Exercícios de Integração por Partes

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Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
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Lista de Exercícios – Integração por Partes 
 
 
1) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida por integração 
por partes. 
 
a) 3xxe dx∫ 
 
3xdv e dx= 
 
v dv= ∫ u x= 
3xv e dx= ∫ du dx= 
31
3
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
3 3 31 1
3 3
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫ 
3 3 31 1
3 3
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫ 
3 3 31 1 1
3 3 3
x x xxe dx x e e C= ⋅ − ⋅ ⋅ +∫ 
3 3 31 1
3 9
x x xxe dx xe e C= − +∫ 
3
3 1
3 3
x
x exe dx x C = − + 
 
∫ 
 
b) 2 xx e dx−∫ 
 
v dv= ∫ 
2u x= 
xv e dx−= ∫ 2du x dx= 
xv e−= − 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
2 2 2x x xx e dx x e e xdx− − −= − − −∫ ∫ 
2 2 2x x xx e dx x e xe dx− − −= − +∫ ∫ 
 
 
 
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xxe dx−∫ 
 
v dv= ∫ u x= 
xv e dx−= ∫ du dx= 
xv e−= − 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e dx− − −= − − −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e dx− − −= − +∫ ∫ 
x x xxe dx xe e− − −= − −∫ 
 
Portanto: 
 
2 2 2x x xx e dx x e xe dx− − −= − +∫ ∫ 
( )2 2 2x x x xx e dx x e xe e C− − − −= − + − − +∫ 
2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e C− − − −= − − − +∫ 
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C− −= − + + +∫ 
 
c) ( )ln 2x dx∫ 
 
v dv= ∫ ln(2 )u x= 
v dx= ∫ 
1 2
2
du dx
x
= ⋅ 
v x= 
1du dx
x
= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
1ln(2 ) ln(2 )x dx x x x dx
x
= ⋅ − ⋅∫ ∫ 
ln(2 ) ln(2 )x dx x x dx= ⋅ −∫ ∫ 
ln(2 ) ln(2 )x dx x x x C= ⋅ − +∫ 
[ ]ln(2 ) ln(2 ) 1x dx x x C= − +∫ 
 
2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida (Sugestão: a 
integração por partes pode não ser necessária para todas as 
integrais). 
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a) 4xe dx∫ 
 
4 4u x du dx= ⇒ = 
 
4 4 41 1 1 14
4 4 4 4
x x u u xe dx e dx e du e C e C= = = + = +∫ ∫ ∫ 
 
b) 4xxe dx∫ 
 
v dv= ∫ u x= 
4xv e dx= ∫ du dx= 
41
4
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
4 4 41 1
4 4
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫ 
4 4 41 1
4 4
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ 
4 4 41 1 1
4 4 4
x x xxe dx xe e C= − ⋅ +∫ 
4 4 41 1
4 16
x x xxe dx xe e C= − +∫ 
4 41 1
4 4
x xxe dx e x C = − + 
 
∫ 
 
c) 2xxe dx∫ 
 
2 2 2
2 2x x xu e du e x dx du xe dx= ⇒ = ⋅ ⇒ = 
 
2 2 21 1 1 12
2 2 2 2
x x u u xxe dx xe dx e du e C e C= = = + = +∫ ∫ ∫ 
 
d) 3 xx e dx∫ 
 
v dv= ∫ 
3u x= 
xv e dx= ∫ 
23du x dx= 
xv e= 
 
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u dv uv v du= −∫ ∫ 
( )3 3 23x x xx e dx x e e x dx= −∫ ∫ 
3 3 23x x xx e dx x e x e dx= −∫ ∫ 
 
2 xx e dx∫ 
 
v dv= ∫ 
2u x= 
xv e dx= ∫ 2du xdx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( )2 2 2x x xx e dx x e e x dx= −∫ ∫ 
2 2 2x x xx e dx x e xe dx= −∫ ∫ 
 
xxe dx∫ 
 
v dv= ∫ u x= 
xv e dx= ∫ du dx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e= −∫ 
 
Portanto: 
 
3 3 23x x xx e dx x e x e dx= −∫ ∫ 
( )3 3 23 2x x x xx e dx x e x e xe dx= − −∫ ∫ 
3 3 23 6x x x xx e dx x e x e xe dx= − +∫ ∫ 
( )3 3 23 6x x x x xx e dx x e x e xe e C= − + − +∫ 
3 3 23 6 6x x x x xx e dx x e x e xe e C= − + − +∫ 
( )3 3 23 6 6x xx e dx e x x x C= − + − +∫ 
 
 
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e) 3 lnx x dx∫ 
 
v dv= ∫ lnu x= 
3v x dx= ∫ 
1du dx
x
= 
41
4
v x= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
3 4 41 1 1ln ln
4 4
x x dx x x x dx
x
= − ⋅∫ ∫ 
3 4 31 1ln ln
4 4
x x dx x x x dx= −∫ ∫ 
4
3 41 1ln ln
4 4 4
x
x x dx x x C= − ⋅ +∫ 
3 4 41 1ln ln
4 16
x x dx x x x C= − +∫ 
3 41 1ln ln
4 4
x x dx x x C = − + 
 
∫ 
 
f) ( )ln 1t t dt+∫ 
 
v dv= ∫ ( )ln 1u t= + 
v t dt= ∫ 
1
1
du dt
t
=
+
 
21
2
v t= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( ) ( )2 21 1 1ln 1 ln 12 2 1t t dt t t t dtt+ = ⋅ + − ⋅ +∫ ∫ 
( ) ( )2 21ln 1 ln 12 2 1
t tt t dt t dt
t
+ = + −
+∫ ∫ 
 
( )2 21
1 1 1 2 1
t t tt t t tdt dt t dt dt dt
t t t t
+ −
= = − = −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
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1
t dt
t +∫ 
 
1 1u t du dt t u= + ⇒ = ⇒ = − 
 
( )1 1 ln ln 11
t udt dt dt dt t u t t
t u u
−
= = − = − = − +
+∫ ∫ ∫ ∫ 
 
Portanto: 
 
( ) ( )2 21ln 1 ln 12 2 1
t tt t dt t dt
t
+ = + −
+∫ ∫ 
( ) ( )2 21ln 1 ln 12 2 2 1
t t tt t dt t dt
t
 
+ = + − − 
+ 
∫ ∫ 
( ) ( )2 2 1ln 1 ln 12 4 2 1
t t tt t dt t dt
t
+ = + − +
+∫ ∫ 
( ) ( ) ( )2 2 1ln 1 ln 1 ln 12 4 2
t tt t dt t t t C + = + − + − + + ∫ 
( ) ( ) ( )2 2 1ln 1 ln 1 ln 12 4 2 2
t t tt t dt t t C+ = + − + − + +∫ 
( ) ( ) ( )2 21 2ln 1 ln 1 ln 12 2 4 4
t t tt t dt t t C+ = + − + − + +∫ 
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2ln 1 ln 12 4
t t t
t t dt t C
−
−
+ = + − +∫ 
 
g) ( )2lnx x dx∫ 
 
v dv= ∫ ( )2lnu x= 
v x dx= ∫ 
12lndu x dx
x
= ⋅ 
21
2
v x= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( ) ( ) 22 2 21 1ln ln 2ln2 2
x
x x dx x x x dx
x
= ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ 
( ) ( ) 22 2ln ln ln2
x
x x dx x x x dx= ⋅ −∫ ∫ 
 
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lnx x dx∫ 
 
v dv= ∫ lnu x= 
v x dx= ∫ 
1du dx
x
= 
21
2
v x= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
2
21 1ln ln
2 2
x
x x dx x x dx
x
= ⋅ − ⋅∫ ∫ 
2 1ln ln
2 2
x
x x dx x x dx= ⋅ −∫ ∫ 
2 21ln ln
2 2 2
x x
x x dx x C= ⋅ − ⋅ +∫ 
2 2
ln ln
2 4
x x
x x dx x C= ⋅ − +∫ 
 
Portanto: 
 
( ) ( ) 22 2ln ln ln2
x
x x dx x x x dx= ⋅ −∫ ∫ 
( ) ( ) 2 2 22 2ln ln ln2 2 4
x x x
x x dx x x C = ⋅ − ⋅ − + 
 
∫ 
( ) ( ) 2 2 22 2ln ln ln2 2 4
x x x
x x dx x x C= ⋅ − ⋅ + +∫ 
 
h) ( )
2ln x dx
x∫ 
 
lnu x= 
 
1du dx
x
= 
 
( ) ( ) ( )
2 33
2 2ln ln1 ln
3 3
x xudx x dx u du C C
x x
= = = + = +∫ ∫ ∫ 
 
 
 
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i) 1x x dx−∫ 
 
1 1u x du dx x u= − ⇒ = ⇒ = + 
 
( ) ( ) ( )31 12 2 21 1 1x x dx u u du u u du u u du− = + ⇒ + = + =∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) 5 32 23 5 312 2 2 22 25 3 5 32 2
u u
u u du C u u C= + = + + = + + =∫ 
( ) ( )5 32 22 21 15 3x x C= − + − + 
 
j) ( )2 1 xx e dx−∫ 
 
v dv= ∫ 
2 1u x= − 
xv e dx= ∫ 2du x dx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( ) ( )2 21 1 2x x xx e dx e x e x dx− = − − ⋅∫ ∫ 
( ) ( )2 21 1 2x x xx e dx e x xe dx− = − −∫ ∫ 
 
xxe dx∫ 
 
v dv= ∫ u x= 
xv e dx= ∫ du dx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e= −∫ 
 
Portanto: 
 
( ) ( )2 21 1 2x x xx e dx e x xe dx− = − −∫ ∫ 
( ) ( ) ( )2 21 1 2x x x xx e dx e x xe e C− = − − − +∫ 
( )2 21 2 2x x x x xx e dx e x e xe e C− = − − + +∫ 
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( )2 21 2x x x xx e dx e x e xe C− = + − +∫ 
( ) ( )2 21 2 1x xx e dx e x x C− = − + +∫ 
( ) ( )22 1 1x xx e dx e x C− = − +∫ 
 
k) ( )
2
22 1
xxe dx
x +
∫ 
 
2 22x xu e du e dx= ⇒ = 
 
v dv= ∫ 
( )22 1
x
v dx
x
=
+
∫ 
 
12 1 2 1
2
w
w x x w x
−
= + ⇒ = − ⇒ = 
2
2
dwdw dx dx= ⇒ = 
 
2
1 1
2 2
w dw
v
w
−
= ⋅ ⋅∫ 
2
1
4
w
v dw
w
−
= ∫ 
2
1 1
4
w
v dw
w
−
= ∫ 
2
1 1 1
4
v dw dw
w w
 
= − 
 
∫ ∫ 
21 1
4
v dw w dw
w
−
 
= − 
 
∫ ∫ 
11 ln
4 1
w
v w
− 
= − 
− 
 
1 1ln
4
v w
w
 
= + 
 
 
( )1 1ln 2 14 2 1v x x
 
= + + + 
 
 
Portanto: 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
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( ) ( ) ( )
2
2 2
2
1 1 1 1ln 2 1 ln 2 1 2
4 2 1 4 2 12 1
x
x xxe dx e x x e dx
x xx
   
= ⋅ + + − + + ⋅   + +   +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1 1 1ln 2 1 ln 2 1
4 2 1 2 2 12 1
x x
xxe edx x x e dx
x xx
   
= + + − + +   + +   +
∫ ∫ 
 
( ) ( ) 22 21ln 2 1 ln 2 12 1 2 1
x
x x ex e dx e x dx dx
x x
   + + = + +   + + 
∫ ∫ ∫ 
 
( )2 ln 2 1xe x dx + ∫ 
 
v dv= ∫ ln(2 1)u x= + 
2xv e dx= ∫ 
1 2
2 1
du dx
x
= ⋅
+
 
21
2
xv e= 
2
2 1
du dx
x
=
+
 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( )2 2 21 1 2ln 2 1 ln(2 1)2 2 2 1
x x xe x dx e x e dx
x
 + = ⋅ + − ⋅  +∫ ∫ 
( ) 22 21ln 2 1 ln(2 1)2 2 1
x
x x ee x dx e x dx
x
 + = ⋅ + −  +∫ ∫ 
 
Portanto: 
 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
1 1ln 2 1 ln 2 1
4 2 1 2 2 12 1
x x x
xxe e edx x e x dx dx
x xx
    = + + − + +    + + +  
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
1 1 1ln 2 1 ln 2 1
4 2 1 2 2 2 12 1
x x x
xxe e edx x e x dx dx
x xx
   = + + − + −   + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 2 2 2
2
2
1 1 1 1ln 2 1 ln(2 1)
4 2 1 2 2 2 1 2 2 12 1
x x x x
xxe e e edx x e x dx dx
x x xx
  
= + + − ⋅ + − −  + + + +  
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 2
2
2
1 1ln 2 1 ln(2 1)
4 2 1 42 1
x x
xxe edx x e x C
xx
 
= + + − ⋅ + + + +
∫ 
( ) ( )
2 2
2 4 2 12 1
x xxe edx C
xx
= +
++
∫ 
 
 
 
 
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3) Calcule a integral definida. 
 
a) 
1
2
0
xx e dx∫ 
 
v dv= ∫ 
2u x= 
xv e dx= ∫ 2du x dx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
2 2 2x x xx e dx e x e x dx= − ⋅∫ ∫ 
2 2 2x x xx e dx e x xe dx= −∫ ∫ 
 
xxe dx∫ 
 
v dv= ∫ u x= 
xv e dx= ∫ du dx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ 
x x xxe dx xe e= −∫ 
 
Portanto: 
 
2 2 2x x xx e dx e x xe dx= −∫ ∫ 
( )2 2 2x x x xx e dx e x xe e C= − − +∫ 
2 2 2 2x x x xx e dx e x xe e C= − + +∫ 
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C= − + +∫ 
 
( )1 12 2
0
0
2 2x xx e dx e x x = − + ∫ 
( ) ( )1 2 1 2 0 2
0
1 2 1 2 0 2 0 2xx e dx e e   = − ⋅ + − − ⋅ +   ∫ 
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1
2
0
2xx e dx e= −∫ 
 
b) 5
1
ln
e
x x dx∫ 
 
v dv= ∫ lnu x= 
5v x dx= ∫ 
1du dx
x
= 
61
6
v x= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
6
5 61 1ln ln
6 6
x
x x dx x x dx
x
= − ⋅∫ ∫ 
6
5 51ln ln
6 6
x
x x dx x x dx= −∫ ∫ 
6 6
5 1ln ln
6 6 6
x x
x x dx x C= − ⋅ +∫ 
6
5 1ln ln
6 6
x
x x dx x C = − + 
 
∫ 
 
6
5
1 1
1ln ln
6 6
ee
x
x x dx x  = −  
  
∫ 
6 6
5
1
1 1 1ln ln ln1
6 6 6 6
e e
x x dx e      = − − −      
      
∫ 
6
5
1
1 1 1ln 1
6 6 6 6
e e
x x dx       = − − −     
     
∫ 
6
5
1
5 1ln
6 6 36
e e
x x dx = ⋅ +∫ 
6
5
1
5 1ln
36 36
e e
x x dx = +∫ 
( )5 6
1
1ln 5 1
36
e
x x dx e= +∫ 
 
 
 
 
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4) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida, utilizando o 
método indicado. 
 
a) 2 2 3x x dx−∫ 
 
a.1) Por partes, fazendo 2 3dv x dx= − . 
 
v dv= ∫ 2u x= 
2 3v x dx= −∫ 2du dx= 
 
2 3w x= − 
2dw dx= 
 
1 2 2 3
2
v x dx= −∫ 
1
2
v w dw= ∫ 
1
21
2
v w dw= ∫ 
3
21
32 2
w
v = ⋅ 
3
21 2
2 3
v w= ⋅ 
3
21
3
v w= 
( )321 2 33v x= − 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( ) ( )3 32 21 12 2 3 2 2 3 2 3 23 3x x dx x x x dx− = ⋅ − − − ⋅∫ ∫ 
( ) ( )3 32 22 22 2 3 2 3 2 33 3
x
x x dx x x dx− = − − −∫ ∫ 
 
( )322 3x dx−∫ 
 
2 3u x= − 
2du dx= 
 
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( ) ( )
5
23 3 3 5
2 2 2 21 1 1 1 22 3 2 2 3 52 2 2 2 52
u
x dx x dx u du u− = − = = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ 
( )55 221 1 2 35 5u x= = − 
 
Portanto: 
 
( ) ( )3 32 22 22 2 3 2 3 2 33 3
x
x x dx x x dx− = − − −∫ ∫ 
( ) ( )3 52 22 2 12 2 3 2 3 2 33 3 5
x
x x dx x x C − = − − − +  ∫
 
( ) ( )3 52 22 22 2 3 2 3 2 33 15
x
x x dx x x C− = − − − +∫ 
 
a.2) Por substituição, fazendo 2 3u x= − . 
 
2 3u x= − 2 3u x= − 
2 2 3u x= − ( )122 3u x= − 
22 3x u= + ( ) 121 2 3 22du x dx
−
= − ⋅ 
( )12
1
2 3
du dx
x
=
−
 
1
2 3
du dx
x
=
−
 
2 3dx x du= − 
dx u du= 
 
( ) ( )2 4 2 5 31 12 2 3 3 3 35 3x x dx u u udu u u du u u C− = + ⋅ = + = + ⋅ + =∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 35 3 2 21 1 12 3 2 3 2 3 2 35 5 5u u Cx x C x x C= + + = − + − + = − + − +
 
OBS: Diferencie as duas expressões obtidas para comprovar que 
ambas têm a mesma integral. 
 
 
 
 
 
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b) 
4 5
x dx
x+∫
 
 
b.1) Por partes, fazendo 1
4 5
dv dx
x
=
+
. 
 
v dv= ∫ u x= 
1
4 5
v dx
x
=
+∫
 du dx= 
 
4 5w x= + 
5dw dx= 
 
1
4 5
v dx
x
=
+∫
 
1 5
5 4 5
v dx
x
=
+∫
 
1 1
5
v dw
w
= ∫ 
1
21
5
v w dw
−
= ∫ 
1
21
15 2
w
v = ⋅ 
1
21 2
5
v w= ⋅ ⋅ 
1
22
5
v w= 
( ) 122 4 55v x= + 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
( ) ( )1 12 22 24 5 4 55 54 5
x dx x x x dx
x
= + ⋅ − +
+∫ ∫
 
( ) ( )1 12 22 24 5 4 55 54 5
x xdx x x dx
x
= + − +
+∫ ∫
 
 
 
 
 
 
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( ) 124 5x dx+∫ 
 
4 5u x= + 
5u dx= 
 
( ) ( )
3
2 31 1 1
2 2 2 21 1 1 1 24 5 5 4 5 35 5 5 5 32
u
x dx x dx u du u+ = + = = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ 
( )33 222 2 4 515 15u x= = + 
 
Portanto: 
 
( ) ( )1 12 22 24 5 4 55 54 5
x xdx x x dx
x
= + − +
+∫ ∫
 
( ) ( )312 22 2 24 5 4 55 5 154 5
x xdx x x C
x
 
= + − + + +  
∫ 
( ) ( )312 22 44 5 4 55 754 5
x xdx x x C
x
= + − + +
+∫
 
 
b.2) Por substituição, fazendo 4 5u x= + . 
 
4 5u x= + 4 5u x= + 
2 4 5u x= + ( )124 5u x= + 
25 4x u= − ( ) 121 4 5 52du x dx
−
= + ⋅ 
2 4
5
u
x
−
= ( ) 125 4 52du x dx
−
= + 
 ( )12
5
2 4 5
du dx
x
=
+
 
 
5
2 4 5
du dx
x
=
+
 
 
5
2
du dx
u
= 
 
2
5
dx u du= 
 
 
 
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( )2 2 34 1 2 2 2 14 45 5 25 25 34 5
x udx u du u du u u C
ux
−  
= ⋅ ⋅ = − = − + = 
+  
∫ ∫ ∫
( ) ( )332 8 2 84 5 4 575 25 75 25u u C x x C= − + = + − + + = 
( ) ( )3 13 2 22 8 2 84 5 4 5
75 25 75 25
u u C x x C= − + = + − + + 
 
OBS: Diferencie as duas expressões obtidas para comprovar que 
ambas têm a mesma integral. 
 
5) Utilize a integração por partes para verificar as fórmulas abaixo: 
 
( ) ( )
1
2ln 1 1 ln 11
n
n xx x dx n x C n
n
+
 = − + + + ≠ − 
+
∫ 
 
v dv= ∫
 
lnu x=
 
nv x dx= ∫ 
1du dx
x
= 
1
1
nx
v
n
+
=
+
 
 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
1 1 1ln ln
1 1
n n
n x xx x dx x dx
n n x
+ +
= ⋅ − ⋅
+ +∫ ∫ 
1 1ln ln
1 1
n
n nxx x dx x x dx
n n
+
= ⋅ −
+ +∫ ∫ 
1 11ln ln
1 1 1
n n
n x xx x dx x
n n n
+ +
= ⋅ − ⋅
+ + +∫ 
1 1ln ln
1 1
n
n xx x dx x
n n
+  
= − + + 
∫ 
( )1 1 ln 1ln
1 1
n
n n xxx x dx
n n
+  + −
=  
+ + 
∫ 
( ) ( )
1
2ln 1 1 ln1
n
n xx x dx n x
n
+
 = − + + 
+
∫ 
 
 
 
 
 
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1
n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx
a a
−
= −∫ ∫ 
 
v dv= ∫
 
nu x=
 
axv e dx= ∫ 
1ndu nx dx−= 
1 axv e
a
= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫
 
11 1n ax n ax ax nx e dx x e e nx dx
a a
−
= ⋅ − ⋅∫ ∫ 
1
n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx
a a
−
= −∫ ∫ 
 
6) Nos exercícios a seguir, calcule a integral indefinida com auxílio 
das fórmulas acima. 
 
a) 2 5xx e dx∫ 
 
1
 2 e 5
n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx n a
a a
−
= − = =∫ ∫ 
2 5 2 5 51 2
5 5
x x xx e dx x e xe dx= −∫ ∫ 
 
5xxe dx∫ 
 
v dv= ∫
 
u x=
 
5xv e dx= ∫ du dx= 
51
5
xv e= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫
 
5 5 51 1
5 5
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫ 
5 5 51
5 5
x x xxxe dx e e dx= −∫ ∫ 
5 5 51 1
5 5 5
x x xxxe dx e e= − ⋅∫ 
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5 5 51
5 25
x x xxxe dx e e= −∫ 
 
Portanto: 
 
2 5 2 5 51 2
5 5
x x xx e dx x e xe dx= −∫ ∫ 
2 5 2 5 5 51 2 1
5 5 5 25
x x x xxx e dx x e e e C = − − + 
 
∫ 
2 5 2 5 5 51 2 2
5 25 125
x x x xx e dx x e xe e C= − + +∫ 
( )52 5 225 10 2125
x
x ex e dx x x C= − + +∫ 
 
b) 2 lnx x dx−∫ 
 
( ) ( )
1
2ln 1 1 ln 21
n
n xx x dx n x n
n
+
 = − + + = − 
+
∫ 
( ) ( )
2 1
2
2ln 1 2 1 ln2 1
x
x x dx x C
− +
−  = − + − + + 
− +
∫ 
( )2 1ln 1 lnx x dx x x C− −= − − +∫ 
( )2 1ln ln 1x x dx x C
x
−
= − + +∫ 
 
7) Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações 
dadas. 
 
, 0, 4xy xe y x−= = = 
 
 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
 
 
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4
0
xA xe dx−= ∫ 
1
 1 e 1
n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx n a
a a
−
= − = = −∫ ∫ 
 
1 1
1 1 11
1 1
x
x xx exe dx x e dx
−
− − −
= −
− −
∫ ∫ 
x x
x
x
xe dx e dx
e
− −
= − +∫ ∫ 
x x
x
x
xe dx e
e
− −
= − −∫ 
1x
x x
x
xe dx
e e
−
= − −∫ 
( )1 1x xxe dx xe
−
= − +∫ 
 
( )
44
00
1 1x
x
A xe dx x
e
−
 
= = − + 
 
∫ 
( ) ( )
4
4 0
0
1 14 1 0 1xA xe dx
e e
−
   
= = − + − − +   
   
∫ 
4
4
0
5 1xA xe dx
e
−
= = − +∫ 
4
4
0
1 5xA xe dx e− −= = −∫ 
 
8) Dada a região delimitada pelos gráficos de 2lny x= , 0y = e x e= , 
determine: 
 
a) A área da região. 
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
 
 
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0 2ln 0 ln 0 1y x x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
1 1
2ln 2 ln
e e
A x dx x dx= =∫ ∫ 
 
ln x dx∫ 
 
v dv= ∫
 
lnu x=
 
v dx= ∫ 
1du dx
x
= 
v x= 
 
u dv uv v du= −∫ ∫
 
1ln lnx dx x x x dx
x
= − ⋅∫ ∫ 
ln lnx dx x x dx= −∫ ∫ 
ln lnx dx x x x= −∫ 
( )ln ln 1x dx x x= −∫ 
 
( ) ( ) ( ){ }1
1
2 ln 2 ln 1 2 ln 1 1 ln1 1
e
eA x dx x x e e     = = − = − − −     ∫ 
( ) ( ){ }
1
2 ln 2 1 1 1 0 1 2
e
A x dx e   = = − − − =   ∫ 
 
b) O volume do sólido gerado pela revolução da regiãoem torno 
do eixo x . 
 
( ) ( )2 2
1 1
2ln 4 ln
e e
V x dx x dx= =∫ ∫pi pi 
 
( )2ln x dx∫ 
 
v dv= ∫
 
( )2lnu x=
 
v dx= ∫ 
12lndu x dx
x
= 
v x= 
 
 
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u dv uv v du= −∫ ∫
 
( ) ( )2 2 1ln ln 2lnx dx x x x x dx
x
= − ⋅∫ ∫ 
( ) ( )2 2ln ln 2 lnx dx x x x dx= −∫ ∫ 
( ) ( ) ( )2 2ln ln 2 lnx dx x x x x x= − −∫ 
( ) ( )2 2ln ln 2 ln 2x dx x x x x x= − +∫ 
 
( ) ( )2 2
11
4 ln 4 ln 2 ln 2
e e
V x dx x x x x x = = − +
 ∫pi pi 
( ) ( ){ }2 24 ln 2 ln 2 1 ln1 2 1 ln1 2 1V e e e e e   = − + − − ⋅ ⋅ + ⋅   pi 
( )4 2 2 2V e e e = − + − pi 
( )4 2V e= −pi