6979334-10-Cinematica-conceitos-fundamentais00

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 S2
 S1
 DS
 0 t1 t2
S
O
(t)
P
FísicaFísicaFísicaFísicaFísica
FISINT0103 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda os movimentos,
sem se importar com suas causas.
Ponto material é um corpo cujas dimensões podem ser
desprezadas. Quando um ponto material está em movimento,
costuma ser chamado de móvel. A linha geométrica que se
obtém ligando os pontos por onde o móvel passa denomina-
se trajetória, que pode ser retilínea, curvilínea ou mesmo
reduzir-se a um único ponto (se não houver movimento).
Para se dizer se uma partícula está em movimento ou em repouso
é indispensável adotar um referencial.
Os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois
dependem sempre do referencial escolhido. Em condições
normais, os prédios estão parados (em repouso) em relação à
Terra, porém estão em movimento em relação ao Sol ou em
relação à Lua.
Após um referencial ter sido escolhido, para se dizer se uma
partícula está em movimento ou em repouso, basta verificar se
a posição dessa partícula em relação ao referencial permanece
a mesma (repouso) ou se modifica (movimento) no decorrer do
tempo.
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (VM)
Quando se estuda o movimento sobre a trajetória, o referencial
pode ser um ponto da mesma, chamado origem dos espaços O.
Orientando-se a trajetória, o valor algébrico (positivo ou
negativo) da distância entre a posição P da partícula e a origem
O corresponde ao espaço ou abscissa S da partícula num dado
instante de tempo t.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade utilizada
para espaço é o metro (m) e para o tempo é o segundo (s).
Essas unidades, juntamente com a unidade de massa chamada
quilograma (kg), constituem as unidades fundamentais de toda
a Mecânica no SI.
Variação de espaço DDDDDS ou deslocamento escalar é a diferença
entre a posição ou espaço final S2 no instante t2 e o espaço
inicial S1 no instante t1.
DDDDDS = S2 – S1
Intervalo de tempo DDDDDt é a diferença entre o instante de tempo
final t2 e o instante de tempo inicial t1.
DDDDDt = t2 – t1
Distância percorrida d é a medida de quanto realmente anda
um corpo, não importanto o sentido do movimento.
d = | D| D| D| D| DS1 | + |D|D|D|D|DS2| + ...
Velocidade escalar média (ou velocidade média) é a razão ou
quociente entre a variação de espaço DS e o correspondente
intervalo de tempo Dt:
V S
tM
=
∆
∆
V S S
t tM
=
−
−
2 1
2 1
Se a variação de espaço for medida para um intervalo de tempo
muito pequeno (tendendo ao valor zero), o quociente será
denominado velocidade instantânea. É o caso da velocidade
fornecida pelos velocímetros dos veículos em geral.
Decorre da definição que a velocidade é medida em m/s, embora
também possa ser medida em km/h ou cm/s no S.I..
1 km = 1000 m
1 h = 60 min = 3600 s
1 10003600
1
3 6
km
h
m
s
= =
,
m/s Þ 1 m/s = 3,6 km/h
CinemáticaCinemáticaCinemáticaCinemáticaCinemática
EDUCACIONAL
2 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
O intervalo de tempo é uma grandeza sempre positiva (Dt > 0),
pois o tempo jamais volta. Já as variações de espaço podem
ser positivas (DS > 0), negativas (DS < 0) ou nulas (DS = 0),
dependendo da posição final da partícula comparada com a
posição inicial da mesma.
Se o movimento ocorre no mesmo sentido da orientação da
trajetória (movimento progressivo), S2 é sempre maior que S1
e a variação de espaço (assim como a velocidade média) é
positiva (DDDDDS > 0 Þ Þ Þ Þ Þ VM > 0).
Se o movimento ocorre em sentido oposto ao da orientação da
trajetória (movimento retrógrado), S2 é sempre menor que S1
e a variação de espaço (assim como a velocidade média) é
negativa (DDDDDS < 0 Þ Þ Þ Þ Þ VM < 0).
Após uma sucessão de movimentos, se a posição final coincidir
com a posição inicial, tudo terá se passado como se a partícula
não tivesse saído do lugar, isto é, a variação de espaço (assim
como a velocidade média) será nula (DDDDDS = 0 Þ Þ Þ Þ Þ VM = 0).
ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA (aaaaaM)
Suponha uma partícula em movimento, de modo que no instante
t1 ela possua velocidade escalar V1 e no instante posterior t2
ela possua velocidade escalar V2.
No intervalo de tempo Dt = t2 – t1 houve uma correspondente
variação da velocidade escalar dada por DV = V2 – V1.
Aceleração escalar média (ou simplesmente aceleração média)
é a razão ou quociente entre a variação de velocidade DV e o
correspondente intervalo de tempo Dt.
α αM M
V
t
V V
t t
= =
−
−
∆
∆
ou 2 1
2 1
Se a variação de velocidade for medida num intervalo de tempo
muito pequeno (tendendo a zero), o quociente será
denominado aceleração instantânea 
 a a a a a .
Decorre da definição que a aceleração é medida em m/s por s,
ou seja, m/s2, embora também possa ser medida em km/h2,
cm/s2, pol/min2 no SI . As variações de velocidade 
 D D D D DV e
conseqüentemente as acelerações 
 a a a a a podem ser positivas
(se V2 > V1), negativas (se V2 < V1) ou nulas (se V2 = V1).
CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
Dependendo de como a velocidade se comporta, os movimentos
podem ser classificados como acelerados ou retardados.
Considere um veículo em movimento ao longo de uma estrada.
Se o velocímetro indicar sempre o mesmo valor da velocidade, o
movimento é dito uniforme e não apresenta aceleração escalar.
Se o velocímetro indicar valores diferentes a cada instante, o
movimento é considerado variado e, neste caso, a velocidade
pode estar aumentando (figura A) ou diminuindo (figura B).
O velocímetro de um veículo só consegue marcar o valor absoluto
(módulo) da velocidade escalar. Se a velocidade aumenta em valor
absoluto o movimento é acelerado (figura A). Se a velocidade
diminui em valor absoluto o movimento é retardado (figura B).
Algebricamente, pode-se constatar se o movimento é ou não
acelerado: quando a velocidade e a aceleração têm o mesmo
sinal algébrico, o movimento é acelerado; se os sinais algébricos
da velocidade e da aceleração forem opostos, o movimento é
retardado. Resumindo:
Acelerado: | V | crescente
 Û Û Û Û Û V e a a a a a têm mesmo sinal
Retardado: | V | decrescente ÛÛÛÛÛ V e a a a a a têm sinais opostos
Movimento Acelerado Progressivo
Movimento Acelerado Retrógrado
Movimento Retardado Progressivo
Movimento Retardado Retrógrado
V<0
a < 0
DS4 DS3 DS2 DS1
+
a > 0
V>0
DS1 DS2 DS3 DS4
+
a < 0
V>0 +
DS1 DS2 DS3 DS4
a > 0
V< 0 +
DS4 DS3 DS2 DS1
0
10
20
50
30 70
80
90
100
40 60
Figura A
km/h
50 60
100
Figura Bkm/h
70
80
90
0
10
20
30
40
V > 0
+
progressivo
V < 0
+
retrógrado
(t1) (t2)
V1 V2
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3CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Com base na trajetória de um móvel dada abaixo,
determine os deslocamentos escalares a seguir:
a) quando o móvel se desloca de A para C
b) quando o móvel se desloca de B para E
c) quando o móvel se desloca de E para A
d) quando o móvel se desloca de C até E e volta ao ponto C
e) quando o corpo permanece em repouso sobre o ponto A
Resolução:
a) DS = SC - SA = 2 - (-3) = 5 m
b) DS = SE - SB = 5 - 0 = 5 m
c) DS = SA - SE = -3 - 5 = - 8 m
d) DS = SC – SC = 2 – 2 = 0
e) DS = SA - SA = -3 - (-3) = 0
02. As anotações feitas por um motorista ao longo de uma
viagem são mostradas no esquema:
Analisando as informações contidas neste esquema, calcule
a velocidade média entre as cidades A e D, em km/h.
Resolução:
VM = 
S S
t t
D A
D A
–
–
 = 
540 200
13 9
340
4 85
−
−
= = km h/
03. Em relação ao exercício 02, o motorista passa pela cidade
B novamente às 15h. Calcule a velocidade média do móvel
e a distância percorridaentre A e B.
Resolução:
VM = 
S S
t t
km hB A
B A
−
−
=
−
−
= =
'
/380 20015 9
180
6 30
Distância percorrida = dA ® D + dD ® B = 340 + 160
A distância percorrida foi de 500 km.
04. Um ônibus faz o trajeto entre duas cidades em duas etapas.
Na primeira, percorre uma distância de 150 km em 90 minutos.
Na segunda, percorre 220 km em 150 minutos. Calcule a
velocidade média do ônibus durante a viagem.
Resolução:
DS1 = 150 km; Dt1 = 1,5 h
DS2 = 220 km; Dt2 = 2,5 h
VM = 
∆ ∆
∆ ∆
S S
t t
1 2
1 2
150 220
15 2 5
370
4
+
+
=
+
+
=
, ,
VM = 92,5 km/h
A velocidade média do ônibus na viagem foi 92,5 km/h.
05. Seja a função horária espaço x tempo, que representa o
movimento de uma partícula: S = 2t2 + 6t – 3 (SI).
a) Calcule a posição da partícula nos instantes:
t1 = 0 Þ Resolução: S = 2 . 02 + 6 . 0 – 3 Þ S = – 3 m
t2 = 1s Þ Resolução: S = 2 . 12 + 6 . 1 – 3 Þ S = 5 m
t3 = 2s Þ Resolução: S = 2 . 22 + 6 . 2 – 3 Þ S = 17m
b) Calcule a velocidade média da partícula entre os
instantes t1 = 0 e t3 = 2s
Resolução:
VM = 
f i
f i
S SS
t t t
−∆
=∆ − = 
17 – (–3)
2 – 0 = 10 m/s
A velocidade média da partícula foi de 10 m/s.
2 m 4 m 5 m
B C D EA
-3 m
A B C D
200 km
9,0 h
380 km
11,0 h
420 km
12,0 h
540 km
13,0 h
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4 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
EXERCÍCIOS
06. A velocidade de propagação do som no ar (VS), em
determinadas condições, é 1224 km/h, enquanto nas
mesmas condições a velocidade da luz (VL) é
3,0 . 105 km/s. Neste caso, podemos afirmar que a relação
aproximada de VS e VL é:
a) VL = 4,08 . 10-2 VS
b) VL = 2,45 . 102 VS
c) VL = 8,8 . 104 VS
d) VL = 2,45 . 105 VS
e) VL = 8,8 . 105 VS
07. O gráfico representa aproximadamente a velocidade de um
carro durante uma viagem. A velocidade escalar média desse
carro durante as 10 horas de viagem é:
a) 21 km/h
b) 26,2 km/h
c) 5 km/h
d) 6,25 km/h
e) 15 km/h
08. O desenho abaixo corresponde ao esboço das anotações
feitas por um motorista ao longo de uma viagem.
Analisando as afirmações contidas neste esboço, podemos
concluir que a velocidade escalar média desenvolvida pelo
motorista entre as cidades A e D foi, em km/h:
a) 90 REPETIDO = EX 2
b) 85
c) 80
d) 70
e) 60
V (km/h)
30
20
0 5 7 10
t (h)
A B C D
200 km
9 h
380 km
11 h
420 km
12 h
540 km
13 h
09. Em relação ao exercício anterior, se o motorista passar
novamente pela cidade B às 15 h, a sua velocidade escalar
média, bem como a distância percorrida entre A e B, serão:
a) 83 km/h; 580 km
b) 30 km/h; 500 km
c) 83 km/h; 500 km
d) 20 km/h; 580 km
e) 90 km/h; 180 km
10. (UF-RN) Um móvel, em movimento retilíneo, está com
aceleração constante de 2 m/s2. Isso significa que:
a) o móvel percorre 2 m em cada segundo
b) o móvel percorre 22m em cada segundo
c) a velocidade do móvel varia 2 m/s em cada segundo
d) a velocidade do móvel varia 22 m em cada segundo
e) a velocidade do móvel também é constante
11. (PUC-MG) Um objeto movendo-se em linha reta tem, no
instante 4,0 s, velocidade 6,0 m/s e, no instante 7,0 s,
velocidade 12,0 m/s. Sua aceleração média nesse intervalo
de tempo é, em m/s2:
a) 1,6
b) 2,0
c) 3,0
d) 4,2
e) 6,0
12. (FUVEST) Partindo do repouso, um avião percorre a pista
com aceleração constante e atinge a velocidade de 360 km/h
em 25 segundos. Qual o valor da aceleração, em m/s2 ?
a) 9,8
b) 7,2
c) 6,0
d) 4,0
e) 2,0
EDUCACIONAL
5CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
V
t
t0
S0
SV
S
S0
0 t
V > 0
S
S0
0 t
V < 0
V
V > 0
0 t
V
0 tV < 0
MOVIMENTO UNIFORME (M. U.)
Movimento uniforme é aquele em que a velocidade permanece
constante (não-nula) no decorrer do tempo: o móvel apresenta
variações de espaço iguais em intervalos de tempos iguais.
Como conseqüência, no M.U. a velocidade média coincide com
a velocidade em cada instante.
M.U. ÛÛÛÛÛ VM = V = constante (¹(¹(¹(¹(¹ 0)
FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS
Função horária é aquela em que uma das variáveis é o tempo (t).
Em Cinemática é comum trabalhar-se com a função horária dos
espaços S = f(t), a função horária das velocidades V = f(t) e a
função horária das acelerações a = f(t), que relacionam com o
tempo respectivamente o espaço S, a velocidade V e a
aceleração a. Quando um movimento é uniforme, sua função
horária dos espaços é de 1o grau (função linear).
Considere que o móvel da figura abaixo realiza um movimento
uniforme sobre a trajetória desenhada. Nos instantes t0 e t
ele ocupa respectivamente os espaços S0 e S.
A função horária dos espaços no Movimento Uniforme é:
S = S0 + V . t
As unidades utilizadas devem ser sempre especificadas. Muitas
vezes, indica-se apenas o sistema de unidades.
Por exemplo, se a função horária do movimento de um móvel é
dada pela expressão:
S = 10 + 5 . t (S.I.)
isto significa que os espaços estão sendo medidos em metros
e os instantes de tempo em segundos. Neste caso, o espaço
inicial vale S0 = 10 m e a velocidade vale V = 5 m/s e é possível
dizer, a cada instante de tempo t, onde se localiza o móvel na
trajetória S, ou vice-versa. A partir da função horária, é possível
obter uma tabela ou um diagrama (gráfico) do espaço em função
do tempo que represente o movimento, como será visto
adiante.
DIAGRAMAS HORÁRIOS
DO MOVIMENTO UNIFORME
DIAGRAMA HORÁRIO DOS ESPAÇOS
Como a função horária dos espaços é do 1o grau em t, o gráfico
correspondente será uma reta oblíqua, que poderá ser crescente
ou decrescente, dependendo do movimento ser progressivo
(V > 0) ou retrógrado (V < 0).
DIAGRAMA HORÁRIO DAS VELOCIDADES
Sendo a velocidade constante e não-nula, seu gráfico será
uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Ficará acima do eixo t se o movimento for progressivo (V > 0).
Ficará abaixo do eixo t se o movimento for retrógrado (V < 0).
DIAGRAMA HORÁRIO DAS ACELERAÇÕES
Como no movimento uniforme a velocidade não varia, então a
aceleração será constantemente nula e seu gráfico será uma
reta coincidente com o eixo dos tempos.
a
0
a = 0
t
EDUCACIONAL
6 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
S
S0
t0 t
t – t0
S – S0
q
S
t
PROPRIEDADES DOS DIAGRAMAS
DIAGRAMA HORÁRIO DOS ESPAÇOS
No diagrama horário dos espaços, a velocidade escalar é
numericamente igual à tangente do ângulo formado entre o
gráfico e o eixo t.
tg S
t
V
N
θ = =∆∆
DIAGRAMA HORÁRIO DAS VELOCIDADES
O diagrama horário das velocidades apresenta duas
propriedades importantes:
¬¬¬¬¬ a aceleração escalar é numericamente igual à tangente do
ângulo formado entre o gráfico e o eixo t
­­­­­ a área compreendida entre o gráfico e o eixo t representa
numericamente a variação de espaço entre os instantes de
tempo considerados.
A
t1 t2
t
V
tg V
t
N
θ α= =∆∆ A S
N
= ∆
DIAGRAMA HORÁRIO DAS ACELERAÇÕES
No diagrama horário das acelerações, a área compreendida
entre o gráfico e o eixo t representa numericamente a variação
de velocidade entre os instantes de tempo considerados.
A V
N
= ∆
A
a
t1 t2
t
V
V0
q
t0 t
t – t0
t
V – V0
V
EXERCÍCIO RESOLVIDO
13. Um móvel percorre uma trajetória retilínea, obedecendo à
seguinte função horária: S = –3 + 3t (SI). Determine:
a) a posição do móvel no instante t = 0
b) a velocidade do móvel
c) o espaço do móvel no instante t = 5s
d) o instante em que o móvel passa pela origem da trajetória
 e) o instante em que o móvel passa pela posição 24m
Resolução:
a) S = -3 + 3 . 0 = -3m \ S0 = - - - - -3m
b) V = 3m/s
c) S = -3 + 3 .5 = -3 + 15 \ S5 = 12 m
d) Na origem S = 0
0 = -3 + 3t Þ 3t = 3 Þ t = 1s
e) S = 24 m temos: 24 = –3 + 3t Þ 7 = 3t Þ t = 9s
EXERCÍCIOS
14. Uma partícula em movimento retilíneo tem suas posições
variando com o tempo, de acordo com o gráfico abaixo. No
instante t = 1,0 minuto, sua posição x será:
a) 5,0 m
b) 1,2 . 101 m
c) 2,0 . 101 m
d) 3,0 . 102 m
e) 1,2 . 103 m
15. Um móvel A, de pequenas dimensões, descreve um
movimento retilíneo uniforme quando um outro B, de
150 m de comprimento, deslocando-se paralelamente a A,
passa por ele no mesmo sentido, com velocidade também
constante de 108 km/h. O tempo de ultrapassagem de B
por A foi de 7,5 s. A velocidade do móvel A (em m/s) é:
a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10
16. (UF-PI) Dois móveis A e B obedecem às funções horárias
SA= 90 – 2 t e SB = 4 t, com unidades no SI. Podemos
afirmar que o encontro dos móveis se dá no instante:
a) 0 s b) 15 s c) 30 s d) 45 s e) 90 s
17. (ESPM) Dois carros A e B, de dimensões desprezíveis,
movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido. No
instante t = 0, os carros encontram-se nas posições indicadas
na figura. Determine depois de quanto tempo A alcança B.
a) 200 s b) 100 s c) 50 s d) 28,6 s e) 14,3 s
x (m)
10
0 0,5 t (s)
A B
20m/s
1 000 m
15m/s
t
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7CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
t
+
V0
t0
V
V
0
a > 0
ac
ele
rad
o
re
tar
da
do
t
V0
acelerado
retardado
VV0
0
a < 0
t
V < 0
M
S
0
V = 0
t1
t
V > 0
a > 0
retrógrado retardado progressivo acelerado
a < 0
tt10
S
M
V > 0 V < 0
V = 0
retrógrado aceleradoprogressivo retardado
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.)
Movimento uniformemente variado é aquele em que a
aceleração permanece constante (não nula), isto é, o móvel
apresenta variações de velocidade iguais em intervalos de
tempo iguais. Como conseqüência, no M.U.V. a aceleração
média coincide com a aceleração em cada instante.
M.U.V. ÛÛÛÛÛ a a a a aM = aaaaa = constante ¹¹¹¹¹ 0
FUNÇÃO HORÁRIA DAS VELOCIDADES
Quando um movimento é uniformemente variado, sua função
horária das velocidades é do 1o grau em t (função linear).
Considere o móvel da figura abaixo, realizando um M.U.V. sobre
a trajetória desenhada. Nos instantes t0 e t ele apresenta
respectivamente as velocidades V0 e V. Portanto, a função
horária da velocidade é:
V = V0 + aaaaa . t
DIAGRAMA HORÁRIO DAS VELOCIDADES
Como a função horária das velocidades é do 1o grau em t, o
gráfico correspondente será uma reta oblíqua, que poderá ser
crescente ou decrescente, dependendo da aceleração ser
respectivamente positiva (a > 0) ou negativa (a < 0).
O movimento poderá ser classificado como:
progressivo (V > 0) ou retrógrado (V < 0).
Observando simultaneamente os sinais da velocidade e da
aceleração, o gráfico permite classificar o movimento como
acelerado (V . 
 a a a a a > 0) ou retardado (V . a a a a a < 0).
No M.U.V. a velocidade média entre dois instantes é igual à
média aritmética dos valores algébricos das velocidades
nesses mesmos instantes.
VM =
+V V0
2
FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS
Quando um movimento é uniformemente variado, sua função
horária dos espaços é do 2o grau em t (função quadrática).
Para: t0 = 0 Þ S S V t 2 t0 0
2
= + +
α
DIAGRAMA HORÁRIO DOS ESPAÇOS
Como a função horária dos espaços é do 2o grau em t, o gráfico
correspondente será um arco de parábola, podendo apresentar
concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo da
aceleração ser respectivamente positiva (a > 0) ou negativa
(a < 0).
No instante t1 correspondente ao vértice do arco de parábola
a velocidade é nula, pois o movimento muda de sentido,
passando de progressivo para retrógrado, ou vice-versa.
DIAGRAMA HORÁRIO DAS ACELERAÇÕES
Sendo a aceleração constante e não-nula, seu gráfico será
uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Ficará acima do eixo t se a aceleração for positiva (a > 0).
Ficará abaixo do eixo t se a aceleração for negativa (a < 0).
a
a > 0
t
0
a
t
0 a < 0
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8 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
É possível relacionar o espaço e a velocidade no M.U.V.
através de uma equação não-horária, isto é, independente
da variável tempo. Tal equação é denominada equação de
Torricelli, mostrada a seguir:
V2 = V0
2
 + 2aaaaa DDDDDS
EXERCÍCIO RESOLVIDO
18. Utilizando os dados da tabela abaixo, determine:
a) a aceleração do móvel no intervalo de tempo dado;
b) o gráfico V x t;
c) o instante em que a velocidade se anula;
d) se o movimento é progressivo ou retrógrado e
acelerado ou retardado.
Resolução:
a) a = 6 ( 2)
4 0
− −
−
 = 2m/s2
b)
c) Observando a tabela ou o gráfico, verificamos que a
velocidade se anula para t = 1s.
d) O movimento inicialmente é retrógrado (V < 0) e
retardado, pois | V | diminui até t = 1s; após este
instante, passa a ser progressivo (V > 0) e acelerado,
pois | V | aumenta.
EXERCÍCIOS
19. (PUC) As pessoas que viajam pela Rodovia dos
Bandeirantes, no trecho São Paulo — Campinas, passam
por dois pedágios. O primeiro localiza-se no km 39 e o
segundo, no km 78. Quando passou pelo primeiro pedágio,
uma pessoa recebeu um comprovante indicando o horário
10h30min e, quando passou no segundo pedágio, um
comprovante indicando 11h. Determine:
a) a velocidade média do veículo entre os dois pedágios
b) a velocidade máxima do veículo entre os dois pedágios,
sabendo que a velocidade do veículo variou com o tempo,
de acordo com o gráfico V x t abaixo.
20. (MACK) O recordista mundial dos 100m rasos cumpriu o
percurso num intervalo de tempo próximo a 10s. Admitindo
que o movimento do corredor seja uniformemente acelerado
a partir do repouso, durante toda a corrida, sua velocidade
no instante da chegada é próxima de:
a) 72 km/h
b) 54 km/h
c) 36 km/h
d) 18 km/h
e) 10 km/h
21. (MACK) Admitindo que um certo corredor, na disputa dos
200m rasos, cumpra o percurso em aproximadamente 20s
e que sua velocidade varie com o tempo segundo o gráfico
abaixo, sua velocidade no instante da chegada será
aproximadamente:
a) 15 km/h
b) 20 km/h
c) 36 km/h
d) 54 km/h
e) 72 km/h
22. (UEL-PR) Uma partícula executa movimento uniformemente
variado, em trajetória retilínea, obedecendo à função horária
S = 16 – 40t + 2,5t2 , com o espaço S medido em metros e o
tempo t, em segundos. O movimento da partícula muda de
sentido no instante t, em segundos, igual a:
a) 4,0
b) 8,0
c) 10
d) 12
e) 16
23. (UEL-PR) No exercício anterior, a velocidade escalar média
(em m/s) da partícula entre t1 = 2,0s e t2 = 6,0s é:
a) – 15 b) 15 c) – 20 d) 20 e) – 40
V (m/s) t (s)
– 2
0
2
4
6
0
1
2
3
4
– 2
6
4
2
V (m/s)
1 3 4
0 t (s)
–2
2
V (km/h)
V
máx
0 0,5
t (h)
V (m/s)
10
0 5,0 10 15 20
t (s)
EDUCACIONAL
9CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
®®®®®
V
B extremidade
origemA
 AB
→
= 
®
V
Vetor AB = vetor V
®®®®®
a
®®®®®b
®®®®®
c
®®®®®d
®®®®®
e
®®®®®
x
sentido direção
módulo
1 cm
®f
®g
®h
®i
®j
VETORES
GRANDEZAS FÍSICAS ESCALARES E VETORIAIS
Grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido. Para cada
grandeza física, existem várias unidades de medida.
Grandezas escalares são as que ficam bem caracterizadas
apenas pelo conhecimento de seu valor numérico e da
respectiva unidade de medida.
Exemplos de grandezas escalares: comprimento, área, volume,
tempo, temperatura, densidade, energia etc.
Grandezas vetoriais são as que só ficam bem caracterizadas
através do conhecimentode sua direção e de seu sentido,
além de seu valor numérico e respectiva unidade de medida.
Exemplos de grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força,
impulso, campo elétrico etc.
As grandezas vetoriais são representadas matematicamente através
de vetores, isto é, números associados a uma direção e a um
sentido. Os vetores são representados geometricamente através de
segmentos de reta orientados que permitem a visualização de seu
módulo ou intensidade (valor numérico), de sua direção e de seu
sentido. Por exemplo, observe o segmento orientado AB:
Na figura abaixo, o vetor ® x apresenta:
módulo: 5 unidades (na escala 1 unidade = 1 cm)
direção: inclinada
sentido: para baixo à esquerda
Quando o vetor representa uma grandeza vetorial, usa-se o
nome intensidade para o módulo do vetor com a respectiva
unidade de medida. Assim, se o vetor ®®®®®x representar uma
aceleração e sendo 1cm equivalente a 2m/s2, escrevemos:
| ®x | = | ®a | = 10 m/s2 ou simplesmente a = 10 m/s2
Dois ou mais vetores são iguais quando apresentam o mesmo
módulo, a mesma direção e o mesmo sentido: ®a = ®b = ®c
Dois vetores são opostos entre si quando apresentam o mesmo
módulo e a mesma direção, porém sentidos opostos: 
®
d = – ®e
ou 
®
e = – 
®
d
Um vetor pode ser multiplicado por um número real n, obtendo-se
um vetor com a mesma direção e módulo n vezes maior. O sentido
será o mesmo se n for positivo e o oposto se n for negativo.
®g = 2 ®f
®h = 3 ®f
®
i = – 
®
g = – 2
®
f
®j = 1/3 ®f
ADIÇÃO DE VETORES
Há basicamente dois métodos equivalentes para somar vetores:
· o da linha poligonal (regra do polígono) e
· o do paralelogramo (regra do paralelogramo).
Método do Polígono
É aplicado quando dois vetores são representados de tal forma
que a extremidade do primeiro coincide com a origem do
segundo.
Vetor soma ou resultante é o vetor com origem na origem do
primeiro e extremidade na extremidade do segundo.
Método conveniente para vários vetores desenhados em escala.
®®®®®
a
®®®®®b
®®®®®b
®®®®®
a
®®®®®
S
®®®®®
S = ®®®®®a + ®®®®®b
EDUCACIONAL
10 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
S0
S
DS
D
®
r
Método do Paralelogramo
É aplicado quando dois vetores são representados de forma
que suas origens coincidam.
Vetor soma ou resultante é a diagonal do paralelogramo obtido
traçando retas paralelas aos vetores.
Se o ângulo entre os vetores for qqqqq, o módulo ou intensidade
do vetor resultante é dado pela expressão obtida da lei dos
cossenos:
| ®®®®®S | = 2 2a + b + 2ab cos Ł
SUBTRAÇÃO DE VETORES
É a soma de um vetor com o vetor oposto ao segundo vetor.
Vetor Oposto é um vetor que tem a mesma direção e módulo
do vetor origem, porém tem sentido oposto.
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dado um vetor qualquer ®®®®®v, as projeções ortogonais
(perpendiculares) sobre os eixos cartesianos x e y são os
vetores 
 ®
vx e 
 ®
vy representados a seguir.
No triângulo retângulo temos:
sen q = 
v
v
y \\\\\ vy = v . sen q
cos q = 
v
v
x \\\\\ vx = v . cos q
Note que ®v = ®vx + 
®
vy e que | ®v | = v vx y
2 2+
 (Pitágoras)
VETOR DESLOCAMENTO (
 D D D D D
®
r )
É a linha reta que une o ponto de partida ao ponto de chegada.
O deslocamento vetorial independe do sistema de referência.
Observamos em destaque o seu deslocamento vetorial D®r e
o seu deslocamento escalar DS. Como o deslocamento escalar
é sempre medido sobre a trajetória, podemos concluir que:
| DDDDD®®®®®r | £££££ | DDDDDS |
| D®r | = | DS | ocorre apenas quando a trajetória for retilínea.
®®®®®
a
®®®®®
a
®®®®®b
®®®®®b
®®®®®
S = ®®®®®a + ®®®®®b
®®®®®
S
qqqqq
A
®
–A
®
®®®®®
a
®®®®®
a
®®®®®b
®®®®®
–b
®®®®®
D
®®®®®
D = ®®®®®a – ®®®®®b = ®®®®®a + (– ®®®®®b )
®®®®®
vy
®®®®®
vy
®®®®®
v
®®®®®
vx
qqqqq
®®®®®
v
qqqqq
®®®®®
vx
x
y
EDUCACIONAL
11CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
movimento retardado
®®®®®
v
®®®®®
at
®®®®®
acp
®®®®®
a
®®®®®
a = 
 
 ®®®®®
at + 
 
 ®®®®®
an
movimento acelerado
®®®®®
v
®®®®®
at
®®®®®
a = 
®®®®®
at + 
 
 ®®®®®
acp
®®®®®
a
®®®®®
acp
Observe que ®®®®®a = ®®®®®at + 
®®®®®
acp e que a2 = a2t + a2cp
FA aceleração tangencial ®®®®®at varia apenas o módulo do
vetor velocidade e apresenta as seguintes características:
módulo: igual ao da aceleração escalar;
direção: tangente à trajetória;
sentido: a) o mesmo do movimento, se este for
acelerado: ®®®®®v e ®®®®®at têm o mesmo sentido;
b) o oposto ao do movimento, se este for
retardado: ®®®®®v e ®®®®®at têm sentidos opostos.
FA aceleração normal ou centrípeta ®®®®®acp varia apenas a
direção do vetor velocidade e apresenta as seguintes
características:
módulo: | ®acp | = 
V
R
2
 , onde
V é o módulo da velocidade instantânea e
R é o raio de curvatura da trajetória;
direção: normal (perpendicular) à trajetória;
sentido: dirigido para “dentro” da trajetória.
reta tangente
trajetória
 reta normal
®®®®®
at
®®®®®
acp
®®®®®
a
®®®®®
V 1
®®®®®
V 2
®®®®®
V 3
®®®®®
V 4
®®®®®
V 1
®®®®®
V 2 ®®®®®V 3
VETOR VELOCIDADE MÉDIA
Assim como a velocidade escalar média,
o vetor velocidade média é a razão ou o
quociente entre o vetor deslocamento
DDDDD
®®®®®
r e o intervalo de tempo DDDDDt correspondente.
O vetor 
®
VM tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido
do vetor D®r , pois Dt é uma grandeza escalar sempre positiva.
Para um intervalo de tempo muito pequeno, a velocidade
vetorial média denomina-se velocidade vetorial instantânea,
indicada por 
 ®
V.
A velocidade vetorial instantânea 
®
V caracteriza-se por ter:
direção: tangente à trajetória;
sentido: igual ao sentido do movimento;
módulo: igual ao módulo da velocidade instantânea (escalar).
Nos movimentos retilíneos, uniformes ou não, a direção do
vetor velocidade permanece constante.
Nos movimentos curvilíneos, ainda que uniformes, a direção
da velocidade vetorial varia a cada instante.
VETOR ACELERAÇÃO MÉDIA
Assim como a aceleração escalar média, o vetor aceleração média
é a razão ou quociente entre a variação do vetor velocidade DDDDD
®®®®®
V
e o intervalo de tempo DDDDDt correspondente, isto é:
®®®®®
am = 
∆
∆
V
t
→
Num intervalo de tempo muito pequeno, o vetor aceleração
vetorial média denomina-se aceleração vetorial instantânea ®®®®®a.
COMPONENTES DA ACELERAÇÃO VETORIAL
A aceleração vetorial pode ser decomposta em:
aceleração tangencial ®at, com direção tangente à trajetória;
aceleração normal ou centrípeta ®acp, com direção normal à
trajetória, ou seja, perpendicular à tangente.
M
rV
t
→
→ ∆
=
∆
EDUCACIONAL
12 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
P
EXERCÍCIO RESOLVIDO
24. Dados os vetores 
®
A, 
 ®
B, 
®
C e 
®
D, efetue as operações abaixo.
a) ®A + ®B b) ®C + ®D c) ®A + C + B
d) ®A – ®D e) ®X = 2 ®C f) ®Y = 45 
 
®
A
Resolução:
25. No sistema em equilíbrio abaixo, a intensidade da força 
®
F1 é
100N. A soma das forças 
®
F2 e 
®
F1 tem intensidade igual a:
a) 137 N
b) 100 N
c) 50 N
d) 50 N
e) 37 N
a)
b)
c)
0
®®®®®
B
®®®®®
A
®®®®®
C
®®®®®
C
®®®®®
B
®®®®®
A + 
®®®®®
C + 
®®®®®
B
®®®®®
A
®®®®®
C + 
®®®®®
D
®®®®®
D
®®®®®
A + 
®®®®®
B
d)
e)
f)
®®®®®
D
®®®®®
A
®®®®®
Y
®®®®®
A – 
®®®®®
D
®®®®®
X
26. Dos grupos de grandezas físicas abaixo, aqueleque
apresenta apenas grandezas vetoriais é:
a) força, massa e aceleração.
b) força, trabalho e quantidade de movimento.
c) velocidade, aceleração e quantidade de movimento.
d) energia, trabalho e impulso.
e) velocidade, impulso e energia.
27. (PUC) Quantas direções e quantos sentidos uma reta
determina no espaço?
a) Duas direções e dois sentidos.
b) Duas direções e um sentido.
c) Uma direção e um sentido.
d) Uma direção e dois sentidos.
e) Uma direção e nenhum sentido.
28. (UF-MG) Um ventilador acaba de
ser desligado e está parando vaga-
rosamente, girando no sentido
horário. A direção e o sentido da
aceleração da pá do ventilador
no ponto P é:
a) b) c)
d) e)
29. (UF-PB) Assinale as afirmativas corretas:
 I. Grandezas vetoriais sempre podem ser somadas.
 II. Grandezas vetoriais e escalares podem ser somadas.
III. Pode-se multiplicar grandeza vetorial por escalar.
IV. Apenas grandezas escalares têm unidades.
a) I e II b) I c) IV d) I e IV e) III
30. (UF-RS) Os lados dos quadrados abaixo são formados
por vetores de módulos iguais.
A resultante do sistema de vetores é nula na figura:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
31. (UCS) Uma pessoa sai de sua casa e percorre as
seguintes distâncias em qualquer ordem possível:
 I. 30 metros para leste
 II. 20 metros para norte
III. 30 metros para oeste
No final das três caminhadas, a distância a que ela se
encontra do ponto de partida é:
a) 80 m b) 50 m c) 20 m d) 40 m e) 60 m
F
→
1
F
→
2
F
→
3
150º
P PP
P P
(1) (2) (3) (4) (5)
®®®®®
D
®®®®®
B
®®®®®
A
®®®®®
C
EDUCACIONAL
13CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
R
S
T
S = R Þ j = 1 rad
S = R
1 rad
R
CINEMÁTICA ANGULAR
CONCEITOS BÁSICOS
Uma partícula realiza um movimento circular quando sua
trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.
Na trajetória circular de raio R e centro O da figura, uma
partícula ocupa a posição P0 no instante t0 = 0 e a posição
P no instante t. O espaço S no instante t é a medida do arco
P0P, onde P0 corresponde à origem dos espaços.
Observe que o arco de circunferência S corresponde ao ângulo
central jjjjj (letra grega fi). O arco corresponde ao espaço
linear S e o ângulo central correspondente é denominado
espaço angular jjjjj.
jjjjj = SR ou DDDDDjjjjj = 
∆ S
R
Embora possa ser medido em graus (º), o espaço angular
geralmente é medido em radianos (rad).
Um radiano corresponde ao ângulo central que determina na
circunferência um arco S de comprimento igual ao raio R.
Quando o comprimento do arco S é igual ao raio R da
circunferência, o valor de j é unitário, isto é, vale 1 radiano.
A partir do espaço angular é possível definir outras grandezas
angulares cinemáticas, tais como a velocidade angular média
(w(w(w(w(wm) e a aceleração angular média (gggggm), da mesma forma
como foram definidas a velocidade escalar (linear) e a aceleração
escalar (linear).
Vm = 
∆
∆
S
t
wwwwwm = 
∆
∆
ϕ
t
unidade: rad/s
aaaaam = 
∆
∆
V
t gggggm = 
∆
∆
ω
t unidade: rad/s
2
DS = 2 . p . R
Para uma volta completa: Dj = 2 . p (rad)
Dt = T
Portanto: w = 
∆
∆
ϕ
t
 = 
2 pi
T
 = 2 . p . f Þ w = 2p f = 
2 pi
T
Como: V = 
∆
∆
S
t
 = 
2 pi R
T = 2p . f . R Þ V = 2p R . f = 
2 pi R
T
Assim: V = 2 p . f . R = w . R
V = wwwww . R ou wwwww = 
V
R
De forma semelhante, podemos deduzir que:
aaaaa = ggggg . R ou ggggg = 
α
R
Resumindo:
S = jjjjj . R
V = wwwww . R
aaaaa = ggggg . R
Grandeza Linear = Grandeza Angular ´´´´´ Raio
R
S
P0 (t0 = 0)
O j
P(t)
EDUCACIONAL
14 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
Uma partícula realiza movimento circular uniforme quando sua
trajetória é uma circunferência (movimento circular) e sua
velocidade escalar permanece constante (movimento
uniforme). O M.C.U. é periódico: em intervalos de tempos
iguais repetem-se as mesmas características do movimento.
Embora uniforme, o M.C.U. apresenta aceleração (centrípeta),
pois a direção e o sentido do vetor velocidade variam a cada t.
| ®V1 | = | 
®
V2 | = | 
®
V3 | = ... = cte e | ®acp1| = | 
®
acp2
|
 = ... = cte
PERÍODO ( T ) E FREQÜÊNCIA ( f )
Período de um M.C.U. é o tempo gasto numa volta completa.
Pode ser medido em segundos, minutos, horas etc.
O número de voltas que ocorrem na unidade de tempo é
denominado freqüência do M.C.U..
Sua unidade de medida no SI denomina-se hertz (Hz) e
corresponde ao inverso do segundo (1/s).
A freqüência de um M.C.U. também pode ser expressa em
rotações por minuto (rpm) ou em ciclos por segundo (cps).
1 Hz = 60 rpm = 1 cps
Das definições de período e freqüência, resulta: T
f
=
1
ACELERAÇÃO NO M.C.U.
A velocidade de uma partícula em MCU só varia em direção e
sentido. Portanto, não há aceleração tangencial, mas há
aceleração centrípeta, cuja equação já conhecida é a V
Rcp
=
2
.
Substituindo a velocidade linear pela angular, obtém-se:
a
R
R
R
Rcp
= =
( . ) .ω ω2 2 2 \\\\\ acp = wwwww2 . R
w = constante \\\\\ não há aceleração angular.
®®®®®
V2
®®®®®
acp2
®®®®®
acp3
®®®®®
acp5
®®®®®
acp4
®®®®®
acp1 ®®®®®V1
®®®®®
V5
®®®®®
V4
®®®®®
V3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
32. Um corpo de massa 2kg executa um M.C.U., descrevendo uma
circunferência de raio R = 3m com velocidade escalar 6m/s.
a) Represente num ponto qualquer da trajetória os vetores
velocidade e aceleração do corpo.
b) Determine a velocidade angular do movimento.
c) Determine o período e a freqüência do movimento.
Resolução:
a)
b) ω = = =VR rad s
6
3
2 /
c) 2 2TT
pi pi
ω= ⇒ =
ω
 = 
2
2
pi
 = ps e f = 
1 1
Hz
T
=
pi
EXERCÍCIOS
33. (FUVEST) Um menino está num carrossel que gira com
velocidade angular constante, executando uma volta completa
a cada 10s. A criança mantém, relativamente ao carrossel, uma
posição fixa, a 2m do eixo de rotação.
a) Numa circunferência representando a trajetória circular do
menino, assinale os vetores velocidade 
®
V e aceleração ®a
correspondentes a uma posição arbitrária do menino.
b) Calcule os módulos de ®V e de ®a.
34. (FUVEST) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 50 cm.
a) Qual a velocidade angular do ponteiro?
b) Calcule a velocidade linear da sua extremidade.
35. Duas polias de raios a e b estão acopladas entre si por meio
de uma correia. A polia maior, de raio a, gira em torno do seu
eixo levando um tempo T para completar uma volta. Supondo
que não haja deslizamento entre as polias e a correia, calcule:
a) o módulo V
da velocidade do
ponto P da correia
b) o tempo t que a polia menor leva para dar uma volta completa
36. (PUC) Uma correia passa sobre uma roda
de 25 cm de raio. Se um ponto da correia
tem velocidade 5,0 m/s, a freqüência de
rotação da roda é aproximadamente:
a) 32 Hz b) 2 Hz c) 0,8 Hz d) 0,2 Hz e) 3,2 Hz
37. (FUVEST) A roda de uma bicicleta tem 25 cm de raio e gira
150 vezes por minuto. A velocidade da bicicleta é,
aproximadamente, em km/h:
a) 7 b) 14 c) 37,5 d) 62,5 e) 8
®
V
®
g = 
®
ac
a
P
b
25 cm
EDUCACIONAL
15CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
MOVIMENTOS SOB
AÇÃO DA GRAVIDADE NO VÁCUO
QUEDA LIVRE
· a partícula abandonada (V0 = 0)
ou lançada para baixo (V0 ¹ 0)
· a trajetória é orientada para baixo,
com origem no ponto onde
foi abandonada.
· a partícula desce com movimento
acelerado e progressivo.
· V > 0 e aaaaa = g > 0
Equações:
V = V0 + g . t
H = h0 + V0 . t + g
2t
2
V2 = V02 + 2 . g . DDDDDH
LANÇAMENTO VERTICAL
· a trajetóriaé orientada para cima, com
origem no solo.
· na subida do corpo, há movimento
progressivo retardado.
V > 0 e aaaaa = g < 0
· na altura máxima, a velocidade é nula:
V = 0
· na descida do corpo, há movimento
retrógrado acelerado:
V < 0 e g < 0
Equações:
V = V0 – g . t
H = h0 + V0 . t – g
2t
2
V2 = V02 – 2 . g . DDDDDH
LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO
Composição de um M.R.U. (horizontal) com um M.R.U.V.
(vertical)
·
®
V = 
®
Vx + 
®
Vy x = V0x . t y = V0yt - 
gt2
2
·
®
Vx = 
®
V cos q V0x cte. Vy = V0y - gt
·
®
Vy = 
®
V sen q; | V |2 = | Vx |2 . | Vy |2; V2y = V20y – 2gDy
· no ponto mais alto
®
Vy = 
®
0 Þ
®
V = 
®
Vx
·
2
0V sen 2D
g
θ
=
·
2
0y
máx
V
h
2g
=
EXERCÍCIO RESOLVIDO
38. Um corpo é solto do alto de um edifício de altura 45 m, a partir
do repouso, num local onde g = 10 m/s2. Desprezando a
resistência do ar, determine:
a) as funções horárias do movimento
b) o tempo de queda
c) sua velocidade após ter percorrido 20 m
d) sua velocidade ao atingir o solo
Resolução:
a) H = 5 t2
V = 10 t (SI)
V2 = 20 DH
b) 45 = 5 t2 Þ t2 = 9 \ t = 3 s
c) V2 = 20 x 20 \ V = 20 m/s
d) V = 10 x 3 = 30 m/s
0
V0 ¹¹¹¹¹ 0
0
®
h máx
V = V0x
®
®
y
q
D
x
®
®®
V0x
V
Vy
®
V0
V0y
alcance horizontal
V0x
®
EDUCACIONAL
16 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
EXERCÍCIOS
39. (MACK) Um garoto que se encontra em uma ponte está a
20 m acima da superfície de um rio. No instante em que a
proa (frente) de um barco, com movimento retilíneo
uniforme, atinge a vertical que passa pelo garoto, ele
abandona uma pedra que atinge o barco em um ponto
localizado a 180 cm do ponto visado. A velocidade do barco é:
Adote g = 10 m/s2
a) 0,90 m/s
b) 1,20 m/s
c) 1,60 m/s
d) 10 m/s
e) 20 m/s
40. De um ponto situado a 10 m acima do solo, um corpo é
lançado verticalmente para cima e chega ao solo 10 s após.
Considerando desprezível a resistência do ar e 10 m/s2 o
módulo da aceleração da gravidade no local, a velocidade
de lançamento é, em m/s, igual a:
a) 10
b) 19
c) 29
d) 39
e) 49
41. (FUVEST) Dois rifles são disparados com os canos na
horizontal, paralelos ao plano do solo e ambos à mesma
altura acima do solo. À saída dos canos, a velocidade da
bala do rifle A é três vezes maior que a velocidade da bala
do rifle B. Após intervalos de tempo tA e tB, as balas
atingem o solo, respectivamente, às distâncias dA e dB
das saídas dos respectivos canos. Desprezando-se a
resistência do ar, pode-se afirmar que:
a) tA = tB e dA = dB
b) tA = 
1
3 tB e dA = dB
c) tA = 
1
3 tB e dA = 3dB
d) tA = tB e dA = 3dB
e) tA = 3tB e dA = 3dB
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
42. (FUVEST) Após chover na cidade de São Paulo, as águas
da chuva descem o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo
cerca de 1 000 km. Sendo 4 km/h a velocidade média das
águas, o percurso mencionado é cumprido pelas águas da
chuva em, aproximadamente:
a) 30 dias
b) 10 dias
c) 25 dias
d) 2 dias
e) 4 dias
43. (FUVEST) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem
o formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. O
primeiro lado é percorrido à velocidade média de 100 km/h;
o segundo e o terceiro, a 120 km/h, e o quarto, a 150 km/h.
Qual é a velocidade média da moto nesse percurso?
a) 110 km/h
b) 120 km/h
c) 130 km/h
d) 140 km/h
e) 150 km/h
44. (VUNESP) Um motorista pretende percorrer uma distância
de 200 km em 2h e 30min, com velocidade escalar constante.
Por dificuldades no tráfego, ele teve de percorrer 25 km à
razão de 60 km/h e 20 km a 50 km/h. Que velocidade média
ele deve imprimir ao veículo no trecho restante para chegar
no tempo previsto?
a) 92 km/h
b) 105 km/h
c) 112 km/h
d) 88 km/h
e) 96 km/h
45. (FATEC) Um elevador movimenta-se no sentido ascen-
dente e percorre 40 m em 20 s. Em seguida, ele volta à posição
inicial levando o mesmo tempo. A velocidade escalar média
do elevador durante todo o trajeto vale:
a) 4,0 m/s
b) 8,0 m/s
c) zero
d) 16 m/s
e) 2,0 m/s
EDUCACIONAL
17CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
46. (MACK) Uma família realiza uma viagem de automóvel que dura
exatamente 4 h. O motorista verifica no hodômetro que o espaço total
percorrido foi de 144 km. Durante a viagem, o veículo ficou parado
1h para uma refeição. A velocidade escalar média do veículo na
viagem toda foi de:
a) 6,67 m/s
b) 10 m/s
c) 13,3 m/s
d) 30 m/s
e) 40 m/s
47. (MACK) Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto médio de
MN. Um homem percorre MP com velocidade constante de 4,0 m/s
e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. A velocidade média do
homem entre M e N é de:
a) 4,8 m/s
b) 5,0 m/s
c) 5,2 m/s
d) 4,6 m/s
e) nda
48. (FUVEST-modificado) Uma formiga caminha com velocidade média
de 0,20 cm/s. Determine a distância que ela percorre em 10 minutos.
49. (FUVEST) O radar é um instrumento utilizado para determinar a
distância de objetos que refletem ondas eletromagnéticas por ele
emitidas. Um radar emite um sinal que atinge um avião e registra seu
retorno 0,20 milissegundos após sua emissão. Podemos afirmar que
o avião encontrava-se a uma distância do radar de:
Adote: V
ondas de radar no ar = 300.000 km/s
a) 1,5 km
b) 10 km
c) 20 km
d) 30 km
e) 60 km
50. (FEI) A luz demora 8,3 minutos para vir do Sol à Terra. Sua velocidade
é 3 . 105 km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?
51. (FAAP) Dois pontos materiais P1 e P2 movem-se em linha reta, com
velocidades constantes, ao longo da trajetória. A figura indica as
posições que os pontos ocupam a cada instante e suas velocidades.
Os pontos materiais irão colidir na posição correspondente a:
a) 16 cm b) 18 cm c) 20 cm d) 22 cm e) 25 cm
52. (FUVEST) Um veículo movimenta-se numa pista
retilínea de 9,0 km de extensão. A velocidade máxima
que ele pode desenvolver no primeiro terço do
comprimento da pista é de 15 m/s e, nos dois terços
seguintes, é de 20 m/s. O veículo percorreu esta
pista no menor tempo possível. Pede-se:
a) a velocidade média desenvolvida
b) o gráfico V x t deste movimento
53. (FUVEST) A tabela indica as posições S e os
correspondentes instantes t de um móvel deslocando-
se numa trajetória retilínea.
a) Esboce o gráfico S x t desse
movimento.
b) Calcule a velocidade média do
móvel entre os instantes t = 1 s e
t = 3 s.
54. (FUVEST) Numa estrada, andando de caminhão com
velocidade constante, um motorista leva 4s para ultra-
passar um outro caminhão cuja velocidade é também
constante. Sendo 10 m o comprimento de cada caminhão,
a diferença entre a sua velocidade e a do caminhão que
ele ultrapassa é, aproximadamente, igual a:
a) 0,2 m/s
b) 0,4 m/s
c) 2,5 m/s
d) 5,0 m/s
e) 10 m/s
55. (VUNESP) Um trem e um automóvel caminham
paralelamente, e no mesmo sentido, num trecho
retilíneo. Seus movimentos são uniformes e a
velocidade do automóvel é o dobro da velocidade
do trem. Desprezando-se o comprimento do au-
tomóvel e sabendo-se que o trem tem 100 m de
comprimento, determine o espaço que o automóvel
percorre desde que alcança o trem até o instante em
que o ultrapassa.
56. (FUVEST) Dois corredores A e B partem do mesmo
ponto de uma pista circular de 120 m de compri-
mento com velocidade VA = 8 m/s e VB = 6 m/s.
a) Se partirem em sentidos opostos, qual será a
menor distância entre eles, medida ao longo da
pista, após 20 s?
b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto
tempo o corredor A estará com uma volta de
vantagem sobre o B?
t (s) s (m)
0 0
1 0,4
2 1,6
3 3,6
4 6,4
... ...
S (m)t (s)
V1= 6 cm/s V2= 4 cm/s
P1 P 2
EDUCACIONAL
18 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICAFISINT0103
57. (FUVEST) Diante de uma agência do INSS há uma fila de,
aproximadamente, 100 m de comprimento, ao longo da qual
se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a
porta, as pessoas entram durante 30 s com uma velocidade
média de 1 m/s. Avalie:
a) o número de pessoas que entraram na agência;
b) o comprimento da fila que restou do lado de fora.
58. (PUC) Dois barcos partem simultaneamente de um mesmo ponto,
seguindo rumos perpendiculares entre si. Sendo suas velocidades
30km/h e 40km/h , sua distância após 6 minutos vale:
a) 7 km
b) 1 km
c) 300 km
d) 5 km
e) 420 km
59. (Metodista) Uma lancha de salvamento, patrulhando a costa
marítima com velocidade constante de 20 km/h, recebe um
chamado de socorro. Verifica-se que, 10s após, ela atinge
velocidade de 128 km/h. Determine a aceleração utilizada
pela lancha.
a) 3,0 m/s2
b) 3,6 m/s2
c) 10,8 m/s2
d) 12,8 m/s2
e) 30,0 m/s2
60. (FUVEST) Um barco atravessa um rio de margens paralelas
de largura d = 4 km. Devido à correnteza, a componente da
velocidade do barco ao longo das margens é
VA = 0,5 km/h em relação às margens. Na direção
perpendicular às margens, a componente da velocidade é
VB = 2 km/h.
a) Quanto tempo leva o barco para atravessar o rio?
b) Ao completar a travessia, qual é o deslocamento do
barco na direção das margens?
61. Um automóvel com velocidade constante de 90 km/h é
freado e, com aceleração constante, percorre 62,5 m até
parar. O módulo da aceleração, em m/s2, é igual a:
a) 12,5
b) 5,0
c) 4,0
d) 2,5
e) 2,1
62. (MACK) Um automóvel parte do repouso com MRUV de
aceleração 4 m/s2 e, após 10 s, começa a frear
uniformemente com aceleração de 2 m/s2. A distância
percorrida pelo automóvel, desde o instante inicial até o
instante em que ele pára, foi de (em m):
a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 e) 600
63. (MACK) O movimento retilíneo de uma partícula, dividido
nas etapas AB, entre o instante zero e o instante tB, e BC,
entre os instantes tB e tC, é ilustrado pelo gráfico do espaço
S em função do tempo t abaixo. As curvas são arcos de
parábolas. Nestas condições, assinale a alternativa correta.
a) No intervalo (0, tB) a partícula diminuiu sua velocidade
e no intervalo (tB, tC) ela aumentou sua velocidade.
b) No intervalo (0, tC) a partícula só diminuiu sua velocidade.
c) No intervalo (0, tC) a partícula só aumentou sua velocidade.
d) No intervalo (0, tB) a partícula aumentou sua velocidade
e no intervalo (tB, tC) ela diminuiu sua velocidade.
e) No intervalo (0, tB) o movimento é progressivo e no
intervalo (tB, tC) o movimento é retrógrado.
64. (FUVEST) Os gráficos abaixo referem-se a movimentos
unidimensionais de um corpo em três situações diversas,
representando a posição como função do tempo. Nas três
situações, são iguais:
a) as velocidades médias
b) as velocidades máximas
c) as velocidades iniciais
d) as velocidades finais
e) os valores absolutos das velocidades máximas
C
B
A
0 tB tC
t
S
x
a
a/2
b/2 b
t
x
a
a/2
b/3 b
t
x
a
a/2
2b/3 b
t
EDUCACIONAL
19CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA
FISINT0103
65. (FCC) Na figura estão desenhados os vetores
X e Y. Esses vetores representam deslocamentos sucessivos
de um corpo. Qual é o módulo do vetor igual a
X + Y ?
a) 4 cm
b) 5 cm
c) 8 cm
d) 13 cm
e) 25 cm
66. (PUC) Nas figuras seguintes, estão representados pares de
vetores (x e y), nos quais cada segmento orientado está
subdividido em segmentos unitários.
Quais destes pares têm a mesma resultante?
a) 1 e 5
b) 2 e 4
c) 3 e 5
d) 2 e 3
e) 2 e 5
67. (FATEC) Em um instante genérico, uma partícula tem
velocidade V e aceleração a.
a) Em movimento uniforme, necessariamente a = 0.
b) Em um movimento circular, a aceleração a é necessaria-
mente centrípeta.
c) Em um movimento reto, V e a são vetores paralelos com
sentidos iguais ou opostos.
d) Se a é constante não-nula, a trajetória só pode ser reta.
e) nda
68. (FUVEST) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros
de raios r1 = 10 cm e r2 = 50 cm.
Supondo que o cilindro maior tenha freqüência de rotação
f2 igual a 60 rpm:
a) qual é a freqüência de rotação f1 do cilindro menor?
b) qual é a velocidade linear da cinta?
69. (FUVEST) Um automóvel percorre uma pista circular de
1 km de raio, com velocidade de 36 km/h.
a) Em quanto tempo o automóvel percorre um arco de
circunferência de 30°?
b) Qual a aceleração centrípeta do automóvel?
70. Um corpo descreve a trajetória plana e horizontal da figura
abaixo. Sua velocidade é constante em módulo e igual a
6 m/s.
O módulo da aceleração deste corpo nos pontos A e B é:
a) 4 m/s2 e 4 m/s2
b) 0 e 4 m/s2
c) 8 m/s2 e 4 m/s2
d) o corpo não apresenta aceleração em nenhum dos
pontos, pois sua velocidade é constante
71. Se um corpo descreve trajetória circular efetuando 30 rpm,
sua freqüência e período serão, respectivamente:
a) 0,5 Hz e 2 s
b) 30 rpm e 0,5 s
c) 1800 rpm e 2 s
d) 2 Hz e 0,5 s
r1
r2
®
X
®
Y
1 cm
1cm
3. 4.
x
®
®
y
2.
120°
®
x
x
®
5.
60°
®y
y®
®y
®
x
90°
y®
1.
90°
°
.
®
x
B 9
m
A
EDUCACIONAL
20 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
FISINT0103
GABARITO
CINEMÁTICA
01. Resolvido.
02. Resolvido.
03. Resolvido.
04. Resolvido.
05. Resolvido.
06. E
07. A
08. B
09. B
10. C
11. B
12. D
13. Resolvido.
14. C
15. E
16. B
17. A
18. Resolvido.
19. Sf = 78 km tf = 11 h
Si = 39 km ti = 10 h 30 min
a) V S
t
V km hm m= =
−
−
⇒ =
∆
∆
78 39
11 10 5
78
,
/
b) DS N
=
 área sob o gráfico. Como DS = 39 km, temos:
∆S b h= .
2
 onde b = Dt e h = Vmáx
39 0 5
2
156= ⇒ = =, . /á
h h V km hm x
20. A
21. D
22. B
23. C
24. Resolvido.
25. B
26. C
27. D
28. D
29. E
30. B
31. B
32. Resolvido.
33. a)
b)
34. a) p/30 rad/min
b) p/60 m/min
35. a) 2pa/T
b) Tb/a
36. E
37. B
38. Resolvido
39. A
40. E
41. D
42. B
43. B
44. A
45. C
46. B
47. A
48. 1,2 m
49. D
50. 1,5 . 108 km
51. D
52. a) 18 m/s
53. b) 1,6 m/s
54. D
55. 200 m
56. a) 40 m
b) 60 s
57. a) 60 pessoas
b) 70 m
58. B
59. A
60. a) Como Dt = ∆SV , vem:
∆t d
V
h
B
= = =
4
2
2 .
b) DS = VA . Dt = 0,5 x 2 = 1 km
61. B
62. E
63. D
64. A
65. B
66. D
67. C
68. a) 5 Hz
b) p m/s
69. a) 52,3 s
b) 0,1 m/s2
70. E
71. A