Aula 15 - 02 de outubro - TH aplicáveis a 2 amostras - Dados Independentes

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TESTES DE HIPO´TESES APLICA´VEIS A DUAS
AMOSTRAS - DADOS INDEPENDENTES
Curso: Estat´ıstica (Bacharelado)
Disciplina: Me´todos na˜o parame´tricos
Profa.: Tatiane
IME - UFG
Aula 15: 02/10/2017
Teste Qui-Quadrado para Tabelas (2× 2)
H0: Na˜o ha´ diferenc¸a significativa entre os grupos.
H1: Ha´ diferenc¸a significativa entre os grupos.
As frequeˆncias sa˜o dispostas em uma tabela (2× 2) do tipo:
Classificac¸a˜o 1 Classificac¸a˜o 2 Total
Grupo 1 Fo11 Fo12 Fo1∗
Grupo 2 Fo21 Fo22 Fo2∗
Total Fo∗1 Fo∗2 N
A estat´ıstica de teste e´ do tipo:
Q =
(Fo11 × Fo22 − Fo12 × Fo21)2 × N
Fo∗1 × Fo∗2 × Fo1∗ × Fo2∗
∼ χ21
Teste Qui-Quadrado para Tabelas (2× 2) - Voltando no
Exemplo 1
Ha´ restric¸o˜es para aplicac¸a˜o do teste quando:
20 < N < 40 e Foij ≤ 5 para algum i e j ;
N > 40 e Foij ≤ 5 para algum i e j .
Nestes casos usar a correc¸a˜o de Yates:
QYates =
(|Fo11 × Fo22 − Fo12 × Fo21 | − N2 )2 × N
Fo∗1 × Fo∗2 × Fo1∗ × Fo2∗
∼ χ21
Teste Qui-Quadrado para Tabelas (2× 2) - Voltando no
Exemplo 1 da aula passada
Temos,
Efeito
Est´ımulo Positivo Negativo Total
Droga 48 8 56
Placebo 38 13 51
Total 86 21 107
Logo,
q =
(Fo11 × Fo22 − Fo12 × Fo21 )2 × N
Fo∗1 × Fo∗2 × Fo1∗ × Fo2∗
=
(48× 13− 38× 8)2107
86× 21× 56× 51 ≈ 2, 124 < 3, 84.
qYates =
(|Fo11 × Fo22 − Fo12 × Fo21 | − N2 )2 × N
Fo∗1 × Fo∗2 × Fo1∗ × Fo2∗
=
(|48× 13− 38× 8| − 107
2
)2107
86× 21× 56× 51 ≈ 1, 4733 < 3, 84.
Enta˜o na˜o rejeitamos a hipo´tese nula. Ao n´ıvel de 5%, na˜o ha´ diferenc¸a
significativa entre os grupos (placebo e droga). Ou seja, na˜o podemos
dizer que os efeitos da droga e do placebo sejam diferentes.
Exemplo 2
Para verificar se ha´ relac¸a˜o entre o ha´bito de fumar e o geˆnero das
pessoas, um entrevistador montou a seguinte tabela:
Fumam Na˜o Fumam
Homens 15 25
Mulheres 10 20
Logo,
q =
(Fo11 × Fo22 − Fo12 × Fo21 )2 × N
Fo∗1 × Fo∗2 × Fo1∗ × Fo2∗
=
(15× 20− 25× 10)270
40× 30× 25× 45 ≈ 0.1297 < 3, 84.
qYates =
(|Fo11 × Fo22 − Fo12 × Fo21 | − N2 )2 × N
Fo∗1 × Fo∗2 × Fo1∗ × Fo2∗
=
(|15× 20− 25× 10| − 70
2
)2107
40× 30× 25× 45 ≈ 0.0117 < 3, 84.
Teste Exato de Fisher
Nos casos em que formamos uma tabela de contingeˆncia com
formato 2× 2; com pequeno nu´mero de observac¸o˜es (n < 20 ou
pro´ximo) e, consequentemente, com frequeˆncias observadas em
cada casela muito baixas, podemos usar teste exato de Fisher.
O teste exato de Fisher serve para testar a hipo´tese de que duas
varia´veis, apresentadas em uma tabela 2× 2, esta˜o associadas.
Para que possamos usar o teste exato de Fisher e´ necessa´rio que:
as amostras sejam aleato´rias e independentes;
classes mutuamente exclusivas;
n´ıvel de mensurac¸a˜o em escala nominal.
Teste Exato de Fisher - Tabela de contingeˆncia 2× 2
Suponha que n observac¸o˜es sa˜o distribu´ıdas em uma tabela de
contingeˆncia 2× 2 da seguinte forma:
Coluna 1 Coluna 2 Total
Linha 1 a b a + b
Linha 2 c d c + d
Total a + c b + d n
Seja:
p1 a probalidade de uma observac¸a˜o na linha 1 ser classificada na
coluna 1;
p2 a probalidade de uma observac¸a˜o na linha 2 ser classificada na
coluna 1.
Teste Exato de Fisher - Estat´ıstica de teste
Estat´ıstica de teste: A estat´ıstica de teste T e´ o nu´mero de
observac¸o˜es da ce´lula (1,1).
Distribuic¸a˜o nula: A distribuic¸a˜o exata de T , quando H0 e´ verdadeira,
e´ dada pela distribuic¸a˜o hipergeome´trica:
P(T = a) =
(
a + b
a
)(
c + d
c
)
(
n
a + c
) = (a + b)! (c + d)! (a + c)! (b + d)!
a! b! c! d! n!
,
para a = 0, 1, 2, . . . ,min{a + b, a + c} e
P(T = a) = 0, para a > min{a + b, a + c}.
Teste Exato de Fisher - Hipo´teses
As hipo´teses a serem testadas sa˜o:
H0 : p1 ≤ p2 versus H1 : p1 > p2 para o teste unilateral a` direita.
H0 : p1 ≥ p2 versus H1 : p1 < p2 para o teste unilateral a` esquerda.
H0 : p1 = p2 versus H1 : p1 6= p2 para o teste bilateral.
Teste Exato de Fisher
As hipo´teses de interesse geral e´:
H0: Na˜o existe associac¸a˜o entre as varia´veis.
H1: Existe associac¸a˜o entre as varia´veis.
Teste Exato de Fisher - Teste unilateral a` direita
Temos:
H0 : p1 ≤ p2 versus H1 : p1 > p2.
Encontramos o valor-p = P(T ≥ tobs) usando a probabilidade
definida anteriormente baseada na hipergeome´trica.
Temos que tobs e´ o valor observado de T de acordo com a tabela de
contingeˆncia.
Rejeitamos H0 ao n´ıvel de significaˆncia α se valor-p ≤ α.
Teste Exato de Fisher - Teste unilateral a` esquerda
Temos:
H0 : p1 ≥ p2 versus H1 : p1 < p2.
Encontramos o valor-p = P(T ≤ tobs).
Rejeitamos H0 ao n´ıvel de significaˆncia α se valor-p ≤ α.
Teste Exato de Fisher - Teste bilateral
Temos:
H0 : p1 = p2 versus H1 : p1 6= p2.
Geralmente, o valor-p = 2 min{P(T ≤ tobs),P(T ≥ tobs)}. Mas
para tabelas com pequenas contagens na˜o vamos aplicar este
me´todo.
Vamos usar a mesma abordagem usada no software R.
Somar as probabilidades para todas as tabelas com
probabilidades menores ou iguais a da tabela observada.
Rejeitamos H0 ao n´ıvel de significaˆncia α se valor-p ≤ α.
Teste Exato de Fisher - Exemplo 3 - Uma casela nula
Deseja-se verificar se existe associac¸a˜o entre Reac¸a˜o (+ ou −) e Enzima
(presente ou ausente).
Enzima
Reac¸a˜o Presente Ausente Total
+ 5 1 6
− 0 3 3
Total 5 4 9
H0: Na˜o existe associac¸a˜o entre Reac¸a˜o e Enzima.
H1: Existe associac¸a˜o entre Reac¸a˜o e Enzima.
Teste Exato de Fisher - Exemplo 4
Um estudo foi realizado para verificar a existeˆncia de associac¸a˜o entre o
tipo de tratamento e mortalidade por AIDS. A tabela abaixo apresenta os
dados.
Mortalidade
Tratamento Sim Na˜o Total
A 7 5 12
B 1 9 10
Total 8 14 22
Teste Exato de Fisher - Exemplo 5
Quatorze empresa´rios rece´m-contratados, 10 homens e 4 mulheres, todos
igualmente qualificados, esta˜o sendo designados pelo presidente do banco
para seus novos cargos. Dez dos novos empregos sa˜o para caixas e
quatro sa˜o gerentes de contas. A hipo´tese nula e´ que homens e mulheres
teˆm chances iguais em obter os empregos como gerentes de contas, que
sa˜o os mais deseja´veis. A alternativa unilateral de interesse e´ que as
mulheres sa˜o mais propensas do que os homens a obterem empregos
como gerentes de contas. Para o sexo feminino e´ atribu´ıdo somente uma
posic¸a˜o de caixa. A hipo´tese nula pode ser rejeitada?
Teste Exato de Fisher - Exemplo 6
Suponha um grupo de dezesseis ratos, divididos em dois grupos,
Experimental (tratados) e Normal (na˜o tratados). O grupo experimental
e´ formado por 9 animais geneticamente modificados, por apresentarem
uma disfunc¸a˜o pancrea´tica com diminuic¸a˜o da capacidade de produc¸a˜o
de insulina. Imagine que, apo´s um ano e meio em ambiente controlado, o
nu´mero de ratos vivos do grupo experimental e do normal seja dado na
tabela abaixo. As sobrevidas dos ratos normais e dos transgeˆnicos sa˜o
iguais?
Sobrevida + 1,5 ano
Grupo Vivos Mortos Total
Normal 5 2 7
Experimental 1 8 9
Total 6 10 16