Mec_solidos_II_Aula1

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos II
Prof. Walter dos Santos Sousa
Universidade Federal do Pará
Campus Universitário de Tucuruí
Curso de Engenharia Mecânica
Bibliografia Recomendada
2 Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí
HIBBELER, R.C. Resistência dos 
Materiais, 5.º Ed., Editora 
Pearson, 2006.
Demais Bibliografias
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí3
 1.Popov, E.P.: Introdução à mecânica dos sólidos, Edgard Blücher, 
1978.
 2.Shames, I.H.: Introdução à mecânica dos sólidos, Prentice-Hall
do Brasil, 1983.
 3.Riley, W.F., Sturges, L.D., Morris, D.H.: Mecânica dos Materiais, 
LTC, Rio de Janeiro, 2003.
 4.Thimoshenko, S.P., Gere, J.E.: Mecânica dos sólidos, LTC, Rio de 
Janeiro, 1994.
 5.Arrivabene, V.: Resistência dos materiais, Makron Books, 1994.
 6.Beer, F.P., Johnston Jr., E.R.: Resistência dos Materiais, Makron
Books, 1995.
 7. Pereira, J. C. Curso de Mecânica dos Sólidos B. Apostila, 
Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de 
Engenharia Mecânica, Grupo de Análise e Projeto Mecânico. 2003. 
Ementa
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí4
 1.Transformação de Tensão.
 2.Critério de Escoamento e de Fratura.
 3.Vasos de Pressão. 
 4.Deflexão de Vigas. 
 5.Métodos de Energia. 
 6.Flambagem de Colunas. 
 7.Método de Elementos Finitos.
Pré-requisito para:
 As disciplinas Elementos de Máquinas I e II, Vibrações 
Mecânicas, Dinâmica das Máquinas.
 A Área de Projetos de Máquinas e de Manutenção Mecânica.
Aplicações em Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí5
Aplicações em Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí6
Aplicações em Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí7
Aula 1: Transformação de Tensão
 Objetivo: Transformar os componentes de tensão,
associados a um sistema de coordenadas particular, em
componentes associados a um sistema de coordenadas
que tenha orientação diferente.
Estado de Tensão
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí9
=
Transformação 
de Tensão
Estado de Tensão
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí10
 Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas 
faces do paralelepípedo elementar admitem componentes nas 
direções de todas as suas arestas;
 Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no 
paralelepípedo apresentam componentes paralelas a apenas 
dois eixos;
 Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo 
atuam tensões na direção de uma única aresta;
 Estado de Cisalhamento Puro – Nas faces do 
paralelepípedo atuam apenas tensões tangenciais.
Equações Gerais de Transformação de 
Tensão para o Estado Plano
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí11
Convenção de sinais
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí12
 Procedimento de análise
Equações Gerais de Transformação de 
Tensão para o Estado Plano
Equações Gerais de Transformação de 
Tensão para o Estado Plano
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí13
   
   
 
' '
2 2
'
0 cos
cos cos cos 0
cos 2 cos
x x xy y
xy x
x x y xy
F A Asen Asen sen
A sen A
sen sen
      
     
       
      
    
  
    
   
   
' ' '
2 2
' '
0 cos
cos cos cos 0
cos cos
y x y xy y
xy x
x y y x xy
F A Asen sen Asen
A A sen
sen sen
      
     
       
      
    
   

Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí14
 Considerando as seguintes relações trigonométricas:
2 21 cos 2 1 cos 22 2 cos ; ; cos
2 2
sen sen sen
        
' cos 2 2
2 2
x y x y
x xysen
         
' ' 2 cos 2
2
x y
x y xysen
      
(1)
(2)
Para calcular a tensão normal que atua na direção de 
y’ basta substituir na Eq. 1 (θ= θ+90º)
' cos 2 2
2 2
x y x y
y xysen
             ' cos 2 90º 2 90º
2 2
x y x y
x xysen
                  
(3)
Exemplo
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí15
 O estado de tensão em certo ponto de um componente é mostrado no 
elemento. Determinar os componentes de tensão que atuam sobre o plano 
inclinado AB (exercício 9.5).
2,71 ksi
1,71 ksi
4,17 ksi
2,71 ksi
4,17 ksi
Na face AB
Todo Elemento
Considerações Importantes sobre a 
Transformação de Tensão
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí16
 As expressões acima, no entanto, não são muito práticas, 
já que não nos fornecem nenhuma informação relevante, 
pelo menos à primeira vista. Afinal, tudo o que elas 
fornecem são os infinitos valores das tensões normais e 
tangenciais em um ponto para uma infinidade de valores 
de ângulos de rotação possíveis do sistema de 
coordenadas. No entanto, é natural que, da infinidade de 
valores a serem encontrados com estas expressões, haja 
valores máximos e mínimos associados. Estes valores, sim, 
são importantes e podem ser encontrados ao se 
trabalhar um pouco mais estas expressões.
Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí17
 Derivando a Eq. 1 em relação a θ e igualar a zero, temos:
 ' 0 2 2 2 cos 2 0
2
x yx
xy
d
sen
d
    

     
tan 2
2
xy
p
x y


 


Resolvendo (sendo θ= θp):
A solução tem duas raízes:
θp1 e θp2.
(4)
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí18
Para θp1:
1
2
2
2
2
xy
p
x y
xy
sen


 


 
 
 
1
2
2
2
cos 2
2
x y
p
x y
xy
 

 

 
 
 
 
 
 Para θp2:
2
2
2
2
2
xy
p
x y
xy
sen


 

 
 
 
 
2
2
2
2
cos 2
2
x y
p
x y
xy
 

 

 
 
  
 
 
 
Se qualquer um desses conjuntos de relações trigonométricas for substituído na 
Eq. 1, obteremos:
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí19
2
2
1,2
2 2
x y x y
xy
         
 
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado revelará a tensão normal máxima ou a 
mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que . Esse conjunto de valores é 
denominado Tensões Principais no Plano.
Ressalta-se que nenhuma tensão de cisalhamento atua sobre os planos 
principais
1 2 
(5)
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí20
 Para determinar a orientação de um elemento sobre cujas faces atua a 
tensão de cisalhamento máxima, deriva-se a Eq. 2 em relação a θ e iguala-se 
a zero o resultado (semelhante ao cálculo das tensões principais).Temos 
então:
  2
tan 2
x y
c
xy
 


 

(6)
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí21
 Usando qualquer uma das raízes θc1 e θc2, determina-se a tensão de 
cisalhamento máxima calculando os valores de sen 2θc e cos 2θc da figura 
anterior e substituindo-se na Eq. 2:
2
2
max
2
x y
xy
 
 
 
  
 
(7)
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
 Substituindo os valores de sen 2θc e cos 2θc na Eq. 1, vemos que também há 
uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máxima. Obtém-
se: 2
x y
méd
 



(8)
Exemplo 9.3 (Cisalhamento puro)
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí22
   
2
2 22
max 0
2
x y
xy
            
 0; 0;x y xy      
Tensão de CisalhamentoMáxima no Plano
Tensão Principal
  2 1
2 1
tan 2 2 90º 2 270º
02
45º 135º
xy
p p p
x y
p p
e
e
    
 

    

 
2
2
1,2
2 2
x y x y
xy
            
 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí23
 Se substituirmos θp2 = 45º na Eq. 1, temos:
   ' 2cos 2 2 45º
2 2
x y x y
x xsen
                    
 Logo, conclui-se que para θp1 = 135º :
1 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí24
Falha de uma barra de “aço doce” (dúctil) 
sujeita a torção (Cisalhamento Puro) 
Falha de uma barra de “ferro fundido” (frágil) 
sujeita a torção (Cisalhamento Puro) 
Barra sujeita à carga axial (Tração)
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí25
Experimentos mostram que a 
tensão normal provoca a falha 
em materiais frágeis.
Se a barra for feita de material
dúctil, o efeito de cisalhamento
provoca o “deslizamento” ao
longo da vizinhança cristalina do
aço.
Problemas
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí26
 Questão 9.15 (Livro texto): A barra de aço tem espessura 
de 0,5 pol e está submetida a carga na região mostrada. 
Determinar as tensões principais desenvolvidas na barra.
Resp:
1
2
40
40
psi
psi



 
Problemas (Livro texto)
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí27
 Questão 9.25: A placa de aço de seção quadrada tem 
espessura de 10 mm e está sujeita a carga na região 
mostrada. Determinar a tensão de cisalhamento máxima 
no plano e a tensão normal média desenvolvidas no aço.
Resp:
max 5
0med
kPa



Problemas (Livro texto)
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí28
 Questão 9.22: A viga de madeira está sujeita a uma carga 
de 12 kN. Determinar as tensões principais no ponto A e 
especificar a orientação do elemento.
Resp:
1
2
2,29
7,20
3,21ºp
MPa
kPa




 
 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí29
 Questão 9.23: O fixador força a superfície lisa em E quando 
se aperta o parafuso. Supondo que a força de tração no 
parafuso seja de 40 kN, determinar as tensões principais nos 
pontos A e B e mostrar os resultados em elementos 
localizados em cada um desses pontos. 
1
2
0
192MPa



 
Resposta: PONTO A
1
2
1
2
24
24
45º
45º
p
p
MPa
MPa





 
 

Resposta: PONTO B
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí30
 Questão 9.34:A roda dianteira de um avião está submetida a 
uma carga de projeto de 12 kN. Determinar as tensões 
principais que atuam no ponto A do suporte de Alumínio da 
roda.
1
2
4,33
13
MPa
MPa



 
Resposta: PONTO A
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí31
 Questão 9.35: As cargas internas na seção da viga estão 
mostradas. Determinar as tensões principais no ponto A. 
Calcular também a tensão de cisalhamento máxima no plano 
nesse ponto. Façam o mesmo procedimento para o ponto C 
(0,5 Pt).
1
2
max
0
77,4
38,7
MPa
MPa




 

Resposta: PONTO A
1
2
max
54,6
59,8
57,2
MPa
MPa
MPa




 

Resposta: PONTO C
Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí32
1. Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa 
represente a tensão normal σ, com sentido positivo para a direita, 
e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, com sentido 
positivo para baixo.
2. Marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância 
σmed = (σx+ σy)/2 da origem.
3. Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas A(σx, τxy). Esse 
ponto representa os componentes das tensões normal e de 
cisalhamento na face vertical direita do elemento e, como nesse 
caso o eixo x’ coincide com o eixo x, isso significa que θ = 0º.
4. Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. 
Essa distância representa o raio R do círculo.
5. Traçar o círculo
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí33
Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões
Sobre as Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí34
 Pontos B e D da figura anterior definem as tensões 
normais extremas, σ1 e σ2 (σ1 ≥σ2 ). Observe as tensões 
de cisalhamento que são nulas nesses pontos.
 Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos 
ângulos θp1 e θp2 , como na figura anterior. Eles são 
representados no círculo pelos ângulos 2θp1 (mostrado) e 
2θp2 e medidos da linha de referência radial CA para as 
linhas CB e CD, respectivamente.
 Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo 
círculo, usando-se trigonometria, uma vez que θp1 e θp2 , 
estão 90º afastados.
Tensão de Cisalhamento Máxima
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí35
 Os ângulos θc1 e θc2 dão a orientação dos planos que 
contém os componentes. O ângulo 2θc1 é determinado 
por trigonometria.
 Nesse caso a rotação ocorre no sentido horário e, desse 
modo, θc1 deve estar no sentido horário no elemento.
Exemplos Resolvidos
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí36
; 0; 0x y xy     
2 2
x y
med
  

 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí37
Exemplos Resolvidos
0; 0;x y xy      02
x y
med
 


 
1 2 1; ; 45ºp       
Exemplos Resolvidos 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí38
 Ex 9.11: O estado de tensões em determinado ponto é 
mostrado no elemento. Representar o estado de tensão 
em um elemento orientado a 30º no sentido anti-horário.
8 ; 12 ; 6x y xyksi ksi ksi      
8 12
2
2
med ksi
 
 
 
 
2
28 12
6 11,66
2
R
  
    
 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí39
1 6tan 30,96º
10
  
60º 30,96º 29,04º   
'
' '
2 11,66cos 29,04º 8,20
11,66 29,04º 5,66
x
x y
ksi
sen ksi


   
 
' 2 11,66cos 29,04º 12,2y ksi   
Círculo de Mohr para o Estado Geral de 
Tensões
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí40
Admitindo que 
1 2 3 0    
temos: 
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí41
Recomendações Finais
Mecânica dos Sólidos II - UFPA - FEM - Tucuruí42
 Leiam a bibliografia recomendada;
 Estudem os exercícios resolvidos do Hibbeler;
 Resolvam os exercícios do livro texto (Hibbeler), 
principalmente as questões: 9.3, 9.5, 9,7, 9.9, 9.10, 9.13, 
9.18, 9.22, 9.23, 9.25, 9.26, 9.27,9.34,9.35, 9.37,9.41, 9.49, 
9.50, 9.55,9.73.