[SALVA E DEIXA O LIKE] Aulas 11 e 12 - Matemática para física 2 - Slides

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CURSO DE FÍSICA 
AULA 6-FUNÇÕES MATEMÁTICAS IMPORTANTES 
PROF. FABRÍCIO SCHEFFER - FÁBRIS 
6.1 Funções matemáticas importantes 
 
Função constante 
A fórmula geral da função constante é representada por 𝑓(𝑥) = 𝑐, na qual 
𝑐 é um número real, ou seja, 𝑐 Є ℝ. 
Análise gráfica 
O gráfico da função constante é bidimensional e sempre será uma reta 
horizontal em relação ao eixo x. 
 
Exemplos: 
 
• Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 6. 
 
Note que para todos os 
valores de x tem-se f(x) 
igual a 6, ou seja, é 
constante. 
• Gráfico da função 𝑓(𝑥) = −2. 
 
• Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 0. 
 
Como a função é 
𝒇(𝒙) = 𝟎 a reta é 
sobre o eixo x. 
Função de primeiro grau 
Chama-se função do 1° grau a função que apresenta polinômio de grau um na base 𝑥 
e é representada por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 com 𝑎 e 𝑏 Є ℝ e 𝑎 ≠ 0. 
Exemplos: 
 𝑓(𝑥) = 5𝑥 – 3, onde 𝑎 = 5 e 𝑏 = – 3 . 
 𝑓 𝑥 = −3𝑥, onde 𝑎 = -3 e 𝑏 = 0 . 
 𝑓(𝑥) = 𝑥, onde 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0. 
Zero ou raiz da função do 1º grau 
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 o valor de x 
para o qual 𝑓(𝑥) = 0. 
Exemplos: 
• Encontre a raiz da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥 – 3. 
Encontrar a raiz é fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim: 
 𝑓(𝑥) = 5𝑥 – 3 
 0 = 5𝑥 – 3, 
 isolando a variável 𝑥, obtém-se 
5𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3/5. 
• Encontre a raiz da função 𝑓(𝑥) = −3𝑥. 
Encontrar a raiz é fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim: 
 𝑓(𝑥) = −3𝑥 
0 = −3𝑥, 
 isolando a variável 𝑥, obtém-se 
𝑥 = 0/3 ⇒ 𝑥 = 0. 
 
• Encontre a raiz da função 𝑓(𝑥) = 𝑥. 
Encontrar a raiz é fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 
0 = 𝑥, 
 isolando a variável x, obtém-se 
𝑥 = 0. 
Análise gráfica 
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua, podendo ser 
crescente ou decrescente. 
Exemplos: 
• Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥 – 3. 
 
• Gráfico da função 𝑓(𝑥) = −3𝑥. 
 
• Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥. 
 
Informações Importantes: 
 Quando 𝒂 > 𝟎 se observa que conforme o valor de x aumenta o valor de 
𝑓(𝑥) também aumenta, então dizemos que quando 𝑎 > 0 a função é 
crescente, como no exemplo 𝑓(𝑥) = 5𝑥 – 3, onde a = +5. 
 Quando 𝒂 < 𝟎 se observa que conforme o valor de x aumenta o valor de 
𝑓(𝑥) diminui, então dizemos que quando 𝑎 < 0 a função é decrescente, 
como no exemplo 𝑓 𝑥 = −3𝑥, onde a = -3. 
 Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar 
apenas dois valores pra 𝑥, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada 
por, no mínimo, 2 pontos. 
 Apenas um ponto corta o eixo 𝑓(𝑥), esse ponto é o valor de b. No exemplo 
𝑓(𝑥) = 5𝑥 – 3, b = -3, logo a reta corta o eixo 𝑓(𝑥) no ponto -3. 
Função de segundo grau 
Chama-se função do 2° grau a função que apresenta polinômio de grau dois na 
base 𝑥 e é representada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 Є ℝ e a ≠ 0. 
Exemplos: 
 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −4𝑥 + 3, onde 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 𝑒 𝑐 = 3. 
 𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 3𝑥, onde 𝑎 = −3, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = 0. 
 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 2, onde 𝑎 = 2, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 2. 
Zero ou raiz da função do 2º grau 
Chama-se zero ou raiz da função do 2º grau 𝑓𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 o valor de 
𝑥 para o qual 𝑓(𝑥) = 0. 
Exemplos: 
• Encontre as raízes da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −4𝑥 + 3. 
Encontrar as raízes é fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −4𝑥 + 3 
 0 = 𝑥2 −4𝑥 + 3, 
aplicamos bhaskara para encontrar as raízes. A 
 a = 1; b= -4; c = 3 
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 ⇒ 𝑥 =
−(−4) ± (−4)2−4.1.3
2.1
 
𝑥 =
4 ± 4
2
 ⟹ 𝑥 =
4 ± 2
2
 ∴ 𝑥 = 3 e 𝑥 = 1 
 
 Encontre as raízes da função 𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 3𝑥. 
Encontrar as raízes é fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim: 
𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 3𝑥 
 0 = −3𝑥2 + 3𝑥, 
colocando em evidência a variável 𝑥, obtém-se 
𝑥 −3𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑒 − 3𝑥 + 3 = 0 
isolando a variável 𝑥 da equação −3𝑥 + 3 = 0, obtém-se 
−3𝑥 = −3 ⇒ 𝑥 = 1. 
 
 Encontre as raízes da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 2. 
Encontrar as raízes é fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2 
 0 = 2𝑥2 + 2, 
 isolando a variável 𝑥, obtém-se 
2𝑥2 = −2 ⇒ 𝑥2 = −1 ⇒ 𝑥 = −1; 
como não há raiz real de número negativo, essa função não cortará o eixo 𝑥, ou seja, não 
possui, para qualquer que seja o 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0. 
Análise gráfica 
A representação no plano cartesiano de uma função de 2° grau é uma 
parábola que, de acordo com o valor do coeficiente 𝑎 , possui 
concavidade voltada para cima ou para baixo. 
Exemplos: 
• Gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −4𝑥 + 3. 
𝑐 = 3 
Raízes 
Como 𝒂 > 𝟎 a 
concavidade é para 
cima 
• Gráfico da função 𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 3𝑥. 
 
Como 𝒂 < 𝟎 a 
concavidade é para 
cima 
• Gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 2. 
 
A parábola não corta o eixo x, 
logo não possui raízes reais. 
Informações Importantes: 
 Quando 𝒂 > 𝟎 a parábola com a concavidade voltada para cima, como no exemplo 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 −4𝑥 + 3, onde a = +1. 
 Quando 𝒂 < 𝟎 parábola com a concavidade voltada para baixo, como no exemplo 
𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 3𝑥, onde a = -3. 
 Apenas um ponto corta o eixo 𝑓(𝑥), esse ponto é o valor de c. No exemplo 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 +
3𝑥, c = 0, logo a parábola corta o eixo 𝑓(𝑥) no ponto 0. 
 Vértice da parábola: é o ponto em que a parábola 
atinge seu valor máximo ou mínimo, como mostra o 
gráfico ao lado. 
𝒙𝒗 = −
𝒃
2𝒂
 e 𝒚𝒗 = −
𝒃2 − 4𝒂𝒄
4𝒂
 
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são: 
Exemplos: 
 Calcule o vértice das funções a seguir: 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −4𝑥 + 3. 
𝒙𝒗 = −
−4
2.1
= 2 e 𝒚𝒗 = −
−4 2 − 4.1.3
4.1
= −1 Vértice = (2,-1) 
b) 𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 3𝑥. 
c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 2. 
 𝒙𝒗 = −
3
2. −3
=
𝟏
𝟐
 e 𝑦𝑣 = −
3 2−4.(−3).0
4.(−3)
=
𝟑
𝟒
 Vértice = (1/2,3/4) 
𝒙𝒗 = −
0
2.2
= 0 e 𝒚𝒗 = −
0 2 − 4.2.2
4.2
= 2 Vértice = (0,2)