ou seja, tensão = força / área. Pela definição, a unidade de tensão tem a mesma dimensão de pressão mecânica e, no Sistema Internacional, a unidade básica é a mesma: Pascal (Pa) ou Newton por metro quadrado (N/m2). Na Figura 2.1 (a) uma barra de seção transversal S é tracionada por uma força F. Supondo uma distribuição uniforme de tensões no corte hipotético exibido, a tensão σ, transversal ao corte, é dada por: σ = F/A Observação: no caso de barras lisas tracionadas, as tensões se distribuem de modo uniforme se os pontos de aplicação das forças estão suficientemente distantes. Em outros casos, as tensões podem não ser uniformes e o resultado desta fórmula é um valor médio. 3 Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na Figura 2.1 (b), é considerada uma seção hipotética, fazendo um ângulo α com a vertical, em uma barra tracionada por uma força F. E a força atuante nessa seção pode ser considerada como a soma vetorial da força normal (F cos α) e da força transversal (F sen α). Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes: Tensão normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo (σ). Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minúsculo (). 3) Tração e compressão: generalidades Consideramos, conforme Figura 3.1, uma barra redonda de diâmetro D e comprimento L na condição livre, isto é, sem aplicação de qualquer esforço. Se aplicada uma força de tração F, o comprimento aumenta para L1 (= L + ΔL) e o diâmetro diminui para D1. O alongamento (ou deformação longitudinal) ε da barra é a relação entre a variação de comprimento e o comprimento inicial: ε = ΔL / L (adimensional). Fig 3.1 Ou em termos percentuais: ε = 100 ΔL / L Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma redução do diâmetro, chamada contração transversal, dada por: εt = (D - D1) / D A relação entre a contração transversal e o alongamento é dita coeficiente de Poisson µ: µ = εt / ε. Valores típicos de µ para metais estão na faixa de 0,20 a 0,40. 4 Os ensaios de tração determinam graficamente a relação entre a tensão aplicada e o alongamento em uma amostra de determinado material. A Figura 3.2 (a) dá a curva aproximada para um aço estrutural típico. Existe um valor limite de tensão até o qual a tensão aplicada é proporcional à deformação: σ = E ε. Fig 3.2 Esta igualdade é chamada Lei de Hooke e o fator de proporcionalidade E é dito módulo de elasticidade do material (desde que ε é uma grandeza adimensional, ele tem a mesma unidade da tensão). O módulo de elasticidade também é conhecido por módulo de Young (homenagem ao cientista inglês Thomas Young). Obs: para compressão, podemos considerar a mesma lei, considerando a tensão com sinal contrário (até, é claro, o valor absoluto igual ao limite de proporcionalidade). Entretanto, alguns materiais exibem valores de E diferentes para tração e compressão. Nesses casos, podemos usar as notações Et e Ec para a distinção. Voltando à Figura 3.2 (a), σp é o limite de proporcionalidade do material, isto é, tensão abaixo da qual o material se comporta segundo a lei de Hooke. A tensão σe é a tensão de escoamento, ou seja, o material entra na região plástica e as deformações são permanentes. σb é a tensão máxima e σr é a tensão de ruptura. Em materiais pouco dúcteis como ferro fundido, esses limites não ocorrem e uma curva típica é parecida com a Figura 3.2 (b). Em geral, para fins de dimensionamento, no caso de materiais dúcteis considera-se a tensão admissível igual à tensão de escoamento dividida por um coeficiente de segurança. No caso de materiais frágeis, a tensão de escoamento não é definida e é usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurança. 5 NOTA: Uma propriedade bastante usada no estudo de materiais é a ductilidade. É em geral uma característica não definida numericamente. Quanto mais dúctil um material, maior a deformação de ruptura (εr). Isto significa que um material dúctil pode ser, por exemplo, trefilado com mais facilidade. Alguns autores consideram dúctil o material com deformação de ruptura acima de 0,05. O contrário da ductilidade é a fragilidade. 4) Tensão devido à dilatação linear Se, conforme Figura 4.1 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a uma variação (positiva neste caso) de temperatura Δt, a variação do seu comprimento é dada por: ΔL = L α Δt. Onde é o coeficiente de dilatação linear do material da barra. Fig 4.1 Uma simples análise dimensional da fórmula acima permite concluir que a unidade de no Sistema Internacional é 1/K ou 1/°C, uma vez que variações unitárias de graus Kelvin e Celsius são idênticas. Se a barra é impedida de dilatar, conforme Figura 4.1 (b), ela será submetida a uma força de compressão, por conseqüência, tensão de compressão. Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, podemos usar a equação para determinar a tensão (neste caso, é claro, o esforço é de compressão e não de tração): σ = E ε = E ΔL / L. Substituindo ΔL: σ = E α Δt. 5) Tensão admissível e coeficiente de segurança Os gráficos da Figura 3.2 são curvas típicas aproximadas de tensão x deformação de materiais dúcteis (a) e frágeis (b). 6 Os materiais frágeis não apresentam limite definido (σe) para as regiões elástica e plástica. Assim, para efeito de dimensionamento, usa-se a tensão de ruptura (σr). Para os materiais dúcteis, usa-sea tensão de escoamento σe. Coeficientes de segurança são usados para prevenir incertezas quanto a propriedades dos materiais, esforços aplicados, variações, etc. No caso de peças tracionadas, é usual o conceito da tensão admissível dada por: σadm = σe / c para materiais dúcteis. σadm = σr / c para materiais frágeis. Onde c é o coeficiente de segurança. A escolha do coeficiente de segurança é uma tarefa de responsabilidade. Valores muito altos significam em geral custos desnecessários e valores baixos podem levar a falhas de graves conseqüências. A tabela abaixo dá alguns critérios genéricos para coeficientes de segurança. Coeficiente Carregamento Tensão no material Propriedades do material Ambiente 1,2 - 1,5 Exatamente conhecido Exatamente conhecida Exatamente conhecidas Totalmente sob controle 1,5 - 2,0 Bem conhecido Bem conhecida Exatamente conhecidas Estável 2,0 - 2,5 Bem conhecido Bem conhecida Razoavelmente conhecidas Normal 2,5 - 3,0 Razoavelmente conhecido Razoavelmente conhecida Ensaiadas aleatoriamente Normal 3,0 - 4,0 Razoavelmente conhecido Razoavelmente conhecida Não ensaiadas Normal 4,0 - 5,0 Pouco conhecido Pouco conhecida Não ensaiadas Variável 7 Os dados da tabela são genéricos e muitas vezes subjetivos. Não devem ser usados em aplicações críticas e/ou de elevada responsabilidade. Nestes casos, informações devem ser obtidas em literatura ou fontes especializadas, normas técnicas, etc. 6) Deformação por cisalhamento Se um material sofre um esforço de cisalhamento puro conforme Figura 1.1 (a), ele se deforma conforme (b) da mesma figura. Na região elástica, o ângulo de distorção γ e a tensão τ são proporcionais: τ = G γ. O coeficiente G é denominado módulo de elasticidade transversal ou módulo de rigidez do material. Fig 5.1 A relação com entre o módulo de elasticidade E e o módulo ou coeficiente de Poisson µ é dada por: G = E / [ 2 (1 + µ) ]. Para uma barra de seção transversal S constante, submetida a uma força cisalhante F e sem considerar a deformação por flexão, temos o ângulo γ aproximadamente igual a y/L para pequenas deformações (Figura 5.2). Assim temos τ = F/A = G γ ≈ G y/L. Rearranjando a igualdade, y ≈ F L / (G S) Fig 5.2 8 1 – CÁLCULO DAS REAÇÕES EXTERNAS As reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em equilíbrio estático uma estrutura. Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e só podemos restringir 1 GL mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) na direção deste movimento. Desta maneira, cada movimento restringido corresponde à 1 reação vincular (incógnita), que deve ser determinada. 1.1 – Tipos de suportes (ou apoios ou vínculos) a) Articulação: (Resiste à uma força em apenas uma direção) b) Rolete: (Resiste à uma força em apenas uma direção) c) Pino: (Resiste à uma força que age em qualquer direção) d) Engastamento: (Resiste à uma força que age em qualquer direção e à um momento) Parte II - Estática 9 1.2 – Tipos de carregamentos a) Forças concentradas b) Carga uniforme distribuída Observação: Para o cálculo das reações de apoio, a carga uniforme distribuída (q) é substituída por uma força concentrada equivalente W igual a área da figura geométrica da carga e que passa pelo seu centroide: W = q . L c) Carga uniformemente variável d) Momento concentrado q (kN/m) q (kN/m) 10 L1 L2 L3 1.3 – Classificação de vigas a) Simplesmente apoiadas b) Bi-engastada (fixa) c) Engastada- Apoiada d) Em balanço e) Com balanço nas extremidades d) Contínua (mais de 1 vão) q (kN/m) q (kN/m) q (kN/m) q (kN/m) q (kN/m) q (kN/m) q (kN/m) 11 e) Vigas Gerber 1.4 – Cálculo das reações em vigas isostáticas simples Uma estrutura isostática é classificada como simples quando possui apenas um elemento e somente vínculos externos. A fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforço. Para que o corpo mantenha-se em equilíbrio estático é necessário que as 3 equações da estática sejam satisfeitas. ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMz = 0 OBS 1 : As cargas distribuídas devem ser substituídas por suas respectivas resultantes (este artifício é válido somente para o cálculo das reações externas). OBS 2 : Como escolhemos direções de referência (x e y) as cargas que não estiverem nestas direções devem ser decompostas nestas direções, ou seja, substituídas por um sistema equivalente. OBS 3 : Resolvido o sistema de equações, as reações que resultarem negativas devem ter o seu sentido invertido. Exemplo: Calcular as reações nos apoios da viga. Desprezar o peso da viga. Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 12 ΣFx = 0 RAx = 0 ΣMA = 0 200 + 100 . 1+160 . 1,5 – RB . 2 = 0 RB = 270 kgf ΣFy = 0 RAy - 100 - 160 + 270 = 0 RAy = - 10 kgf Verificação: ΣMB = 0 - 10 . 2 + 200 - 100 . 1-160 . 0,5 = 0 OK 1.4 – Cálculo das reações em vigas isostáticas compostas São estruturas constituídas por elementos ligados entre si por rótulas que formam um conjunto estável. Rótulas são articulações internas que não absorvem momento, portanto para que uma rótula esteja em equilíbrio a soma dos momentos em relação a ela deve ser nula. Então, além das equações fundamentais da estática surge uma nova condição que nos leva a equações auxiliares de equilíbrio: soma dos momentos à esquerda e à direita de uma rótula deve ser zero. ΣMr à esquerda = 0 e ΣMr à direita = 0 A viga Gerber se constitui num caso particular de estruturas compostas. Consta de uma associação de vigas com estabilidade própria, com outras sem estabilidade própria, apoiadas sobre as primeiras, dando estabilidade ao conjunto. A interligação entre as partes se dá por intermédio das articulações (rótulas). Nesta associação, as vigas com estabilidade própria suprem as outras dos vínculos que lhes faltam, ficando o conjunto estável, portanto, às primeiras são acrescidas de cargas que lhes são transmitidas pelas rótulas. Ex: (a) Articulações em vigas de madeira (b) Articulações em pontes 13 Observação: Nenhum momento é transmitido por uma junta articulada. Apenas as forças horizontais e verticais são transmitidas. Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 2 – DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS 2.1 – Método das seções O método das seções estabelece procedimentos para a determinação dos esforços internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equilíbrio das partes de um corpo é utilizado quando o corpo com um todo está em equilíbrio. Figura 2.1 – Esforços internos em vigas: V é a força cortante, N é a força normal e M é o momento fletor. N N q1 q2 q1 q2 14 2.1.1 – Força cortante nas vigas (V) A força cortante V, perpendicular ao eixo da viga, deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio ΣFy = 0, ou seja, a força cortante é a força que é introduzida na seçãocortada para equilibrar as forças atuantes até a seção que sejam perpendiculares ao eixo longitudinal da viga. A força cortante é definida positiva quando o binário formado pelo ΣFy e a força cortante V girar a seção no sentido horário. Figura 2.2 – Força cortante 2.1.2 – Força normal (axial) nas vigas (N) A força normal (axial) N, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centróide da seção, deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio ΣFx = 0 A força normal (axial) é definida positiva ou de tração quando agir de dentro para fora da seção e negativa ou de compressão em caso contrário. Figura 2.3 – Força normal 2.1.3 – Momento fletor (M) O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que contêm a viga, deve ser introduzido na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio ΣMz = 0. O momento fletor é definido positivo quando tracionar a parte interior da viga e comprimir a parte superior da viga, e negativo em caso contrário. Figura 2.4 – Momento fletor 2.1.4 – Diagramas de forças cortante e axial e do momento fletor +V ΣFy +N ΣFx ΣMz 15 Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a evolução das forças cortante e axial e do momento fletor ao longo da viga, respectivamente. Exemplo 2.1: Traçar os diagramas de forças cortante, força axial e de momento fletor para a viga abaixo, sujeita à força inclinada de P = 5 kN . Desprezar o peso da viga. a - Determinar as reações de apoio. Diagrama de corpo livre (D.C.L.): ΣFx = 0 RAx – 3 = 0 RAx = 3 kN ΣMB = 0 RAy .10 – 4 . 5 = 0 RAy = 2 kN Σ Fy = 0 2 – 4 + RB = 0 RB = 2 kN Verificação: ΣMA = 4 . 5 – 2 . 10 = 0 (OK) b - Determinar as forças cortante e axial e o momento fletor em seções entre duas forças concentradas. Seção c-c (0<x<5): OBS: Ao indicarmos o sentido dos esforços equilibrantes na seção considerada (hipótese, está em verde), ainda não sabemos se essas direções serão as corretas, ou seja, se nossa hipótese está correta. Caso o valor algébrico do esforço procurado seja negativo, isso significa que o seu sentido deverá ser invertido, conforme veremos a seguir. ΣFx = N + 3 = 0 N = -3 kN, ou seja, o sentido de N não é para fora como foi indicado na hipótese inicial e sim para dentro da seção, logo a normal para qualquer valor x<5m, será sempre negativa. ΣFy = + 2 + V = 0 V = -2 kN, ou seja, a direção de V não é para cima como foi indicado na hipótese inicial e sim para baixo, logo, o ΣFy (que é +2 kN para cima) com o V para N 5 kN 4 kN 3kN 4 kN 3kN 2 kN 3 kN 3 kN 2 kN 2 kN 16 baixo, formam um binário no sentido horário e daí o cortante para qualquer valor x<5m, será sempre positivo. .ΣMC = +2 . x - M = 0 M = 2 x (kN.m), ou seja, será mantido o sentido arbitrado para o momento fletor. Como o conjunto ΣMC (que é +2x), ou seja, tem o sentido horário, com o M que tem o sentido anti-horário, tendem a tracionar as fibras inferiores da viga e, portanto, o momento fletor na seção, para qualquer valor x<5m, será sempre positivo. Seção d-d (5 < x < 10), mas analisando a parte da direita da viga: ΣFx = 0 N = 0 Σ Fy = + 2 – V = 0 V = 2 kN, ou seja, a direção de V é para baixo, confirmando a hipótese logo, o ΣFy (que é = +2 kN) com o V para baixo, formam um binário no sentido anti-horário e daí o cortante para qualquer valor 5 < x < 10, será sempre negativo. ΣMD = + 2 . (10 – x) – M = 0 M = 20 - 2 x (kN.m), ou seja, será mantido o sentido arbitrado para o momento fletor. Como o conjunto ΣMC (que é 20 - 2 x), que tem o sentido anti-horário com o M que tem o sentido horário, tendem a tracionar as fibras inferiores da viga e, portanto, o momento fletor na seção, para qualquer valor 5 < x < 10m, será sempre positivo. c - Traçar os diagramas de força cortante, força normal +2 t -2 t -3t + 10 t.m Momento fletor (kN.m) N 4 kN 2 kN 3 kN 3 kN 2 kN 4 kN 3kN 3 kN 2 kN 2 kN 3 kN (kN) (kN) 2 kN 10 kN.m 2 kN 2 kN 17 Conclusões Importantes: Ponto de força concentrada vertical Discontinuidade no diagrama de força cortante igual a força concentrada vertical. Ponto de força concentrada axial Discontinuidade no diagrama de força axial igual a força concentrada axial. Exemplo 2.2: Traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga apresentada abaixo, sujeita à uma força distribuída e a um momento concentrado. a - Determinar as reações nos apoios (D.C.L.): ΣFx = 0 RAx = 0 Σ Fy = 0 - 4 + 3 + RBy = 0 RBy = 1 kN ΣMB = 0 - 4 . 5 + RA .4 + 8 = 0 RA = 3 kN Verificação: ΣMA = - 4 . 1 + 8 - 1 . 4 = 0 (OK) 2 - Determinar as forças cortantes e o momento fletor em seções entre forças e momentos concentrados e ao longo de uma carga distribuída. Seção c-c (0 < x < 2): ΣFx = N N = 0 Σ Fy = -2 . x + V = 0 V = 2 x (kN), ou seja, a direção de V é para cima conforme hipótese, logo, o ΣFy (que é -2 kN, ou seja, para baixo) com o V para cima, formam um binário no sentido anti-horário e daí o cortante para qualquer valor x<2m, será sempre negativo e igual a 2x para cada x. ΣMC = -2 . x . x / 2 - M = 0 M = - x 2 (kN.m), ou seja, o momento fletor tem o sentido contrário ao da hipótese, ou seja, tem o sentido horário. Como o conjunto ΣMC (que tem como valor x2 no sentido anti-horário), com o M que tem o sentido horário, tendem a tracionar as fibras superiores da viga e, portanto, o momento fletor na seção, para qualquer valor x < 2m, será sempre negativo e o gráfico terá a forma de uma parábola do 2º. grau. N 3 kN q = 2 kN/m M = 8 kN.m 8 kN.m 4 kN 2 kN/m 8 kN.m 2 kN/m 1 kN 18 Seção d-d (2 < x < 4): ΣFx = N N = 0 Σ Fy = - 4 + 3 +V = 0 V = 1 (kN), ou seja, a direção de V é para cima conforme hipótese, logo, o ΣFy (que é -1 kN, ou seja, para baixo) com o V para cima, formam um binário no sentido anti-horário e daí o cortante para qualquer valor 2 < x < 4, será sempre negativo e igual a 1kN. ΣMD = -4 . (x – 1) + 3 . (x – 2) – M = 0 M = -x – 2 (kN.m). Como x > 2, então o valor de M será algebricamente sempre negativo, ou seja, a hipótese do sentido do momento fletor ser anti-horária não se confirmou, dessa forma o momento fletor para seções para os quais 2 < x < 4 será sempre negativo. Seção e-e (4 < x < 6) mas analisando a parte da direita da viga: ΣFx = N N = 0 Σ Fy = + 1 – V = 0 V = 1 (kN), ou seja, a direção de V é para baixo conforme hipótese, logo, o ΣFy (que é +1 kN, ou seja, para cima) com o V para baixo, formam um binário no sentido anti-horário e daí o cortante para qualquer valor 4 < x < 6, será sempre negativo e igual a 1kN. ΣME = 1 . (6 – x) – M = 0 M = - x + 6 (kN.m). Como x < 6, então o valor de M será algebricamente sempre posivo, ou seja, a hipótese do sentido do momento fletor ser horária deverá ser mantida, dessa forma o momento fletor para seções para os quais 4 < x < 6 será sempre positivo. 8 kN.m 2 kN/m 1 kN 3 kN 4 kN 8 kN.m 2 kN/m 3 kN 1 kN 3 kN N N 1 kN 3 kN 19 c -Traçar os diagramas deforça cortante e do momento fletor. Conclusão Importante (além das anteriores): Ponto de momento concentrado Descontinuidade no diagrama de momento fletor igual ao momento concentrado. 4 6 2 - - + 8 kN.m 2 kN/m 3 kN 1 kN (kN) (kN.m) CARACTERÍSTICAS3 GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que formam essas seções transversais. A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção transversal. h b L seção longitudinal h L seção transversal b h Figura 5.1 Barra prismática As principais propriedades geométricas de figuras planas são: Área (A) Momento de Inércia (I) Momento estático (M) Módulo de resistência (W) Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 3.1 Área A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das tensões de transversais ou de corte. 20 3.2 Momento Estático Analogamente à definição de momento de uma força em relação a um eixo qualquer, defini-se Momento Estático (M) de um elemento de superfície como o produto da área do elemento pela distância que o separa de um eixo de referência. dAyM x ⋅= e dAxM y ⋅= x y x y dA Momento Estático de uma superfície plana é definido como a somatória de todos os momentos estáticos dos elementos de superfície que formam a superfície total. ∫= A x ydAM e ∫= A y xdAM A x y x y dA A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2 = [L]3. O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que ocorrem em uma peça submetida à flexão. O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo A 3CG y 3A A 1 1 CG 2 CGy3CG y 2CG 2 1CG x xxxx CGx CGx CGx MMMM AyM AyM AyM ,3,2,1 33,3 22,2 11,1 ++= ⋅= ⋅= ⋅= Elemento vazado 1 2 xxx MMM ,2,1 −= 21 3.3 Centro de Gravidade Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG). Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfície. O centro de gravidade de uma superfície plana é, por definição, o ponto de coordenadas: CG y x CG x y CG ∫ ⋅== A y CG dAxAA M x 1 ∫ ⋅== A x CG dAyAA My 1 onde: xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; My = momento estático da figura em relação ao eixo y; A = área da Figura. Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por: x 1Ax 1 y1 y n y x n A n ∑ ∑ = = ⋅ = n i i n i ii CG A xA x 1 1 ∑ ∑ = = ⋅ = n i i n i ii CG A yA y 1 1 22 Centro de gravidade de algumas figuras planas retângulo h b CG y CGx x y CG 2 bxCG = 2 hyCG = triângulo h y CG x CGy x CG b 3 bxCG = 3 hyCG = círculo x CG y 0=CGx 0=CGy Semicírculo CG 3 r r ___4Rπ π3 4ryCG = ¼ de círculo ___4R 3 r π CG 3 ___4Rπ π3 4rxCG = π3 4ryCG = trapézio h CG y 2 h 1 x ba bahh + +⋅= 2 31 ba bahh + +⋅= 2 32 22 Exemplos 1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo em relação ao eixo x que passa pela sua base. Área do retângulo hbA ⋅= O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo x é somatória do produto de cada elemento de área dA pela sua distância em relação ao eixo x. dy h b dA x Momento Estático dybdA ⋅= ∫∫ ⋅⋅=⋅= h A x dybydAyM 0 2 0 22 2 0 2 ⋅−⋅= ⋅= bhbybM h x 2 2hbM x ⋅= Centro de Gravidade 2 2 2 h hb hb A My xCG =⋅ ⋅ == 2 hyCG = 2. Determinar o CG da Figura. (medidas em centímetros) ( ) ( ) ( ) 2 321 84 3446158 cmA A AAAA = ×−×−×= −−= 2 2 4 3 2 6 2 15 1 2 3 y C G 2 x 3 = 3, 5 1 = 7, 5 C G y y = 10 2 C G ( ) ( ) ( ) 3 ,3,2,1 3 33,3 3 22,2 3 11,1 61842240900 42435,3 2404610 9001585,7 cmMMMM cmAyM cmAyM cmAyM xxxx CGx CGx CGx =−−=−−= =××=⋅= =××=⋅= =××=⋅= cm cm cm A My xCG 36,784 618 2 3 === 23 3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 12 x CG8 33 2 1 3 9 5, 69 ( ) ( ) 2 21 2 2 2 1 87 933 96812 cmAAA cmA cmA =−= =×= =×= 3 ,2,1 3 ,2 3 ,1 495 81339 5761286 cmMMM cmM cmM xxx x x =−= =××= =××= cm cm cm A My xCG 69,587 576 2 3 === 4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). x y 3 3 6 4 2 3 4 5, 15 A Figura hachurada pode ser o resultado de um retangulo (12×6) cm do qual foram retirados um triângulo e um semicírculo. Área da figura ( ) ( )[ ] ( ) 2 22 72,53 72,565,0635,0612 cmA cmrA AAAA SCTR = =××−××−×= −−= π Momento Estático 3 , 2163612 cmM xR =××= 3 , 36635,04 cmM xT =×××= 32 , 37,323 24625,0 cmM xSC = ×−×= ππ 3 ,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =−−= Coordenada yCG do centro de gravidade A My xCG = cmyCG 6,272,56 63,147 == 24 Analogamente, determina-se a coordenada xCG. x y 6 3 3 4 2 1 86 3 ,,, 3 2 , 3 , 3 , 73,372 26,50 2 28 9 2 631 4326126 cmMMMM cmM cmM cmM ySCyTyRy ySC yT yR =−−= =××= =××= =××= π Coordenada xCG do centro de gravidade A M x yCG = cmxCG 57,672,56 73,372 == 3.4 Momento de Inércia O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. A x y x y dA ∫ ∫ = = Ay Ax dAxI dAyI 2 2 A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 . O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência. 25 Propriedade: O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe. xxxx IIII ,3,2,1 ++= A 3 CG 3 A CG A CG 1 2 2 1 Exemplo Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo CG. (medidas em centímetros) 3 8 4 4 6 6 x CG 12 3hbI CGx ⋅= ( )33 83128 12 1 ×−×= CGx I 4024.1 cmI CGx = 3.5 Translação de eixos O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da distância que separa os dois eixos. 2 CGxx yAII CG ⋅+= 2CGyy xAII CG ⋅+= onde: y y x CG CG CG x y CG CG x Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. CGx I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. CGy I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . 26 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que estão sujeitas as peças submetidas à flexão. As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: AyM x ⋅= → 222 AyM x ⋅= → 2 2 2 A My x= A MII xxx CG 2 += 2 CGxx yAII CG ⋅+= → AA MII xxx CG ⋅+= 2 2 ⇒ A MII xxxCG 2 −= Exemplo: Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: a) x, passando pela base inferior. b) CGx , passando pelo CG. a) x h b dy dA=b.dy ∫= Ax dAyI 2 ∫ ⋅== h h x ybbdyyI 0 0 3 2 3 → 3 3hbIx ⋅= b) h/2 -h/2 x b CG h/2 +h/2 dAyI AxCG ∫= 2 2 2 32 2 2 3 h h h h x hbbdyyI CG −− ⋅== ∫ −− ⋅= 33 223 hhbI CGx +⋅= 883 33 hhbI CGx 128 2 3 33 hbhbI CGx ⋅=⋅= 27 Utilizando a formulação de mudança de eixos x CG h/2 h h/2 CG x b Momento de inércia do retângulo em relação ao seu CG → 12 3 , hbI CGx ⋅= 2 CGxx yAII CG ⋅+= 23 212 ⋅+⋅= hbhhbI x 12 3 412 3333 bhbhhbhbI x ⋅+=⋅+⋅= 312 4 33 hbIhbI xx ⋅=⇒⋅= 3.6 Módulo Resistente Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada. x ysup yinf x esq x dir CG y maxy IW CGx = maxx IW CGy = onde: ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. A unidade do módulo resistente é [ ][ ] [ ]3 4 L L L = . O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão. Para o retângulo, tem-se: h/2 b CG h/2 12 3hbI x ⋅= hbA ⋅= 6 2 12 2 12 23 3 hb h hb h hb Wx ⋅=⋅⋅= ⋅ = 28 3.7 Raio de Giração Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem. A Ii = cm cm cm =2 4 Características Geométricas de algumas figuras conhecidas Figura Momento de Inércia Momento Resistente Raio de Giração Quadrado h h CG 12 4hI x = 6 3hWx = 12 hix = Retângulo b CG h CGx 12 3bhI CGx = 6 2hbWx ⋅= 12 hix = Triângulo CG b h x CG 36 3bhI CGx = 12 2hbWx ⋅= 6 2⋅= hix Círculo D CG x CG 64 4dI CGx π= 32 3DWx ⋅= π 4 Dix = Círculo vazado CG D d CG x ( ) 64 44 dDI CGx −= π ( ) 32 33 dDWx −= π 22 4 1 dDix += 29 Exemplo A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura, determinar: a) o centro de gravidade; b) o momento de inércia em relação ao eixo x; c) os módulos Resistentes superior e inferior; d) o raio de giração. (medidas em centímetros) x 2 5 1 3 2 CG 3 x CG y y sup inf 32 Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém montar a seguinte tabela: Figura b (cm) h (cm) yCG (cm) A (cm2) Mx (cm3) ICGi (cm4) Ixi (cm4) 1 3 2 6 6 36 2 218 2 2 7 3,5 4 49 57,17 228,67 3 3 2 6 6 36 2 218 Σ 26 121 664,67 Centro de gravidade (CG) cm A M y xCG 65,426 121 === ∑ ∑ Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf=4,65cm e ysup=2,35cm. Na coluna ICGi (cm4) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão 12/3hbI x ⋅= . Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para eixo x de referência para determinar a sua somatória. A translação de eixos é feita por meio da expressão: AyII CGx ⋅+= 2 Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte expressão: A MII xxCG 2 −= 26 12167,664 2 −=CGI O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é 455,101 cmICG = Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 3 sup sup, 21,4335,2 55,101 cm y IW CGx === 3 inf inf, 84,2165,4 55,101 cm y IW CGx === Finalmente, determina-se o raio de giração. A Ii CGx = cmix 98,126 55,101 == 30 Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo: a) área; b) centro de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em relação ao eixo x; c) momento de inércia em relação ao eixo x; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de giração. x 1 1 4 medidas em centímetros 1 8 y Respostas: A = 16 cm2 yCG = 4 cm Ix,CG = 141,33 cm4 Wsup = 35,33 cm3 Winf = 35,33 cm3 i = 2,97 cm xmedidas em centímetros 5 2 3 3 32 y Respostas: A = 86 cm2 yCG = 5,105 cm Ix,CG = 683,73 cm4 Wsup =139,67 cm3 Winf = 133,94 cm3 i = 2,82 cm x1 10 2 1 4 y medidas em centímetros Respostas: A = 25 cm2 yCG = 1,7 cm Ix,CG = 56,08 cm4 Wsup = 16,99 cm3 Winf = 32,99 cm3 i = 1,50 cm x 1 2,5 2,51 1 y 6 medidas em centímetros Respostas: A = 18 cm2 yCG =4,0 cm Ix,CG = 166 cm4 Wsup = Winf =41,5 cm3 i = 3,04 cm y 1,2 3,6 1,2 6 1, 2 medidas em centímetros x Respostas: A = 18,72 cm2 yCG = 3,0 cm Ix,CG = 43,72 cm4 Wsup = Winf = 14,57 cm3 i = 1,53 cm x medidas em centímetros y 1 1 1,5 3,5 1, 2 1, 2 3, 68 Respostas: A = 23,2 cm2 yCG = 4 cm Ix,CG = 179,06 cm4 Wsup = 44,76 cm3 Winf = 44,76 cm3 i = 2,78 cm 4. Flexão simples O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação da flexão. A flexão é classificada de acordo com dois critérios: 1. De acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção Com este critério a flexão pode ser: 1.1. Flexão Normal Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção. Na figura 4.1, o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos y e z. Nesta figura, o plano do momento contém o eixo y. Figura 4.1– Flexão Normal. 1.2. Flexão Oblíqua Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento. Na figura 4.2, o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de inércia da seção Figura 4.2 – Flexão Oblíqua. 2. De acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor. Com este critério a flexão pode ser: 2.1. Flexão Pura Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção. 33 2.2. Flexão Simples Quando, além do momento fletor, atua uma força cortante na seção. 2.3. Flexão Composta Quando, além do momento fletor, atua uma força normal na seção. Note-se que estes critérios são complementares. Assim, é possível existir uma flexão pura normal, uma flexão simples oblíqua, etc. 4.1 Estudo da Flexão simples No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de momento fletor e do esforço cortante. 4.1.1 Tensões internas devidas ao momento fletor Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx conhecido na seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se: Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de gravidade). Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana após a atuação deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição S’ após a atuação de Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte inferior da viga, observa-se que o seu alongamento é proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as tensões normais causadas por Mx nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o diagrama de tensões será: 34 De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos diversos pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as tensões normais são provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo x deve ser o próprio Mx. Logo: M = F d = σ A d No nosso caso temos: A A 2 Ax dAyccyydAydAM Como já sabemos que xA 2 IdAy , teremos: xA 2 x cIdAycM Portanto, a constante c será dada por: x x I M c Assim, a tensão normal será dada por: y I M x x = [Pa] Pode-se fazer também: x x W M = onde y I W x x = é chamado módulo de resistência à flexão [m3] 4.2. Projeto de vigas em relação às tensões de flexão O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor máximo; b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento; c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material; d) Calcular as dimensões da seção transversal. 4.3. Verificação de vigas Em um problema de verificação deve-se calcular o coeficiente de segurança seguindo os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor máximo; b) Calcular o coeficiente de segurança no ponto em pior situação na seção mais solicitada. 35 36 4.4 Exercícios resolvidos 1. Determine a tensão de flexão máxima na viga de seção do tipo I submetida à um carregamento distribuído como mostrado abaixo: a – Cálculo das reações de apoio ΣMB=0 RA . 6 – 30 . 3 = 0 RA = 15 kN b – Cálculo do momento máximo ΣM = 0 − 15 x + 5 x x/2 + M = 0 M = − 5 x2/2 + 15 x (kN.m) Mmax: dM / dx = 0 = - 5x + 15 x = 3m Mmax (3m) = = − 5 32/2 + 15 3 = 22,5 kN.m c – Cálculo do momento de inércia da seção Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 12 300.20 160.20.250 12 20.250 2Ix 3 2 3 Iz = 301,3 . 106 mm4 d – Cálculo da máxima tensão de flexão max x maxx max y I M = 170. 10.3,301 10.5,22 6 6 = 12,7 MPa Exemplo 2: Uma viga estrutural em aço do tipo T usada em balanço é carregada da forma mostrada na figura. Calcular a magnitude da carga P que provoca uma deformação longitudinal no ponto C de +527 x 10 –6 mm/mm (alongamento) e uma deformação 37 longitudinal no ponto D de -73 x 10 –6 mm/mm (encurtamento). (I = 2000cm4 e Eaço = 21 x 103 kgf/mm2) Por semelhança de triângulos: 25yy175 DC y = 43,25 mm ΣM = 0 M + P . 1,5 = 0 M = -1,5 P (kgf . m) CCC Ey I M 63 4 3 10.527.10.21)25,43175( 10.2000 10.25,1.P P = 1344 kgf 4.5 Exercícios propostos 1) Tem-se uma seção quadrada de lado ‘a’ e uma seção circular de raio R, ambas com mesma área. Qual possui maior resistência à flexão? 2) Uma viga de madeira, com seção transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e suporta uma carga concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo para cima. Determinar as máximas tensões de flexão numa seção a 2 m da extremidade livre. 38 3) Para o exercício anterior considere L = 6m e determine as tensões de flexão no engaste. 4) Calcule a altura da viga abaixo sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de 5 kN/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2. 5) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 N/cm², verifique a sua resistência à flexão. 6) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão admissível é de 150 MPa e Ix = 5140 cm 4 . 7) Determinar a seção transversal da viga abaixo (h = 2b). A viga será construída com material dúctil com tensão de escoamento igual a 4000 kgf/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2,5. 39 8) Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de escoamento de 25 kN/cm². 9) Utilizando a seção transversal do tipo T dada abaixo, verifique a viga considerando o carregamento dado no exercício anterior. Material frágil com tensão de ruptura à tração de 10kN/cm 2 e à compressão de 20kN/cm 2 . 10) Em relação ao exercício 8 determinar o alongamento na fibra mais tracionada e o encurtamento na fibramais comprimida sabendo – se que o material tem como módulo de elasticidade 21 x 103 kgf/mm2 5. Tensões de cisalhamento em vigas 5.1 – Preliminares Considere a seção transversal de uma viga carregada transversalmente por uma força cortante V como apresentado abaixo, Fig. 5.1. Figura 5.1 – Distribuição das tensões de cisalhamento numa seção transversal A existência de tensões horizontais de cisalhamento pode ser demonstrada através de um ensaio com barras retangulares iguais, sobrepostas e submetidas à flexão. Se não existir atrito entre as barras haverá deslizamento de uma em relação à outra. Figura 5.2 – Tensões de cisalhamento longitudinais 5.2 – Fórmula da tensão de cisalhamento em vigas Considere a viga carregada transversalmente como apresentado abaixo Para se obter a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da altura da viga, verifica-se o equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga (Fig 5.3). 40 Figura 5.3 – Tensões atuando num elemento de viga Sempre que existir uma força cortante diferente de zero, os momentos fletores que ocorrem nas diferentes faces de um segmento de viga com comprimento dx serão diferentes. Impondo o equilíbrio das forças atuando na direção axial x, tem-se: 0)dx.t(dAdA0F 'A ' 'Ax onde σ é a tensão normal atuando na seção transversal esquerda do elemento, σ’ é a tensão normal atuando na seção transversal direita do elemento, t é largura da seção no ponto onde se deseja determinar a tensão de cisalhamento e A’ é a área acima do ponto onde se deseja determinar a tensão de cisalhamento. Substituindo a expressão da tensão normal de flexão dada no item 4 temos: 0)dx.t(dA) I dMM (dA) I M ( 'A'A Simplificando a equação acima e considerando que o momento interno M e o momento de inércia I são constantes na seção: 0)dx.t(ydA I dM 'A Isolando a tensão de cisalhamento, tem-se: 'A ydAI.t 1 dx dM 41 Como V dx dM e 'A ydA é o momento estático da área A’ em relação ao eixo neutro (Q) então a tensão de cisalhamento em uma seção num ponto distante y’ do eixo neutro é determinada dada por: I.t Q.V Restrições da equação acima: Material trabalha dentro do regime elástico-linear Relação espessura/comprimento da viga pequena (hipótese fundamental da teoria de flexão) Módulo de elasticidade deve ser o mesmo em tração e em compressão 5.3 Distribuição da tensão de cisalhamento em vigas Considere a viga de seção transversal retangular de altura h e largura b, submetida à um esforço cortante V, Fig. 5.4: Figura 5.4 – Esforço cortante V atuando numa seção transversal O momento estático da área A’, Q, pode ser determinado como: by 2 h y 2 h 2 1 yAyQ ''''' Simplificando, temos by 4 h 2 1 Q 2' 2 Substituindo na expressão da tensão de cisalhamento os valores de Q e I b 12 h.b by 4 h 2 1 .V 3 2' 2 42 Simplificando temos 2' 2 3 y 4 h h.b V.6 Conclusões: A distribuição da tensão de cisalhamento é parabólica. A tensão de cisalhamento é nula nas extremidades ( h/2, - h/2). A tensão de cisalhamento é máxima no eixo neutro (y = 0) e é igual a: A V 2 3 em seções retangulares Figura 5.5 – Tensões de cisalhamento atuando em planos ortogonais Observação importante: Para o caso de um material anisotrópico como por exemplo a madeira, a viga se rompe ao longo do plano horizontal paralelo às fibras, passando pelo eixo neutro da seção. Figura 5.6 – Ruptura por cisalhamento em vigas de madeira Exemplo 1: A viga abaixo é composta de duas pranchas de madeira formando um perfil do tipo T. Determine a máxima tensão cisalhante. Resposta: 4,875 MPa 43 Exemplo 2: Plote a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de uma viga do tipo I com força cortante V = 80 kN. Resposta: 5.4 Fluxo de cisalhamento Ocasionalmente na engenharia, alguns membros são construídos a partir da união de diferentes partes para poderem resistir as cargas. Nestes casos, a união das diferentes partes do membro é feita através de cola, pregos, parafusos, etc. Para o projeto destes elementos é necessário o conhecimento da força que deve ser resistida por cada um destes elementos. Seja a viga com o carregamento abaixo, formada pela união de dois elementos: Figura 5.7 – Tensões atuando em elementos unidos por pregos, parafusos, etc. 44 Vimos anteriormente que 0)dx.t(ydA I dM 'A Logo: dF A )dx.t(ydA I dM ' A força de cisalhamento por unidade de comprimento pode ser obtida da forma: 'A ydAI 1 dx dM dx dF Como V dx dM e Q = 'A ydA , o fluxo de cisalhamento q é dado por: I Q.V q Exemplo 3: Determine a quantidade de pregos necessária para manter os elementos da viga abaixo de 3m de comprimento, unidos quando submetida a um cortante de 2 kN. A tensão admissível dos pregos de diâmetro d = 2 mm é adm = 225 MPa. a – Cálculo do momento de inércia I e do momento estático Q: 12 3150.65 2 12 190.150I 3 = 49175000 mm4 20.150.10 2 150'A.'yQ = 255000 mm3 b – Cálculo do fluxo de cisalhamento q: 49175000 255000.2000 I Q.V q = 10,37 N/mm c – Cálculo da força suportada por cada prego: 45 A V admP 4 22. V 225 V = P = 706,86 N d – Cálculo do espaçamento entre os pregos: 37,10 86,706 q P e 68,16 mm e – Cálculo do número de pregos 44 16,68 3000 np 5.7 Exercícios propostos 1) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na seção transversal para uma força cortante de 10 tf, sendo a seção constante ao longo da peça. Resposta em MPa. 2) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na viga T. Força cortante igual a 10 tf. Resposta em kPa. 3) Sabendo-se que as peças da viga de madeira abaixo são unidas por pregos espaçados a cada 2,5 cm e que a viga está submetida a uma força cortante de 500 N, determine a força cortante em cada prego. 46 47 4) Sabendo-se que na seção transversal dada abaixo atua uma força cortante de 3 kN e que a mesa é unida à alma através de pregos que suportam 700 N (carga admissível ao cisalhamento), pede-se o espaçamento entre os pregos. 5) Sabendo-se que os parafusos usados na viga abaixo apresentam uma força admissível ao cisalhamento de 2250 N, pede-se o espaçamento entre os parafusos.
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