ListaIntegraçãoPorPartes
22 pág.

ListaIntegraçãoPorPartes


DisciplinaCálculo II25.845 materiais723.882 seguidores
Pré-visualização4 páginas
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 1 de 22 
Lista de Exercícios \u2013 Integração por Partes 
 
 
1) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida por integração 
por partes. 
 
a) 3xxe dx\u222b 
 
3xdv e dx= 
 
v dv= \u222b u x= 
3xv e dx= \u222b du dx= 
31
3
xv e= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
3 3 31 1
3 3
x x xxe dx x e e dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
3 3 31 1
3 3
x x xxe dx x e e dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
3 3 31 1 1
3 3 3
x x xxe dx x e e C= \u22c5 \u2212 \u22c5 \u22c5 +\u222b 
3 3 31 1
3 9
x x xxe dx xe e C= \u2212 +\u222b 
3
3 1
3 3
x
x exe dx x C\uf8eb \uf8f6= \u2212 +\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u222b 
 
b) 2 xx e dx\u2212\u222b 
 
v dv= \u222b 
2u x= 
xv e dx\u2212= \u222b 2du x dx= 
xv e\u2212= \u2212 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
2 2 2x x xx e dx x e e xdx\u2212 \u2212 \u2212= \u2212 \u2212 \u2212\u222b \u222b 
2 2 2x x xx e dx x e xe dx\u2212 \u2212 \u2212= \u2212 +\u222b \u222b 
 
 
 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 2 de 22 
xxe dx\u2212\u222b 
 
v dv= \u222b u x= 
xv e dx\u2212= \u222b du dx= 
xv e\u2212= \u2212 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
x x xxe dx xe e dx\u2212 \u2212 \u2212= \u2212 \u2212 \u2212\u222b \u222b 
x x xxe dx xe e dx\u2212 \u2212 \u2212= \u2212 +\u222b \u222b 
x x xxe dx xe e\u2212 \u2212 \u2212= \u2212 \u2212\u222b 
 
Portanto: 
 
2 2 2x x xx e dx x e xe dx\u2212 \u2212 \u2212= \u2212 +\u222b \u222b 
( )2 2 2x x x xx e dx x e xe e C\u2212 \u2212 \u2212 \u2212= \u2212 + \u2212 \u2212 +\u222b 
2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e C\u2212 \u2212 \u2212 \u2212= \u2212 \u2212 \u2212 +\u222b 
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C\u2212 \u2212= \u2212 + + +\u222b 
 
c) ( )ln 2x dx\u222b 
 
v dv= \u222b ln(2 )u x= 
v dx= \u222b 
1 2
2
du dx
x
= \u22c5 
v x= 
1du dx
x
= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
1ln(2 ) ln(2 )x dx x x x dx
x
= \u22c5 \u2212 \u22c5\u222b \u222b 
ln(2 ) ln(2 )x dx x x dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
ln(2 ) ln(2 )x dx x x x C= \u22c5 \u2212 +\u222b 
[ ]ln(2 ) ln(2 ) 1x dx x x C= \u2212 +\u222b 
 
2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefinida (Sugestão: a 
integração por partes pode não ser necessária para todas as 
integrais). 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 3 de 22 
a) 4xe dx\u222b 
 
4 4u x du dx= \u21d2 = 
 
4 4 41 1 1 14
4 4 4 4
x x u u xe dx e dx e du e C e C= = = + = +\u222b \u222b \u222b 
 
b) 4xxe dx\u222b 
 
v dv= \u222b u x= 
4xv e dx= \u222b du dx= 
41
4
xv e= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
4 4 41 1
4 4
x x xxe dx x e e dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
4 4 41 1
4 4
x x xxe dx xe e dx= \u2212\u222b \u222b 
4 4 41 1 1
4 4 4
x x xxe dx xe e C= \u2212 \u22c5 +\u222b 
4 4 41 1
4 16
x x xxe dx xe e C= \u2212 +\u222b 
4 41 1
4 4
x xxe dx e x C\uf8eb \uf8f6= \u2212 +\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u222b 
 
c) 2xxe dx\u222b 
 
2 2 2
2 2x x xu e du e x dx du xe dx= \u21d2 = \u22c5 \u21d2 = 
 
2 2 21 1 1 12
2 2 2 2
x x u u xxe dx xe dx e du e C e C= = = + = +\u222b \u222b \u222b 
 
d) 3 xx e dx\u222b 
 
v dv= \u222b 
3u x= 
xv e dx= \u222b 
23du x dx= 
xv e= 
 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 4 de 22 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
( )3 3 23x x xx e dx x e e x dx= \u2212\u222b \u222b 
3 3 23x x xx e dx x e x e dx= \u2212\u222b \u222b 
 
2 xx e dx\u222b 
 
v dv= \u222b 
2u x= 
xv e dx= \u222b 2du xdx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
( )2 2 2x x xx e dx x e e x dx= \u2212\u222b \u222b 
2 2 2x x xx e dx x e xe dx= \u2212\u222b \u222b 
 
xxe dx\u222b 
 
v dv= \u222b u x= 
xv e dx= \u222b du dx= 
xv e= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
x x xxe dx xe e dx= \u2212\u222b \u222b 
x x xxe dx xe e= \u2212\u222b 
 
Portanto: 
 
3 3 23x x xx e dx x e x e dx= \u2212\u222b \u222b 
( )3 3 23 2x x x xx e dx x e x e xe dx= \u2212 \u2212\u222b \u222b 
3 3 23 6x x x xx e dx x e x e xe dx= \u2212 +\u222b \u222b 
( )3 3 23 6x x x x xx e dx x e x e xe e C= \u2212 + \u2212 +\u222b 
3 3 23 6 6x x x x xx e dx x e x e xe e C= \u2212 + \u2212 +\u222b 
( )3 3 23 6 6x xx e dx e x x x C= \u2212 + \u2212 +\u222b 
 
 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 5 de 22 
e) 3 lnx x dx\u222b 
 
v dv= \u222b lnu x= 
3v x dx= \u222b 
1du dx
x
= 
41
4
v x= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
3 4 41 1 1ln ln
4 4
x x dx x x x dx
x
= \u2212 \u22c5\u222b \u222b 
3 4 31 1ln ln
4 4
x x dx x x x dx= \u2212\u222b \u222b 
4
3 41 1ln ln
4 4 4
x
x x dx x x C= \u2212 \u22c5 +\u222b 
3 4 41 1ln ln
4 16
x x dx x x x C= \u2212 +\u222b 
3 41 1ln ln
4 4
x x dx x x C\uf8eb \uf8f6= \u2212 +\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u222b 
 
f) ( )ln 1t t dt+\u222b 
 
v dv= \u222b ( )ln 1u t= + 
v t dt= \u222b 
1
1
du dt
t
=
+
 
21
2
v t= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
( ) ( )2 21 1 1ln 1 ln 12 2 1t t dt t t t dtt+ = \u22c5 + \u2212 \u22c5 +\u222b \u222b 
( ) ( )2 21ln 1 ln 12 2 1
t tt t dt t dt
t
+ = + \u2212
+\u222b \u222b 
 
( )2 21
1 1 1 2 1
t t tt t t tdt dt t dt dt dt
t t t t
+ \u2212
= = \u2212 = \u2212
+ + + +\u222b \u222b \u222b \u222b \u222b 
 
 
 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 6 de 22 
1
t dt
t +\u222b 
 
1 1u t du dt t u= + \u21d2 = \u21d2 = \u2212 
 
( )1 1 ln ln 11
t udt dt dt dt t u t t
t u u
\u2212
= = \u2212 = \u2212 = \u2212 +
+\u222b \u222b \u222b \u222b 
 
Portanto: 
 
( ) ( )2 21ln 1 ln 12 2 1
t tt t dt t dt
t
+ = + \u2212
+\u222b \u222b 
( ) ( )2 21ln 1 ln 12 2 2 1
t t tt t dt t dt
t
\uf8eb \uf8f6
+ = + \u2212 \u2212\uf8ec \uf8f7
+\uf8ed \uf8f8
\u222b \u222b 
( ) ( )2 2 1ln 1 ln 12 4 2 1
t t tt t dt t dt
t
+ = + \u2212 +
+\u222b \u222b 
( ) ( ) ( )2 2 1ln 1 ln 1 ln 12 4 2
t tt t dt t t t C\uf8ee \uf8f9+ = + \u2212 + \u2212 + +\uf8f0 \uf8fb\u222b 
( ) ( ) ( )2 2 1ln 1 ln 1 ln 12 4 2 2
t t tt t dt t t C+ = + \u2212 + \u2212 + +\u222b 
( ) ( ) ( )2 21 2ln 1 ln 1 ln 12 2 4 4
t t tt t dt t t C+ = + \u2212 + \u2212 + +\u222b 
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2ln 1 ln 12 4
t t t
t t dt t C
\u2212
\u2212
+ = + \u2212 +\u222b 
 
g) ( )2lnx x dx\u222b 
 
v dv= \u222b ( )2lnu x= 
v x dx= \u222b 
12lndu x dx
x
= \u22c5 
21
2
v x= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
( ) ( ) 22 2 21 1ln ln 2ln2 2
x
x x dx x x x dx
x
= \u22c5 \u2212 \u22c5 \u22c5\u222b \u222b 
( ) ( ) 22 2ln ln ln2
x
x x dx x x x dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 7 de 22 
lnx x dx\u222b 
 
v dv= \u222b lnu x= 
v x dx= \u222b 
1du dx
x
= 
21
2
v x= 
 
u dv uv v du= \u2212\u222b \u222b 
2
21 1ln ln
2 2
x
x x dx x x dx
x
= \u22c5 \u2212 \u22c5\u222b \u222b 
2 1ln ln
2 2
x
x x dx x x dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
2 21ln ln
2 2 2
x x
x x dx x C= \u22c5 \u2212 \u22c5 +\u222b 
2 2
ln ln
2 4
x x
x x dx x C= \u22c5 \u2212 +\u222b 
 
Portanto: 
 
( ) ( ) 22 2ln ln ln2
x
x x dx x x x dx= \u22c5 \u2212\u222b \u222b 
( ) ( ) 2 2 22 2ln ln ln2 2 4
x x x
x x dx x x C\uf8eb \uf8f6= \u22c5 \u2212 \u22c5 \u2212 +\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u222b 
( ) ( ) 2 2 22 2ln ln ln2 2 4
x x x
x x dx x x C= \u22c5 \u2212 \u22c5 + +\u222b 
 
h) ( )
2ln x dx
x\u222b 
 
lnu x= 
 
1du dx
x
= 
 
( ) ( ) ( )
2 33
2 2ln ln1 ln
3 3
x xudx x dx u du C C
x x
= = = + = +\u222b \u222b \u222b 
 
 
 
UNEMAT \u2013 Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 8 de