Tópicos de Geometria Analítica

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 Tópicos de Geometria Analítica 
 
 
PAIVA, Herivelto Nunes 
NASCIMENTO, Raquel Costa da S. 
 
I - Distância entre dois pontos: 
 
Podemos determinar uma expressão que indica a distância entre A e B, quaisquer que 
sejam A(x1, y1) e B(x2, y2). Observe o triângulo ABC, retângulo em C, logo podemos usar a 
relação de Pitágoras: a2 = b2 + c2. 
 
 
 
 
   212
2
12 yyxxd AB  
 
 
Convém observarmos que, como a ordem dos termos nas diferenças de abscissas e 
ordenadas não influi no cálculo de d, uma forma simples da fórmula da distância é: 
 
22 )()( yxd  , onde 
12 xxx  ou 21 xxx  ( é diferente) 
 
12 yyy  ou 21 yyy  (é diferente) 
 
II - PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO EM IR2 : 
 Dizemos que M é ponto médio do segmento AB, quando AM = MB . Observe a 
figura a seguir, logo: 
 
 
 M – A = B – M  2M = A + B  
2
BA
 

M 
 
A M B 
2 
 
 
 
Exemplo: 
Se A (2, -1) e B (4, 5), o ponto médio M do segmento AB é: 
M =   



2
)5 ,4(1 ,2
2
BA M = (3, 2) 
 
III - BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO EM IR2 : 
 
Disponivel em : http://professoremersonpaiva.blogspot.com/2011/06/baricentro-do-triangulo.html 
 
Exemplos: 
1. Os pontos A (4, 2, 0), B (7, -2, 1) e C (1, 6, 2) são vértices de um triângulo confeccionado 
com a ajuda de um fio de cobre homogêneo. Achar o centro de gravidade do triângulo. 
Solução: 
G = 

3
CBA
 G =  





 
3
210
,
3
622
,
3
174 G = (4, 2, 1) 
2. O ponto B (5, 12) é um dos vértices de um triângulo ABC. Uma reta que contém G, ponto 
médio de AB e é paralela ao lado AC, intercepta o terceiro lado no ponto H (10, 2). Calcule 
as coordenadas do vértice C: 
Solução: 
 
 
 
 B(5, 12) H (10, 2) 
Repare que GH é base média do triângulo e H médio de BC 
H =      8 ,1512 ,52 ,1022
2


CCBHC
CB 
A 
C 
 G 
Considere M (xa,ya) , N (xb,yb) 
e P ( xc, yc ), temos que o 
Baricentro do Triangulo, 
obtido pelos vértices M, N e 
C, é dado por: 
http://professoremersonpaiva.blogspot.com/2011/06/baricentro-do-triangulo.html
3 
 
 
 
Você sabia que é possível determinar a área do triângulo no plano cartesiano (R2)? No 
entanto, para isso é necessário conhecermos seus vértices, observe: 
 
 
 Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/Area-uma-regiao-triangular-atraves-determinante.htm 
 
A área do Triângulo ABC, será dada por: 
 S = 
𝟏
𝟐
| [
𝒙𝒂 𝒚𝒂 𝟏
𝒙𝒃 𝒚𝒃 𝟏
𝒙𝒄 𝒚𝒄 𝟏
] | 
Exemplo: 
03. Qual é a área do triângulo, cujos vértices são A(1, 2) , B(3, 4) e C(4, - 1)? 
Solução: 
S = 
1
2
|[
𝑥𝑎 𝑦𝑎 1
𝑥𝑏 𝑦𝑏 1
𝑥𝑐 𝑦𝑐 1
]| → 𝑆 =
1
2
|[
1 2 1
3 4 1
4 −1 1
]| → 𝑆 =
1
2
|[
1 2 1
3 4 1
4 −1 1
 
1 2
3 4
4 −1
]| →
 
 𝑆 =
1
2
|9 − 21| → 𝑆 =
1
2
 |−12| → 𝑆 = 6. 
 
IV - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS: 
 
Sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão 
alinhados, se e somente se: 
 
 
http://www.brasilescola.com/matematica/Area-uma-regiao-triangular-atraves-determinante.htm
4 
 
 
 
 
 
0
11
33
22
11

yx
yx
yx
yx
 ou 0
1321
1321

yyyy
xxxx
 
 
V – EQUAÇÃO DA RETA: 
O estudo da reta compreende um dos mais importantes assuntos da Geometria 
analítica, pois através de várias funções algébricas conhecidas é possível expressá-las por 
meio de retas. O capítulo em questão, dada a sua importância, engloba uma gama maior de 
conceitos e definições. 
A - Equação Geral da Reta: 
Sabemos, por conta da Geometria da posição, que uma reta será sempre determinada 
por dois pontos distintos. Daí, para determinarmos uma reta, é necessário então conhecer 
dois pontos distintos desta reta. 
 y 
 yB ---------------------- P 
 y -------------- B 
 yA ----- A 
 0 xA x xB x 
 
Como base no exposto é possível afirmar que os pontos A e B, indicados acima, e 
que qualquer ponto P genérico, que pertença a reta AB, estão alinhados. 
A condição para que três pontos estejam alinhados é: 
 
[
𝑥 𝑦 1
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
] = 0 
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0 
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0 
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0 
 
x . a + y . b + c = 0 
 
5 
 
 
 
Assim, obtemos a equação geral da reta, que é dada por: 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
4. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A( 1; -1) e B(-1; 3): 
Solução: 
Considerando o ponto genérico P(x, y) que pertence a reta e aplicando a 
[
1 −1 1
−1 3 1
𝑥 𝑦 1
] = 0 → +3 − 𝑥 − 𝑦 − 3𝑥 − 𝑦 − 1 → 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0. 
 Logo, a equação da reta que passa pelos pontos A e b é 2x + y - 1 = 0 
 
B - Pontos que pertencem à Reta: 
Podemos afirmar que um ponto P(xp, yp) pertence a uma reta r quando ao 
substituirmos as suas coordenadas na equação da reta verifica-se uma igualdade. 
Exemplo: 
5. Verifique se o ponto P(2; 1) pertence a reta r, definida pela equação r: 2x – y – 3 = 0. 
Solução: 
Neste caso efetua-se a substituição de x por 2 e y por 1 na equação 2x – y – 3 = 0. 
Assim, temos: 2 . 2 – 1 – 3 = 0 → 4 – 1 – 3 = 0 → 0 = 0 
 
C - Intersecção Entre Duas Retas: 
Sejam r : ax + bx + c = 0 e s: 𝛼x0 + 𝛽y0 + 𝛾 = 0 as equações de duas retas e P(x0, y0) 
a sua intersecção. 
 
 
 
ax + by + c = 0, onde: {
𝑎 = 𝑦1 − 𝑦2
𝑏 = 𝑥2 − 𝑥1
𝑐 = 𝑥1. 𝑦2 − 𝑥2. 𝑦1
 
6 
 
 
 
Graficamente, temos: 
 s y 
 r 
 P 
 
 x 
 
Assim, P ∈ r → ax + bx + c = 0 e P ∈ s → 𝛼x0 + 𝛽y0 + 𝛾 = 0. 
Logo, (x0, y0) é a solução do sistema formado pelas equações de r e s. 
Logo, podemos afirmar que para obter o ponto de intersecção entre duas retas r e s, basta 
resolver o sistema de equações do primeiro grau formado por elas. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
6. Determine o ponto de intersecção das retas x + 2y – 9 = 0 
Solução: 
{
𝑥 + 2𝑦 = 0
2𝑥 − 5𝑦 = 0
 → {
𝑥 = 9 − 2𝑦
2𝑥 − 5𝑦 = 0
 
2(9 – 2y) – 5y = 0 → 18 – 4y – 5y = 0 → 18 – 9y = 0 → y = 2 
X = 9 – 2y → x = 9 – 2 . 2 → x = 5 
Logo, P(5, 2) 
 
D – Representações da Equação da Reta: 
Há distintas maneiras de se representar uma reta, além da forma da equação geral 
da reta. Vejamos a seguir as principais formas. 
 
IMPORTANTE 
Caso o sistema possua mais do que uma solução, as retas são coincidentes, e caso não 
possua solução, as retas são paralelas entre si. 
7 
 
 
 
 
 - Equação Segmentária: A equação segmentária de uma reta é obtida quando os pontos 
em que ela intercepta os eixos coordenados são conhecidos. 
 
Disponível em: http://somatematica.com.br/emedio/retas/retas5.php 
 
A equação segmentária é dada por: 
 
 
 
- Equação Reduzida: A equação reduzida da reta é obtida quando isolamos y na equação 
geral. 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
- Equação Paramétrica: Uma reta pode ser representada por um par de equações que 
representam as coordenadas de seus pontos, em função de uma terceira variável, denominada 
de parâmetro. 
 
 
 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
Os valores m e n são denominados coeficientes angular e linear, respectivamente. 
Onde: 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
 
{
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
 
http://somatematica.com.br/emedio/retas/retas5.php
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E - Equação da Reta que passa por um dado ponto: 
Ao estudarmos o coeficiente angular, é possível determinar a equação da reta, conhecendo 
um pontodela e o ângulo que a mesma forma com o eixo x. 
 
Disponivel em: http://estatisticanoceta.blogspot.com/2013/12/formas-de-equacao-na-reta.html 
Observe que existe somente uma reta que passa pelo ponto A(xA, yA) e que forma um 
ângulo 𝛼 com o eixo x. 
Logo, a sua equação será definida por: 
 
 
Exemplos: 
7. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, -2), com inclinação de 60º. 
Solução: 
𝑚 = 𝑡𝑔𝛼 → 𝑚 = 𝑡𝑔 60º → 𝑚 = √3 
y – y0 = m(x – x0) → 𝑦— 2 = √3(𝑥 − 3) 
y +2 = √3𝑥 − 3√3 → √3𝑥 − 𝑦 − 3√3 − 2 = 0 
 
8. Calcule a equação segmentária da reta {
𝑥 = 𝑡 − 2
𝑦 = 𝑡 + 1
 
Solução: 
{
𝑥 = 𝑡 − 2
𝑦 = 𝑡 + 1
→ {
𝑡 = 𝑥 + 2
𝑡 = 𝑦 − 1
 
Assim, temos: 
 
y – yA = m(x – xA) 
http://estatisticanoceta.blogspot.com/2013/12/formas-de-equacao-na-reta.html
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x + 2 = y – 1 → x – y + 3 = 0 → Equação Geral da Reta 
 - y = - x – 3 . (- 1) 
 y = x + 3→ Equação Reduzida 
Logo, para a equação segmentária, obtemos: 
Sendo x – y + 3 = 0 
Se x = 0 → y = 3 
Se y = 0 →x = - 3 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1 →
𝑥
−3
+
𝑦
3
= 1 → Equação Segmentária 
 
F - Posições Relativas Entre Duas Retas: 
 Para determinar se duas retas, r e s são concorrentes, paralelas ou coincidentes, 
devemos, inicialmente, considerar suas equações gerais: 
r: a1x + b1y + c1 = 0 
s: a2x + b2y + c2 = 0 
Conhecidas as equações gerais, encontramos as posições relativas entre elas pelas relações 
abaixo indicadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
G - Estudo dos Coeficientes Angulares: 
Quando duas retas r e s são paralelas ou perpendiculares, há duas relações entre os 
coeficientes angulares que são de grande importância no estudo de Geometria Analítica. 
 
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
 → 𝐜𝐨𝐧𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
 → 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐚𝐬 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 → 𝐜𝐨𝐢𝐧𝐜𝐢𝐝𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 
 
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( i ) Retas paralelas 
 
 Disponível em: www.infoescola.com 
 
Se as retas, r e s, são paralelos, então podemos afirmar que seus coeficientes angulares 
são iguais, ou seja, mr = ms. 
( ii ) Retas perpendiculares 
 
Disponível em: www.objetivo.br 
Se duas retas, r e s, são perpendiculares, então podemos afirmar que seus coeficientes 
angulares são valores inversos, com sinais trocados, ou seja, 𝐦𝐫 = 
𝟏
𝐦𝐬
 
Exemplos: 
9. Sejam as retas r: 2x + 3y – 5 = 0; s: 3x + 2y – 1 = 0 e v: 4x + 6y + 3 = 0. Determine as 
posições relativas entre as retas r e s; r e v; s e v. 
Solução: 
 r e s: 
2
3
≠
3
2
 , logo r e s são concorrentes. 
 r e v: 
2
4
=
3
6
≠
−5
3
 , logo r e v são paralelos. 
 s e v: 
3
4
≠
2
6
 , logo s e v são concorrentes. 
 
http://www.infoescola.com/geometria-analitica/posicoes-relativas-de-duas-retas/
http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/Conteudo.aspx?codigo=1459&token=5%2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2009/08/full-1-1dbe591557.jpg&imgrefurl=http://www.infoescola.com/geometria-analitica/posicoes-relativas-de-duas-retas/&h=183&w=389&tbnid=2CzG4foLtxFS1M:&zoom=1&docid=uwiq0RJthICGNM&ei=ynjOU_TJErHgsATLyIH4Bw&tbm=isch&ved=0CD4QMygYMBg&iact=rc&uact=3&dur=944&page=2&start=14&ndsp=21
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_1459/101.gif&imgrefurl=http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/Conteudo.aspx?codigo%3D1459%26token%3D5/2Yd2%2Bzzv/29umTApxi0Q%3D%3D&h=206&w=246&tbnid=76XOXc27Gpr32M:&zoom=1&docid=XYBS7gEYMxQ8YM&ei=Z3rOU_3fBObfsASNu4C4Cg&tbm=isch&ved=0CFgQMyhQMFA4ZA&iact=rc&uact=3&dur=1029&page=10&start=167&ndsp=20
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10. Determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P(-3, 4) e é perpendicular à reta 
dada por r: 3x + 9. 
Solução: 
O coeficiente angular da reta m é mr = 3 
Pela condição de perpendicularidade, deve-se ter: mr . ms = -1→ 3 . ms = -1 → ms = -1/3 
Como P(-3, 4) pertence a s e ms = -1/3, obtém-se: y = msx + n → 4 = (-1/3) . (- 3) + n → 
4 = 1 + n → n = 3. 
Logo, a equação da reta s é y =- 
1
3
𝑥 + 3. 
H - Distância de ponto à reta: 
Ao falarmos de distância entre um ponto e uma reta estamos nos pautando na 
medida do segmento de uma reta perpendicular à reta que tem extremidades no ponto e na 
reta. Assim, para encontrar o valor numérico que representa a distância, vamos observar a 
figura a seguir: 
 
 Disponível em: www.estgv.ipv.pt 
 
Daí, é possível calcular a distância pela relação: 
 
 
 
http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/fmartins/Aluno/Matem%C3%A1tica/Ensino%20m%C3%A9dio/Geometria%20analitica%20%20Retas/Geometria%20analitica%20%20Retas.htm
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=L7X2IFOKzmNFfM&tbnid=xFXSFm5zwmS7VM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/fmartins/Aluno/Matem%C3%A1tica/Ensino m%C3%A9dio/Geometria analitica Retas/Geometria analitica Retas.htm&ei=AL_PU52FDqLu8AGUv4DwBw&bvm=bv.71667212,d.cWc&psig=AFQjCNGwz4YK2annimThLRcywAHPKW2ylg&ust=1406209968171526
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/ganalitica/zga20.png&imgrefurl=http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/ganalitica/ganalitica.htm&h=62&w=275&tbnid=SW7mxWZNOT_x2M:&zoom=1&docid=Ia4p7KskyHdqEM&ei=Ub7PU6mxE7K_sQS74oC4Dw&tbm=isch&ved=0CFsQMyhTMFM4ZA&iact=rc&uact=3&dur=1249&page=9&start=179&ndsp=24
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1) (UNITAU – SP) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é: 
 
a) y = x 
b) y = 3x 
c) y = 6x 
d) 2y = x 
e) 6y = x 
 
2) (UNISINOS-RS) Uma reta tem equação 3y – 2x +12 = 0. Os parâmetros 
(coeficientes) angular e linear, nesta ordem, são: 
 
a) 2/3 e 4 
b) 3/2 e 12 
c) 2/3 e – 12 
d) 2/3 e – 4 
e) -2/3 e 4 
 
3) (UEL-PR) Considere os pontos A(0, 0), B(2, 3), C(4, 1). O comprimento da altura do 
triângulo ABC, relativo ao lado BC é: 
 
a) √2 
b) (3√2)/2 
c) 2√2 
d) (5√2)/25 
e) 52√2 
 
4) (SOUZA MARQUES) Assinale o valor de p para o qual os pontos (2, -3), (6, -1) e 
(p, 2) são colineares. 
 
a) 2,5 
b) 3 
c) 3,5 
d) 4 
e) 4,5 
 
 
 
 
5) (FEBASP- SP) Determine a área da região triangular ABC, dados A, B e C, em cada um 
dos casos: 
 
 a) A(-1, 2), B(3,1) e C(2, 0) 
 b) A(0, 0), B(0, 4) e C(-5, 0): 
 
 
13 
 
 
 
 
 
5) (FEI-SP) A equação de reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45º com a 
reta y = 3x + 5 pode ser: 
 
a) y = -x 
b) x = 2y 
c) y = - 3x 
d) y = 3x 
e) y = -2 
 
6) Univ. Gama Filho-RJ) Os pontos A(0,1), B(1, 0) e C(x, y) pertencem à reta r; então, 
devemos ter: 
 
 
a) x + y = 0 
b) x - y = 0 
c) x - y = 2 
d ) x + y =1 
e ) x + y= 5 
 
7) Calcular a distância entre os pontos A (–2, 5) e B (4, –3). 
 
8) Calcular a distância entre os pontos A (2, 2) e B (-4, –6). 
 
9) Determine o ponto médio entre os pontos A(3, – ) e B(5, – 8)