Análise Combinatória

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Análise Combinatória
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.
Exemplo
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução
Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo
O! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado final.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco.
Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, João e José é equivalente à escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A
n (A): número de resultados favoráveis
n (Ω): número total de resultados possíveis
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas estudadas em análise combinatória.
Exemplo
Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Talão da mega-sena
Solução
Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será calculada como:
Exercícios de Análise Combinatória
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
A análise combinatória apresenta métodos que nos permitem contar de forma indireta o número de agrupamentos que podemos fazer com os elementos de um ou mais conjuntos, levando em conta determinadas condições.
Em muitos exercícios desse assunto, podemos utilizar tanto o princípio fundamental da contagem, como também as fórmulas de arranjo, permutação e combinação.
Exercícios comentados
1) Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?
Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem.
1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:
9 opções para o algarismo das unidades;
8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
6 opçõespara o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9.8.7.6 = 3 024 senhas
2ª maneira: usando a fórmula
Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:
2) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneira ele poderá escalar seu time?
Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação.
Iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos.
Exercícios Resolvidos
1) De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças ?
Ver Resposta
2) De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
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3) Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
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4) Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?
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5) Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
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VEJA TAMBÉM: Fórmulas de Matemática
Questões do ENEM
1) Enem - 2016
O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?
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2) Enem - 2016
Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
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3) Enem - 2012
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
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4) Enem - 2017
Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.
	Opção
	Formato
	I
	LDDDDD
	II
	DDDDDD
	III
	LLDDDD
	IV
	DDDDD
	V
	LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da empresa é
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Análise combinatória: probabilidade, permutação e combinação
Conheça as diferentes formas de analisar a combinação de eventos variados
Quantas possibilidades de combinação são possíveis na hora de fazer um jogo da Mega-Sena? De quantas maneiras diferentes você pode se alimentar em um restaurante que oferece variações de entrada, prato principal, sobremesa e bebida?
A  análise combinatória  ou combinatória pode te ajudar a fazer essa conta, já que trata da quantificação das possibilidades de combinações para determinados eventos.
Quando há um conjunto de elementos distintos em um determinado local, é possível misturá-los das mais variadas formas e chegar a diversos resultados.
Para conseguir projetar os possíveis resultados, a análise combinatória pode ser uma forma simples de realizar essa tarefa.
Ela pode ser usada de formas diferentes e para variados tipos de análise. Iremos entender melhor como funcionam os arranjos, permutações e também as combinações  e conhecer as diferenças entre eles.
Princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem é a parte inicial do estudo da análise combinatória e indica de forma simplificada o total de possíveis combinações quando é possível multiplicar o número de opções de acordo com todas as opções apresentadas.
Um exemplo prático pode ser feito analisando a quantidade de pratos diferentes que podem ser combinados quando existe a opção de 2 entradas, 3 pratos principais, 3 sobremesas e 5 tipos diferentes de bebida.
Para chegar ao resultado de possibilidades de combinação desses elementos, basta multiplicar todos os números das opções: 2 x 3 x 3 x 5 = 90. Resumindo, é possível ter 90 combinações diferentes de refeição com as opções que foram apresentadas.
Análise combinatória e probabilidade
A  probabilidade  estuda os experimentos aleatórios, ou seja, trata-se de eventos que têm um resultado imprevisível. Como exemplos práticos desses eventos imprevisíveis, é possível citar o cara e coroa com uma moeda, o lançamento de dados com faces numéricas e o sorteio de bolas em uma urna durante o jogo de bingo.
O espaço amostral define o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento específico. Por isso, é essencial saber qual é o experimento que será feito e a quantidade para determinar o espaço amostral.
Dentro do espaço amostral, é possível analisar a quantidade de eventos que podem acontecer. A probabilidade é um tema bastante interligado à análise combinatória.
Tipos de análise combinatória
A análise combinatória ou combinatória tem três tipos básicos para agrupar os elementos e todos eles precisam utilizar o fatorial, um número que pertença aos naturais e seja maior ou igual a dois. Vamos estudar a seguir os arranjos, combinações e permutações.
Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos são feitos dependendo da ordem e natureza dos elementos. Eles podem ser com repetição e sem repetição.
Arranjo com repetição 
Se você tem 5 algarismos, de 1 a 5, e quer descobrir quantos números com dois algarismos podem ser formados, a fórmula de arranjo com repetição é a seguinte:
Arranjo sem repetição 
Se você organiza uma corrida com 20 atletas e vai premiar os 5 primeiros, é preciso criar um arranjo sem repetição. Para isso, a fórmula é a seguinte:
Permutação
A permutação pode ser explicada como alocar n elementos em n espaços e contar todas as sequências ordenadas possíveis que podem ser formadas.
As permutações são um tipo específico de arranjos, quando:
Não há repetição;
O número de elementos a serem tomados para compor o resultado éigual ao número de elementos no conjunto.
Em outras palavras, as permutações são os arranjos de n elementos tomados n a n. Portanto:
Combinação
As combinações são como arranjos, porém, a ordem dos elementos que compõem um resultado não importa, ou seja, um resultado ABC é considerado igual a um resultado ACB. Neste caso, fala-se das combinações de n elementos tomados k a k, e esta quantidade é calculada da seguinte forma:
Análise combinatória: fórmulas
Para facilitar o seu entendimento sobre as diferentes fórmulas de análise combinatória, veja o resumo com as principais informações de cada uma delas: