Apostila Construções I - 2a parte

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 Revisão da 1a. parte 
1) Introdução - Esforços comuns 
Materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente se romperem) quando 
submetidos a solicitações mecânicas. A Resistência dos Materiais é um ramo da 
Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos construtivos 
sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para 
suportá-los nas condições previstas de utilização. 
 
 
Fig 1.1 
A Figura 1.1 dá formas gráficas aproximadas dos tipos de esforços mais comuns a que são 
submetidos os elementos construtivos. 
(a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da 
mesma. 
(b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução do elemento na direção da 
mesma. 
(c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma. 
(d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal 
tende a girar em relação às outras. 
(e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena 
em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra. 
Construções I
 2 
(f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um 
deslocamento linear entre seções transversais. 
Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. 
Em alguns casos há um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há 
outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente. 
2) Tensão normal e tensão transversal 
Seja, por exemplo, uma barra cilíndrica de seção transversal S submetida a uma força de 
tração F. É evidente que uma outra barra de seção transversal maior (por exemplo, 2A), 
submetida à mesma força F, trabalha em 
condições menos severas do que a 
primeira. Isto sugere a necessidade de 
definição de uma grandeza que tenha 
relação com força e área, de forma que os 
esforços possam ser comparados e 
caracterizados para os mais diversos 
materiais. 
Fig 2.1 
Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa 
superfície. Ou seja, tensão = força / área. 
Pela definição, a unidade de tensão tem a mesma dimensão de pressão mecânica e, no 
Sistema Internacional, a unidade básica é a mesma: Pascal (Pa) ou Newton por metro 
quadrado (N/m2). 
Na Figura 2.1 (a) uma barra de seção transversal S é tracionada por uma força F. Supondo 
uma distribuição uniforme de tensões no corte hipotético exibido, a tensão σ, transversal ao 
corte, é dada por: 
σ = F/A 
Observação: no caso de barras lisas tracionadas, as tensões se distribuem de modo 
uniforme se os pontos de aplicação das forças estão suficientemente distantes. Em outros 
casos, as tensões podem não ser uniformes e o resultado desta fórmula é um valor médio. 
 3 
Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na Figura 2.1 (b), é 
considerada uma seção hipotética, fazendo um ângulo α com a vertical, em uma barra 
tracionada por uma força F. E a força atuante nessa seção pode ser considerada como a 
soma vetorial da força normal (F cos α) e da força transversal (F sen α). 
Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes: 
Tensão normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo (σ). 
Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau 
minúsculo (). 
3) Tração e compressão: generalidades 
Consideramos, conforme Figura 3.1, uma barra redonda de diâmetro D e comprimento L na 
condição livre, isto é, sem aplicação de qualquer esforço. 
Se aplicada uma força de tração F, o comprimento aumenta para L1 (= L + ΔL) e o diâmetro 
diminui para D1. 
O alongamento (ou deformação 
longitudinal) ε da barra é a relação 
entre a variação de comprimento e o 
comprimento inicial: 
ε = ΔL / L (adimensional). 
Fig 3.1 
Ou em termos percentuais: ε = 100 ΔL / L 
Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma redução do diâmetro, chamada 
contração transversal, dada por: εt = (D - D1) / D 
A relação entre a contração transversal e o alongamento é dita coeficiente de Poisson µ: 
µ = εt / ε. Valores típicos de µ para metais estão na faixa de 0,20 a 0,40. 
 
 4 
Os ensaios de tração determinam graficamente a relação entre a tensão aplicada e o 
alongamento em uma amostra de determinado material. 
A Figura 3.2 (a) dá a curva aproximada para um aço estrutural típico. 
Existe um valor limite de tensão até o qual a 
tensão aplicada é proporcional à deformação: 
σ = E ε. 
 
Fig 3.2 
Esta igualdade é chamada Lei de Hooke e o fator de proporcionalidade E é dito módulo 
de elasticidade do material (desde que ε é uma grandeza adimensional, ele tem a mesma 
unidade da tensão). O módulo de elasticidade também é conhecido por módulo de Young 
(homenagem ao cientista inglês Thomas Young). 
Obs: para compressão, podemos considerar a mesma lei, considerando a tensão com sinal 
contrário (até, é claro, o valor absoluto igual ao limite de proporcionalidade). Entretanto, 
alguns materiais exibem valores de E diferentes para tração e compressão. Nesses casos, 
podemos usar as notações Et e Ec para a distinção. 
Voltando à Figura 3.2 (a), σp é o limite de proporcionalidade do material, isto é, tensão 
abaixo da qual o material se comporta segundo a lei de Hooke. 
A tensão σe é a tensão de escoamento, ou seja, o material entra na região plástica e as 
deformações são permanentes. σb é a tensão máxima e σr é a tensão de ruptura. 
Em materiais pouco dúcteis como ferro fundido, esses limites não ocorrem e uma curva 
típica é parecida com a Figura 3.2 (b). 
Em geral, para fins de dimensionamento, no caso de materiais dúcteis considera-se a 
tensão admissível igual à tensão de escoamento dividida por um coeficiente de segurança. 
No caso de materiais frágeis, a tensão de escoamento não é definida e é usada a de 
ruptura dividida pelo coeficiente de segurança. 
 5 
NOTA: Uma propriedade bastante usada no estudo de materiais é a ductilidade. É em 
geral uma característica não definida numericamente. Quanto mais dúctil um material, 
maior a deformação de ruptura (εr). Isto significa que um material dúctil pode ser, por 
exemplo, trefilado com mais facilidade. Alguns autores consideram dúctil o material com 
deformação de ruptura acima de 0,05. O contrário da ductilidade é a fragilidade. 
4) Tensão devido à dilatação linear 
Se, conforme Figura 4.1 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura 
t for submetida a uma variação (positiva neste caso) de temperatura Δt, a variação do seu 
comprimento é dada por: 
ΔL = L α Δt. Onde  é o coeficiente de dilatação 
linear do material da barra. 
 
Fig 4.1 
Uma simples análise dimensional da fórmula acima permite concluir que a unidade de  no 
Sistema Internacional é 1/K ou 1/°C, uma vez que variações unitárias de graus Kelvin e 
Celsius são idênticas. 
Se a barra é impedida de dilatar, conforme Figura 4.1 (b), ela será submetida a uma força 
de compressão, por conseqüência, tensão de compressão. 
Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, podemos usar a 
equação para determinar a tensão (neste caso, é claro, o esforço é de compressão e não 
de tração): 
σ = E ε = E ΔL / L. Substituindo ΔL: σ = E α Δt. 
5) Tensão admissível e coeficiente de segurança 
Os gráficos da Figura 3.2 são curvas típicas aproximadas de tensão x deformação de 
materiais dúcteis (a) e frágeis (b). 
 6 
Os materiais frágeis não apresentam limite definido (σe) para as regiões elástica e plástica. 
Assim, para efeito de dimensionamento, usa-se a tensão de ruptura (σr). Para os materiais 
dúcteis, usa-sea tensão de escoamento σe. 
Coeficientes de segurança são usados para prevenir incertezas quanto a propriedades dos 
materiais, esforços aplicados, variações, etc. 
No caso de peças tracionadas, é usual o conceito da tensão admissível dada por: 
σadm = σe / c para materiais dúcteis. 
σadm = σr / c para materiais frágeis. 
Onde c é o coeficiente de segurança. 
A escolha do coeficiente de segurança é uma tarefa de responsabilidade. Valores muito 
altos significam em geral custos desnecessários e valores baixos podem levar a falhas de 
graves conseqüências. 
A tabela abaixo dá alguns critérios genéricos para coeficientes de segurança. 
Coeficiente Carregamento Tensão no material 
Propriedades do 
material 
Ambiente 
1,2 - 1,5 
Exatamente 
conhecido 
Exatamente 
conhecida 
Exatamente 
conhecidas 
Totalmente sob 
controle 
1,5 - 2,0 Bem conhecido Bem conhecida 
Exatamente 
conhecidas 
Estável 
2,0 - 2,5 Bem conhecido Bem conhecida 
Razoavelmente 
conhecidas 
Normal 
2,5 - 3,0 
Razoavelmente 
conhecido 
Razoavelmente 
conhecida 
Ensaiadas 
aleatoriamente 
Normal 
3,0 - 4,0 
Razoavelmente 
conhecido 
Razoavelmente 
conhecida 
Não ensaiadas Normal 
4,0 - 5,0 Pouco conhecido Pouco conhecida Não ensaiadas Variável 
 7 
Os dados da tabela são genéricos e muitas vezes subjetivos. Não devem ser usados em 
aplicações críticas e/ou de elevada responsabilidade. Nestes casos, informações devem 
ser obtidas em literatura ou fontes especializadas, normas técnicas, etc. 
6) Deformação por cisalhamento 
Se um material sofre um esforço de cisalhamento puro conforme Figura 1.1 (a), ele se 
deforma conforme (b) da mesma figura. 
Na região elástica, o ângulo de distorção γ e a tensão τ são proporcionais: 
τ = G γ. 
O coeficiente G é denominado módulo de 
elasticidade transversal ou módulo de rigidez 
do material. 
 
Fig 5.1 
A relação com entre o módulo de elasticidade E e o módulo ou coeficiente de Poisson µ é 
dada por: 
G = E / [ 2 (1 + µ) ]. 
Para uma barra de seção transversal S constante, submetida a uma força cisalhante F e 
sem considerar a deformação por flexão, temos o ângulo γ aproximadamente igual a y/L 
para pequenas deformações (Figura 5.2). 
Assim temos τ = F/A = G γ ≈ G y/L. 
Rearranjando a igualdade, y ≈ F L / (G S) 
 
Fig 5.2 
 
 
 8 
 
1 –
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES EXTERNAS
 
As reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver 
para manter em equilíbrio estático uma estrutura.
 
Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e 
só podemos restringir 1 GL mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) na 
direção deste movimento.
 
Desta maneira, cada movimento restringido corresponde à 1 reação vincular (incógnita), 
que deve ser determinada.
 
 
1.1 –
 
Tipos de suportes (ou apoios ou vínculos)
 
a) Articulação: (Resiste à uma força em apenas uma direção)
 
 
b) Rolete: (Resiste à uma força em apenas uma direção) 
 
c) Pino: (Resiste à uma força que age em qualquer direção) 
 
d) Engastamento: (Resiste à uma força que age em qualquer direção e à um momento) 
 
Parte II - Estática
 9 
1.2 – Tipos de carregamentos 
a) Forças concentradas 
 
b) Carga uniforme distribuída 
 
Observação: Para o cálculo das reações de apoio, a carga uniforme distribuída (q) é 
substituída por uma força concentrada equivalente W igual a área da figura 
geométrica da carga e que passa pelo seu centroide: W = q . L 
 
c) Carga uniformemente variável 
 
d) Momento concentrado 
 
 
 
q (kN/m) 
q (kN/m) 
 10 
L1 L2 L3 
1.3 – Classificação de vigas 
a) Simplesmente apoiadas 
 
 
 
b) Bi-engastada (fixa) 
 
c) Engastada- Apoiada 
 
d) Em balanço 
 
e) Com balanço nas extremidades 
 
 
 
 
d) Contínua (mais de 1 vão) 
 
 
q (kN/m) 
q (kN/m) 
q (kN/m) q (kN/m) q (kN/m) 
q (kN/m) 
q (kN/m) 
 11 
e) Vigas Gerber 
 
 
 
 
1.4 – Cálculo das reações em vigas isostáticas simples 
Uma estrutura isostática é classificada como simples quando possui apenas um elemento e 
somente vínculos externos. 
A fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: 
Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vínculos externos 
pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para 
cada esforço. 
Para que o corpo mantenha-se em equilíbrio estático é necessário que as 3 equações da 
estática sejam satisfeitas. 
ΣFx = 0 
ΣFy = 0 
ΣMz = 0 
OBS 1 : As cargas distribuídas devem ser substituídas por suas respectivas 
resultantes (este artifício é válido somente para o cálculo das reações 
externas). 
OBS 2 : Como escolhemos direções de referência (x e y) as cargas que não 
estiverem nestas direções devem ser decompostas nestas direções, ou seja, 
substituídas por um sistema equivalente. 
OBS 3 : Resolvido o sistema de equações, as reações que resultarem 
negativas devem ter o seu sentido invertido. 
 
Exemplo: Calcular as reações nos 
apoios da viga. Desprezar o peso da 
viga. 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 
 
 12 
 ΣFx = 0  RAx = 0 
ΣMA = 0  200 + 100 . 1+160 . 1,5 – RB . 2 = 0  RB = 270 kgf 
 ΣFy = 0  RAy - 100 - 160 + 270 = 0  RAy = - 10 kgf 
 
Verificação: 
ΣMB = 0  - 10 . 2 + 200 - 100 . 1-160 . 0,5 = 0 OK 
 
1.4 – Cálculo das reações em vigas isostáticas compostas 
São estruturas constituídas por elementos ligados entre si por rótulas que formam um 
conjunto estável. 
Rótulas são articulações internas que não absorvem momento, portanto para que uma 
rótula esteja em equilíbrio a soma dos momentos em relação a ela deve ser nula. 
Então, além das equações fundamentais da estática surge uma nova condição que nos 
leva a equações auxiliares de equilíbrio: soma dos momentos à esquerda e à direita de 
uma rótula deve ser zero. 
ΣMr à esquerda = 0 e ΣMr à direita = 0 
 
A viga Gerber se constitui num caso particular de estruturas compostas. Consta de uma 
associação de vigas com estabilidade própria, com outras sem estabilidade própria, 
apoiadas sobre as primeiras, dando estabilidade ao conjunto. A interligação entre as partes 
se dá por intermédio das articulações (rótulas). 
Nesta associação, as vigas com estabilidade própria suprem as outras dos vínculos que 
lhes faltam, ficando o conjunto estável, portanto, às primeiras são acrescidas de cargas que 
lhes são transmitidas pelas rótulas. 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Articulações em vigas de madeira 
(b) Articulações em pontes 
 13 
Observação: Nenhum momento é transmitido por uma junta articulada. Apenas as forças 
horizontais e verticais são transmitidas. 
 
Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 
 
2 – DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS 
2.1 – Método das seções 
O método das seções estabelece procedimentos para a determinação dos esforços 
internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equilíbrio das partes de um corpo 
é utilizado quando o corpo com um todo está em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Esforços internos em vigas: V é a força cortante, N é a força normal e M é o 
momento fletor. 
N 
N 
q1 q2 
q1 q2 
 14 
2.1.1 – Força cortante nas vigas (V) 
A força cortante V, perpendicular ao eixo da viga, deve ser introduzida na seção A-A para 
satisfazer a equação de equilíbrio ΣFy = 0, ou seja, a força cortante é a força que é 
introduzida na seçãocortada para equilibrar as forças atuantes até a seção que sejam 
perpendiculares ao eixo longitudinal da viga. 
A força cortante é definida positiva quando o binário formado pelo ΣFy e a força cortante V 
girar a seção no sentido horário. 
 
 
 
Figura 2.2 – Força cortante 
 
2.1.2 – Força normal (axial) nas vigas (N) 
A força normal (axial) N, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centróide da seção, 
deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio ΣFx = 0 
A força normal (axial) é definida positiva ou de tração quando agir de dentro para fora da 
seção e negativa ou de compressão em caso contrário. 
 
Figura 2.3 – Força normal 
2.1.3 – Momento fletor (M) 
O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que contêm a 
viga, deve ser introduzido na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio ΣMz = 0. 
O momento fletor é definido positivo quando tracionar a parte interior da viga e comprimir a 
parte superior da viga, e negativo em caso contrário. 
 
 
Figura 2.4 – Momento fletor 
 
2.1.4 – Diagramas de forças cortante e axial e do momento fletor 
 
 +V ΣFy 
+N ΣFx 
ΣMz 
 15 
Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a evolução das forças 
cortante e axial e do momento fletor ao longo da viga, respectivamente. 
Exemplo 2.1: Traçar os diagramas de forças cortante, força axial e de momento fletor para 
a viga abaixo, sujeita à força inclinada de P = 5 kN . Desprezar o peso da viga. 
 
a - Determinar as reações de apoio. 
Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 
 
 
ΣFx = 0  RAx – 3 = 0  RAx = 3 kN 
ΣMB = 0  RAy .10 – 4 . 5 = 0  RAy = 2 kN 
Σ Fy = 0  2 – 4 + RB = 0  RB = 2 kN 
Verificação: 
ΣMA = 4 . 5 – 2 . 10 = 0 (OK) 
b - Determinar as forças cortante e axial e o 
momento fletor em seções entre duas forças 
concentradas. 
Seção c-c (0<x<5): 
OBS: Ao indicarmos o sentido dos esforços 
equilibrantes na seção considerada (hipótese, 
está em verde), ainda não sabemos se essas 
direções serão as corretas, ou seja, se nossa 
hipótese está correta. Caso o valor algébrico do esforço procurado seja negativo, isso 
significa que o seu sentido deverá ser invertido, conforme veremos a seguir. 
 
ΣFx = N + 3 = 0  N = -3 kN, ou seja, o sentido de N não é para fora como foi indicado na 
hipótese inicial e sim para dentro da seção, logo a normal para qualquer valor x<5m, será 
sempre negativa. 
ΣFy = + 2 + V = 0  V = -2 kN, ou seja, a direção de V não é para cima como foi indicado 
na hipótese inicial e sim para baixo, logo, o ΣFy (que é +2 kN para cima) com o V para 
N 
5 kN 
4 kN 
3kN 
4 kN 
3kN 
2 kN 
 
3 kN 
 
3 kN 
 
2 kN 
 
2 kN 
 
 16 
baixo, formam um binário no sentido horário e daí o cortante para qualquer valor x<5m, 
será sempre positivo. 
.ΣMC = +2 . x - M = 0  M = 2 x (kN.m), ou seja, será mantido o sentido arbitrado para o 
momento fletor. Como o conjunto ΣMC (que é +2x), ou seja, tem o sentido horário, com o M 
que tem o sentido anti-horário, tendem a tracionar as fibras inferiores da viga e, portanto, o 
momento fletor na seção, para qualquer valor x<5m, será sempre positivo. 
 
Seção d-d (5 < x < 10), mas analisando a parte da direita da viga: 
 
ΣFx = 0  N = 0 
Σ Fy = + 2 – V = 0  V = 2 kN, ou seja, a direção de 
V é para baixo, confirmando a hipótese logo, o ΣFy 
(que é = +2 kN) com o V para baixo, formam um 
binário no sentido anti-horário e daí o cortante para 
qualquer valor 5 < x < 10, será sempre negativo. 
 
ΣMD = + 2 . (10 – x) – M = 0  M = 20 - 2 x (kN.m), ou seja, será mantido o sentido 
arbitrado para o momento fletor. Como o conjunto ΣMC (que é 20 - 2 x), que tem o sentido 
anti-horário com o M que tem o sentido horário, tendem a tracionar as fibras inferiores da 
viga e, portanto, o momento fletor na seção, para qualquer valor 5 < x < 10m, será sempre 
positivo. 
 
c - Traçar os diagramas de força cortante, força normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+2 t 
-2 t 
-3t 
+ 
10 t.m Momento fletor (kN.m) 
N 
4 kN 
 
2 kN 
 
3 kN 
 3 kN 
 
2 kN 
 
4 kN 
3kN 
3 kN 
 
2 kN 
 2 kN 
 
3 kN 
 
(kN) 
 
(kN) 
 
2 kN 
 
10 kN.m 
 
2 kN 
 
2 kN 
 
 17 
 
Conclusões Importantes: 
 Ponto de força concentrada vertical  Discontinuidade no diagrama de força 
cortante igual a força concentrada vertical. 
 Ponto de força concentrada axial  Discontinuidade no diagrama de força axial igual 
a força concentrada axial. 
 
Exemplo 2.2: Traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga 
apresentada abaixo, sujeita à uma força distribuída e a um momento concentrado. 
 
 
a - Determinar as reações nos apoios (D.C.L.): 
ΣFx = 0  RAx = 0 
Σ Fy = 0  - 4 + 3 + RBy = 0  RBy = 1 kN 
ΣMB = 0  - 4 . 5 + RA .4 + 8 = 0  RA = 3 kN 
 
Verificação: 
ΣMA = - 4 . 1 + 8 - 1 . 4 = 0 (OK) 
2 - Determinar as forças cortantes e o momento fletor em seções entre forças e momentos 
concentrados e ao longo de uma carga distribuída. 
Seção c-c (0 < x < 2): 
 
ΣFx = N  N = 0 
Σ Fy = -2 . x + V = 0  V = 2 x (kN), ou seja, a 
direção de V é para cima conforme hipótese, 
logo, o ΣFy (que é -2 kN, ou seja, para baixo) 
com o V para cima, formam um binário no 
sentido anti-horário e daí o cortante para 
qualquer valor x<2m, será sempre negativo e 
igual a 2x para cada x. 
 
ΣMC = -2 . x . x / 2 - M = 0  M = - x
2
 (kN.m), 
ou seja, o momento fletor tem o sentido 
contrário ao da hipótese, ou seja, tem o sentido horário. Como o conjunto ΣMC (que tem 
como valor x2 no sentido anti-horário), com o M que tem o sentido horário, tendem a 
tracionar as fibras superiores da viga e, portanto, o momento fletor na seção, para qualquer 
valor x < 2m, será sempre negativo e o gráfico terá a forma de uma parábola do 2º. grau. 
 
N 
3 kN 
 
q = 2 kN/m 
 M = 8 kN.m 
 
8 kN.m 
 
4 kN 
 2 kN/m 
 
8 kN.m 
 
2 kN/m 
 
1 kN 
 
 18 
Seção d-d (2 < x < 4): 
 
ΣFx = N  N = 0 
Σ Fy = - 4 + 3 +V = 0  V = 1 (kN), ou seja, a 
direção de V é para cima conforme hipótese, 
logo, o ΣFy (que é -1 kN, ou seja, para baixo) 
com o V para cima, formam um binário no 
sentido anti-horário e daí o cortante para 
qualquer valor 2 < x < 4, será sempre negativo 
e igual a 1kN. 
ΣMD = -4 . (x – 1) + 3 . (x – 2) – M = 0  M = -x – 2 (kN.m). Como x > 2, então o valor de M 
será algebricamente sempre negativo, ou seja, a hipótese do sentido do momento fletor ser 
anti-horária não se confirmou, dessa forma o momento fletor para seções para os quais 2 < 
x < 4 será sempre negativo. 
 
Seção e-e (4 < x < 6) mas analisando a parte da direita da viga: 
 
 
ΣFx = N  N = 0 
Σ Fy = + 1 – V = 0  V = 1 (kN), ou 
seja, a direção de V é para baixo 
conforme hipótese, logo, o ΣFy (que é 
+1 kN, ou seja, para cima) com o V 
para baixo, formam um binário no 
sentido anti-horário e daí o cortante 
para qualquer valor 4 < x < 6, será sempre negativo e igual a 1kN. 
 
ΣME = 1 . (6 – x) – M = 0  M = - x + 6 (kN.m). Como x < 6, então o valor de M será 
algebricamente sempre posivo, ou seja, a hipótese do sentido do momento fletor ser 
horária deverá ser mantida, dessa forma o momento fletor para seções para os quais 4 < x 
< 6 será sempre positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 kN.m 
 
2 kN/m 
 
1 kN 
 
3 kN 
 4 kN 
 
8 kN.m 
 
2 kN/m 
 
3 kN 
 
1 kN 
 
3 kN 
 
N 
N 
1 kN 
 
3 kN 
 
 19 
 
 
c -Traçar os diagramas deforça cortante e do momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão Importante (além das anteriores): 
 Ponto de momento concentrado  Descontinuidade no diagrama de momento fletor 
igual ao momento concentrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
6 
2 
- 
- 
+ 
8 kN.m 
 
2 kN/m 
 
3 kN 
 
1 kN 
 
(kN) 
 
(kN.m) 
 
 
 CARACTERÍSTICAS3 GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 
 
 O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
 A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada 
barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado 
de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção 
transversal. 
 
h
b
L
 seção
longitudinal
h
L
 seção
transversal
b
h
 
Figura 5.1 Barra prismática 
 
 As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
3.1 Área 
 A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para 
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela 
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
 A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). 
 A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e 
das tensões de transversais ou de corte. 
 
 
 
20
 
3.2 Momento Estático 
 Analogamente à definição de 
momento de uma força em relação a um 
eixo qualquer, defini-se Momento Estático 
(M) de um elemento de superfície como o 
produto da área do elemento pela distância 
que o separa de um eixo de referência. 
dAyM x ⋅= e dAxM y ⋅= 
x
y
x
y
dA
 
 Momento Estático de uma 
superfície plana é definido como a 
somatória de todos os momentos estáticos 
dos elementos de superfície que formam a 
superfície total. 
∫=
A
x ydAM e ∫=
A
y xdAM 
A
x
y
x
y
dA
 
 A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2 = [L]3. 
 O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
 O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a 
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo 
A
3CG
y
3A
A 1
1
CG
2
CGy3CG
y
2CG
2
1CG
x
xxxx
CGx
CGx
CGx
MMMM
AyM
AyM
AyM
,3,2,1
33,3
22,2
11,1
++=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
Elemento vazado 
1
2
 
xxx MMM ,2,1 −= 
 
 
21
 
3.3 Centro de Gravidade 
 Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de 
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o 
peso do corpo. 
 Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação 
ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as 
resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro 
de Gravidade (CG). 
 Portanto, atração exercida pela 
Terra sobre um corpo rígido pode ser 
representada por uma única força P. Esta 
força, chamada peso do corpo, é aplicada 
no seu baricentro, ou cento de gravidade 
(CG). O centro de gravidade pode 
localizar-se dentro ou fora da superfície. 
 O centro de gravidade de uma 
superfície plana é, por definição, o ponto 
de coordenadas: 
CG
y
x CG
x
y CG
 
∫ ⋅==
A
y
CG dAxAA
M
x 1 ∫ ⋅==
A
x
CG dAyAA
My 1 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso 
por: 
x
1Ax 1
y1
y n
y
x n
A n
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
xA
x
1
1 
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
yA
y
1
1 
 
22
 
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
retângulo 
h
b
CG
y
CGx
x
y CG
 
2
bxCG = 
 
2
hyCG = 
triângulo 
h
y
CG
x
CGy
x CG
b 
3
bxCG = 
3
hyCG = 
círculo 
x
CG
y
 
 
0=CGx 
 
0=CGy 
Semicírculo 
CG 3
r r
___4Rπ
 
π3
4ryCG = 
¼ de círculo 
___4R
3
r
π
CG 3
___4Rπ
 
π3
4rxCG = 
 
π3
4ryCG = 
trapézio 
h
CG
y
2
h 1
x 
ba
bahh +
+⋅= 2
31
 
 
ba
bahh +
+⋅= 2
32
 
22
 
Exemplos 
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo 
em relação ao eixo x que passa pela sua base. 
Área do retângulo hbA ⋅= 
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo 
x é somatória do produto de cada elemento de área dA 
pela sua distância em relação ao eixo x. 
dy
h
b
dA
x
 
Momento Estático 
dybdA ⋅= 
∫∫ ⋅⋅=⋅=
h
A
x dybydAyM
0
 
2
0
22
2
0
2 ⋅−⋅=

 ⋅= bhbybM
h
x 2
2hbM x
⋅= 
Centro de Gravidade 
2
2
2
h
hb
hb
A
My xCG =⋅
⋅
== 
2
hyCG = 
 
2. Determinar o CG da Figura. 
(medidas em centímetros) 
( ) ( ) ( )
2
321
84
3446158
cmA
A
AAAA
=
×−×−×=
−−=
 
2
2 4
3
2
6
2
15
1
2
3
y C
G
2 x
3
= 
3,
5
1
= 
7,
5
C
G
y
y
= 
10
2
C
G
 
 
( )
( )
( )
3
,3,2,1
3
33,3
3
22,2
3
11,1
61842240900
42435,3
2404610
9001585,7
cmMMMM
cmAyM
cmAyM
cmAyM
xxxx
CGx
CGx
CGx
=−−=−−=
=××=⋅=
=××=⋅=
=××=⋅=
 
cm
cm
cm
A
My xCG 36,784
618
2
3
=== 
23
 
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
12
x CG8
33
2
1 3
9
5,
69
( )
( )
2
21
2
2
2
1
87
933
96812
cmAAA
cmA
cmA
=−=
=×=
=×=
 
 
3
,2,1
3
,2
3
,1
495
81339
5761286
cmMMM
cmM
cmM
xxx
x
x
=−=
=××=
=××=
 
 
cm
cm
cm
A
My xCG 69,587
576
2
3
=== 
 
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). 
x
y
3 3
6
4 2
3
4
5,
15
 
 
 A Figura 
hachurada pode ser o 
resultado de um 
retangulo (12×6) cm 
do qual foram retirados 
um triângulo e um 
semicírculo. 
 
Área da figura 
( ) ( )[ ] ( )
2
22
72,53
72,565,0635,0612
cmA
cmrA
AAAA SCTR
=
=××−××−×=
−−=
π 
Momento Estático 
3
, 2163612 cmM xR =××= 
3
, 36635,04 cmM xT =×××= 
32
, 37,323
24625,0 cmM xSC =

 ×−×= ππ 
3
,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =−−= 
Coordenada yCG do centro de gravidade 
A
My xCG = cmyCG 6,272,56
63,147 == 
 
24
 
Analogamente, determina-se a coordenada xCG. 
x
y
6
3 3 4 2
1
86
 
3
,,,
3
2
,
3
,
3
,
73,372
26,50
2
28
9
2
631
4326126
cmMMMM
cmM
cmM
cmM
ySCyTyRy
ySC
yT
yR
=−−=
=××=
=××=
=××=
π 
 
Coordenada xCG do centro de gravidade 
A
M
x yCG = cmxCG 57,672,56
73,372 == 
 
3.4 Momento de Inércia 
 O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é 
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a 
superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
A
x
y
x
y
dA
 
∫
∫
=
=
Ay
Ax
dAxI
dAyI
2
2
 
 A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 . 
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a 
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma 
peça, maior a sua resistência. 
25
 
Propriedade: 
O momento de inércia total de uma 
superfície é a somatória dos momentos de 
inércia das figuras que a compõe. 
xxxx IIII ,3,2,1 ++= 
A 3 CG 3
A
CG
A
CG 1
2
2
1
 
 
Exemplo 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa 
pelo CG. (medidas em centímetros) 
3
8
4
4
6
6
x CG
 
12
3hbI
CGx
⋅= 
 
( )33 83128
12
1 ×−×=
CGx
I 
 
4024.1 cmI
CGx
= 
 
3.5 Translação de eixos 
 O momento de inércia de uma 
superfície em relação a um eixo qualquer 
é igual ao momento de inércia em relação 
ao eixo que passa pelo seu centro de 
gravidade, acrescido do produto da área 
(A) pelo quadrado da distância que separa 
os dois eixos. 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 2CGyy xAII CG ⋅+= 
onde: 
y y
x CG
CG
CG
x
y CG
CG
x
 
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
CGx
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. 
CGy
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. 
CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . 
CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . 
26
 
 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que 
estão sujeitas as peças submetidas à flexão. 
 As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: 
AyM x ⋅= → 222 AyM x ⋅= → 2
2
2
A
My x= 
 
 
A
MII xxx CG
2
+= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= → AA
MII xxx CG ⋅+= 2
2
 ⇒ 
 
A
MII xxxCG
2
−= 
 
Exemplo: 
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: 
a) x, passando pela base inferior. 
b) CGx , passando pelo CG. 
a) 
 
x
h
b
dy
dA=b.dy
 
 
∫= Ax dAyI 2 
 
∫ 

 ⋅==
h h
x
ybbdyyI
0 0
3
2
3
 → 
3
3hbIx
⋅= 
b) 
h/2
-h/2
x
b
CG
h/2
+h/2
 
 
dAyI
AxCG ∫= 2 
 
 
2
2
32
2
2
3
h
h
h
h
x
hbbdyyI
CG
−−


 ⋅== ∫ 
 



 

−−

⋅=
33
223
hhbI
CGx 
 


 +⋅=
883
33 hhbI
CGx
 
 
128
2
3
33 hbhbI
CGx
⋅=⋅= 
 
27
 
Utilizando a formulação de mudança de eixos 
x
CG
h/2
h
h/2
CG
x
b 
Momento de inércia do retângulo em 
relação ao seu CG → 
12
3
,
hbI CGx
⋅= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 
23
212


⋅+⋅= hbhhbI x 
12
3
412
3333 bhbhhbhbI x
⋅+=⋅+⋅= 
312
4 33 hbIhbI xx
⋅=⇒⋅= 
 
3.6 Módulo Resistente 
 Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que 
contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa 
pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada. 
x
ysup
yinf
x esq x dir
CG
y
 
maxy
IW CGx = 
 
maxx
IW CGy = 
onde: 
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
 A unidade do módulo resistente é [ ][ ] [ ]3
4
L
L
L = . 
 O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à 
flexão. 
 
Para o retângulo, tem-se: 
h/2
b
CG
h/2
 
12
3hbI x
⋅= hbA ⋅= 
6
2
12
2
12
23
3
hb
h
hb
h
hb
Wx
⋅=⋅⋅=
⋅
= 
 
28
 
3.7 Raio de Giração 
 Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento 
de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de 
giração é utilizado para o estudo da flambagem. 
A
Ii = cm
cm
cm =2
4
 
Características Geométricas de algumas figuras conhecidas 
Figura Momento de Inércia 
Momento 
Resistente Raio de Giração 
Quadrado 
 h
h
CG
 
12
4hI x = 6
3hWx = 12
hix = 
Retângulo 
b
CG
h
CGx
 
12
3bhI
CGx = 6
2hbWx
⋅= 
12
hix = 
Triângulo 
CG
b
h
x CG
 
36
3bhI
CGx
= 
12
2hbWx
⋅= 
6
2⋅= hix 
Círculo 
D
CG
x CG
 
64
4dI
CGx
π= 32
3DWx
⋅= π 
4
Dix = 
Círculo vazado 
CG
D d
CG
x
 
 
( )
64
44 dDI
CGx
−= π
 
( )
32
33 dDWx
−= π 22
4
1 dDix += 
 
29
 
Exemplo 
A figura representa a seção transversal de 
uma viga “T”. Para a figura, determinar: 
a) o centro de gravidade; 
b) o momento de inércia em relação ao 
eixo x; 
c) os módulos Resistentes superior e 
inferior; 
d) o raio de giração. 
(medidas em centímetros) 
x
2
5
1
3
2
CG
3
x CG
y
y
sup
inf
32
 
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém 
montar a seguinte tabela: 
 
Figura b (cm) h (cm) yCG (cm) A (cm2) Mx (cm3) ICGi (cm4) Ixi (cm4) 
1 3 2 6 6 36 2 218 
2 2 7 3,5 4 49 57,17 228,67 
3 3 2 6 6 36 2 218 
Σ 26 121 664,67 
 
Centro de gravidade (CG) 
cm
A
M
y xCG 65,426
121 === ∑
∑ 
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf=4,65cm e ysup=2,35cm. 
Na coluna ICGi (cm4) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo 
respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão 
12/3hbI x ⋅= . Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para 
eixo x de referência para determinar a sua somatória. 
A translação de eixos é feita por meio da expressão: AyII CGx ⋅+= 2 
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à 
translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte 
expressão: 
A
MII xxCG
2
−= 
26
12167,664
2
−=CGI 
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é 455,101 cmICG = 
Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 
3
sup
sup, 21,4335,2
55,101 cm
y
IW CGx === 3
inf
inf, 84,2165,4
55,101 cm
y
IW CGx === 
Finalmente, determina-se o raio de giração. 
A
Ii CGx = cmix 98,126
55,101 == 
30
 
Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo: a) área; b) centro 
de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em relação ao eixo x; c) momento de 
inércia em relação ao eixo x; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de giração. 
x
1
1 4
medidas em centímetros
1
8
y
 
Respostas: 
 
A = 16 cm2 yCG = 4 cm 
Ix,CG = 141,33 cm4 
Wsup = 35,33 cm3 Winf = 35,33 cm3 
i = 2,97 cm 
xmedidas em centímetros
5
2
3
3 32
y
 
Respostas: 
 
A = 86 cm2 yCG = 5,105 cm 
Ix,CG = 683,73 cm4 
Wsup =139,67 cm3 Winf = 133,94 cm3 
i = 2,82 cm 
x1 10 2
1
4
y
medidas em centímetros 
Respostas: 
A = 25 cm2 yCG = 1,7 cm 
Ix,CG = 56,08 cm4 
Wsup = 16,99 cm3 Winf = 32,99 cm3 
i = 1,50 cm 
x
1
2,5 2,51
1
y
6
medidas em centímetros 
Respostas: 
 
A = 18 cm2 yCG =4,0 cm 
Ix,CG = 166 cm4 
Wsup = Winf =41,5 cm3 
i = 3,04 cm 
y
1,2 3,6 1,2
6 1,
2
medidas em centímetros
x
 
Respostas: 
 
A = 18,72 cm2 yCG = 3,0 cm 
Ix,CG = 43,72 cm4 
Wsup = Winf = 14,57 cm3 
i = 1,53 cm 
x
medidas em centímetros
y
1
1
1,5 3,5
1,
2
1,
2
3,
68
 
Respostas: 
 
A = 23,2 cm2 yCG = 4 cm 
Ix,CG = 179,06 cm4 
Wsup = 44,76 cm3 Winf = 44,76 cm3 
i = 2,78 cm 
 
4. Flexão simples 
O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação da flexão. A flexão é 
classificada de acordo com dois critérios: 
1. De acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central 
de inércia da seção 
Com este critério a flexão pode ser: 
1.1. Flexão Normal 
Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção. 
Na figura 4.1, o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos y e z. Nesta 
figura, o plano do momento contém o eixo y. 
 
Figura 4.1– Flexão Normal. 
 
1.2. Flexão Oblíqua 
Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do 
momento. 
Na figura 4.2, o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de 
inércia da seção 
 
Figura 4.2 – Flexão Oblíqua. 
 
2. De acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor. 
Com este critério a flexão pode ser: 
2.1. Flexão Pura 
Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção. 
33
 
2.2. Flexão Simples 
Quando, além do momento fletor, atua uma força cortante na seção. 
 
2.3. Flexão Composta 
Quando, além do momento fletor, atua uma força normal na seção. 
 
Note-se que estes critérios são complementares. Assim, é possível existir uma flexão 
pura normal, uma flexão simples oblíqua, etc. 
 
4.1 Estudo da Flexão simples 
No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de 
momento fletor e do esforço cortante. 
4.1.1 Tensões internas devidas ao momento fletor 
Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx 
conhecido na seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se: 
 
Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de 
gravidade). Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará 
plana após a atuação deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará 
para a posição S’ após a atuação de Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte 
inferior da viga, observa-se que o seu alongamento é proporcional à coordenada y e 
independe da coordenada x. Logo, as tensões normais causadas por Mx nos diversos 
pontos da seção S têm distribuição linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o 
diagrama de tensões será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
34
 
De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos 
diversos pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as 
tensões normais são provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões 
em relação ao eixo x deve ser o próprio Mx. Logo: 
M = F d = σ A d 
No nosso caso temos: 
 
   A A
2
Ax
dAyccyydAydAM
 
Como já sabemos que 
xA
2 IdAy 
, teremos: 
xA
2
x cIdAycM  
 
Portanto, a constante c será dada por: 
x
x
I
M
c 
 
Assim, a tensão normal será dada por: 
y
I
M
x
x
=
 [Pa] 
Pode-se fazer também: 
x
x
W
M
=
 
onde 
y
I
W
x
x =
 é chamado módulo de resistência à flexão [m3] 
 
4.2. Projeto de vigas em relação às tensões de flexão 
O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos: 
a) Calcular o momento fletor máximo; 
b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento; 
c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do 
material; 
d) Calcular as dimensões da seção transversal. 
 
4.3. Verificação de vigas 
Em um problema de verificação deve-se calcular o coeficiente de segurança seguindo os 
seguintes passos: 
a) Calcular o momento fletor máximo; 
b) Calcular o coeficiente de segurança no ponto em pior situação na seção mais 
solicitada. 
35
 36 
4.4 Exercícios resolvidos 
1. Determine a tensão de flexão máxima na viga de seção do tipo I submetida à um 
carregamento distribuído como mostrado abaixo: 
 
a – Cálculo das reações de apoio 
ΣMB=0  RA . 6 – 30 . 3 = 0  RA = 15 kN 
 
b – Cálculo do momento máximo 
 
ΣM = 0  − 15 x + 5 x x/2 + M = 0 
M = − 5 x2/2 + 15 x (kN.m) 
Mmax: dM / dx = 0 = - 5x + 15  x = 3m 
Mmax (3m) = = − 5 32/2 + 15 3 = 22,5 kN.m 
 
 
c – Cálculo do momento de inércia da seção 
 
Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 


















12
300.20
160.20.250
12
20.250
2Ix
3
2
3 
Iz = 301,3 . 106 mm4 
 
d – Cálculo da máxima tensão de flexão 
max
x
maxx
max y
I
M

=
170.
10.3,301
10.5,22
6
6 = 12,7 MPa 
 
Exemplo 2: Uma viga estrutural em aço do tipo T usada em balanço é carregada da forma 
mostrada na figura. Calcular a magnitude da carga P que provoca uma deformação 
longitudinal no ponto C de +527 x 10 –6 mm/mm (alongamento) e uma deformação 
 37 
longitudinal no ponto D de -73 x 10 –6 mm/mm (encurtamento). (I = 2000cm4 e Eaço = 21 x 
103 kgf/mm2) 
 
Por semelhança de triângulos: 
25yy175
DC




 
y
 = 43,25 mm 
 
ΣM = 0  M + P . 1,5 = 0  M = -1,5 P (kgf . m) 
 
CCC Ey
I
M
 
 
 
63
4
3
10.527.10.21)25,43175(
10.2000
10.25,1.P 
 
P = 1344 kgf 
 
4.5 Exercícios propostos 
1) Tem-se uma seção quadrada de lado ‘a’ e uma seção circular de raio R, ambas com 
mesma área. Qual possui maior resistência à flexão? 
 
 
2) Uma viga de madeira, com seção transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e suporta 
uma carga concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo para 
cima. Determinar as máximas tensões de flexão numa seção a 2 m da extremidade livre. 
 38 
 
 
3) Para o exercício anterior considere L = 6m e determine as tensões de flexão no 
engaste. 
 
4) Calcule a altura da viga abaixo sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de 5 
kN/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2. 
 
5) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 
N/cm², verifique a sua resistência à flexão. 
 
6) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão 
admissível é de 150 MPa e Ix = 5140 cm
4
. 
 
7) Determinar a seção transversal da viga abaixo (h = 2b). A viga será construída com 
material dúctil com tensão de escoamento igual a 4000 kgf/cm². Adote coeficiente de 
segurança igual a 2,5. 
 39 
 
8) Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é dúctil com tensão 
de escoamento de 25 kN/cm². 
 
 
9) Utilizando a seção transversal do tipo T dada abaixo, verifique a viga considerando o 
carregamento dado no exercício anterior. Material frágil com tensão de ruptura à tração de 
10kN/cm
2 
e à compressão de 20kN/cm
2
. 
 
 
10) Em relação ao exercício 8 determinar o alongamento na fibra mais tracionada e o 
encurtamento na fibramais comprimida sabendo – se que o material tem como módulo de 
elasticidade 21 x 103 kgf/mm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Tensões de cisalhamento em vigas 
5.1 – Preliminares 
Considere a seção transversal de uma viga carregada transversalmente por uma força 
cortante V como apresentado abaixo, Fig. 5.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 – Distribuição das tensões de cisalhamento numa seção transversal 
A existência de tensões horizontais de cisalhamento pode ser demonstrada através de um 
ensaio com barras retangulares iguais, sobrepostas e submetidas à flexão. Se não existir 
atrito entre as barras haverá deslizamento de uma em relação à outra. 
 
Figura 5.2 – Tensões de cisalhamento longitudinais 
5.2 – Fórmula da tensão de cisalhamento em vigas 
Considere a viga carregada transversalmente como apresentado abaixo 
 
Para se obter a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da altura da viga, 
verifica-se o equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga (Fig 5.3). 
40
 
 
Figura 5.3 – Tensões atuando num elemento de viga 
 
Sempre que existir uma força cortante diferente de zero, os momentos fletores que 
ocorrem nas diferentes faces de um segmento de viga com comprimento dx serão 
diferentes. 
Impondo o equilíbrio das forças atuando na direção axial x, tem-se: 
0)dx.t(dAdA0F 'A
'
'Ax
  
 
onde σ é a tensão normal atuando na seção transversal esquerda do elemento, σ’ é a 
tensão normal atuando na seção transversal direita do elemento, t é largura da seção no 
ponto onde se deseja determinar a tensão de cisalhamento e A’ é a área acima do ponto 
onde se deseja determinar a tensão de cisalhamento. 
Substituindo a expressão da tensão normal de flexão dada no item 4 temos: 
0)dx.t(dA)
I
dMM
(dA)
I
M
( 'A'A


  
 
Simplificando a equação acima e considerando que o momento interno M e o momento de 
inércia I são constantes na seção: 
0)dx.t(ydA
I
dM
'A
 
 
Isolando a tensão de cisalhamento, tem-se: 
 'A ydAI.t
1
dx
dM

 
41
 
Como
V
dx
dM

 e 
 'A ydA
 é o momento estático da área A’ em relação ao eixo neutro (Q) 
então a tensão de cisalhamento em uma seção num ponto distante y’ do eixo neutro é 
determinada dada por: 
I.t
Q.V

 
Restrições da equação acima: 
 Material trabalha dentro do regime elástico-linear 
 Relação espessura/comprimento da viga pequena (hipótese fundamental da teoria 
de flexão) 
 Módulo de elasticidade deve ser o mesmo em tração e em compressão 
 
5.3 Distribuição da tensão de cisalhamento em vigas 
Considere a viga de seção transversal retangular de altura h e largura b, submetida à um 
esforço cortante V, Fig. 5.4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Esforço cortante V atuando numa seção transversal 
 
O momento estático da área A’, Q, pode ser determinado como: 
 
by
2
h
y
2
h
2
1
yAyQ ''''' 


















 
 
Simplificando, temos 
 
by
4
h
2
1
Q 2'
2









 
Substituindo na expressão da tensão de cisalhamento os valores de Q e I 
b
12
h.b
by
4
h
2
1
.V
3
2'
2









 
42
 
Simplificando temos 
 








 2'
2
3
y
4
h
h.b
V.6

 
 
Conclusões: 
 A distribuição da tensão de cisalhamento é parabólica. 
 A tensão de cisalhamento é nula nas extremidades ( h/2, - h/2). 
 A tensão de cisalhamento é máxima no eixo neutro (y = 0) e é igual a: 
A
V
2
3

 
em seções retangulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 – Tensões de cisalhamento atuando em planos ortogonais 
 
Observação importante: Para o caso de um material anisotrópico como por exemplo a 
madeira, a viga se rompe ao longo do plano horizontal paralelo às fibras, passando pelo 
eixo neutro da seção. 
 
Figura 5.6 – Ruptura por cisalhamento em vigas de madeira 
 
Exemplo 1: A viga abaixo é composta de duas pranchas de madeira formando um perfil 
do tipo T. Determine a máxima tensão cisalhante. Resposta: 4,875 MPa 
 
 
43
 
Exemplo 2: Plote a distribuição de tensões de 
cisalhamento na seção transversal de uma 
viga do tipo I com força cortante V = 80 kN. 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 Fluxo de cisalhamento 
Ocasionalmente na engenharia, alguns membros são construídos a partir da união de 
diferentes partes para poderem resistir as cargas. Nestes casos, a união das diferentes 
partes do membro é feita através de cola, pregos, parafusos, etc. 
Para o projeto destes elementos é necessário o conhecimento da força que deve ser 
resistida por cada um destes elementos. Seja a viga com o carregamento abaixo, formada 
pela união de dois elementos: 
 
 
Figura 5.7 – Tensões atuando em elementos unidos por pregos, parafusos, etc. 
44
 
Vimos anteriormente que 
0)dx.t(ydA
I
dM
'A
 
 
 
Logo: 
dF
A
)dx.t(ydA
I
dM
'   
 
 
A força de cisalhamento por unidade de comprimento pode ser obtida da forma: 
 
 'A ydAI
1
dx
dM
dx
dF
 
 
 
Como
V
dx
dM

 e Q =
 'A ydA
 , o fluxo de cisalhamento q é dado por: 
 
I
Q.V
q 
 
Exemplo 3: Determine a quantidade de pregos necessária para manter os elementos da 
viga abaixo de 3m de comprimento, unidos quando submetida a um cortante de 2 kN. A 
tensão admissível dos pregos de diâmetro d = 2 mm é adm = 225 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a – Cálculo do momento de inércia I e do momento estático Q: 
12
3150.65
2
12
190.150I
3

 = 49175000 mm4 
 
20.150.10
2
150'A.'yQ 






 = 255000 mm3 
b – Cálculo do fluxo de cisalhamento q: 
 
49175000
255000.2000
I
Q.V
q 
 = 10,37 N/mm 
 
c – Cálculo da força suportada por cada prego: 
45
 
A
V
admP 
 
 
4
22.
V
225


  V = P = 706,86 N 
d – Cálculo do espaçamento entre os pregos: 
 

37,10
86,706
q
P
e
 68,16 mm 
 
e – Cálculo do número de pregos 
44
16,68
3000
np 
 
 
 
 
5.7 Exercícios propostos 
 
1) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na 
seção transversal para uma força cortante de 10 tf, sendo a seção 
constante ao longo da peça. Resposta em MPa. 
 
 
 
2) Calcular as tensões de 
cisalhamento nas posições indicadas na viga T. 
Força cortante igual a 10 tf. Resposta em kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Sabendo-se que 
as peças da viga de madeira abaixo são unidas por pregos 
espaçados a cada 2,5 cm e que a viga está submetida a 
uma força cortante de 500 N, determine a força cortante em 
cada prego. 
 
 
 
 
46
 47 
4) Sabendo-se que na seção transversal dada abaixo atua uma força cortante de 3 kN e 
que a mesa é unida à alma através de pregos que suportam 700 N (carga admissível ao 
cisalhamento), pede-se o espaçamento entre os pregos. 
 
5) Sabendo-se que os parafusos usados na viga abaixo apresentam uma força admissível 
ao cisalhamento de 2250 N, pede-se o espaçamento entre os parafusos.