Aulas 11 e 12 - Matemática para física 2 - Slides
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CURSO DE FÍSICA 
AULA 6-FUNÇÕES MATEMÁTICAS IMPORTANTES 
PROF. FABRÍCIO SCHEFFER - FÁBRIS 
6.1 Funções matemáticas importantes 
 
Função constante 
A fórmula geral da função constante é representada por \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc50, na qual 
\ud835\udc50 é um número real, ou seja, \ud835\udc50 \u404 \u211d. 
Análise gráfica 
O gráfico da função constante é bidimensional e sempre será uma reta 
horizontal em relação ao eixo x. 
 
Exemplos: 
 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 6. 
 
Note que para todos os 
valores de x tem-se f(x) 
igual a 6, ou seja, é 
constante. 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22122. 
 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0. 
 
Como a função é 
\ud835\udc87(\ud835\udc99) = \ud835\udfce a reta é 
sobre o eixo x. 
Função de primeiro grau 
Chama-se função do 1° grau a função que apresenta polinômio de grau um na base \ud835\udc65 
e é representada por \ud835\udc87(\ud835\udc99) = \ud835\udc82\ud835\udc99 + \ud835\udc83 com \ud835\udc4e e \ud835\udc4f \u404 \u211d e \ud835\udc4e \u2260 0. 
Exemplos: 
\uf0b7 \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 5\ud835\udc65 \u2013 3, onde \ud835\udc4e = 5 e \ud835\udc4f = \u2013 3 . 
\uf0b7 \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc65, onde \ud835\udc4e = -3 e \ud835\udc4f = 0 . 
\uf0b7 \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc65, onde \ud835\udc4e = 1 e \ud835\udc4f = 0. 
Zero ou raiz da função do 1º grau 
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc4e\ud835\udc65 + \ud835\udc4f o valor de x 
para o qual \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0. 
Exemplos: 
\u2022 Encontre a raiz da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 5\ud835\udc65 \u2013 3. 
Encontrar a raiz é fazer \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0, assim: 
 \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 5\ud835\udc65 \u2013 3 
 0 = 5\ud835\udc65 \u2013 3, 
 isolando a variável \ud835\udc65, obtém-se 
5\ud835\udc65 = 3 \u21d2 \ud835\udc65 = 3/5. 
\u2022 Encontre a raiz da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22123\ud835\udc65. 
Encontrar a raiz é fazer \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0, assim: 
 \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22123\ud835\udc65 
0 = \u22123\ud835\udc65, 
 isolando a variável \ud835\udc65, obtém-se 
\ud835\udc65 = 0/3 \u21d2 \ud835\udc65 = 0. 
 
\u2022 Encontre a raiz da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc65. 
Encontrar a raiz é fazer \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0, assim: 
 \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc65 
0 = \ud835\udc65, 
 isolando a variável x, obtém-se 
\ud835\udc65 = 0. 
Análise gráfica 
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua, podendo ser 
crescente ou decrescente. 
Exemplos: 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 5\ud835\udc65 \u2013 3. 
 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22123\ud835\udc65. 
 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc65. 
 
Informações Importantes: 
\uf0d8 Quando \ud835\udc82 > \ud835\udfce se observa que conforme o valor de x aumenta o valor de 
\ud835\udc53(\ud835\udc65) também aumenta, então dizemos que quando \ud835\udc4e > 0 a função é 
crescente, como no exemplo \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 5\ud835\udc65 \u2013 3, onde a = +5. 
\uf0d8 Quando \ud835\udc82 < \ud835\udfce se observa que conforme o valor de x aumenta o valor de 
\ud835\udc53(\ud835\udc65) diminui, então dizemos que quando \ud835\udc4e < 0 a função é decrescente, 
como no exemplo \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc65, onde a = -3. 
\uf0d8 Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar 
apenas dois valores pra \ud835\udc65, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada 
por, no mínimo, 2 pontos. 
\uf0d8 Apenas um ponto corta o eixo \ud835\udc53(\ud835\udc65), esse ponto é o valor de b. No exemplo 
\ud835\udc53(\ud835\udc65) = 5\ud835\udc65 \u2013 3, b = -3, logo a reta corta o eixo \ud835\udc53(\ud835\udc65) no ponto -3. 
Função de segundo grau 
Chama-se função do 2° grau a função que apresenta polinômio de grau dois na 
base \ud835\udc65 e é representada por \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc4e\ud835\udc652 + \ud835\udc4f\ud835\udc65 + \ud835\udc50, com \ud835\udc4e, \ud835\udc4f e \ud835\udc50 \u404 \u211d e a \u2260 0. 
Exemplos: 
\uf0b7 \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3, onde \ud835\udc4e = 1, \ud835\udc4f = \u22124 \ud835\udc52 \ud835\udc50 = 3. 
\uf0b7 \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65, onde \ud835\udc4e = \u22123, \ud835\udc4f = 3 \ud835\udc52 \ud835\udc50 = 0. 
\uf0b7 \ud835\udc53 \ud835\udc65 = 2\ud835\udc652 + 2, onde \ud835\udc4e = 2, \ud835\udc4f = 0 \ud835\udc52 \ud835\udc50 = 2. 
Zero ou raiz da função do 2º grau 
Chama-se zero ou raiz da função do 2º grau \ud835\udc53\ud835\udc65 = \ud835\udc4e\ud835\udc652 + \ud835\udc4f\ud835\udc65 + \ud835\udc50 o valor de 
\ud835\udc65 para o qual \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0. 
Exemplos: 
\u2022 Encontre as raízes da função \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3. 
Encontrar as raízes é fazer \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0, assim: 
 \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3 
 0 = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3, 
aplicamos bhaskara para encontrar as raízes. A 
 a = 1; b= -4; c = 3 
\ud835\udc65 =
\u2212\ud835\udc4f ± \ud835\udc4f2 \u2212 4\ud835\udc4e\ud835\udc50
2\ud835\udc4e
 \u21d2 \ud835\udc65 =
\u2212(\u22124) ± (\u22124)2\u22124.1.3
2.1
 
\ud835\udc65 =
4 ± 4
2
 \u27f9 \ud835\udc65 =
4 ± 2
2
 \u2234 \ud835\udc65 = 3 e \ud835\udc65 = 1 
 
\uf0b7 Encontre as raízes da função \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65. 
Encontrar as raízes é fazer \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0, assim: 
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65 
 0 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65, 
colocando em evidência a variável \ud835\udc65, obtém-se 
\ud835\udc65 \u22123\ud835\udc65 + 3 = 0 \u21d2 \ud835\udc65 = 0 \ud835\udc52 \u2212 3\ud835\udc65 + 3 = 0 
isolando a variável \ud835\udc65 da equação \u22123\ud835\udc65 + 3 = 0, obtém-se 
\u22123\ud835\udc65 = \u22123 \u21d2 \ud835\udc65 = 1. 
 
\uf0b7 Encontre as raízes da função \ud835\udc53 \ud835\udc65 = 2\ud835\udc652 + 2. 
Encontrar as raízes é fazer \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0, assim: 
\ud835\udc53(\ud835\udc65) = 2\ud835\udc652 + 2 
 0 = 2\ud835\udc652 + 2, 
 isolando a variável \ud835\udc65, obtém-se 
2\ud835\udc652 = \u22122 \u21d2 \ud835\udc652 = \u22121 \u21d2 \ud835\udc65 = \u22121; 
como não há raiz real de número negativo, essa função não cortará o eixo \ud835\udc65, ou seja, não 
possui, para qualquer que seja o \ud835\udc65, \ud835\udc53(\ud835\udc65) = 0. 
Análise gráfica 
A representação no plano cartesiano de uma função de 2° grau é uma 
parábola que, de acordo com o valor do coeficiente \ud835\udc4e , possui 
concavidade voltada para cima ou para baixo. 
Exemplos: 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3. 
\ud835\udc50 = 3 
Raízes 
Como \ud835\udc82 > \ud835\udfce a 
concavidade é para 
cima 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65. 
 
Como \ud835\udc82 < \ud835\udfce a 
concavidade é para 
cima 
\u2022 Gráfico da função \ud835\udc53 \ud835\udc65 = 2\ud835\udc652 + 2. 
 
A parábola não corta o eixo x, 
logo não possui raízes reais. 
Informações Importantes: 
\uf0d8 Quando \ud835\udc82 > \ud835\udfce a parábola com a concavidade voltada para cima, como no exemplo 
\ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3, onde a = +1. 
\uf0d8 Quando \ud835\udc82 < \ud835\udfce parábola com a concavidade voltada para baixo, como no exemplo 
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65, onde a = -3. 
\uf0d8 Apenas um ponto corta o eixo \ud835\udc53(\ud835\udc65), esse ponto é o valor de c. No exemplo \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22123\ud835\udc652 +
3\ud835\udc65, c = 0, logo a parábola corta o eixo \ud835\udc53(\ud835\udc65) no ponto 0. 
\uf0d8 Vértice da parábola: é o ponto em que a parábola 
atinge seu valor máximo ou mínimo, como mostra o 
gráfico ao lado. 
\ud835\udc99\ud835\udc97 = \u2212
\ud835\udc83
2\ud835\udc82
 e \ud835\udc9a\ud835\udc97 = \u2212
\ud835\udc832 \u2212 4\ud835\udc82\ud835\udc84
4\ud835\udc82
 
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são: 
Exemplos: 
 Calcule o vértice das funções a seguir: 
a) \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc652 \u22124\ud835\udc65 + 3. 
\ud835\udc99\ud835\udc97 = \u2212
\u22124
2.1
= 2 e \ud835\udc9a\ud835\udc97 = \u2212
\u22124 2 \u2212 4.1.3
4.1
= \u22121 Vértice = (2,-1) 
b) \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \u22123\ud835\udc652 + 3\ud835\udc65. 
c) \ud835\udc53 \ud835\udc65 = 2\ud835\udc652 + 2. 
 \ud835\udc99\ud835\udc97 = \u2212
3
2. \u22123
=
\ud835\udfcf
\ud835\udfd0
 e \ud835\udc66\ud835\udc63 = \u2212
3 2\u22124.(\u22123).0
4.(\u22123)
=
\ud835\udfd1
\ud835\udfd2
 Vértice = (1/2,3/4) 
\ud835\udc99\ud835\udc97 = \u2212
0
2.2
= 0 e \ud835\udc9a\ud835\udc97 = \u2212
0 2 \u2212 4.2.2
4.2
= 2 Vértice = (0,2)