Aula 7 e Aula 8

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1 
 
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
FACULDADE DE LETRAS 
ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA 
Resumo Teorico da Aula 7: Teste de hipóteses Métodos Quantitativos II 2º Semestre de 2019 
_____________________________________________________________________________________________ 
Teste de hipóteses para Variancias 
I. Teste para uma variância 
Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população normal N(μ, σ2). Suponha 
que desejamos testar uma hipótese sobre a variância σ2 desta população. 
sabemos que a estatística: 2 )1(2
2
2 ~
)1(


 n
sn


 
tem distribuição qui-quadrado com (n -1 ou  ) graus de liberdade. 
Denotamos 
2
)1(
2 ~ n . 
2
1
22
2
2
2
)(
)
2
(2
1
)(







 ef
 
Para executar este tipo de teste, podemos seguir os passos: 
1. Estabelecer uma das hipóteses (bilateral, unilateral à direita ou unilateral à esquerda) 
 
 
 
OBS: As hipóteses H0 podem ser substituídas por 
, , ou . 
2. Fixar o nível de significância α. 
3. Definir a estatistica do teste, neste caso, 2 )1(2
2
2 ~
)1(


 n
sn


 
 4. Determinar a região crítica e estabelecer a regra de decisão; 
 e o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos 2
)
2
1(


 e 2
)
2
(
 tais que 
2
)( 2
)
2
1(
2   

P e 
2
)( 2
)
2
(
2   P , utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com n-1 graus 
de liberdade. 
2 
 
 Se o teste é unilateral a esquerda, devemos determinar o pontos crítico 
2
)1(   tal que 
    )(
2
)1(
2P , utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. 
 Se o teste é unilateral a direita, devemos determinar o pontos crítico 
2
)( tal que 
   )(
2
)(
2P , utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. 
5. Calcular sob a hipótese nula, o valor da estatistica do teste; 
6. Tomar a Decisão 
 Teste bilateral: Se 
2
)
2
1(
2


Calculado ou se 
2
)
2
(
2
 Calculado , rejeitamos H0. Caso contrário, não 
rejeitamos H0. 
 Teste unilateral à direita: se
2
)(
2
 Calculado , rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0. 
 Teste unilateral à esquerda: se
2
)1(
2
 Calculado , rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0. 
8. Estabelecer a Conclusão 
Exemplo 1: Uma máquina de preenchimento automático é utilizada para encher garrafas com detergente 
líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância da amostra do volume de enchimento 
de s2 = 0,0153 (onça fluída)2. Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 (onças fluídas)2, existirá 
uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Há evidência nos 
dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas com falta ou excesso de 
detergente? Use α = 0,05 e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal. 
O parâmetro de interesse é a variância da população 
1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses: 
 
 
2. Como α = 0,05 temos que Q0,95 = 30,14. 
3. Definir a estatistica do teste, neste caso, 2 )1(2
2
2 ~
)1(


 n
sn


 
4. Determinar a região crítica e estabelecer a regra de decisão: Como α = 0,05 temos que 
144,302 )05,0;19(
2
)05,0;120(   . 
Critério: Rejeitar H0 se 144,30
2 Calculado . 
5. Calcular 07,29
01,0
)0153,0(19)1(
2
2
2 






sn
Calculado 
6. Decisão: como 2Calculado = 29,07 < 30,14, a hipótese nula não deve ser rejeitada, portanto, Não rejeitar H0. 
3 
 
 
7. Conclusão: Ao nível de significancia de 5%, não há evidências suficiente para apoiar afirmação de que a 
variância do volume de enchimento exceda 0,01 (onça fluída)2. 
 
II. Teste para comparação de duas variâncias 
Suponha que queremos comparar as variâncias σ12 e σ22 de duas populações Normais independentes. Para 
isso, retiramos uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn1 da população 1, com distribuição N(μ1, σ12), e uma amostra 
Y1, Y2, ..., Yn2 da população 2, com distribuição N (μ2, σ22). 
Como vimos anteriormente, 
2
)1(2
2
112
1 1
~
)1(


 n
sn


 (Qui quadrado com 11 n graus de liberdade) 
2
)1(2
2
222
2 2
~
)1(


 n
sn


 (Qui quadrado com 12 n graus de liberdade) 
onde 
2
1s é a variância amostral da população 1 e 
2
2s a variância amostral da população 2. 
 Neste caso, a expressão F definida por 21)1:1(2
2
2
1 ;
21
ssondeF
s
s
F
nn

 
Portanto, atribui-se 1 o grupo com maior variancia, assim no numerador coloca-se a maior variancia. 
A estatistica do teste acima, tem distribuição F de Fisher - Snedecor com n1 - 1 graus de liberdade no 
numerador (n) e n2-1 graus de liberdade no denominador (m). a qual denotamos por F(n1-1;n2-2). 
A sua função densidade de probabilidade é definida por: 
4 
 
 




































 




,0
1
22
2
)(
2
1
2
2



onde
n
mnm
n
mnm
xf
nm
m
m
 
 Neste caso, utilizamos a notação )1:1( 21
~
 nn
FX 
Para executar o teste, podemos realizar os seguintes passos: 
1. Estabelecer uma das seguintes hipóteses: 


















2
2
2
11
2
2
2
10
2
2
2
11
2
2
2
10
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
:
:
:
:






H
H
ou
H
H
ou
H
H
 
que são equivalentes às hipóteses: 


















2
2
2
11
2
2
2
10
2
2
2
11
2
2
2
10
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
:
:
:
:






H
H
ou
H
H
ou
H
H
 
2. Fixar o nível de significância α. 
3. Escolher a estatistica de teste, neste caso: 21)1:1(2
2
2
1 ;
21
ssondeF
s
s
F
nn

 
4. Definar a refra de decisão, estabelecendo a região crítica. 
Com sempre vamos colocar a maior variancia no numerador, então em qualquer caso (unilateral ou bilateral) so 
nos interessa a região a direita, que sera igual a alfa ( ) se o teste fôr unilateral e 
2

 se o teste for bilateral. O 
valor critico é obtido é obtido a partir de uma tabela da distribuição Fisher-Snedecor com n1 - 1 graus de 
liberdade no numerador e n2 - 1 graus de liberdade no denominador, de modo que: 
2
)(
)
2
(

  FFP se o teste for bilateral e 
  )( )(FFP se o teste for unilateral 
5. Calcular, sob a a hipótese nula, o valor 212
2
2
1 ssonde
s
s
Fcalculado  
6. Decisão: Rejeitar H0 se 








)unilateralfor testeo (se
bilateral)for testeo (se
);1;1(
)
2
;1;1(
21
21


nncalculado
nn
calculado
FF
FF
 
7. Tirar Conclusão 
5 
 
Exemplo 2: Um analista da qualidade quer avaliar se existe diferença entre as variabilidades na produção de 
uma peça de tractor desenvolvido por duas industrias metalúrgicas. A Tabela a seguir apresenta as medições 
de duas populações independentes da referida peça com distribuição Normal. Podemos dizer que as variâncias 
de ambas são iguais? 
Peças produzidas na indústria 1 Peças produzidas na indústria 2 
18,7997 18,7545 19,1688 21,1609 24,7531 25,0589 
20,5035 19,2026 19,2898 26,1371 25,7219 22,1119 
18,6214 18,4187 22,0590 21,4737 22,6389 20,3069 
19,9192 20,7641 18,5854 30,9934 26,2308 23,6758 
21,117 21,0553 17,8896 22,8421 26,7998 27,1201 
20,8353 17,5905 24,4133 28,4708 29,6136 
17,527 18,7561 20,4137 26,9941 25,9948 
17,078 18,9772 25,5475 25,1489 18,223 
17,6197 20,3084 21,8791 24,6179 23,7336 
21,4255 18,8988 22,6706 27,0194 22,4208 
Da amostra 1, temos que 
 
 
 
 
Da amostra 2, temos que 
 
 
 
 
Vamos estabelecer as hipóteses 
 
 
Fixemos o nível de significância α = 0,05. 
Como s1 = 1,36 e s2 = 2,89 , como S2 é maior que S1 então, temos que 
5156,4
8496,1
3521,8
)36,1(
)89,2(
2
2
2
1
2
2 
s
s
F 
Observando a tabela da distribuição Fisher-Snedecor com 29 graus de liberdade no numerador e 24 no 
denominador temos que F(29;24;0,025) =2,327. 
Como Fcalculado = 4,5156 > F(29;24;0,025) = 2,327, rejeitamos H0. 
Conclusão: ao nivel de signicancia de 5% hà evidencias suficientes para apoiar afirmação de que as variâncias 
de ambas são diferentes. 
 
6 
 
FICHA DE EXERCÍCIO NO 7 
 
1. Calcule a estatística do teste para o teste de uma variância nas seguintes situações: 
a) 53630566 2  snX  b) 6002525136 2  nsX 
 
2. A Cerveja de Moçambique distribui um tipo de cerveja de marca 2M em garrafas que indicam o conteúdo 
médio de 550ml. Uma empresa de consultoria selecciona aleatoriamente 50 dessas garrafas, mede seu 
conteúdo e obtêm uma média de 520ml, com desvio padrão de 7,5ml. 
 Ao nível de significância de 10% teste afirmação de que a variância das quantidade de cerveja por garrafa é 
superior a 25 ml2. 
 
3. Testes feitos em turmas passadas de Matemática acusaram notas com desvio padrão de 12. A turma 
actual tem agora 27 notas de teste com desvio padrão de 9. Ao nível de significância de 5%, teste a 
afirmação de a turma actual tem menor variação do que as turmas anteriores. Será que um menor desvio 
padrão sugere um melhor desempenho da turma actual? 
 
4. Uma máquina de preenchimento automático é utilizada para encher garrafas com detergente líquido. 
Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância da amostra do volume de enchimento 
de s2 = 0,0153 (litros)2. Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 (litros)2, existirá uma 
proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Com um nível 
de significância de 5%, há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um 
problema com garrafas com falta ou excesso de detergente? 
 
5. Fez-se um experimento para investigar o efeito do cansaço sobre a capacidade de memorização de 
uma testemunha ocular. O experimento envolveu o interrogatório normal de um suspeito que cooperava 
e o interrogatório exaustivo de um suspeito que não cooperava. A seguir temos um resumo dos números 
de detalhes memorizados uma semana após o incidente. Ao nível de significância de 5%, teste a 
afirmação de que as amostras provêm de populações com variâncias diferentes. 
Sem Stress: 6.113.5340 111  sxn 
Com Stress: 2.133.4540 222  sxn 
 
6. Um pesquisador selecionou aleatoriamente em uma universidade, 21 carros de estudantes e constatou 
que a média da idades dos carros era de 8 anos, com desvio padrão de 4 anos. Selecionou também, 
aleatoriamente, 52 carros do corpo docente e do pessoal da administração, constatando uma média de 
6 anos e um desvio padrão de 5 anos. Ao nível de significância de 0,05, teste a afirmação de que os 
carros dos dois grupos (Professores e estudantes) apresentam variâncias diferentes. 
 
7. Um pesquisador está interessado em verificar a variação salarial entre empresas do mesmo sector. Para 
isso, fez amostragens em duas empresas e obteve os resultados da tabela abaixo e utiliza como medida 
da variação salarial o desvio padrão. Podemos afirmar com 5% de significância que os salários de B 
variam mais que os de A? 
Empresa A B 
n 10 15 
Desvio padrão $1000 $1600 
Média $2000 $2200 
 
 
7 
 
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_________________________________________________ ____________________________________________ 
Teste de igualdade de duas médias 
 
O problema consiste em conhecidas as médias de duas amostras, extraídas de duas populações 
independentes e normais, verificar se as médias populacionais são diferentes ou iguais. Geralmente a hipótese 
nula é emitida a cerca da igualdade das médias populacionais e a alternativa pode ser qualquer uma das 
situações entre as três já referidas. 
 
Pressupostos para realização do teste: 
 
 As duas amostras devem ser independentes 
 As observações em cada grupo devem ser independente entre si. 
 As populações de onde as amostras foram extraidas devem ter uma distribuição normal 
 
2
2
2
1
2
1
21
nn
xx
Z



 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xx
Z


 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xx
t


 
21
21
11
nn
s
xx
t
p 

 
Condições (I) Condições (II) Condições (III) Condições (IV) 
 )1 , 0(~ Nz 
 
2
2
2
1 ....  e 
Conhecidas 
 
 )1 , 0(~ Nz 
 
2
2
2
1 ....  e 
Não conhecidas; 
 n > 30 
 )(~ tt 
 
2
2
2
1 .  
Conhecidas. 
 30n 
 )2(~ 21  nntt 
 
2
2
2
1   
Não conhecidas. 
 30n 
O desvio padrão conjugado é dado por 
2
)1()1(
21
2
22
2
11



nn
snsn
s p e 
11 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1





























n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
 
Hipóteses: 
esquerdas a unilateral Teste
 :
:
211
21




H
Ho
 
bilateral Teste
 :
:
211
21




H
Ho
 
direita a unilateral Teste
 :
:
211
21




H
Ho
 
 
Exemplo 1: Para verificar se dois tipos de alimentos possuem componentes energéticos em igual proporção, 
duas dietas foram administradas em dois grupos de 6 e 9 indivíduos tendo - se verificado que a média do 
primeiro grupo era de 14,2 calorias e do segundo 11,8 calorias com desvio padrão de 6,17 e 4,94 calorias 
respectivamente. Fixando um nível de significância de 5% pode – se dizer que as dietas são diferentes. 
 
 
8 
 
Resolução: 
Dados: ; 94.4`;17.6; 11.8 ;2.14 2121  ssxx 309)n6,(n e 05.0 21  ; 
Passo 1. Hipóteses 
bilateral Teste :
:
211
21




H
Ho
 
Passo 2. 05,0 
Passo 3. Estatística do teste 
2
2
2
1  e não conhecidos 309)n6,(n e 21  
deve-se Executar o teste F para verificar se 22
2
1  e são iguais. 
Portanto, 
2
2
2
10 :  H 
2
2
2
11 :  H 
05,0 
Regra de decisão: 
F(6-1 ; 9-1 ; 0,025)= F(5 ; 8 ; 0,025) = 6,757; Rejeitar H0 ( 22
2
1   ) se Fcalculado > 6,757 
212
2
2
1 ssonde
s
s
Fcalculado  
; 94,4;`17,6; 11,8 ;2,14 2121  ssxx 
559,1
4036,24
0689,38
)94,4(
)17,6(
2
2
2
2
2
1 
s
s
F 
Decisão: Não rejeitar H0 (
2
2
2
1   ). 
Conclusão: ao nivel de significancia de 5% há evidencias para apoiar a hipotese de que 22
2
1   . 
Voltando ao passo 3 do teste de diferença de médias, temos que: 
2
2
2
1  e não conhecidos; 309)n6,(n 21  e 
2
2
2
1   )2(~
11
21
21
21 


 nnt
nn
S
xx
t
p
 
Passo 4. Regra de decisão: 
Cálculo do valor crítico: 160,2)05.0;13(); 2( 21  tnnttcr  
Rejeitar H0 se tcalculado  160,2160,2  calculadotseou 
 
 
Passo 5. 717.0
872,2
03,2
9
1
6
1
45,5
8,112,14
11
21
21 






nn
S
xx
t
p
 
Onde 45,5
296
94,4817,65
2
)1()1( 22
21
2
22
2
11 






nn
SnSn
S p 
Passo 6. Decisão: Não rejeitar )( 21  Ho 
Passo 7: Conclusão: ao nivel de significancia de 5%, não há evidencias suficientes para apoiar afirmação de 
que as componentes energéticas nos dois alimentos não são estatisticamente diferentes. 
 
 
9 
 
Exemplo 2: Uma empresa está analisar as suas despesas relativas a energia, água, combustíveis, gastos em 
chamadas internas, etc. Um dos problemas é essencialmente diminuir a elevada conta dos gastos em 
chamadas telefónicas no fim de cada mês. Investigações preliminares de uma amostra revelaram que metade 
das chamadas realizadas não era de serviço. Supondo que os trabalhadores solteiros são os responsáveis 
pelas contas elevadas, retirou-se duas amostras aleatórias de 65 solteiros e 90 casados para averiguar o facto. 
A tabela abaixo resume as informações referentes as durações médias e variâncias das chamadas privadas por 
mês. 
 
 
 
 
Testar ao nível de significância de 5% se a média das chamadas privadas dos solteiros é superior em relação 
as chamadas dos casados. 
 
Resolução: 
Dados: 90n65,n21  7,13`;4,14; 3,89 ;26,5
2
2
2
121  ssxx 
Passo 1: 
Hipóteses 
direita a unilatel Teste :
:
211
21




H
Ho
 
 
Passo 2: 05.0 
 
Passo 3: Escolher a estatistica do do teste: 22
2
1  e não conhecidos; mas 3090)n65,(n 21  
deve–se usar o teste z : )1;0(~
2
2
2
1
2
1
21 Z
n
s
n
s
xx
z


 
 
Passo 4: Regra de decisão: Rejeitar H0 se Zcalculado  1,645 
 
 
 
Passo 5: 241,2
6113597,0
37.1
90
7,13
65
4,14
89,326,5
2
2
2
1
2
1
21 






n
s
n
s
xx
z 
 
Passo 6: Decisão: Como 645.1z rejeita-se a hipótese nula. 
 
Passo 7: Conclusão: Ao nivel de significancia de 5%, há evidencias suficientes para apoiar afirmação de que a 
duração média das chamadas individuais dos solteiros é maior do que dos casados, de facto a suspeita a 
legítima. 
 
Categoria tamanho da amostra média variância 
Solteiro (1) 65 5.26 14.4 
Casado (2) 90 3.89 13.7 
10 
 
 
 
FICHA DE EXERCÍCIO NO 8 
 
1. Um professor afirma que com um novo método de ensino os estudantes podem resolver exercícios mais rápido 
que com o método tradicional. Para verificar a afirmação do professor, toma-se dois grupos (amostras 
aleatórias), um grupo1 (expermental) de 15 estudantes que se aplicam o novo método e outro grupo2 (control) 
de 17 estudantes que se aplica o método tradicional. Solicita-se os estudantes de ambos grupos que resolvam 
uma série de exercícios e se mede o tempo que cada estudante necessita para resolver. O grupo de control 
demorou um tempo médio de 25 minutos e o grupo experimental demorou um tempo médio de 20 minutos. 
Supondo 9,4 22
2
1   e 01.0 . Faça um teste para provar a afirmação do professor. 
 
2. As resistências de dois tipos de concreto (Betao de cimento), que segue o modelo normal, foram medidas, 
mostrando os resultados da tabela. Fixado um nível de significância de 10%, existe evidências de que o 
concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y? 
Tipo X 54 55 58 50 61 
Tipo Y 48 51 52 49 50 
 
3. Em um estudo sobre salários de comissários de bordo, selecionaram-se aleatoriamente salários pagos por duas 
companhias de aviação diferentes. Para 40 comissários de bordo da American Airlines, a média foi de $23870 
e o desvio padrão $2960. Para 35 comissários da LAM, a média foi $22025 e o desvio padrão $3065. No nível 
de 10% de significância, teste a afirmação de que a American Airlines paga salários médios superiores aos 
pagos pela LAM. Com base no resultado, o salário deve ser um factor importante para um candidato a 
comissário de bordo escolher entre a American e a LAM? 
 
4. Um pesquisador selecionou aleatoriamente em uma universidade, 21 carros de estudantes e constatou que a 
média da idades dos carros era de 8 anos, com desvio padrão de 4 anos. Selecionou também, 
aleatoriamente, 52 carros do corpo docente e do pessoal da administração, constatando uma média de 6 anos 
e um desvio padrão de 4 anos. Ao nível de significância de 0,05, teste a afirmação de que os carros dos 
estudante são mais velhos do que os dos professores e demais funcionários. 
 
5. Um estudo sobre o uso de cinto de segurança envolveu crianças hospitalizadas em consequência de acidentes 
com veículos motorizados. Para um grupo de 290 crianças que não usavam o cinto, o número de dias 
passados em um hospital acusou média de 1,64 e desvio padrão de 3,06. Para um grupo de 123 crianças que 
usavam o cinto de segurança, o número de dias no hospital acusou uma média de 0,64 e desvio padrão de 
1,36. Ao nível de significância de 1%, teste a afirmação de que as crianças que não usam cinto de segurança 
acusam maior tempo de internação em hospitais. Com base no resultado, há evidência significativa que 
favoreça o uso do cinto de segurança pelas crianças? Que tipo de erro poderá estar associada a tua decisão?