Apostila 10 - Retas paralelas e perpendiculares

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Matemática 
 
 
 
 
RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
Introdução........................................................................................................................................3 
Objetivos ..........................................................................................................................................3 
Conceitos ..........................................................................................................................................3 
Intersecção de duas retas...............................................................................................................3 
Retas paralelas e perpendiculares ................................................................................................4 
Exercícios .........................................................................................................................................5 
Gabarito ............................................................................................................................................5 
Resumo .............................................................................................................................................6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Introdução 
 
Nesta aula continuaremos estudando as retas. Agora iremos focar nas relações 
entre mais de uma reta, sendo elas paralelas ou perpendiculares. Iremos entender 
como identificar essas situações matematicamente e algumas propriedades; ao fim 
dessa apostila, resolveremos alguns exercícios para a fixação do aprendizado. 
 
Objetivos 
 
• Entender o que são retas 
• Aprender o comportamento matemático de retas paralelas 
• Aprender o comportamento matemático de retas perpendiculares 
• Resolver exercícios sobre o assunto 
 
Conceitos 
 
Retas podem ser definidas como uma linha que não faz curvas. Ela é formada por 
um conjunto de pontos e podem ser finitas ou infinitas, sendo que no primeiro caso 
são chamadas de “segmentos de retas”. Retas paralelas possuem a mesma distância 
entre si em toda a sua extensão, enquanto retas perpendiculares se cruzam em um 
único ponto, sempre com um ângulo de 90º entre elas. 
 
Intersecção de duas retas 
 
Para que encontremos o ponto de interceptação de duas retas, basta que 
igualemos suas equações uma à outra, encontrando primeiro uma coordenada (x ou 
y) e calculando a outra logo em seguida. Por exemplo: 
Suponha duas retas, cada uma regida por uma das equações a seguir: 
 
2
 e 2
3
x
y y x= − = −
 
 
Para encontrar o ponto em que elas interceptam, basta que encontremos os únicos 
valores de x e y que são iguais em ambas as equações. Para isso, basta que 
substituamos o valor de y da primeira equação na segunda. Teremos então: 
 
2
2
3
2 3 6
5 6
6
5
x
x
x x
x
x
− = −
− = −
− = −
=
 
 
 
4 
 
Calculando agora o valor de y, podemos substituir o x encontrado em qualquer 
uma das equações. Portanto: 
6
2
5
6 12
5
6
5
y
y
y
= −
−
=
= −
 
 
Portanto, o ponto de intersecção dessas duas retas será dado pelo ponto P(
6
5
, −
6
5
). 
Caso não houvesse uma solução para essas equações que fizemos, as retas seriam 
paralelas, ou seja, não possuiriam um ponto em comum. 
 
Retas paralelas e perpendiculares 
 
Coeficiente angular 
O coeficiente angular de uma reta mede a inclinação de uma reta. Para encontrar 
o coeficiente, precisamos isolar o y em uma equação. Por exemplo, nas retas 
utilizadas anteriormente: 
 
2
 e 2
3
x
y y x= − = −
 
 
O valor do coeficiente (representado por “m”), será o valor que está multiplicando 
o x. Nesse caso, os valores de m será -2/3 na primeira reta e 1 na segunda. 
 
Retas paralelas 
Quando os valores dos coeficientes angulares de duas retas forem iguais, isso 
também significa que elas são paralelas ou até mesmo a mesma reta (retas 
coincidentes). 
 
Retas perpendiculares 
No caso dessas retas, o valor de m será sempre o oposto do inverso do outro. 
Matematicamente, teremos que as retas perpendiculares devem ter seus valores dos 
coeficientes angulares tais quais: 
 
1 2 1m m = −
 
 
Por exemplo, uma reta com coeficiente m1 = 1/2 e uma reta com coeficiente -2. 
Teremos: 
 
1 2
1 2
1
2
2
1
m m
m m
 = −
 = −
 
 
 
5 
 
Ou seja, essas retas são perpendiculares. 
 
Exercícios 
 
1. Mostre que as retas 2𝑥 + 3𝑦 = 1 e 6𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0 são perpendiculares. 
 
2. Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5, 2) e é paralela à reta de 
equação: 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0. 
 
3. Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: 2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0, sabendo 
que ela passa pelo ponto P(3,4). 
 
Gabarito 
1. Isolando o y das duas retas, teremos: 
 
𝑦 =
1 − 2𝑥
3
 e 𝑦 =
1 − 6𝑥
4
 
 
Temos que 𝑚1 =
2
3
 e 𝑚2 = −
6
4
. 
1 2
1 2
2 6
3 4
1
m m
m m
 
 =  − 
 
 = −
 
 
Portanto, as retas são perpendiculares. 
 
2. Se as retas são paralelas, então o valor de m vai ser igual. Como 𝑚1 = −
4
6
, então 
𝑚2 = −
4
6
. Utilizando a equação da reta, temos: 
 
( )0 oy y m x x− = −
 
 
Substituindo o valor de m e dos pontos dados: 
( )
4
2 5
6
4 20
2
6
6 12 4 20
6 4 32 0
y x
x
y
y x
y x
− = − −
− +
− =
− = − +
+ − =
 
3. O valor de m da reta t será 𝑚𝑡 = −
2
3
. Utilizando a propriedade das retas 
perpendiculares, temos: 
 
6 
 
1
2
1
3
3
2
t r
r
r
m m
m
m
 = −
−  = −
=
 
 
Utilizando agora a equação da reta, temos: 
 
( )
( )
0 0
3
4 3
2
3 3
4
2
2 8 3 3
2 3 5 0
y y m x x
y x
x
y
y x
y x
− = −
− = −
−
− =
− = −
− − =
 
 
Resumo 
 
Intersecção de duas retas 
Para que encontremos o ponto de interceptação de duas retas, basta que 
igualemos suas equações uma à outra, encontrando primeiro uma coordenada (x ou 
y) e calculando a outra logo em seguida. 
 
Retas paralelas e perpendiculares 
Os valores dos coeficientes angulares de retas paralelas devem ser iguais, 
enquanto para retas perpendiculares eles devem respeitar à regra: 
 
1 2 1m m = −