370906-Acionamento_A_-_parte_2

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25/02/2019
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Cálculo de Momento de Inércia
Equalização de Carga
Acionamento de Máquinas Elétricas A
Prof. Adilson Tavares
IFSul – Campus Pelotas
Curso de Engenharia Elétrica
Corpo rígido (indeformável), de massa M, 
distribuída em torno de um eixo
adMdF )(
rdFdT )(
radMdT ))((
r
dt
dvdMdT 



 )(
rv 





dt
ddMrdT )( 2
Cálculo de Momento de Inércia
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Corpo rígido (indeformável), de massa M, 
distribuída em torno de um eixo




dt
ddMrdT )( 2
Corpo indeformável  d/dt é constante




 dt
ddMrT
M )(
0
2
dt
dJT 

M
dMrJ
0
2

M
dMrJ
0
2
O momento de inércia é calculado em função da massa
girante e de sua distribuição em relação ao eixo
A integral é tridimensional
Em muitos casos o corpo possui simetria rotacional, o que
simplifica o cálculo do momento de inércia
Unidade SI: kgm2
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Exemplo: Momento de inércia de um cilindro maciço e homogêneo
dV
dM
)( rdLdrdV 
LrdrddV 
dVdM 
LrdrddM 

M
dMrJ
0
2  
R
rdrdrLJ
0
2
0
2 )(

  
R
drdrLJ
0
2
0
3


Exemplo: Momento de inércia de um cilindro maciço e homogêneo
 
R
drdrLJ
0
2
0
3


   20
0
4
4
R
rLJ 






4
2
LRJ 
Para um dado material e comprimento, o momento de inércia
aumenta com a quarta potência do raio
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Exemplo: Momento de inércia de um cilindro maciço e homogêneo
4
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LRJ 
4
2
LR
V
MJ 

 
4
22
LR
LR
MJ 






2
2RMJ 
Fica ainda mais claro que, para o movimento de rotação, a inércia não 
depende apenas da massa (popularmente chamada de peso)
Exercício: calcular o momento de inércia de um cilindro vazado com 
raios R1 e R2
  )(
2
2
44
4
1
4
2
4
1
4
22
0
2
1
4
RRLRRLrLJ
R
R






  
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Inércias Refletidas
cccmct EEE 
22
2
1
2
1
ccmmct JJE  
222
2
1
2
1
2
1
ccmmmt JJJ  
2
2
m
c
cmt JJJ 

2z
JJJ cmt  Momento de inércia total
2' z
JJ cc 
Momento de inércia da carga
referido (refletido) ao eixo do motor
Inércias Refletidas
cMcccmct EEEE 
2
2
2
2
mm
c
cmt
vMJJJ

 
Momento de inércia equivalente da massa
em translação referido (refletido) ao eixo
do motor
2
2
'
m
M
vMJ


2222
2
1
2
1
2
1
2
1 MvJJJ ccmmmt  
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Equalização de Carga
Exemplo: britador de mandíbulas
(Lobosco & Dias, Seleção e 
Aplicação de Motores Elétricos)
Há outros tipos de carga que 
apresentam picos de torque
Picos de torque de carga  exigência de motor de grande torque
Motor apresentará picos de corrente  flutuações de tensão
Solução técnica: uso de volante de inércia (flyweel)
Volante de inércia  incremento do torque dinâmico
dt
dJT mi

dt
dJTT mc
 0
dt
dJTT mc

Durante queda de velocidade:
0
dt
d m 0iT
cT
m
iT
Volante fornece
energia
)0( rotT
Durante aumento de velocidade:
0
dt
d m 0iT
cT
m
iT
Volante absorve
energia
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Curva de torque motor e ação do torque dinâmico 
1mn 0m
1nT,2nT
2mn
M1
M2
m
T
O motor M2 desenvolve menos torque à medida que a
velocidade diminui.
O motor M2 perde velocidade mais rapidamente, permitindo
maior torque dinâmico (volante cede energia rapidamente) .
Equação diferencial de torque 
mn 0m
nT
m
T
Característica linear T-m
BTAm 
T
Tn
mnm
mm
  00
dt
dT
Tdt
d
n
mnmm   0 )( J
dt
dT
T
J
dt
dJ
n
mnmm )( 0  
cTT  m



dt
d
(dimensão de tempo)
(diretamente proporcional a J) cm TTdt
dT 
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Exemplo de ciclo de carga
Tc
m
T
Tmax
Tmin
Tcp
Tcl
t1 t2
tp tl t
(carga pesada)
(carga leve)
cm TTdt
dT 
Solução da ED para o intervalo de carga pesada (fazer como exercício):
mm t
min
t
cp eTeTT
 // )1(  
No fim do intervalo, para t=t1=tp, T=Tmax:
mpmp t
min
t
cpmax eTeTT
 // )1(  
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cm TTdt
dT 
Solução da ED para o intervalo de carga leve (fazer como exercício):
mm t
max
t
cl eTeTT
 /'/' )1(  
No fim do intervalo, para t’=t1, T=Tmin:
mlml t
max
t
clmin eTeTT
 // )1(  
ltt  '0 pttt '
mlml t
max
t
clmin eTeTT
 // )1(  
mpmp t
min
t
cpmax eTeTT
 // )1(   






maxcp
mincp
p
m
TT
TT
t
ln

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n
mnm
m T
J )( 0  







maxcp
mincp
p
m
TT
TT
t
ln








maxcp
mincp
p
mnm
n
TT
TT
tTJ
ln
)( 0 
(Gopal Dubey, Fundamentals of 
Electrical Drives)
Equação alternativa:







clmin
clmax
l
mnm
n
TT
TT
tTJ
ln)( 0 
Exemplo: Um motor equipado com volante de inércia alimenta uma
carga de torque 1000 Nm por 10s, seguido por um período de torque
200 Nm, suficiente para o volante de inércia recuperar a velocidade
de estado estacionário. Deseja-se limitar o torque do motor a 700 Nm.
Qual deve ser o momento de inércia do volante? O motor possui
inércia de 10 kgm2. Sua velocidade sem carga é 500rpm e a
velocidade cai 5% quando o torque atinge 500 Nm.
Nm 500nT
rpm 5000 mn rad/s 360,5260
50020  m
rpm 47550095,0 mnn rad/s 742,4960
4752  mn







maxcp
mincp
p
mnm
n
TT
TT
tTJ
ln
)( 0  





7001000
2001000ln
10
)742,49360,52(
500J
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Exemplo: Um motor equipado com volante de inércia alimenta uma
carga de torque 1000 Nm por 10s, seguido por um período de torque
200 Nm, suficiente para o volante de inércia recuperar a velocidade
de estado estacionário. Deseja-se limitar o torque do motor a 700 Nm.
Qual deve ser o momento de inércia do volante? O motor possui
inércia de 10 kgm2. Sua velocidade sem carga é 500rpm e a
velocidade cai 5% quando o torque atinge 500 Nm.
2kgm 2,1947
7001000
2001000ln
10
)742,49360,52(
500 





J
(motor + volante)
vm JJJ  vJ102,1947
2kgm 2,1937vJ
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