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Universidade Federal dos Vales do
Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia
Prova 1 de CA´LCULO 2 - Dia 13/04/2015
RESOLVA SOMENTE 5 DAS QUESTO˜ES ABAIXO, ESCOLHENDO AS 5 PRIMEI-
RAS QUESTO˜ES OU ENTA˜O ESCOLHA RESOLVER AS QUESTO˜ES 1,2,3,4,6
Nome e turma:
1. a) [15%] Use o teste da raza˜o ou da raiz para determinar o intervalo de convergeˆncia
aberto da se´rie de poteˆncias a seguir, bem como, determine o seu centro e seu raio de
convergeˆncia.
∞∑
n=1
(5x− 4)n
6
√
n
.
b) [5%] Fac¸a a avaliac¸a˜o da convergeˆncia desta se´rie nos extremos abertos do intervalo
aberto de convergeˆncia. Onde tal se´rie converge absolutamente? Justifique bem cada
um dos passos de sua soluc¸a˜o.
2. Diga se as se´ries a seguir convergem ou divergem. Em quaisquer dos casos, justifique
bem a resposta, e explique cada um dos passos de sua justificativa. Respostas sem
justificativas na˜o sera˜o consideradas na correc¸a˜o.
a) [4%]
∞∑
n=1
7n
3n2 + 5
b) [8%]
∞∑
n=2
ln(n)
n
;
c) [8%] Use o teste de comparac¸a˜o no limite com poss´ıveis se´ries testes dadas por:
∞∑
n=1
bnx
n =
∞∑
n=1
1
n4
ou
∞∑
n=1
bnx
n =
∞∑
n=1
1
n3
para testar a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
[ln(n)]2
n4
.
3. [20%] Use se´ries de Taylor ja´ conhecidas em torno de x0 = 0 (se´ries de Maclaurin), para
resolver a seguinte integral logo abaixo. Para tanto use aproximac¸o˜es desta integral
arredondando para 3 casas decimais cada resultado e expanda as se´ries envolvidas ate´
os seus 4 primeiros termos na˜o nulos.∫ 0,4
0
ln(1 + 2t3)
t2
dt.
4. [20%] Use se´rie binomial para expandir os 4 primeiros termos da seguinte func¸a˜o:
h(x) =
(
3− 4
x
)1
3
em torno de x0 = 0. Qual e´ a regia˜o aberta de convergeˆncia desta se´rie binomial?
5. [20%] Fac¸a a expansa˜o em se´rie de Taylor, somente dos seus 4 primeiros termos, em
torno do ponto x0 = 2, da seguinte func¸a˜o
f(x) =
2
x3
.
6. Sejam os seguintes pontos no espac¸o tridimensional:
A = (−2, 1,−1);B = (3,−2,−2);C = (−2, 1, 4);D = (1,−2, 2).
Determine o que se pede:
a) [3%] Desenhe os pontos B e C no mesmo plano 3D e depois identifique o vetor ~CB.
b) [5%] Determine ~CB · ~BD; ~BD × ~AB e o versor do vetor ~AB.
c) [4%] Determine o volume do paralelep´ıpedo compreendido entre os vetores ~AB, ~AC
e ~BD, sabendo-se que sua unidade de comprimento e´ o metro m.
d) [4%] Determine a projec¸a˜o ortogonal de ~CB sob ~CD.
e) [4%] Determine o aˆngulo entre os vetores ~BD e ~BA.
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e
Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia
Prova 1 de CA´LCULO 2 - Dia 13/04/2015
RESOLVA SOMENTE 5 DAS QUESTO˜ES ABAIXO, ESCOLHENDO AS 5 PRIMEI-
RAS QUESTO˜ES OU ENTA˜O ESCOLHA RESOLVER AS QUESTO˜ES 1,2,3,4,6
Nome e turma:
1. [20%] Use se´ries de Taylor ja´ conhecidas em torno de x0 = 0 (se´ries de Maclaurin), para
resolver a seguinte integral logo abaixo. Para tanto use aproximac¸o˜es desta integral
arredondando para 3 casas decimais cada resultado e expanda as se´ries envolvidas ate´
os seus 4 primeiros termos na˜o nulos.∫ 0,3
0
ln(1 + 2t3)
t2
dt.
2. a) [15%] Use o teste da raza˜o ou da raiz para determinar o intervalo de convergeˆncia
aberto da se´rie de poteˆncias a seguir, bem como, determine o seu centro e seu raio de
convergeˆncia.
∞∑
n=1
(5x− 3)n
7
√
n
.
b) [5%] Fac¸a a avaliac¸a˜o da convergeˆncia desta se´rie nos extremos abertos do intervalo
aberto de convergeˆncia. Onde tal se´rie converge absolutamente? Justifique bem cada
um dos passos de sua soluc¸a˜o.
3. Diga se as se´ries a seguir convergem ou divergem. Em quaisquer dos casos, justifique
bem a resposta, e explique cada um dos passos de sua justificativa. Respostas sem
justificativas na˜o sera˜o consideradas na correc¸a˜o.
a) [4%]
∞∑
n=1
6n
4n2 + 5
b) [8%]
∞∑
n=2
ln(n)
n
;
c) [8%] Use o teste de comparac¸a˜o no limite com poss´ıveis se´ries testes dadas por:
∞∑
n=1
bnx
n =
∞∑
n=1
1
n4
ou
∞∑
n=1
bnx
n =
∞∑
n=1
1
n3
para testar a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
[ln(n)]2
n4
.
4. [20%] Use se´rie binomial para expandir os 4 primeiros termos da seguinte func¸a˜o:
h(x) =
(
3− 4
x
)1
3
em torno de x0 = 0. Qual e´ a regia˜o aberta de convergeˆncia desta se´rie binomial?
5. [20%] Fac¸a a expansa˜o em se´rie de Taylor, somente dos seus 4 primeiros termos, em
torno do ponto x0 = 3, da seguinte func¸a˜o
f(x) =
2
x3
.
6. Sejam os seguintes pontos no espac¸o tridimensional:
A = (−2, 1,−1);B = (3,−1, 2);C = (2,−1, 4);D = (1,−3,−2).
Determine o que se pede:
a) [3%] Desenhe os pontos B e C no mesmo plano 3D e depois identifique o vetor ~CB.
b) [5%] Determine ~CB · ~BD; ~BD × ~AB e o versor do vetor ~AB.
c) [4%] Determine o volume do paralelep´ıpedo compreendido entre os vetores ~AB, ~AC
e ~BD, sabendo-se que sua unidade de comprimento e´ o metro m.
d) [4%] Determine a projec¸a˜o ortogonal de ~CB sob ~CD.
e) [4%] Determine o aˆngulo entre os vetores ~BD e ~BA.