Vetor Aceleração Instantânea em Duas e Três Dimensões e Aceleração Média em Duas e Três Dimensões.

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Vetor Aceleração Média em duas e três dimensões 
 
Toda vez que o vetor velocidade sofre uma variação, seja de módulo, direção 
ou sentido, indica a existência de um vetor aceleração no movimento. 
 
Se considerarmos o vetor aceleração média, podemos defini-lo como: a razão 
entre a variação do vetor velocidade em um intervalo de tempo, e o mesmo 
intervalo de tempo. 
 
Com isso, precisamos do vetor velocidade em dois instantes de tempo 
diferentes – ti e tf – e desses instantes de tempo. 
Matematicamente, temos: 
 
aM = ∆V = V(tf) – V(ti) 
 ∆t tf – ti 
 
Assim, o vetor aceleração média só depende dos vetores velocidades inicial 
e final e dos instantes de tempo inicial e final. 
 
Outra conclusão que podemos obter da fórmula matemática é que o vetor 
aceleração média terá sempre a mesma direção e sentido do vetor ∆V. 
Podemos escrever o vetor aceleração média através da notação de vetores 
unitários. 
 
aM = ∆V = ∆Vx î + ∆Vy ĵ + ∆Vz k 
∆t ∆t ∆t ∆t 
∆Vx = (Vfx – Vix) 
∆Vy = (Vfy – Viy) 
∆Vz = (Vfz – Viz) 
Em duas dimensões: 
 
aM = ∆V = ∆Vx î + ∆Vy ĵ 
 ∆t ∆t ∆t 
 
 
 
 
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Exemplo numérico 4: 
Lago Vostok 
 
O Lago Vostok é uma massa de água sub-glacial localizada na Antártida, por baixo da 
Estação Vostok, um centro de investigação dirigido pela Rússia. Este lago permaneceu 
desconhecido durante muito tempo, graças ao seu peculiar enquadramento geográfico e 
permanece como uma das últimas zonas por explorar do planeta Terra. Só em 1996 se 
descobriu a sua verdadeira extensão. O lago Vostok tem uma forma elíptica com 250 km 
de comprimento e 40 km de largura cobrindo uma área de 14 mil km². O seu fundo é 
irregular e divide-se em duas bacias, a mais profunda com cerca de 800 m e a outra com 
200 m. Calcula-se que o lago contenha um volume de 5.400 km³ de água doce. Está 
totalmente protegido da atmosfera e outros contactos com o exterior por uma espessura 
de 4 km de gelo antártico. 
A origem do lago Vostok é, segundo a opinião da maioria dos cientistas, um lago normal 
que foi coberto por gelo, à medida que se desenvolveram os glaciares da calote polar da 
Antártida. Esta submersão deve ter ocorrido a partir dos 30 milhões de anos atrás e 
terminou há 15 milhões de anos. É há esta quantidade de tempo que o lago e suas 
eventuais formas de vida se encontram isolados um dos motivos que lhe traz interesse 
científico. 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lago_Vostok (adaptado) 
 
No lago Vostok um barco desliza sobre o gelo velejando pela sua superfície com 
aceleração constante produzida pelo vento. Em certo instante a velocidade do 
barco é (6,30 î – 8,42 ĵ) m/s. Três segundos depois, por causa de uma mudança 
na direção do vento, o barco está instantaneamente em repouso. A aceleração 
média para esse intervalo de 3 s é: 
 
V(ti) = (6,30 î – 8,42 ĵ) m/s 
 
V(tf) = (0,00 î + 0,00 ĵ) m/s 
 
∆t = 3 s 
 
 
 
 
 3 
aM = 
∆𝑽
∆t
 = 𝑽(𝑡𝑓) – 𝑽(𝑡𝑖)
∆t
 = (0,00 î + 0,00 ĵ) − (6,30 î – 8,42 ĵ) 
3
 = (0,00 – 6,30) î + (0.00 – (− 8,42)) ĵ
3
 
 
= − 6,30 î + 8,42 ĵ 
3
 = (- 2,10 î + 2,81 ĵ )m/s2 
aM = (- 2,10 î + 2,81 ĵ) m/s2 
 
Vetor Aceleração instantânea em duas e três dimensões 
 
Podemos reescrever, mais uma vez, o vetor aceleração média como: 
aM = ∆V = V(t) – V(t + ∆t) 
 ∆t ∆t 
 
Para obtermos o vetor aceleração instantânea temos que fazer com que ∆t vá 
diminuindo, progressivamente, até que ele assuma um valor infinitamente 
pequeno. Fazemos isso usando o operador matemático limite quando ∆t tende a 
zero, estudado em Cálculo I e visto na aula 2. 
 
a = lim ΔV = lim ΔVx i + lim ΔVy j + lim ΔVz 
 Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt 
 
Então, o vetor aceleração instantânea é a derivada do vetor velocidade, 
matematicamente escrito como: 
 
a = dV = dVx i + dVy j + dVz k 
 dt dt dt dt 
 
O vetor aceleração instantânea é igual à inclinação da reta tangente à curva da 
velocidade do movimento em qualquer instante de tempo. 
Como o vetor velocidade é a derivada do vetor posição, podemos descrever o 
vetor aceleração como derivada segunda da posição: 
 
a = d2r = d2x i + d2y j + d2z k 
 
 
 
 4 
 dt2 dt2 dt2 dt2 
 
Outra forma de escrevermos o vetor aceleração instantânea é: 
 
a = ax i + ay j + az k 
 
Em duas dimensões: 
 
a = dV = dVx i + dVy j 
 dt dt dt 
 
a = d2r = d2x i + d2y j 
 dt2 dt2 dt2 
 
a = ax i + ay j 
 
Exemplo numérico 5: 
Não é tão ruim aprender um pouco sobre a origem das palavras! 
 
A palavra partícula vem do Latim particula, diminutivo de pars, “parte, porção”. 
Esse diminutivo é feito com o sufixo – ícula. Assim, partícula é composto pelo 
radical part + o sufíxo ícula. O significado dessa palavra fica fácil de 
descobrirmos, é uma parte pequena de algo. 
O elétron é uma pequena parte de um átomo, logo, chamamos de partícula. 
A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por: r = (2,00t3 
– 5,00t) î + (6,00 – 7,00t4) ĵ, com r em metros e t em segundos. Calcule: 
a) r em t = 2,00 s 
b) V em t = 2,00 s 
c) a em t = 2,00 s 
 
a) r = [(2,00t3 – 5,00t) î + (6,00 – 7,00t4) ĵ] m 
 
 
 
 5 
 
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em r: 
r = [(2,00 . 2,003 – 5,00 . 2,00) î + (6,00 – 7,00 . 2,004) ĵ] m 
r = [(2,00 . 8,00 – 10,0) î + (6,00 – 7,00 . 16,0) ĵ] m 
r = [(16,0 – 10,0) î + (6,00 – 122) ĵ] m 
r = [6,00 î – 106 ĵ] m 
 
b) Para calcular v devemos derivar r em função de t: 
V = 𝑑𝒓 
dt
 = 𝑑[�2,00𝑡3 – 5,00𝑡� î +(6,00 – 7,00𝑡4) ĵ] 
dt
 = (3 . 2,00t2 – 5,00) î + ( - 4. 7,00t3) ĵ = 
= [(6,00t2 – 5,00) î – 28,0t3 ĵ] m/s 
 
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em V: 
 
V = [(6,00t2 – 5,00) î – 28,0t3 ĵ] m/s 
V = [(6,00. 2,002 – 5,00) î – (28,0. 2,003) ĵ] m/s 
V = [(6,00. 4,00 – 5,00) î – (28,0. 8,00) ĵ] m/s 
V = [(24,0 – 5,00) î – 224 ĵ] m/s 
V = [19,0 î – 224 ĵ] m/s 
 
c) Para calcular a devemos derivar V em função de t: 
 
a = 𝑑𝑽
dt
 = 𝑑[(6,00𝑡2 – 5,00) î − 28,0𝑡3 ĵ]
dt
 = (2 . 6,00t î - 3 . 28,0t2 ĵ) m/s2 
 
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em a 
a = (12,0t î - 84,0t2 ĵ) m/s2 
a = (12,0 . 2,00 î - 84,0 . 2,002 ĵ) m/s2 
a = (24,0 î - 84,0 . 4,00 ĵ) m/s2 
a = (24,0 î – 336 ĵ) m/s2