TOPOGRAFIA 3Capitulo2008

Prévia do material em texto

Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
III – MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 
 
____________________________________________________________________________________ 
 A medição de distâncias e ângulos possibilita o posicionamento de um ponto em um 
determinado sistema de referência. 
 As distâncias podem ser determinadas percorrendo o alinhamento do início ao fim, medindo 
diretamente a grandeza procurada - processo direto [2] - ou a partir de observações que estejam 
implícita ou explicitamente ligadas à distância procurada - processo indireto [3]. No processo indireto 
serão estudados, neste capítulo, os métodos: Taqueométrico [3.1] e brevemente, mira horizontal [3.2] e 
medida eletrônica de distâncias [3.3]. 
 Após estudar os processos diretos e indiretos é apresentado um processo de medição de 
distâncias relativas a pontos inacessíveis [4]. A seguir serão estudados os efeitos da curvatura da Terra 
[5] e da altitude [6] nas distâncias. 
 Dependendo da finalidade do trabalho, da precisão requerida e do tamanho da área a ser 
levantada, a distância observada deve ser reduzida ao nível do mar e daí, ao plano topográfico. Ainda 
neste capítulo serão estudadas as reduções de distâncias em levantamentos topográficos [7.1] e em 
trabalhos de locação de projetos [7.2]. 
____________________________________________________________________________________ 
 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
 Antes de entrar no assunto de medição de distâncias, é necessário verificarmos a definição de 
erro relativo (er): é a razão adimensional entre o erro cometido na medição e o valor mais provável para 
a grandeza observada. Se, por exemplo, ao medir uma distância de 1000 m comete-se um erro de 50 
cm, o erro relativo será de 0,0005; que pode ser expresso em porcentagem (%), multiplicando este valor 
por 100 ou em partes por milhão (ppm), multiplicando-o por 106, ou ainda expresso no formato de escala, 
ou seja, o algarismo 1 no numerador e no denominador a razão adimensional entre o valor mais provável 
para a grandeza e o erro cometido; para o exemplo, 20001er = . O erro relativo é uma medida da 
qualidade da observação; quanto menor for o erro relativo, melhor foi efetuada a observação. O Capítulo 
4 trata com mais detalhe dos erros cometidos, ou das propriedades estatísticas, em ciências 
experimentais como a topografia. 
Como mostra a Figura 3.1, a distância espacial ou inclinada, DI, entre dois pontos pode ser 
decomposta em: 
• Distância Horizontal (DH): também conhecida como distância REDUZIDA. É a distância 
entre dois pontos medida em um plano horizontal. Esta distância é a que, por força de 
lei, consta em escrituras imobiliárias. Por isso é também denominada ‘distância legal’. 
• Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância entre dois pontos 
medida ao longo da vertical. Pode ser ao longo da vertical de A ou de B – Figura 3.1. 
 
 39
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
DI 
DH 
DVAB
••
Figura 3.1- Distâncias inclinada, horizontal e vertical entre dois pontos. 
Para pesquisar: As verticais que passam pelos pontos A e B são paralelas? Ou seja, o plano horizontal 
que passa por A é também perpendicular à vertical de B? 
 Como visto no capítulo I, a Topografia pode ser dividida em planimetria, altimetria e 
planialtimetria. A Planimetria trata das distâncias e ângulos horizontais, assuntos deste texto, e a 
altimetria, que busca descrever o relevo do lugar, trata de ângulos e distâncias verticais. Altimetria e 
planialtimetria não fazem parte do escopo deste trabalho. 
 Para observar distâncias horizontais há dois processos, a saber: o direto e o indireto. 
 
 
2- PROCESSO DIRETO 
 
 Nesse processo o seguimento a ser medido deve ser percorrido do início ao fim. Portanto, 
obstáculos como lagos, rios, construções, etc., entre os extremos do seguimento a ser medido, impedem 
o emprego do processo direto. 
Caso não haja obstáculos, podem ser empregados os seguintes instrumentos: 
• Trena de invar (liga de aço e níquel – 36% de níquel). 
• Trena de Aço – Constitui-se de uma lâmina de aço inoxidável devidamente 
graduada. Comprimentos disponíveis no mercado: 1, 2, 3, 5, 10, 20 e 50 metros. 
• Trena de Fibra de Vidro - É feita de material bastante resistente (produto inorgânico 
obtido do próprio vidro por processos especiais). Comprimentos disponíveis no 
mercado: 20 e 50 metros. 
• Trena de Lona - É feita de pano oleado ao qual estão ligados fios de arame muito 
finos que lhe dão alguma consistência e invariabilidade de comprimento. 
Comprimentos disponíveis no mercado: 20 e 50 metros. 
• Roda Contadora – Instrumento utilizado para medir distâncias curvas. 
 
Se o seguimento a ser medido é maior que a trena utilizada ou o terreno é muito íngreme, divide-
se o seguimento em seções, alinhadas com os extremos do seguimento, conforme esboça a Figura 
 40 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
3.2. A materialização de alinhamentos, seja na construção de pontes que se inicia dos dois lados de 
um rio, seja na construção de túneis, de dutos em geral e de linhas de transmissão de energia elétrica 
constitui uma interessante aplicação da topografia. 
 
Para pesquisar: como alinhar seções de um seguimento cujos extremos não são intervisíveis? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HZ
A’ 
A 
B 
• 
• 
521AB lllDH +++= L 
• • 
• 
• 
l5
l4
l3
l2
l1
B’ 
Figura 3.2 – Divisão de um seguimento em seções para medição de 
distâncias pelo processo direto 
 
 
2.1- Fontes de erros na medição direta de distâncias horizontais 
• Erros de Leitura: embora seja muito simples fazer leituras em uma trena; é bom 
tomar cuidado, principalmente para não inverter a origem da 
trena e não misturar leitura no sistema métrico com leitura em 
polegadas. 
• Dilatação térmica: depende do material de composição do instrumento, do 
comprimento da trena e da diferença entre a temperatura 
ambiente e a de aferição. Se houve dilatação o valor lido (VL) 
será menor que o valor procurado (VP). 
• Elasticidade: depende do material de composição do instrumento, do comprimento, 
espessura e largura da trena e da diferença entre a tensão aplicada 
na medição e na aferição. Com a distensão da trena o valor lido 
torna-se menor que procurado (VL < VP). 
• Catenária: curvatura ou barriga que se forma ao tencionar a trena. É função do seu 
peso, do seu comprimento e da tensão aplicada, a Figura 3.3 ilustra este 
erro. Devido à catenária o valor lido é sempre maior que o procurado (VL 
> VP). 
 41
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
• Falta de horizontalidade da trena: Com a trena inclinada o valor lido será sempre 
maior que o procurado (VL > VP). O menor valor 
para a distância é a distância horizontal. Uma 
forma de eliminar esse erro é oscilar a trena em 
torno da linha de referência – uma baliza por 
exemplo - e anotar o menor valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l 
T 
f 
T 
Figura 3.3 – Catenária ao medir um comprimento l aplicando 
uma tensão T em uma trena de peso p. 
• Erro de alinhamento das seções: Ocorre quando as seções não estão alinhadas 
com os pontos extremos. Neste caso VL > VP sempre. 
• Inclinação da baliza: Qualquer inclinação na baliza na direção do alinhamento 
provocará um aumento ou diminuição na distância que está sendo medida, caso 
esteja incorretamente posicionada para trás ou para frente, respectivamente. Este 
tipo de erro só poderá ser evitado se for feito uso do nível de cantoneiraou 
substituindo a baliza por um fio de prumo. 
 
 Medir distâncias horizontais pelo processo direto pode ser muito moroso, caro e impreciso se a 
equipe de trabalho não estiver bem treinada e o relevo for muito acidentado. Caso haja algum obstáculo 
no alinhamento deve-se empregar o processo indireto. 
 
 
3- PROCESSO INDIRETO 
 
 Não há necessidade de percorrer o alinhamento e podem ser empregados os seguintes 
instrumentos e métodos: 
• Taqueômetro (ou simplesmente teodolito) + mira vertical = Taqueometria; 
• Teodolito + mira horizontal; 
• Distanciômetro (ou estação total) + refletor. Dependendo do tipo de estação total e 
da distância a ser medida, o refletor pode ser dispensado; 
• Satélite de navegação + receptor + antena: não há necessidade da intervisibilidade 
entre as estações; 
 42 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
• Quasares + Antenas parabólicas (VLBI – “Very Long Baseline Interferometry”). Para 
distâncias longas, como a distância entre a América e a África, por exemplo. È, 
atualmente, a técnica que propicia maior precisão na medição de tais distâncias. 
 
 
3.1- TAQUEOMETRIA 
 
O goniômetro que além de medir ângulos horizontais e verticais é dotado de fios estadimétricos 
pode ser chamado de taqueômetro ou simplesmente teodolito. A Figura 3.4 mostra os fios do retículo, ou 
fios estadimétricos, de um teodolito com o qual se pode também determinar as distâncias horizontal e 
vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fio Vertical. Empregado para medir 
ângulos horizontais. 
Fio Médio ou nivelador. 
Empregado para medir ângulos 
verticais. 
Fio estadimétrico inferior. 
Fio estadimétrico superior. 
h 
Figura 3.4 – Fios do retículo e distância entre o fio superior e o inferior (h). 
 
A Figura 3.5 mostra em destaque o centro do teodolito e a posição dos fios do retículo. A razão 
entre a distância da localização dos fios ao centro do aparelho – distância Ob na Figura 3.5 - e a 
distância do fio superior ao inferior – ac da Figura 3.5 ou h da Figura 3.4 - é conhecida como ‘constante 
estadimétrica’. 
 
 
O
a 
b
c 
.w
 
 
 
 
 Figura 3.5 – Posição dos fios do retículo em relação 
ao centro de um teodolito. 
 
 
A constante estadimétrica de um teodolito dada por: 
 43
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
 
g
ac
Ob = (3.1) 
 
é normalmente igual a 100, ou seja, ac é cem vezes menor que Ob. Se, por exemplo, Ob for igual a 10 
cm, ac será 1mm. Dessa forma o ângulo w mostrado na Figura 3.5 é muito pequeno e igual a 
 
'34
60100
180rad
100
1
Ob
acw ≈π⋅⋅=== (3.2) 
 
 
3.1.1- Medição com a luneta na horizontal ( ) oo 0iou90Z == ˆˆ
A Figura 3.6 esquematiza a medição de uma distância horizontal, DH, por taqueometria com a 
luneta na posição horizontal. O teodolito está num dos extremos do seguimento a ser medido e no outro 
está uma régua graduada, denominada mira, perfeitamente na vertical. FS, FM e FI são as leituras 
realizadas na mira, observando, pela ocular, as posições dos fios superior, médio e inferior, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DH = OB = ? 
.
a 
. 
b c 
O 
A 
B 
FS 
FM 
FI 
C 
 
 
Figura 3.6 – Taqueômetro, mira vertical e medição de distância por taqueometria com luneta 
na horizontal. 
 
Da Figura 3.6, verifica-se que o triângulo Oac é semelhante ao triângulo OAC e, portanto, 
 
ac
Ob
AC
OB = (3.3) 
 44 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
 
Mas acOb é a constante estadimétrica, g, do teodolito e de acordo com a Figura 3.6: 
 
FIFSAC −= (3.4) 
 
sendo (FS – FI) conhecida com leitura estadimétrica e representada pela letra ‘m’. Assim, 
 
gmg)FIFS(gACOB ⋅=⋅−=⋅= (3.5) 
 
ou seja, se as observações forem realizadas com a luneta na horizontal, 
 
gmDH ⋅= (3.6) 
 
Fontes de erro: a medição de distâncias horizontais por taqueometria, com a luneta na 
horizontal, apresenta as seguintes fontes de erro: 
• Leitura na mira: é função da refração atmosférica, da capacidade de aumento da luneta, 
de defeitos na graduação da mira, da paralaxe, etc; 
• Imprecisão na constante estadimétrica; 
• Não verticalidade da mira. 
Para minimizar os erros devido à refração atmosférica recomenda-se não realizar medidas, 
na mira, abaixo de meio metro, principalmente em dias e/ou lugares quentes. Erros devido à paralaxe 
são evitados se as leituras FS, FM e FI são feitas de uma única vez, sem que o observador altere seu 
ponto de vista de leitura. O problema com a capacidade de aumento da luneta é resolvido evitando medir 
distâncias grandes, acima de 70 metros. A verticalidade da mira pode ser garantida empregando um 
nível de cantoneira ou um fio de prumo. Para minimizar o erro recomenda-se não realizar leituras na 
parte mais alta da mira. 
 
 
3.1.2- Medição com a luneta inclinada 
Neste caso, devido a diferença de nível entre os extremos do seguimento a ser medido, para 
visar a mira há necessidade de inclinar a luneta para cima ou para baixo, de um ângulo iˆ em relação ao 
plano horizontal, como indicado na Figura 3.7. 
Da Figura 3.7 verifica-se que 
 
iˆcosOBDH ⋅= (3.7) 
 
Aqui o triângulo Oac é semelhante ao triângulo OA’C’ e não ao OAC. Portanto, 
 45
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
 
g
ac
Ob
'C'A
OB == (3.8) 
 
ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DH = ? 
A 
B 
C 
O 
c 
b 
a 
FI 
FM 
FS 
C’ 
iˆ 
w 
A’ 
iˆ
 
 
Figura 3.7 – Taqueômetro, mira vertical e medição de distância por taqueometria com luneta inclinada. 
 
g'C'AOB ⋅= (3.9) 
 
A distância A’C’ não pode ser determinada diretamente das leituras estadimétricas, mas 
 
'BCB'A'C'A += (3.10) 
 
Como o ângulo w é muito pequeno pode-se adimitir a seguinte hipótese simplificativa: os ângulos 
 são retos e portanto B'CˆCeB'AˆA
 
iˆcosBC'BCeiˆcosABB'A ⋅=⋅= (3.11) 
 
Consequentemente 
 
iˆcosACiˆcos)BCAB(iˆcosBCiˆcosAB'C'A ⋅=⋅+=⋅+⋅= (3.12) 
 46 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
 
Substituindo esta equação na (3.9) tem-se: 
 
giˆcosACOB ⋅⋅= (3.13) 
 
Substituindo a equação (3.13) na (3.7) e lembrando que AC = FS – FI = m, tem-se: 
 
iˆcosgmDH 2⋅⋅= (3.14) 
 
Se o ângulo vertical lido é o zenital, tem-se: 
 
ZˆsengmDH 2⋅⋅= (3.15) 
 
uma vez que o , no primeiro ou segundo quadrante e o 
 para no terceiro ou quarto quadrante. 
Zˆsen)Zˆ90cos(iˆcos =−=
zˆsen)iˆ270sen(iˆcos −=+−= zˆ
 
Fontes de erro: além daquelas que ocorrem quando a luneta está na horizontal têm-se como 
fontes de erro: 
• Leitura do ângulo vertical e 
• A hipótese simplificativa adotada para se chegar à equação (3.11). 
 
Como pode ser visto nos exercícios abaixo o efeito de um erro na observação do ângulo de 
inclinação é bem menor que o efeito de um erro de leitura na mira. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
i) De uma estação A foi visada, com a luneta na horizontal, uma mira vertical colocada em um 
ponto B. Foram feitas as seguintes leituras: fio inferior = 0,753 m e fio superior = 2,003 m. Calcule a 
distância horizontal entre os pontos (AB). E se a leitura no fio superior fosse 2,000 m em vez de 2,003, 
qual seria a nova distância? Calcule a diferença entre as distâncias encontradas, em centímetros. 
ii) De uma estação A foi visada uma miravertical posicionada em um ponto B. Foram feitas as 
seguintes leituras: fio inferior = 0,998 m, fio médio = 1,500m, fio superior = 2,002m, com ângulo zenital 
de 89º 05’ 00”. Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB). E se o ângulo zenital fosse 89º 00’ 
00”, qual seria a nova distância? Calcule a diferença entre as distâncias encontradas, em centímetros. 
 
 
 
 
 47
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
3.2- UTILIZANDO MIRA HORIZONTAL 
 
 Mira horizontal, também conhecida como estádia, é uma haste de metal com baixo coeficiente 
de dilatação térmica, dotada de dois alvos em seus extremos sendo a distância entre eles conhecida 
com precisão. 
 Para medir distâncias empregando a mira horizontal, instala-se o teodolito e a mira nos extremos 
do seguimento a ser medido – Figura 3.8. Utilizando o visor ótico deixa-se a mira perpendicular ao 
alinhamento. Após medir o ângulo horizontal α mostrado na Figura. 3.8, calcula-se a distância horizontal 
DH. 
Da Figura 3.8, onde b é a distância entre os alvos da mira, verifica-se que: 
 
DH2
b
2
tg ⋅=
α
 (3.16) 
portanto 
2
tg2
bDH α⋅
= (3.17) 
 
 Se b = 2,000 m então 
)m(
2
tg
1HD α= (3.18) 
 
 
A 
B
α 
DH 
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.8: Medida de distância com mira horizontal 
 
 
Fontes de erro: A obtenção de distâncias empregando mira horizontal tem as seguintes fontes de erro: 
• erro no comprimento da estádia (mira); 
• erro de centralização do goniômetro e da mira; 
• erro na observação de α e 
• falta de perpendicularidade da estádia com o alinhamento a ser medido. 
 48 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
O comprimento da estádia bem como a necessidade de visualizar dois alvos distando dois 
metros um do outro, torna pouco exeqüível o uso desse instrumento em espaços urbanos e rurais, 
principalmente em matas, limitando-o para trabalhos de triangulação, onde uma ou outra distância deve 
ser medida. 
 
 
3.3- MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIAS 
 
O primeiro instrumento eletrônico para medir distâncias foi inventado pelo físico sueco Dr. Erik 
Bergstrand, por volta de 1950, e denominado Geodímetro - um acrônimo para “geodetic distance meter”. 
Este instrumento foi capaz de medir, à noite, distâncias de até 40 km, empregando a luz visível. Cerca 
de sete anos depois, na África do Sul, o Dr. T. L. Wadley inventou o Telurômetro, primeiro Medidor 
Eletrônico de Distâncias (MED) a empregar microondas e capaz de medir, à noite ou durante o dia, 
distâncias de até 80 km. 
Atualmente, os medidores eletrônicos de distâncias empregam o laser visível (RL) ou infra 
vermelho próximo - laser invisível (IR) -, com comprimentos de onda variando de 500 nm a 1100 nm, 
para medir distâncias de até 5 km, com precisão de (10 mm + 5 ppm) a (1 mm + 1 ppm). Há as 
chamadas trenas eletrônicas que medem distâncias de até 300 m e as Estações totais, instrumentos que 
além de medir distâncias, medem ângulos horizontais e verticais eletronicamente. 
A Figura 3.9 representa o processo de medição eletrônica de distâncias. Num dos extremos do 
seguimento a ser medido é posicionado o medidor - instrumento que gera sinais eletromagnéticos, 
emite-os, recebe-os de volta e realiza medidas e cálculos – e no outro extremo é posicionado o refletor, 
que tem a função de refletir para o medidor os sinais por ele emitidos. Há instrumentos que emitem o 
laser visível e dispensam o refletor para distâncias pequenas, menores que 300 metros. 
 
 
 
 
Refletor 
DH 
d 
v
λ 
v
D Emissor/Receptor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9 - Medida eletrônica de distância 
 49
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
 
3.3.1- Princípio da medida eletrônica de distâncias 
 
Afinal o que mede um distanciômetro? 
 
a) o tempo de propagação (t) do sinal (?) 
 
 A precisão desta observação depende da estabilidade do oscilador, normalmente de cristal, do 
medidor eletrônico de distâncias. Seja na Figura 3.9: D, a distância a ser medida e V, a velocidade de 
propagação do sinal, cerca de 3 x 108 m/s no vácuo. 
Se o tempo de propagação t, de ida e volta do sinal, é observado tem-se: 
 
;
2
tvD ⋅= (3.19) 
 
 Se o instrumento medisse o tempo com uma precisão máxima de 10-6 segundos, o que já pode 
ser considerado como uma boa precisão para medida de tempo, a precisão na distância seria de: 
 
m150
2
10103 68
D =⋅⋅=σ
−
 (3.20) 
 
que é uma precisão muito ruim para as distâncias empregadas em topografia. 
 Devido à dificuldade de se medir o tempo de propagação da luz com tamanha precisão, os MED 
atualmente disponíveis não fazem essa observação. 
 Atualmente, com o desenvolvimento de osciladores atômicos de átomos frios com uma margem 
de erro da ordem de 1 segundo a cada 3 bilhões de ano, ou 10-17 S/S, vislumbra-se a possibilidade de se 
ter instrumentos que meçam com precisão o tempo de propagação da radiação eletromagnética. 
 
b) A diferença de fase entre o sinal recebido e o emitido (ϕ) 
 
Na Figura 3.9 verifica-se que há, no caminho de ida e volta do sinal entre os extremos do 
seguimento a ser medido, um número inteiro de comprimentos de ondas que será representado por m, e 
uma parte fracionária da onda representada pela letra d. Portanto, da referida Figura, conclui-se que: 
 
2 ⋅ = ⋅ +D m dλ (3.21) 
 
À parte fracionária d corresponde uma diferença de fase f de forma que: 
 
λ⋅π
ϕ=
2
d rad (3.22) 
Portanto, 
.
2
mD2 λ⋅π
ϕ+λ⋅=⋅ (3.23) 
 50 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
 
Fazendo =µ=π
ϕ
2
 defasagem do sinal recebido em ciclos, tem-se: 
 
D m= ⋅ + ⋅λ µ λ
2 2
 (3.24) 
 
onde m é o valor observado e D e m são incógnitas. 
 Para solucionar a indeterminação da equação (3.24) os distanciômetros emitem dois diferentes 
sinais L1 e L2 (SILVA, 1993). Se λ1 ≈ λ2 tal que m1 = m2 = m então: 
 
D m= ⋅ + ⋅λ µ λ1 1 12 2 (3.25) 
e 
D m= ⋅ + ⋅λ µ λ2 2 22 2 (3.26) 
 
e assim tem-se um sistema de duas equações e duas incógnitas, D e m, uma vez que m1 e m2 são 
medidos e λ1 e λ2 conhecidos. 
Se, por outro lado, λ2 > 2D, tal que m2 = 0, então: 
 
2
D 22
λ⋅µ= , (3.27) 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ×µ−
=
2
2
D
deeirointm
1
1
1
1
 (3.28) 
e 
22
mD 11
1
1
λ⋅µ+λ⋅= . (3.29) 
 
Para compreender melhor este caso veja o seguinte exercício: se λ1 = 20m; λ2 = 2000m e os 
valores observados µ1 = 0,451 ciclos e µ2 = 0,470 ciclos tem-se, empregando as equações (3.27), (3.28) 
e (3.29) que: 
 
m470
2
2000470,0D =×= 
 
46
10
10451,0470deeirointm 1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×−= 
e portanto, 
m51,46410451,01046D =×+×= 
 
 51
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
EXERCÍCIOS: 
i) Se uma estação total mede distâncias com uma incerteza de (2 mm + 2 ppm) qual 
será o erro relativo, em ppm, para as distâncias de 20, 100, 1000 e 2000 metros? 
ii) E se a incerteza fosse (5 mm + 5 ppm)? 
 
 
4– DETERMINAÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS ENVOLVENDO PONTOS INACESSÍVEIS 
 
 É comum na engenharia necessitar-se de distâncias relativas a pontos inacessíveis. Se se 
dispõe de uma estação total capaz de medir sem refletor e o alvo reflete o espectro da radiação emitida 
pelo aparelho, o problema está então resolvido; senão, podem ser empregadas as leisdo seno e co-
seno como mostrado a seguir. 
 Seja a Figura 3.10 a representação de uma situação onde a distancia PQ, envolvendo um ponto 
inacessível, deve ser determinada. Devem ser observadas, no mínimo, as seguintes grandezas: 
• A distância horizontal AB e 
• Os ângulos horizontais α1, α2, β1 e β2. 
Há dois caminhos para se determinar a distância horizontal PQ. Um é, determinar pela lei dos 
senos as distâncias AP e AQ e pela lei dos co-senos, PQ; outro é determinar PQ a partir de BP e BQ. A 
seguir será desenvolvido o procedimento seguindo o primeiro caminho. Fica a cargo do estudante 
desenvolver o segundo. 
Do triângulo ABP, tem-se que: 
 
1
1
11 ωsen
βsenABAP
ωsen
AB
βsen
AP ⋅=∴= (3.30) 
 
mas , portanto, o )(180 111 β+α−=ω )(sensen 111 β+α=ω , e 
 
 
α1
β1
ω1
ω2
α2
β2
A
B
P
Q
Figura 3.10 – Determinando distâncias relativas a pontos inacessíveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
 
)βαsen(
βsenABAP
11
1
+⋅=
 (3.31) 
 
Da mesma forma pode-se verificar que 
 
)βαsen(
βsenABAQ
22
2
+⋅=
. (3.32) 
 
Determinadas as distâncias AP e AQ, tem-se, do triângulo APQ da Figura 3.10: 
 
)cos(AQAP2AQAPPQ 21
222 α+α⋅⋅⋅−+= (3.33) 
 
De onde se determina a distância horizontal PQ. 
 Quando os ângulos ω1 e ω2 são muito pequenos a precisão da distância determinada é ruim. A 
melhor precisão é obtida quando esses ângulos se aproximam de 90º. È a influência da geometria na 
precisão! Esse assunto será estudado com mais profundidade em disciplina específica. 
Com este método pode-se, a partir de uma distância pequena determinar uma distância maior, a 
partir dessa outra maior ainda e assim por diante, de forma que a partir de uma distância pequena se 
possa determinar grandes distâncias. A esse procedimento dá-se o nome de ‘desenvolvimento de 
bases’. 
 
EXERCÍCIO: 
Sabendo que na Figura 3.11 - que está fora de escala -, a distância horizontal entre as estações 
A e B, AB, é igual a 20 m, e os ângulos horizontais horários, ; 
; e , calcular a distância horizontal 
entre os pontos 1 e 2. 
"90,16'30561Aˆ2 o=
"60,11'33112BAˆ2 o= "00,04'191021BˆA o= "10,53'12592BˆA o=
 
 
A 
B 
2
1
Figura 3.11: Distância envolvendo ponto inacessível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
 
5 - EFEITO DA CURVATURA DA TERRA NAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS 
 
 Na Figura 3.12, onde 
 A e B = dois pontos situados em uma esfera; 
 R = raio de curvatura da esfera; 
 s = distância esférica AB; 
 c = a corda correspondente à s; 
 d = distância horizontal AB, e 
 γ = o ângulo de convergência entre as verticais que passam por A e B, 
 
2
senR2c γ⋅⋅=
radRs γ⋅=
γ⋅= tgRd
R 
s 
d 
c 
γ
A 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.12: Distâncias horizontal, esférica e corda. 
 
estão contidas as conhecidas equações que relacionam distância horizontal, distância esférica e corda, 
com o raio de curvatura e o ângulo de convergência. Desta Figura verifica-se que: 
 
L+γ⋅+γ+γ≈γ=
15
2
3
tg
R
d 53 (3.34) 
mas 
R
s=γ (3.35) 
 
portanto, empregando apenas os dois primeiros termos da (3.34), tem-se: 
 
3
3
R3
s
R
s
R
d
⋅+= (3.36) 
 
ou seja 
2
3
R3
ssd ⋅=− (3.37) 
 
que é o efeito da curvatura da terra nas distâncias horizontais. 
O erro relativo caso a curvatura seja desconsiderada pode ser calculado por: 
 
 54 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
2
2
s
R3
1
sd
s
1Er ⋅=
−
= . (3.38) 
 
EXERCÍCIO: 
 Dados: s = 30 km, R = 6.371 km 
 Calcular: 
• A distância horizontal d 
• O efeito da curvatura da Terra nesta distância, ou seja, calcular d – s. 
• O erro relativo caso a curvatura seja desconsiderada: 
• Realizar estes mesmos cálculos para s = 10 km, 5 km, 500 m e 100 m. 
 
As respostas para esse exercício estão na Tabela 3.1. 
 
Tabela 3.1: Efeito da curvatura em diferentes 
distâncias 
s (Km) d - s (mm) Er (ppm) 
30 221,7 7,4 
10 8,2 0,82 
5 1,0 0,21 
0,500 0,001 0,002 
0,100 0,000 008 0,000 08 
 
Observe que a correção da curvatura da Terra se faz necessária quando a distância a ser 
representada em um plano é tal que o seu efeito seja considerável para os fins a que se destina a 
planta. 
 
 
6 - EFEITO DA ALTITUDE NAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS 
 
Adotando a esfera como modelo físico e matemático para a Terra as superfícies de nível serão 
esferas concêntricas. Da Figura 3.13, onde 
 R = raio do modelo terrestre; 
 hi = altitude da seção i; 
 si = distância esférica na superfície de nível da seção i, 
sg = distância esférica ao nível do geóide, correspondente à si no Nível Médio 
dos Mares (NMM) e 
 γ = o ângulo de convergência correspondente à si, 
verifica-se que: 
 
 55
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
i
i
hR
s
R
sg
+==γ (3.39) 
 
i • 
γR 
hi sg 
si 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13- Efeito da altitude nas distâncias. 
portanto 
i
i hR
Rssg +⋅= (3.40) 
 
onde ( )ihRR + é o fator de escala que converte distâncias medidas na superfície física ao geóide. 
Conclusão: a distância entre dois pontos, para fins de mapeamento, depende da posição do 
seguimento medido em relação ao nível médio dos mares. 
 
EXERCÍCIO: 
 Dados: hi = 800 m, R = 6.371 km e si = 30 km 
 Calcular: 
• O fator de escala ihRR + ; 
• A distância ao nível do geóide, sg; 
• O efeito da altitude nesta distância, ou seja, calcular si – sg; 
• O erro relativo caso este efeito seja desconsiderado; 
• Realizar estes mesmos cálculos para hi = 100, 500, 1000 e 1500 m. 
As respostas para esse exercício estão na Tabela 3.2. 
 
Tabela 3.2: Efeito da altitude nas distâncias 
h (m) si - sg (m) Er (ppm) 
1500 7,06 235 
1000 4,71 157 
800 3,77 125 
500 2,35 78 
100 0,47 16 
 56 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
 
Observe que o efeito da altitude é muito maior que o efeito da curvatura da Terra. Observe 
também que o erro relativo depende somente da altitude do seguimento medido e pode ser dado por: 
 
)ppm(10
hR
hEr 6h ⋅+= (3.41) 
 
O efeito da altitude deve ser corrigido quando há grandes variações de altitude na região a ser 
mapeada ou quando se pretende conectar a planta à carta do município, do estado ou do País. 
 
 
7 – REDUÇÕES DE DISTÂNCIAS MEDIDAS PELO PROCESSO DIRETO 
 
 A Figura 3.14 representa a medição de várias seções de uma distância longa, pelo processo 
direto. Tal distância deve ser corrigida dos efeitos da altitude e da curvatura da Terra. À estas correções 
da-se o nome de ‘Reduções’. Há duas situações em que as reduções devem ser aplicadas: uma, quando 
se vai confeccionar uma planta topográfica, ou seja, os dados serão coletados em campo e processados 
para serem representados em um plano, item 7.1; e a outra, quando os dados serão extraídos de uma 
planta e materializados na superfície física, ou seja, quando se fará ‘locações’, item 7.2. 
 
 
CG 
CG 
ZA ZB
A 
S 
D 
d2
d3
dn
hA
R 
γ 
Sg 
DH 
B 
Plano topográfico
Geóide (Nível 
Médio dos Mares) 
Superfície 
física 
Superfície de 
nível de A 
· · · 
Figura 3.14 – Medição de várias seções deuma distância longa, pelo processo direto. 
d1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 57
Rodrigues, D. D. – 2008 Medição de Distâncias 
7.1- TERRENO Æ PLANTA: reduções aplicadas na confecção de uma planta. 
 
a) Supeficie fisica Æ Superfície do Geóide: corrige-se o efeito da altitude. 
 
n
n
3
3
2
2
1
1 hR
Rs
hR
Rs
hR
Rs
hR
RsSg +⋅+⋅⋅⋅++⋅++⋅++⋅= (3.42) 
 
e se as seções medidas são curtas, 
ii ds = (3.43) 
e 
∑ ⋅+= ii dhR
RSg (3.44) 
 
uma vez que o efeito da curvatura em cada di será nulo. 
 
 Se a variação em altitude na área que está sendo mapeada é pequena, pode se adotar uma 
mesma altitude média (hm) para a região e 
 
∑⋅+= idhmR RSg (3.45) 
 
b) Superfície do Geóide Æ Plano Topográfico: corrige-se o efeito da curvatura em Sg. 
 
2
3
R3
SgSgDH ⋅+= (3.45) 
 
7.2- PLANTA Æ TERRENO: reduções aplicadas em locações de projetos. 
 
a) Plano Topográfico Æ Superfície do Geóide: efeito da curvatura 
 
Aqui há necessidade de realizar iterações uma vez que Sg se encontra nos dois lados da 
equação. Deve-se inicialmente atribuir o valor da distância horizontal à Sg. 
 
DHSg0 = (3.46) 
 
2
3
1j
1jj R3
Sg
SgSg ⋅−=
−
− (3.47) 
 
com j = 1,2, · · · até que 
1jj SgSg −− atinja um determinado critério de convergência. 
 
c) Superfície do Geóide Æ Supeficie fisica: efeito da altitude. 
 58 
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 
 
R
hmRSgSsf +⋅= (3.44) 
 
EXERCÍCIOS: 
i) Um seguimento de aproximadamente 500 m, localizado a uma altitude média de 800 m, foi 
dividido em dez seções para ser medido com trena de invar. Os valores das seções, em 
metros, são: 49,973, 49,853, 49,936, 49,875, 49,941, 49,832, 49,876, 49,946, 49,912, 
49,954. Determinar o valor da distância reduzida ao plano topográfico tangente ao geóide. 
Considerar o raio da Terra igual a 6371 Km. 
ii) Em um mapa na escala 1/2 000, construído em um plano topográfico tangente ao nível 
médio dos mares, foi medida uma distância de 56 cm. Sabendo que a região em que se 
encontra o seguimento medido está a uma altitude de 800 m, determinar o valor da distância 
esférica correspondente, a ser locada com trena, na superfície física. Considerar o raio da 
Terra igual a 6 371 Km. 
 
 
 
59
	EXERCÍCIOS