Matemática 2 - Triângulo cevianas e pontos notáveis

Prévia do material em texto

M
at
. 
Mat. 
 
Professores: Alex Amaral, Gabriel Ritter, 
PC Sampaio e Rafael Jesus 
Monitoras: Rodrigo Molinari 
Gabriella Teles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
at
. 
Triângulos – cevianas e pontos 
notáveis 
14 
jul 
 
 
 
 
Mediana 
É o segmento que contém um dos vértices e o ponto médio do lado oposto: 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, o segmento AM é a mediana relativa ao lado BC, pois BM = CM. 
 
Todo triângulo possui três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro, simbolizado na 
figura pela letra G: 
 
 
O baricentro divide cada mediana de forma que: 
 
AG = 2GMBC 
BG = 2GMAC 
CG = 2GMAB 
 
 
Bissetriz 
 
Segmento com uma extremidade em um vértice que divide o ângulo interno formado por ele em dois ângulos congru-
entes: 
 
 
M
at
. 
 
 
Na figura, o segmento BS é a bissetriz interna relativa ao ângulo B , pois determina nesse ângulo dois ân- 
gulos congruentes. Todo triângulo possui três bissetrizes que se encontram em um ponto denominado 
incentro, simbolizado na figura pela letra I: 
 
 
 
 
Altura 
 
Segmento cuja extremidade é um vértice do triângulo e que é perpendicular ao seu lado oposto (ou do prolongamento 
dele): 
 
O segmento AH é a altura relativa ao lado BC, pois AH é perpendicular à BC. 
 
Quando o triângulo é obtusângulo, a intersecção de duas das alturas se dá com o prolongamento dos lados: 
 
 
 
 
M
at
. 
Todo triângulo possui três alturas que se encontram em um ponto denominado ortocentro, simbolizado na figura pela 
letra H: 
 
 
 
Mediatriz 
Qualquer segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo e que passa por seu ponto médio. 
 
 
A reta r é a mediatriz do triângulo ABC relativa ao lado BC pois é perpendicular a BC e M é ponto médio 
desse lado. 
 
Todo triângulo possui três mediatrizes que se encontram em um ponto denominado circuncentro, simbo- 
lizado na figura pela letra C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
at
. 
 
 
1. No triângulo ABC abaixo, temos BM = CM, BÂP = PÂC e AH perpendicular a BC e os pontos M, P e H não são 
coincidentes. Podemos afirmar que: 
 
 
 
I. AM é uma mediana e AH é uma altura 
II. AP é uma mediatriz 
III.AP é uma bissetriz 
IV. AH é uma altura e AM é uma mediatriz 
 
a) II e IV são verdadeiras. 
b) I e III são verdadeiras. 
c) I e II são verdadeiras. 
d) III e IV são verdadeiras. 
 
2. Um ponto O equidista dos vértices de um triângulo ABC. Podemos afirmar que ponto O é: 
 
a) baricentro do triângulo ABC. 
b) incentro do triângulo ABC. 
c) circuncentro do triângulo ABC. 
d) ortocentro do triângulo ABC. 
 
 
3. No triângulo ABC a seguir, temos AP = BP e AQ = CQ. Sendo assim, os valores de x e y são, respectivamente, iguais 
a: 
 
 
 
a) 30 e 24. 
b) 20 e 4. 
c) 5 e 16. 
d) 8 e 10. 
e) 4 e 8. 
 
 
4. No triângulo ABC abaixo, temos que BS é bissetriz do ângulo e AH é altura relativa à 
base BC. Além disso, temos que BÂH = 30° e = 40°. Calcule o ângulo BCA. 
 
 
M
at
. 
 
a) 10°. 
b) 20°. 
c) 30°. 
d) 45°. 
e) 60°. 
 
 
5. Dada a figura: 
 
 
Sobre as sentenças 
I. O triângulo CDE é isósceles. 
II. O triângulo ABE é equilátero. 
III.AE é bissetriz do ângulo BÂD. 
 
é verdade que: 
 
a) somente a I é falsa. 
b) somente a II é falsa. 
c) somente a III é falsa. 
d) são todas falsas. 
e) são todas verdadeiras. 
 
 
 
 
1. Um triângulo ABC tem ângulos A= 40° e B = 50°. Qual é o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B 
desse triângulo? 
 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 90° 
e) 120° 
 
 
2. Em um triângulo retângulo, o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados se encontra: 
 
a) na região interior do triângulo. 
b) na região exterior do triângulo. 
c) em um dos catetos. 
d) na hipotenusa. 
 
 
M
at
. 
e) no vértice que contém o ângulo reto. 
 
 
3. Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC. Se BM é igual a 12 cm, a medida do segmento GM é igual a: 
 
 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 6. 
e) 4. 
 
 
4. Na figura abaixo, DE é paralelo a BC e contém o incentro do triângulo ABC. Se AB = 10 cm, AC = 14 cm e BC = 17 
cm, calcule o perímetro do triângulo ADE. 
 
 
a) 20 cm 
b) 22 cm 
c) 24 cm 
d) 26 cm 
e) 41 cm 
 
 
5. Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo em Â, M é ponto médio de BC e N é ponto médio de AC. Se 
BC = 18 cm, a medida de AP é, em centímetros, igual a: 
 
 
 
a) 3. 
b) 6. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 15. 
 
 
 
 
M
at
. 
6. Qual dos pontos notáveis do triângulo pode coincidir com um de seus vértices? 
 
a) baricentro 
b) incentro 
c) circuncentro 
d) ortocentro 
 
 
7. Em um triângulo isóceles ABC, de base BC,H é o ortocentro e G é o baricentro. Sendo HG maior que a altura relativa 
à base BC, podemos afirmar que: 
 
a) o triângulo é obtusângulo 
b) o triângulo é acutângulo 
c) o triângulo é retângulo 
d) o triângulo é equilátero 
 
 
8. Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha 
de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda. 
 
Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência des-
crita pela moeda para localizar seu centro é: 
 
a) 3. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 1. 
e) 5. 
 
 
 
 
Pirâmides do Egito são estruturas antigas de alvenaria construídas pela civilização do Egito Antigo. 
Até novembro de 2008, existiam fontes citando entre 118 e 138 pirâmides egípcias identificadas.[1][2] A maioria delas foi 
construída como túmulos para os faraós e seus consortes durante os períodos do Antigo e do Médio Império. 
As primeiras pirâmides egípcias conhecidas são encontradas em Saqqara, ao noroeste de Mênfis. A primeira delas foi a 
pirâmide de Djoser (feita entre 2630 a.C-2611 a.C.), que foi construída durante a III dinastia egípcia. Esta pirâmide e o seu 
complexo circundante foram projetados pelo arquiteto Imhotep e são geralmente considerados as mais antigas estruturas 
monumentais do mundo construídas de alvenaria vestida.[5] 
As pirâmides egípcias mais famosas são aquelas encontradas na Necrópole de Gizé, nos arredores da cidade do Cairo. 
Várias das pirâmides de Gizé estão entre as maiores estruturas já construídas.[6] A pirâmide de Quéops, em Gizé, é a maior 
pirâmide egípcia, cuja altura original chegava a mais de 140 metros. É a única das sete maravilhas do mundo antigo que 
ainda permanece. 
 
 
 
M
at
. 
 
 
As faces das pirâmides egípcias são formadas por triângulos equiláteros, o centro de simetria ilustrado pela figura a 
seguir, é um ponto de intersecção entre quais cevianas? 
 
 
 
 
 
M
at
. 
 
 
 
Quantos copos são necessários para equilibrar a garrafa? 
 
 
Gabarito puzzle semana 21: 
Para somar 100, serão necessárias 6 flechas: 16, 16, 17, 17, 17 e 17. 
 
 
 
M
at
. 
 
 
 
 
 
Exercícios para aula 
 
1. b 
2. c 
3. c 
4. a 
5. e 
 
 
Exercícios para casa 
 
1. d 
2. d 
3. e 
4. c 
5. b 
6. d 
7. a 
8. a 
 
 
 
Questão contexto