Caderno de Matemática do Básico ao Avançado

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CADERNO DE MATEMÁTICA DO BÁSICO AO AVANÇADO 
 
 
 
 
 
PRÉ-CÁLCULO 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
FUNÇÕES 
LIMITES 
DERIVADAS 
INTEGRAIS EXPRESS 
 
 
 
 
 
 
Este caderno pertence ao discente 
Otacílio Santos de Araújo do curso de 
Matemática da Help Engenharia, 
ministrado pelo professor Dênis e 
disciplina de Cálculo I e II da 
Universidade de Santo Amaro (UNISA-
EAD). E-mail: otaciliorayk@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colíder-MT 
2018 e 2019 
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PRÉ-CÁLCULO 
Módulo 1 – Definições.....................................................................................................................04 
Módulo 2 - Frações - Soma e Subtração.........................................................................................05 
Módulo 3 - Frações – Multiplicação.................................................................................................07 
Módulo 4 - Frações – Divisão..........................................................................................................07 
Módulo 5 – Potenciação..................................................................................................................07 
Módulo 6 – Radiciação....................................................................................................................12 
Módulo 7 – Logaritmos....................................................................................................................15 
Módulo 8 – Trigonometria...............................................................................................................18 
Módulo 9 – Equações.....................................................................................................................23 
Módulo 10 - Equação de 1° Grau....................................................................................................23 
Módulo 11 - Equação de 2° Grau....................................................................................................24 
Módulo 12 – Funções......................................................................................................................26 
Módulo 13 - Função de 1° Grau......................................................................................................26 
Módulo 14 - Função de 2° Grau......................................................................................................28 
 
 
CÁLCULO I 
CONJUNTOS NUMÉRICOS (UNISA) 
Tipos de Conjuntos.........................................................................................................................32 
 
FUNÇOES 
Módulo 1 - Função Inversa..............................................................................................................42 
Módulo 2 - Função Composta.........................................................................................................45 
AVALIAÇÃO CONTÍNUA (AVC) I .............................................................................................................47 
 
LIMITES 
Módulo 1 - Introdução aos Limites..................................................................................................50 
Módulo 2 - Limites no Gráfico..........................................................................................................50 
Módulo 3 - Limites Indeterminados.................................................................................................52 
Módulo 4 - Limites 0/0.....................................................................................................................52 
Módulo 5 - E Se o Limite tender a Zero...........................................................................................60 
Módulo 6 - Limites 0-0 _ Exercícios Diferentes................................................................................62 
Módulo 7 - Limites Tendendo a Infinito (∞) .....................................................................................63 
Módulo 8 - Limites por Substituição................................................................................................65 
Módulo 9 - Limites Fundamentais...................................................................................................67 
 
 
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DERIVADAS 
TABELA: Derivadas, Integrais, Identidade trigonométrica.........................................................................70 
Módulo 1 - Introdução a Derivadas.................................................................................................72 
Módulo 2 - Tabela de Derivadas.....................................................................................................75 
Módulo 3 - Propriedade das Derivadas...........................................................................................76 
Módulo 4 - Regra do Produto..........................................................................................................80 
Módulo 5 - Regra do Quociente......................................................................................................82 
Módulo 6 - Regra do Produto + Quociente......................................................................................84 
Módulo 7 - Regra da Cadeia – Introdução.......................................................................................85 
Módulo 8 - Regra da Cadeia (Atalho)..............................................................................................86 
Módulo 9 - Regras Nível Jedi..........................................................................................................87 
Módulo 10 - Derivadas Implícitas....................................................................................................90 
Módulo 11 - Aplicação de Derivadas - L'hospital.............................................................................92 
Módulo 12 - Aplicação de Derivadas - Máximos e Mínimos.............................................................94 
Módulo 13 - Aplicação de Derivadas - Reta Tangente e Reta Normal...........................................100 
PROVA DE CÁLCULO I (UNISA-EAD) ..................................................................................................102 
 
 
CÁLCULO II 
INTEGRAIS EXPRESS 
TABELA: Derivadas, Integrais, Identidade trigonométrica.......................................................................110 
Módulo 1 - Integrais Introdução....................................................................................................112 
Módulo 2 – Primitivas....................................................................................................................115 
Módulo 3 - Integrais Definidas.......................................................................................................116 
AVALIAÇÃO CONTÍNUA (AVC) II ..........................................................................................................120 
Módulo 4 - Integrais por Substituição............................................................................................122 
Módulo 5 - Técnicas para Desenho de Gráfico..............................................................................127 
Módulo 6 - Cálculo de Área-Incompleto........................................................................................131 
Módulo 7 - Integrais por Partes.....................................................................................................143 
Módulo 8 - Integrais por Partes (Método Tabular) ........................................................................148 
Módulo 9 - Integrais Mistas (Partes + Substituição) ......................................................................150Módulo 10 - Cálculo de Volume de Sólido de Revolução.............................................................153 
Módulo 11 - Integrais Trigonométricas e Produto Notáveis...........................................................157 
DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS ...............................................................................................164 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS: Integral Dupla e Tripla ................................................................................166 
 
PROVA DE CÁLCULO II (UNISA-EAD) .................................................................................................167 
 
 
 
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AVC – AVALIAÇÃO CONTÍNUA 
FOLHA DE RESPOSTA 
 
Disci 
 
 
Resolução / Resposta 
Uma pessoa está com planos de realizar uma viagem e precisará contratar uma 
empresa de locação de veículos. Realizando uma cotação 
com três empresas, recebeu os orçamentos: 
 
✓ A Empresa A cobra R$ 110,00 referente à diária e R$ 3,00 por km rodado; 
✓ A Empresa B cobra R$ 70,00 referente à diária e R$ 5,00 por km rodado; 
✓ A Empresa C cobra R$ 250,00 por diária e sem taxa adicional referente à 
quilometragem. 
Diante das informações dadas, desenvolva cada item: 
 
 
a.) Apresente as funções f, g e h que determinam o valor a pagar com a locação de 
um veículo pelas empresas A, B e C, respectivamente, onde x representa os 
quilômetros rodados no período de três dias. (1,0 ponto) 
Empresa A) f(x)= 3x + 110 * 3 dias => f(x)=3x+330 
 
Empresa B) g(x)= 5x + 70 * 3 dias => g(x)=5x+210 
 
Empresa C) h(x)= 0x + 250 * 3 dias => h(x)= 750 
 
b.) Represente em um único plano cartesiano as três funções f, g e h, onde x 
pertence ao intervalo [0; 200]. (1,0 ponto) 
 
X Empresa A Empresa B Empresa C 
0 f(x)= 3(0) + 330= 330 g(x)=5(0) + 210= 210 h(x)= 0*(0) + 750 = 750 
50 480 460 750 
100 630 710 750 
150 780 960 750 
200 930 1210 750 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial Integral I 
Aluno: Otacílio Santos de Araujo RA: 
NOTA: 3,00 
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 2 
 
 
c.) Apresente as coordenadas dos pontos de intersecções entre as funções e 
informe o período, referente a quilômetros rodados, no qual cada empresa 
apresenta o menor valor. (1,0 ponto) 
Relação da Empresa A com Empresa B 
f(x) = g(x) 
3x+330 = 5x+210 
3x-5x=210-330 
x= -120/-2 
X= 60 km rodados 
Logo, o ponto de intersecção entre a função y=3*60+330 é y= 510; resultando em 
(60,510) 
 
Então, em 60 km o custo das empresas A e B são iguais, para distância menor que 60 km 
compensa alugar veículos da empresa B, acima da intersecção (60km) compensa alugar a 
empresa A. 
Relação da Empresa A com Empresa C 
f(x) = h(x) 
3x+330 = 750 
3x= 750-330 
X= 140 km rodados 
Logo, o ponto de intersecção entre a função é: y=3*140+330 => y= 750; resultando em 
(140, 750) 
f(x) 
g(x) 
h(x) 
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Então, em 140 km o custo das empresas A e C são iguais, para distância maior que 140 
km compensa alugar veículo da empresa C, e para distância inferior a 140 km compensa a 
empresa A. 
Relação da Empresa B com Empresa C 
g(x)= h(x) 
5x+210 = 750 
5x= 750-210 
x= 540/5 
X= 108 km rodados 
Logo, o ponto de intersecção entre a função é: y= 5*108+210 => y= 750; resultando em 
(108 , 750) 
Então, em 108 km o custo das empresas B e C são iguais, para distância maior que 108 
km compensa alugar veículos da empresa C, e para distância inferior a 108 km compensa 
a empresa A. 
 
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AVC – AVALIAÇÃO CONTÍNUA 
FOLHA DE RESPOSTA 
 
Disci 
 
 
Resolução / Resposta 
1) O engenheiro Nonato está elaborando um projeto para construir uma piscina. Sabe-se que o local 
onde a piscina será construída é a região limitada pelos gráficos de f e g, e pelas retas x = ‒ 2 e x = 2, 
onde f(x) = ‒ x + 5 e g(x) = x² ‒ 2, com unidade de medida graduada em metros. 
 
a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina 
conforme os dados apresentados. 
Para realização do esboço do gráfico foi determinado as coordenadas cartesianas dos vértices. 
Ponto A Ponto B Ponto C e E Ponto D Ponto F Ponto G 
f(x) = -x + 5 
f(-2)= -(-2)+5 
f(-2)= 7 
 
 
( -2 ; 7 ) 
g(x)= x2 – 2 
g(-2)= (-2)2–2 
g(-2)= 2 
 
 
( -2 ; 2 ) 
g(x)= x2 – 2 
0 = x2 – 2 
x2 = 2 
X= ±√𝟐 
(- √𝟐 ; 0 ) 
 ( √𝟐 ; 0 ) 
g(x)= x2 – 2 
g(0)= 02–2 
g(0)= -2 
 
 
( 0 ; -2 ) 
g(x)= x2 – 2 
g(2)= 22–2 
g(2)= 2 
 
 
( 2 ; 2 ) 
f(x) = -x + 5 
f(2)= -2 + 5 
f(2)= 3 
 
 
( 2 ; 3 ) 
 
 
Credito: Plotador Matemático MAFA (https://www.mathe-fa.de/pt#result) 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Aluno: Otacílio Santos de Araújo RA: 
NOTA: 3,00 
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 2 
 
b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina. 
𝐴 = ∫ [−𝑥 + 5 − (𝑥2 − 2)]𝑑𝑥
2
−2
 
𝐴 = ∫ (−𝑥 − 𝑥2 + 7
2
−2
)𝑑𝑥 
 
(
−(2)²
2
−
23
2
+
7.2
1
) − (
−(2)²
2
−
(−2)3
3
+
7. (−2)
1
) 
𝐴 = (
−4
2
−
8
3
+
14
1
) − (
−4
2
+
8
3
−
14
1
) 
𝐴 = (
−12 − 16 + 84
6
) − (
−12 + 16 − 84
6
) 
𝐴 =
56
6
+
80
6
 
𝐴 =
56 + 80
6
 
𝐴 =
136
6
 
𝐴 =
68
3
 𝑜𝑢 22,67 𝑚² 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 22,67 𝑚² 
c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros 
 para a mesma ser preenchida. 
 
 
 
 
 
𝐴 = ∫ (
−𝑥²
2
−
𝑥3
3
+ 7𝑥)
2
−2
 
Área da piscina = 22,67m² 
Profundidade = 1,5m 
1 m³ = 1.000 litros 
𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎 x 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑉 = 22,66 × 1,5 
𝑉 = 34 𝑚3 
𝑉 = 34 × 1.000 
𝑉 = 34.000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
𝑆𝑒𝑟ã𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜𝑠 34.000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 
 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑛𝑐ℎ𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎.² 
-2 
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