EPCAR PROVA 2020 QUESTÃO 19

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Prova da EPCAR 2020 - Versa˜o A
Professora: Ana carolina
Questa˜o 19 Considere as expresso˜es P e Q, com os nu´meros a, b e c reais positivos e distintos entre si.
P =
(a6 + b6 + c6)2 − (a6 − b6 − c6)2
b6 + c6
Q =
(b−1 − a−1)−1 − (b−1 + a−1)−1
(a−1 + b−1)−1 − (a−1 − b−1)−1
A expressa˜o
√
Q
√
P e´ representada por
a)b
√
2a
b)a
√
2b
c)a
√
b
2
d)
1
a
√
b
2
RESOLUC¸A˜O
Vamos comec¸ar resolvendo um problema de cada vez.. comec¸ando por P
P =
(a6 + b6 + c6)2 − (a6 − b6 − c6)2
b6 + c6
Sabendo disso temos que lembrar que a EPCAR SEMPRE cobra produtos nota´veis, enta˜o podemos ver que podemos comec¸ar
com resolvendo a diferenc¸a entre dois quadrados lembrando que (a2 − b2 = (a+ b)(a− b))
P =
(a6 + b6 + c6)2 − (a6 − b6 − c6)2
b6 + c6
=
(a6 + b6 + c6 + a6 − b6 − c6)(a6 + b6 + c6 − (a6 − b6 − c6)
b6 + c6
(Simplificando os termos.)
P =
2a6(2b6 + 2c6)
b6 + c6
(Colocando o 2 em evideˆncia) P =
2a6 · 2(b6 + c6)
b6 + c6
=
4a6 · (b6 + c6)
b6 + c6
(Simplificando os termos semelhantes).
P = 4a6
Q =
(
b−1 − a−1)−1 − (b−1 + a−1)−1
(a−1 + b−1)−1 − (a−1 − b−1)−1 =
(
1
b
− 1
a
)−1
−
(
1
b
+
1
a
)−1
(
1
a
+
1
b
)−1
−
(
1
a
− 1
b
)−1 Tirando o mmc dentro de cada parenteses, temos
Q =
(
a− b
ab
)−1
−
(
a+ b
ab
)−1
(
b+ a
ab
)−1
−
(
b− a
ab
)−1 =
(
ab
a− b
)
−
(
ab
a+ b
)
(
ab
b+ a
)
−
(
ab
b− a
) Tirando o mmc novamente, dessa vez entre (a-b) e (a+b)
Q =
ab(a+ b)− ab(a− b)
(a− b)(a+ b)
ab(b− a)− ab(b+ a)
(b+ a)(b− a)
=
a2b+ ab2 − a2b+ ab2
(a− b)(a+ b) ·
(b+ a)(b− a)
ab2 − a2b− ab2 − a2b (Simplificando os termos semelhantes)
Q =
2b
2a
=
b
a
√
Q
√
P =
√
b
a
√
4a6 (Colocando a frac¸a˜o b/a para ”dentro”da raiz) =
4
√
4a6 · b2
a2
=
4
√
4a4 · b2 = a√2b
GABARITO LETRA B
Boa prova, galera
Qualquer du´vida, intagram @carol.1111
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