Introdução a Sistemas Elétricos de Potência 2ed

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CARLOS CÉSAR BARIONI DE OLIVEIRA 
Professor Assistente - EPUSP 
HERNÁN PRiETO SCHMIDT 
Professor Doutor - EPUSP 
NELSON KAGAN 
Professor Doutor - EPUSP 
··,ERNESTO JOÃO ROBBA 
Professor T i t u l a r - : - EPUSP 
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I N T R O D U C Ã ó 
. ' , " A S I S T E M A S E L E T R I C O S 
·.o.E P O T Ê N C I A 
C O M P O N E N T E S S I M É T R I C A S 
2 . ª edição rev~ta e ampliada 
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· EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA 
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Carlos César Barioni 4e Oliveira 
Hernán Prieto Schmidi 
Nelson Kagan 
Ernesto João Robba 
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/1 proibida a reprodução. to_fal _ou parcial ·· 
por qua_isquer. meios. 
' · , . m autorização escrita dà edüora 
E D I T O R A EDGARD B L Ü C H E R LTDA. / 
Fax: (011) 8 5 2 - 2 7 0 7 
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I C D I T O R A A l ' l L I A M 
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· c o N T E Ú D O 
PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO; .....•.•...•.•••.... ~ ........... .-................................................. x PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO.: •• :.~::.::.:.................................................................... xi 
CaJ!~iulQ 1 - CIRCUITOS TRIFÁSICOS .............................................. : •.•.••.••• u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1.1- Introdução ................................................................................... ,................................ l ;· 
· l . l.1 - Preâmbulo ....................................................................................................... l 
l . L 2 - Definições Gerais ................................................. .-.......................................... 2 
l . l .3 - Obtenção de Sistemas Politãsicos - Seqüência de Fase .............................. :- .. •·• 3 
1.1.4· - Operador a O•••;••U•o•••••••••Ó••••••: . . . . . . ~··•••••••••••••u••••••••u••••••U•••••••••••••••••O•"""""" 6 1.1.s·· -·Seqüências •..•• , ................................................................... ,............................ s l.i:6 - simtiologia· ... : .................•..... ; ...................................................................... .-... 9 
:1.2- Sistemas Tritãsicos Simétricos.e Equilibrados com Carga Equilibrada - Ligações ......... 9. 
· l.2. l -· Introdução ...............•..•..•. : •..... : ..•..•. ~ ••••..•....• ~ ............ ,...................................... 9 l.2.2 ·-.Ligações ém Estrela ......................... : .............................................. .-............... 10 1.2.3 -·RCJaçãoentre os Valores de Linha e Fase para Ligação Estrela........................ 12 l.2.4 - Resolução de Circuitos i:om Gerador e Carga i:m Estrela ................................. 18 
1 . 2 . s · - Ligações em Triângulo.................................................................................... 25 
1.2:6· - Relação êntre os Valores.de Fase e de Linha .para a· Ligação Triângufo ............ ' 2 7 
· · · .1.2. 7 - Resolução de Cfu:uitos TritãsJcos. em J:riângulo ............................................. :. 30 \ 1.3 • Sistemas Trifásico& Simétricos e Eciuilibrados com Cargas Desequilibradas................... 35 
1.3.1 - Introdução ................................. :..................................................................... 35 
1.3 .. 2 - Carga em .EStrela Aterrada Através de Impedância.......................................... 35 1.3.~ - Carga eui Estrela cOm. Centro-Estrela Isolado ..................................... :............ 39 
1.3.4 ·· ;. Carga em Triângulo ..•..•....... :.-.. _. .. ; •. _.;.- • .-.................. : ......... ; ••.....•..•..• ; ..... : .....•••• .-.. 42 11. 4 - Sistemas Tritãsicos com Indutãncias_Mútuàs Quaisquer................................................. 43 
· · 1.4.l - Introdução· ............................... .-....................................................................... 43 
, 1.4.2 -· Matriies Primitivas dos Element0s de uma· Rede •.••.••..••••••... '........................... 4 3 1'.4.3 · .: Redes Primitivas COlll Indutâncias Mútuas ....................................... ,,............... 4 5 
· 1.4.4 - Linha Trifásica a 4 Fi0$ .COlll Indutâncias ·~útuas - M a t r i z d e Impedâncias ...... S 1 1.4.5 .· - Linh8 Tritãsica a 3 Fios com Imlutâncias Mú~ - Matriz .dC Impcdãncias....... SS 
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1.4.6 - Linha Trifásica a 4 o u 3 Fios c o m Mútuas Iguais ( R e d e E q u i l í l l n d l ) 
Alimeniando Carga Trifásica Equilibrada ...•........•.................. ,........................ S 6 
1.4. 7 - Linha Trifásica c o m Mútuas Qiiaisquer Alimentando Carga a n L u r c b 
Aterrada Através de Impedância ..................................... '................................. 57 
1.4.8 - Linha Trifásica c o m Mútuas.Quaisquer Alimentando Carga cm E.<;trcla o:-.n 
Centro-Estrela Isolado ou Carga em Triângulo ............... ,................................ 63 
1 . 5 - Sistemàs Trifásicos Simétricos ou Assimétricos. com Cargas Dc:scquilihradas C m h c c i d a s as Tensões nos Terminais da Carga............................................................ 67 
1.5.1 - Introdução ....................................................................................................... 67 l.S.2 - Carga em Estrela Aterrada Através de Impedância .......................................... 68 
1.S.3 .- Carga em Estrela com Centro-Estrela Isolado .................................................. 70 
1.5.4 - Carga em Triângulo .............................. ,.......................................................... 72 
1 . 6 - Potência em Sistemas Trifásicos ..................................... ;'"'.'."'•·• ................... ::·:............ 73 
1 6 1 ·• Introdução ........................................................... , .. , ......................................... '. 73 
1 : 6 2 - Expressão Geral da Potência em Sistem~ T r i t i s í c o s .;..................................... 7 7 
1.6.3 - Medida de Potência em Sistemas Polifásicos - Teorema de Bloodel ................. 85 
1.6.4 - Medida de Potência cm Sistemas Trifásicos em Estrela ............. ,'.."'.'."''.'"""""'"'' :~ 1.6.5 - Medida de Potência em Sistemas Trifásicos em Triângulo .............................. . 
t.Ó.6 - Leitura dos Wattlmctros cm .FunÇão do Fat<»" de Potência da Carga, do l\dodo 
de Ligação e da Seqüência de Fase ............................... ~ ........ :.··'.·, ..... : ................ , 87 
1.6.7 - Cálculo do Fator de Potência da Carga ....... : ................... , ............ :•·•'.····: .... : . . . . . . 89 
1.6.8 -. ~;1::e i~:i~:adi:~!.~ .. ~'.'.~'.~~.~:~.;::::.~~-t-~~~~ .. : ... :.:~~ 91 
1 6 9 - Potência Reativa em Trillsicos Quaisquer ...................................... ·'.•""•:·•""'"" 93 
1 : 6 : 1 0 - Determinação de Potência A t i w .e Reativa c m Trifásicos':Sitnéb'icos e 
Equilibrados com Carga Equilibrada .......... :, .... , ..•. : .......... ~ ...... ;: ................. ._,... 9S 
t . 7 . Representação de Redes Tritãsicas por P i a g r a m a Undilar .......................................... ::· 95 1 . 8 . Modelos paraRepresentação da Carga ........................... ; .... ; ....................... , .. :·••::.......... 98 
98 1.8.1 - Introdução........................... .. ..... ; ...................................................... , .. : ....... , 
1.8.2 - Carga de Corrente Constante com a Tensão ............ ._ .............. , ..... :.; ............. .,... .99 
1.8.3 - Carga de Potência Constante com a Tensão ........ _. ........... :'""'.''."''."""'"""""""""". 99 1.8.4 :. Carga. de Impedância Constante com a Tensão ; ............ '. ........ ; ............ :······...... 100 
· t.8.5 - C o m p a r a ç ã o c n t r e o s M o d e l o s . d e R e p r e s e n t a ç ã o d a C a r p . : : : · ...................... ., .... , !: 
Bibliografia •.• , ... , •• ., ......................... , .................... ;., ....................... : .......... ~ ........ _, . . . . ~:""'"'"''"'. . 
Capfttilo 2 - V ~ORES PERCENTIJAIS .E POR UNIDADE- ............................ !................... 106 
: ' 
. ·, 106 2.1 •.Introdução ............................ , ........................................................................................ 106 
2 . 2 - Definições .............................................. '. ..... ;'. ................ : · · · · · ........................................ l l4. 
· . taçã dC Máquinas Elétricas em Valores PC»' Unidade ....................... m • • - • · . . •• , 2.3~_R.epresen ºr. ad . . . . .. ............................................ 114 -2.3.1 - Trans1orm ores ............... ,............................... 125 - : " ' 
. 2 3 2 - Máquinas Elétricas Rotativas ................................................................... ' " . . . . . . . 126 
2 : ú - Transformad<Rs Mono'lãsicos com mais de D o i s Enrolamaitos .................. - : 144 
. Bases" . ·. . . • ................................... -% . . . . . _ . . . . .. 2 4 · M u d a n ç a d e .......................... ,,.............................. • . . 
· 2:s. ~esentação de Transformadores quando não n a Relação l : 1 ..................... , .............. . 
. • 
2.5.1 - Representação de Transformadores quando há Choque de Bases .................... . 
2.5.2 - Representação de Transformadores com Comutador de Derivação ••••......•• ~ ..... . 
2 . 6 - Aplicação de Valores "P<»" Unidade" a Circuitos Trifãsicos com Carga Equilibrada .••..•• 
2.6.1 - Introdução ........................................ : .................... ; .....•.•..••. '. ............... •: ......... . 
2.6.2 - Escolha das Bases .............................................................. 1, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
2.6.3 - Valores "Por Unidade" para Máquinas Elétricas Trifãsicas ............................ .. 
2. 7 - Vantigcns e Aplicações dos Valores "Por Unidade" ......•.....•...•.......•. , ........................... . 
Bibliografia ................................ ; .......................................................... ; .............................. . 
vil 
149 
158 
164 
164 
165 
171 
188 
192 
CapítlJlo 3 ·COMPONENTES SIMÉTRICAS .................................. ,................................... 193 
3 . 1 - Introdução .............................. ." ............ ;........................................................................ 193 3.2 - T e o r e m a Fundamental .................................................................................................. 193 
3.3 - Mudança n o Primeiro Fasor da Seqüência..................................................................... 199 3.4 - A p l i c a ç ã o a Sistemas Tri.lãSicos .................................................................................... 201 
' 3.4.1 ' - Introdução ........................................................................ , .................... ~ .......... 201 
3.4.2 - Sistemas TrifãsiCQS a Três Fias - Ligação Estrela ...... ,...................................... 202 
3.4.3 - Sistemas Trifásicos a Três Fios - Ligação Triângulo......................................... 209 
3.4.4 - Primeira Lei de Kirchhoff cm Termos de Componentes Simétricas .................. 211 
3.4.S - Segunda Lei de Kirchhoff em Termos de Componentes Simétricas para 
Circuitos s a n Indutâncias Mútuas ....... ; .................................................... ,. ..... 212 3.4.6 - Segunda Lei de Kirchhoffpara Circuitos Trifásicos com Indutâncias Mútuas .•. · 223 
3.4.7 - Lei de Kirchhoffpara Redes Equilibradas com Indutâncias Mútuas Iguais ....... 232 
3.4.8 - Potência em Termos de Componentes Simétricas ............................................ 2~5 
3.5 - Representação de Redes p o r seus Diagramas S e q a c n d a i s .............................................. 239 
3.5.1 - Introdução ....................................................................................................... 239 3.5.2 ~ Linhas de Transmissão ..................................................................................... 239 3.S.3 - Representação de . Cargas erii Triângulo e em Estrela com Cc:ntro-EStrela 
Isolado ............................................................................ ., ............................... ·243 3.5.~ - Carga em Estrela ·com Impedância de Fase Z e Aterrada por, Meio de 
Impedância ZN .......................................................... ~ ............. ,...................... 246 
· 3.5.5 - Representação de Gerad<»"CS ............................................................................. 248 3.5.6 - Representação de TransfOrm.adores ................................... .,,............................ 249 
3.5.7 - Linhas de Circuitos Diferentes com Indutâncias Mútuas ..........•..•.........•..•.•••••• 264 
3.5.8 -·Associação eo1 Série de.Elementos ................................................................... 267 
• 3 . 6 - Resolução de Redes Trifásicas Simétricas e Equilibradas com Carga Desequilibrada ..•.• 273 
3.6.1 - Introdução ....................... ................................................................................ 273 
3.6.2 - Carga Desequilibrada em Estrela com Centro-Estrela Isolado .......................... 274 3.6.3 - Carga Desequilibrada r . i g a d a em Triângulo .......................... ,.......................... 278 3.6.4 - Carga Desequilibrada em Estrela com Centro-Estrela Aterrado p o r 
Imi>edância ZN ••••••••••• : .............................................. \ ••• ;············ .. ·······~········· ~78 
3.6.5 - Carga Desequilibrada em Estrela com ~tro-Estreia ~ p o r 
Impedância e com Impedâncias Iguais em Duas Fases ..................................... 282 3.6.6 - Carga Mono~ca L i g a d a entre uma _Fase e Terra •.••• ;..................................... 285 . 
VIII 
3 . 6 . 7 - Curt<>-Circuitoentri:;Duasfases .........•.. ·.; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 
3 . 6 . 8 - Carga Monofãsica entre Duas Fases.................................................................. 289 3 . 6 . 9 - Defeito entre Duas· Fases e a Terra .............•......• ; .. , •.. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9 
3.6.1 O - Cargas Monofásicas entre Duas Fases e Terra .•.•. ; ...•.. ; ..................................... · 291 3.6.11 - Abertura Monopolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 3 . 6 . 1 2 - Abertura Bipolar ... : ...••.•..•..............•...•.•......•...• , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,; .. 298 Bibliografia ••••..•.• : ...•.••••.•....••..•.•••••.. _. •...••.•.•••.•...... ,. .....•.. ~ .......................................................: ·301 
,,. ' 
' 303 Capítulo 4 - COMPONENTES DE CLARKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4 . 1 - Componentes de q a r k e ou Componentes Modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 
4.1.1 - A p r e s e n t a ç ã o · · · · - ' · · · · · · · · .. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 4 . 1 . 2 - Teorema Fundamental .................................... .................................................. 303 4 . 1 . 3 - Relações entre Componentes de Fase e d.e Clarke ...................... '....................... 305 4 . 1 . 4 - Relações entre Componentes de Clarke e Simétricas .................................. ; •... 3 0 8 
4 . 1 . 5 ··Simplificações em Defeitos Fase à Terra .......................................................... 3 1 0 4 . 2 - Leis de K i r c h h o f f em Termos de Componentes de Clar)c<: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 
4.2.1 - Primeíra Lei de Kirchhoff ............ .'................................................................... 3 1 2 
4 . 2 . 2 - Segunda Lei de Kirchhoff ................................................................................. 312 4 . 2 . 3 - Impedâncias · de Clarke em Função d a s Impedâncias de Componentes 
Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 6 4 . 3 - Representação dos Elementos da Rc4e em Componentes de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 9 
4 . 3 . l - Carga EquHibrada em Estrela .............. : .. ······"'°'"''"'""''"""'"""""····························· 3 1 9 4 . 3 . 2 - Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :............................... 3 2 0 
· · 4 . 3 . 3 - Representação de Linhas de Transmissão ........................................................ 323 4 . 4 - Potência em Termos das Componentes de Clarke .................................... ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 4 . 5 - Resolução de Redes Trifásicas Simétricas com um Desequilíbrio •.... : ....••....... :.............. 3 2 4 · 4.5.1 - Carga Desequilibrada em Estrela ......................... . , ........................... ; ........•...•... :324 
4 . 5 . 2 - Carga Monofãsica Ligada entre Uma Fase e Terra .•........... ,............................. 3 2 7 
4 . 5 . 3 - Carga Monofãsica Ligada e n t r e Duas Fases . .................................................... 3 2 8 
4 . 5 . 4 - Cargas Monofãsicas entré Duas Fa.ses e Terra m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~··············· 3 2 9 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'............ 331 
Capítulo 5 -EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 332 • ' 1 
S. l - Introdução .. :.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 5 . 1 . l · A p r e s e n t a ç ã o Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ...................... 332 5 . 1 . 2 - Programas Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " •. , ..... : ........ ,. .............. ; ....................... 332 5 . 2 • Exercícios de Circuifos Trifãsicos (Capítulo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :......................... 334 S.2.1 •. Apresentação ,, / 
5 . 2 . 2 
S . 2 . 3 
S , 2 . 4 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~..................................................... 3 3 4 
- Exercícios Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ............... 334 
- Exercícios do Tipo Teste de Múltipla Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ ............. 3 H 
· E x e r c í c i o s Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '." . . . . . . . . . - - - - · . . l l 7 
IX 
5 . 2 . 5 - Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 6 
S . 2 . 6 - Exercícios Resolvidos pelo Programa SIMETRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 8 
S . 2 . 7 - Exerclqios Resolvidos pelo Programa TRIFASL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 3 6 6 S 3 . Exercícíos d e · v a l ó r e s Por Unidade (Capítulo 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 
· · . · 3 n 5.3.1 - Apresejitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , .. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . ) . 2 - Exercídios Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 
5 3 3 - Exercício$ de Múltipla Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 4 . . 
·, 6 5 . 3 . 4 - Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 
5 . 3 . S - Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;......... 3 8 7 5 . 3 . 6 - Exercícios Resolvidos pelo Programa BASEPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·389 5 . 4 - Exercícios de Componentes Simétricas (Capítulo 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :....... 411 5.4.1 - Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 5.4.2 - Exercícios Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 2 5 . 4 . 3 - Exercícios de Múltipla Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 3 
5 . 4. 4 - Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 3 
5 . 4 . S - Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 4 S.4.6 - Exercícios Resolvidos pelos Programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 S S - Exercícios de Componentes de Clarke (Capítulo 4)........................................................ 456 • 
. 56 .· S.5.1 - Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 S 5 2 - Exercícíos Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 5:5:3 - Exercícios de Múltipla Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . ,.'.................. 4 5 7 
5 . S . 4 - Exercícios Resolvidos .•... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 8 
. S . 5 . 5 - Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 5 5.:S.6 • Programas CCIDputacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 5 5 . 6 • Programas Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 5 5.6.1 - Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . 4 6 5 ~.6.2 · P r o g r a m a CSIMET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 i · 5.6.3 - Programa BDADOLT ...................................................................................... 4 6 ó 
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P R E F Á C I O DA SEGUNDA F : D I Ç À O 
Após mais de 20 anos do lançamento deste livro, resolvemos, agor.i em co-autori3 ccl'll out.rus 
professores da EPUSP, proceder à sua revisão, à luz dos atuais recursos computaciooais. O l i v r o 
manteve s e u escopo de constituir-se numa obra introdutória ao estudo de sistema.~ e l é t r i c o s d e 
pútência, prcoc:upando-se em expor as ferrame11tas.bá~icas de que t a l estudo se vale, quais sejam: 
valores por M i d a d e , compórtentés simétricas e·ccimponentes de Clarke. Sua cstrurura gl.Ta! e seu 
carácter eminentemente didático mantiveram-se inalteÍ"ad0s, porém sofreu grandes modificações 
em seu conteúdo, com especial ênfase n o s o f t w a r e para resolução de exercícios. 
No primeiro capítulo, que trata de circuitos trifásicos, a o p a r da introdução dos oonccitos básicos 
i ; das peculiaridades de resolução de circuitos trifásicos simétricos e equilibrados, cnfati:t,amos o 
estudo matricial, por componentes de fase, de redes trifásicas assimétrica.'> e desequilibradas, 
apresentando, como é o caso das linhas de transmissão, impedâncias:müfillis,'"i1ão ãcsprezíveis, 
entre os condutores de fàse e entre estes e o retorno por !_erra. Introduzimos os conccítos de cargas 
modeladas p o r potência, corrente e impedância consta.fie e, de ronseqüência, os critérios básicos 
p a r a a resolução de redes por processos diretos e iterativos, estes últimos sobremodo úteis quando 
as cargas são representadas por impedâncias não li'!_learcs. 
No segundo capítulo, apresentamos os valor~ norn1alizados, ou p o r unidade, e discut,imos a 
representação das redes elétricas, e de seus componentes, através de diagramas dé impedâncias. 
Em substituição ao detalhamento da reprCSCJ.ltação de redes por meio de analisadores de circuitos 
em condições transitórias (T.N.A. - T r a n s í e n J ·Network. A r i a l y z e r ) cuja utilização prática foi 
suplantada pelo tratamento numérico, através de computadores digitais, incluímos a análise das 
vantagens numéricas que advêm da utiliz.ação d e v-.tlores por unidade na simulação da operação 
de redes elétricas. 
No terceiro capítulo, onde apresentamos a anáiise de redes através d a s componentes simétricas, 
discutimos, após sua definição e interpretação, os métodos para a representação dos elementos 
que constituem uma rede elétrica de potência p0r seus diagramas seqüenciais. Salientamos que a 
representação de alternadores não é discutida em detalhes p o r não ser do escopo desta obra. 
Finalmente nos ocupamos da interligação dos circuitos seqüenciais, dando destaque ao tratamento 
de redes com desequilíbrios e defeitos entre fases e e n t r e l à s e s e terra, bem como, os problemas de 
abertura monopolar e bipolar de linhas. 
No quarto capítulo, no qual apresentamos as componentes de Clarke, mantivi:mos, mesmo éom a 
introdução d e novos itens, seu caráter resumido face à. menor aplicação dessas componentes ao 
estudo de redes e, ainda, pelo fàto de que~ tratamento dos problem:is segue metodologia análoga 
. ao apresentado n a s componentes simétricas. Lembramos que, a aplicação d a s ~pi>ncntes de 
Clarke restringe-se quase que exclusivamente ao estudo de sobretensões, portanto, de uso mais 
especializado. 
· 
O s exercícios de aplicação pertinentes ·aos quatro capítulos passaram a fazer p a n e do quinto 
capítulo, onde apresentamos duas grandes fàmílias de exercícios: a primeira, composta de 
exercícios analíticos, testes de múltipla escolha, exercícios resolvidos e p r o p o s t o s , e a !íCllunda. 
constituida ~ ex:çrcicios resolvidos através de conjunto de programas comrutadtJnai.s d e 
domínio público, fornecidos .. em disquete e disponíveis n a rede Internet. O s c x c r d d • • !'«~ 
desenvolvidos, cm ordem crescente d e dificuldade, n o sentido de esclarecer e consolid:.r m ~ 
itos .introduzidos n o tratamento teQ.rico dos assun. tos. , C a r l o s C é s a r B a r / o n l de O l l w 1 r t l 
H e r n á n P r i e t o & h m ú l t 
N e l s o n K p g t » t 
E r n e s t 0 J o l k 1 Rt,/Jho 
São Paulo. m • i o d e 1996 
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P R E F Á C I O DA P R I M E I R A E D I Ç Ã O 
Este livro tem caráter eminentemente didático. Seu objetivo é a exposição das ferramentas 
principais utilizadas no estudo de sistemas de potência: valor p o r unidade, ·componentes 
simétricas e componentes de Clarke. 
Representa o início de uma série de obras que serão publicadas·pelo grupo de Sistemas de 
Potência do Departamento de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da USP. A este, seguir-
se-ão os volumes versando sobre linhas de transmissão, distribuição, anâliSe dó comportamento 
dinâmico de sistemas, geração, sobretensõcs e estudo econômico. Pretendemos desse modo cobrir 
o curso de graduação que é ministrado aos engenheiros eletricistas, opção de Sistemas de 
Potência. 
O primeiro capítulo t r a t a de circuitos trifásicos, enfatizando-se os circuitos trifásicos 
desequilibrados e os circuitos trifásicos com impedâncias mútuas e n t r e as trêS fases, sendo estauma primeira aproximação ao problema ·real das linhas de transmissão. 
No segundo capítulo, são apresentados os valores p.u., discutindo-se a representação dos 
componentes de um. sistema nos diagramas de impedâncias. Dá-se ênfase ao problema da 
simulação de redes em condições transicntes ( T . N . A . - T r a n s i e n t N e t w o r k A n a l y z e r ) . 
No terceiro capítulo, são apresentadas as componentes simétricas; após a definição e 
interpretação, fiiscutem-se os métodos para a representação dos componentes de uma rede de 
potência por meio dos diagramas seqüenciais. Salientamos que não é dado destaque à 
represéntação de alternadores, uma vez que isso será assunto do curso de máquinas elétricas. 
Finalmente, estudamos a interligação dos circuitos seqüenciais para alguns casos de defeitos e de 
desequilíbrios da carga. Defeitos múltiplos serão estudados c m obra futura, ao tratarmos de 
defeitos e sobretcnsões. 
Finalmente, o quarto capítulo é dedicado às componentes de Clarke. Sua apresentação é 
mais rc;sumida, pois o tratamento da maioria dos problemas é análogo ao do capítulo de 
componentes simétricas. Além disso, devido ao fato de a aplicação das componentes de Clarke ser 
restrita quase que exclusivamente ao estudo de sobrctcnsões e, portanto, de uso mais · 
especializado, restringimo-nos à análise de alguns casos. O assunto será retomado no curso de 
SObretensõcs, que, pelo seu caráter de especialização, é ministrado em pós-graduação. 
Concluindo, desejamos externar nossos agradecimentos à s muitas pesscr.is que tornaram 
possível a realização deste trabalho: a meus colaboradores diretos do Departamento de Éngcnharia de Eletricidade, que suportaram longos debates sobre a matéria aqui exposta: à minha 
e$posa e filhas, que além de muito se privarem durante a longa elaboração do manuscrito, ainda 
cola~aram na revisão e na solução de inúmeros problemas durante a fase final de redação. 
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E r n e s t o J o ã o R o b b a 
São Paulo, março de 1972 
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.. · ; Circuitos Trifásicos 
1.1 · I N T R O D U Ç Ã O . \ 
· 1.1.1 - ,PREÂMBULO 
A s p r i m e i r a s l i n h a s d e t r a n s m i s s ã o d e e n e r g i a e l é t r i c a s u r g i r a m n o final do s é c u l o XIX, e, i n i c i a l m e n t e , d e s t i n a v a m - s e e x c l u s i v a m e n t e a o s u p r i m e n t o de s i s t e m a s d e i l u m i n a ç ã o . A util!zação destes s i s t e m a s p a r a o a c i o n a m e n t o de motores e l é t r i c o s fez c o m que as " c o m p a n h i a s d ç luz" s e t r a n s f o r m a s s e m e m " c o m p a n h i a s de força e luz". E s t e s s i s t e m a s operavam em b a i x a tei:isão e em c o r r e n t e c o n t í n u a , e foram r a p i d a m e n t e s u b s t i t u í d o s p o r l i n h a s monofásicas e m c o r r e n t e a l t e r n a d a . D e n t r e os motivos que p r o p i c i a r a m essa m u d a n ç a , podemos c i t a r : ( i ) o uso dos t r a n s f o r m a d o r e s , que possibilitou a t r a n s m i s s ã o d e e n e r g i a e l é t r i c a em n í v e i s d e t e n s ã o m u i t o m a i o r e s d o ' q u e aqueles u t i l i z a d o s n a g e r a ç ã o e n a c a r g a , r e d u z i n d o as p e r d a s n o s i s t e m a . p e r m i t i n d o a t r a n s m i s s ã o em l o n g a s d i s t â n c i a s ; e ( i i ) o s u r g i m e n t o d o s g e r a d o r e s e m o t o r e s e m c p r r e n t e a l t e r n a d a . c o n s t r u t i v a m e n t e m a i s s i m p l e s e m a i s b a r a t o s q u e as m á q u i n a s em c o r r e n t e c o n t í n u a . D e n t r e os s i s t e m a s em c o r r e n t e a l t e r n a d a , o t r i f á s i c o t o r n o u - s e o m a i s conveniente, p o r r a z õ e s t é c n i c a s e econômicas (como a t r a n s m i s s ã o d e p o t ê n c i a com m e n o r custo e a u t i l i z a ç ã o dos motores de i n d u ç ã o t r i f á s i c o s ) , e p a s s o u a s e r o p a d r ã o p a r a a geração, t r a n s m i s s ã o ~ d i s t r i b u i ç ã o de e n e r g i a em c o r r e n t e a l t e r n a d a . Por o u t r o lado, a s c a r g a s l i g a d a s aos s i s t e m a s t r i f á s i c o s podem s e r t r i f á s i c a s ou monofásicas. A s c a r g a s t r i f á s i c a s n o r m a l m e n t e s ã o e q u i l i b r a d a s , ou seja, ~o c o n s t i t . l i d a s p o r t r ê s i m p e d â n c i a s i g u a i s , l i g a d a s e m e s t r e l a ou em t r i â n g u l o . A s c a r g a s .. 
. monotãsica's, · como p o r exemplo a s c a r g a s d e i n s t a l a ç õ e s r e s i d e n c i a i s , p o r sua .vez, p o d e m i n t r o d u z i r d e s e q u i h b r i o s n o s i s t e m a . r e s u l t a n d o em c a r g a s t r i f á s i c a s e q u i v a l e n t e s desequilibradas. 
N e s t e c a p í t u l o vamos d e f i n i r os s i s t e m a s p o l i f á s i c o s e e s t u d a r em p a r t k u l a r os s i s t e m a s t r i t ã s i c o s . I n i c i a l m e n t e , vamos a p r e s e n t a r u m a s é r i e d e definições i m p o r t a n t e s , que s e r ã o u t i l i z a d a s a o l o n g o d e todo o l i w o . Nos i t e n s 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5, iremos a p r e s e n t a r métodos de cálculo p a r a a a n á l i s e d e s i s t e m a s trifásieos. N o i t e m l . 2 · v a m o s a n a l i s a r os c i r c u i t o s t r i f á s i c o s a l i m e n t a n d o c a r g a s t r i f ã s i c a s e q u i l i b r a d a s , l i g a d a s a t r a v é s das duas formas possíveis, em e s t r e l a ·e e m · t r i â n g u l o . Neste i t e m , p a r a f a c i l i t a r a c o m p r e e n s ã o d o l e i t o r , vamos d e s c o n s i d e r a r a s i n d u t â n c i a s m ú t u a s e x i s t e n t e s · e n t r e os fios d a l i n h a . N o item 1.3, a~da m a n t e n d o e s t a h i p ó t e s e silriplificadora, vamos a n a l i s a r os s i s t e m a s t r i f á s i c o s s i m é t r i c o s e e q u i l i b r a d o s a l i m e n t a n d o c a r g a s ~desequilibradas, conhecendo-se a s tensões nos t e r m i n a i s dos geradores. N o item 1.4, 
· aprcserttafemOS o c a s o g e r a l de s i s t e m a s com descCi.uilibrios n a l i n h a e n a carg!l. No item 1.5 a n a l i s a r e m o s a l g u n s casos p a r t i c u l a r e s de s i s t e m a s t r i f á s i c o s desequilibrados dm q u e s ã o c o n h e c i d a s a s t e n s õ e s n o s t e r m i n a i s d a c a r g a . N o i t e m 1.6 iremos e s t u d a r p o t ê n c i a em s i s t e m a s trifásicos. D e f i n i r e m o s .os conceito8 d e p o t ê n c i a a t i v a , r e a t i v a e a p a r e n t e , e métodos p a r a a s u a . 
.• \ 
/·.:a 
2 I N T R O D U Ç X O A S I S T E M A S l~LfTRJCOS m. / ' l l f f . \ 1 ; 1 
m e d i ç ã o e a n â l i s e . N o i t e m 1 . 7 a p r e s e n t a r e m o s a f o n n a de repn..1'cntação d!l\ clt-n1<.1111 ... 
c o n s t i t u i n t e s d e um s i s t e m a t r i f á s i c o a t r a v é s de d i a g r a m a s u n i f i l a r e s . No it< .. m J .8 apr~-ntarcni.,... 
os m o d e l o s u t i l i z a d o s p a r a a r e p r e s e n t a ç ã o d a c a r g a , em f u n ç ã o d e sua naturc1.a, e 4uc irão 
d e t e n n i n a r a p o t ê n c i a a b s o r v i d a p e l a c a r g a em função d a t e n s ã o em s e u s terminais. 
1.1.2 - D E F I N I C Õ E S G E R A I S j 
D e f i n i m o s c o m o " s i s t e m a de t e n s õ e s p o l i f á s i c o e s i m é t r i c o " ( a n fases) um s i s t e m a de tensões do 
tipo: 
e 1 = E M c o s w t 
e 2 . EM c o { w t - 2 n ; ) 
e3= E M c o { w t - 2 n ~) ( l . l ) 
' ( n - 1) 
e# = EM c o \ w t - 2:tr - n -
. o n d e n é um n ú m e r o i n t e i r o qualquer- n ã o m e n o r q u e t r ê s . Em p a r t i c u l a r , q u a n d o n = 3 , d i z e m o s 
q u e o sistC111a é trifásico. 
Da d e f i n i ç ã o d e s i s t e m a poliflísico, observamos q u e t a i s s i s t e m a s são ê o n s t i t u í d o s p o r um 
c o n j u n t o d e n c o s s e n ó i d e s de m e s m o v a l o r m á x i m o , EM , e com u m a defasagem d e : 2 n l n r a d 
e n t r e d u a s t e n s õ e s s u c e s s i v a s q u a i s q u e r . 
A s t e n s õ e s e c o r r e n t e s n o s s i s t e m a s t r i f á s i c o s s ã o r e p r e s e n t a d a s p o r fasorcs. Isto é, p o d e m ó s 
r e p r e s e n t a r o s i s t e m a t r i f á s i c o : 
e 1 = EM c o s wt = ~e[ EMe1""] 
e i ' " ' EM c o s ( w t - 2 n / 3 ) = 9ie( E...,e- 1 2 " 13 e1""] 
e 3 = EM c o s { w t - 4 n / 3 ) = EM c o s ( w t + 2 n / 3 ) = 9 l e ( E ... e 12"7e""') 
pelo5 fusores 
~· E 1 = E + j O = E 10º . 
." - . (. 1 ..[j'J -E2 = E [ c o s { - 2 n / 3 ) + j sen{...:2n/3)] = E - 2 - } 2 = E !-120'.' 
( ' I R < . , i n v s T R I F Á S I C O S 3 
em qutj\~=-E~)rijrepresenta o v a l o r e f i c a z d a tensão. ~ 
. . 
Ao longo. d e s t e c a p í t u l o i r e m o s a p r e s e n t a r m é t o d o s p a r a a s o l u ç ã o de c i r e u i t o s t r i f á s i c o s em 
d i v e r s a s c o n d i ç õ e s , e n v o l v e n d o a s t e n s õ e s n o i n í c i o do s i s t e m a ( n o s t e r m i n a i s dos g e r a d o r e s ) , as 
l i n h a s u t i l i z a d a s p a r a a t r a n s m i s s ã o d a e n e r g i a a t é a c a r g a , e a c a r g a c o n e c t a d a n o final d a l i n h a . 
P a r a t a n t o , d e f i n i m o s : 
( l - a ) - S i s t e m a d e t e n s õ e s t r i f á s i c o s i m é t r i c o : s i s t e m a t r i f á s i c o cm q u e a s t e n s õ e s n o s t e r m i n a i s 
dos g e r a d o r e s s ã o s e n o i d a i s , d e m e s m o v a l o r m á x i m o , e d e f a s a d a s e n t r e sí de 2 n / 3 r a d 
o u 120º e l é t r i c o s ; 
( l - b ) - S i s t e m a d e t e n s õ e s t r i f á s i c o a s s i m é t r i c o : s i s t e m a t r i f á s i c o em q u e as t e n s õ e s n o s t e n n i n a i s 
dos g e r a d o r e s n ã o a t e n d e m a p e l o m e n o s u m a d a s c o n d i ç õ e s a p r e s e n t a d a s e m ( 1 - a ) ; 
( 2 - a ) - L i n h a (ou r e d e ) t r i f á s i c a e q u i l i b r a d a : l i n h a (ou r e d e ) t r i f á s i c a , c o q s t i t u í d a p o r 3 o u 4 fios 
(3 fios de f a s e o u 3 fios de fase e l fio d e r e t o m o ) , n a q u a l s e v e r i f i c a m a s s e g u i n t e s 
relações: 
· 
- i m p e d â n c i a s p r ó p r i a s dos fios de fase i g u a i s e n t r e si: Z M = Z8 8 = Zcc = ZP ; 
i m p e d â n c i a s ~útuas e n t r e os fios de fase i g u a i s • e n t r e si: ZAB = ZBC = ZCA = ZM ; 
i m p e d â n c i a s m ú t u a s e n t r e os fios d e fase e o fio de· r e t o m o i g u a i s ( p a r a s i s t e m a a 4 
fios): Z A G = z~ = Z C G = z~ '. 
( 2 - b ) - L i n h a (ou r e d e ) t r i f á s i c a d e s e q u i l i b r a d a : l i n h a (ou r e d e ) t r i f á s i c a , c o n s t i t u í d a p o r 3 o u 4 
fios (3 fios de fase o u 3 fios de fase e 1 fio de r e t o r n o ) , n a q u a l n ã o s e v e r i f i c a p e l o m e n o s 
u m a d a s r e l a ç õ e s a p r e s e n t a d a s em ( 2 - a ) ; 
( 3 - a ) - C a r g a t r i f á s i c a e q u i l i b r a d a : c a r g a t r i f á s i c a c o n s t i t u í d a p o r 3 i m p e d â n c i a s c o m p l e x a s 
i g u a i s , l i g a d a s em e s t r e l a o u em t r i â n g u l o ; 
( 3 - b ) - C a r g a t r i f á s i c a d e s e q u i l i b r a d a : c a r g a t r i f á s i c a n a q u a l n ã o s e v e r i f i c a a c o n d i ç ã o d e s c r i t a 
em (3-a). 
M u i t a s vezes i r e m o s i d e n t i f i c a r o s i s t e m a de f o n n a r e s u m i d a . A s s i m , p o r e x e m p l o , q u a n d o n o s 
r e f e r i n n o s a um s i s t e m a t r i f á s i c o s i m é t r i c o e e q u i l i b r a d o com c a r g a d e J e q u i / i b r a d a , e s t a r e m o s 
t r a t a n d o d e um s i s t e m a d e t e n s õ e s trifÍlsico s i m é t r i c o , com u m a l i n h a t r i f á s i c a e q u i l i b r a d a , 
a l i m e n t a n d o u m a é a r g a t r i f á s i c a d e s e q u i l i b r a d a . 
~ 
' ' . \ .. " 1.1 :3 - O B T E N C A O D E S I S T E M A S P O L I F A S I C O S - S E Q U E N C I A D E F A S E 
Nos t e r m i n a i s de u m a b o b i n a q u e g i r a c o m v e l o c i d a d e a n g u l a r c o n s t a n t e , ' n o i n t e r i o r d e um 
campo m a g n é t i c o u n i f o r m e , s u r g e u m a t e n s ã o s e n o i d a l c u j a e x p r e s s ã o é 
> ' '"'''"';Ili . ; ; p I, t ti Ç Q l l JlLZLll•ll!UJ , . , . . . . . . J JQ.hi#i14AJ;q!@p 
" .. --~ 4,#Jli#'- •'. ·il;f!#A;Çf.;;pMJ$kLGM?Wfl .. QMJ#L· PWRN#!Fº*'lf~"-*AfMM' ;·~-~j~-.. ~1;·.-,:'.: . . . , -··';·(·:·~,,i;'. ___ ·;;;~~- ti-'.-:;;,'._,:i~-;~:t~~-,~lr 
12 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
gerador cm Y e carga cm Y, resume-se à sua determinação para o caso de um circuito monofásico 
constituído por uma das bobinas ligada a uma das impedâncias por um condutor de linha, 
lembrando ainda que a intensidade de corrente no fio neutro é nula. 
Em tudo o que se segue, indicaremos os valores de fase com um índice F e os de linha com índice 
L ou sem índice algu.rn. · 
1 . 2 . 3 - RELAÇ~ E N T R E .QS. . V A L O R E S D l i L I N H A & F A S E P A R A 
L W A . Ç Ã O E S T R E L A 
· D e acordo com as definições apresentadas no item precedente, podemos preencher a Tab. 1-1, na 
q u a l apresentamos.todos os valores de linha e de fase para o circuito da, Fig. 1-4-b. 
Tabela 1-1. Grandezas d e fase e linha (em módulo) num trifãsicó simétrico e equilibrado ligado em estrela 
Va.lorcs de fase · Valores de linha 
Gerador C a r a · . Gerador Car 
Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão 
IAN YAN lll'N" ~'N" 111 yll8 111 vll'B" 
l l l N VllN IB'N' YB'N" I B VBC I B VB'C' 
ICN VCN IC'N' VC'N" l c ye11 / e VC'll' 
Passemos agora a determinar as relações e x i s t e n t e s entre os valores de fase e de linha. Iniciamos 
por~ qµe, p a r . u ligação ~tre,la, ~-~em~~Ji.pba e de fase são iguais, isto é, 
Para a determinação da relação entre as tensões, adotaremos um trifásico com •5'!Qilência de fase · 
d i r e t a , o u ~a, 
~1 7- ' i " __ ' z1 1 · 1 " ' 
I A .= - ~/li) . 
/ 
' 1 2 1 ) < ) 1 
- ·-~--·- -···~ 
r · l !_ 
A s tensões d e l i n h ; i "são dadas por 
l 
· 1 
1 
' 
· i.-. 1 ' J N C I i / 1 V S TRIFÁSICOS 
Utili1.a11do matrizes, temos 
Salientamos porém que 
Portanto 
. 1 - a 2 = 1 - ( - ~ - ~ j) = J3 ( ~ + ij) = J3 ~ 
ª2 - a = a 2 ( 1 - a 2 ) = a2J3~ 
a 2 - 1 = a (1 - a 2 ) = a J3 ~ 
13 
( 1 . 9 ) 
I!itE.q, _ _(1.21._~J>.!L!rnc; . .P.ll:f..!_Y.!!U~tema trifásiCQ.s_imétrico e equilibrado, na ligação 
estre~com seqilên_pia __ de. ~-cl.it:~ J>~·§C:_ de um~L~- 1c:gscll:L4L~ à ·de _linha 
corr~PQA4çnte_multipliqinda:-sç o.~ _queª rÇJ?r~~J.Q número complexo 
Podemos chegar às mesmas conclusões graficamente, utili1.alldo o diagrama de faS<Jl'es. De fato, 
V 118 é dado pela soma de P' AN com VNB = - V J1N • Construimos, na Fig. 1-.s. o fasor rNB e 
prçx:edemos à soma graficamente. Note-se que o triângulo MOP é igual ao NOP e é isósceles; 
portanto o ângulo PÓM é a metade de MÓN, que Vale 60°. Fina~ente, o módulo do fasor P' 118 édado por 
' Allalogamente, determinam-se as demais tensões de linha. 
. 1~1.:~os ~l~Ç!ltar q,ue, em se tratlilldo ~_!fifásico_~ !C<Iil~çiª-Jl~~_i!lversa, passa-se d e 
!1Jlla d a s J ç n s õ e s ·~ Ç li_ corr.~!l~~-de linha 0111ltiplican~se ~-~q~~~ta aquela. 
s r a n d a a por_ 
·. J31-30'.' 
.. 
V t - . / 
~~ . . 
:,k"·t l 
)~ r 
' ) i 
.~, 
~~· h \ 
14 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE PoTÓICIA 
confoone se pode observar do diagrama de fasores da Fig. 1-6. 
Vm-i\., //~VcN 
..... . ... ~ 
\ / 
Figura l•S. Obtenção das tensões de linha a partir das de fase. Seqllêru:ia de fase direta 
• 1 , 
Figura 1-6. Relação entre os valores de fase e linha para um tri&ioo simétrioo com seqllêru:iá de fase 
' · . inversa, ligiíção em estrela · 
Analiticamente. teremos 
.. 
CIRCf Jfl"OS TRIFÁSICOS 15 
Mas 
1-a =1-(-..!.+ J3j)=J3(J3 _..!_J)=.f31-30" 
2 2 2 2 
a - a 2 = a (1 - a) = a J3 i-30" 
a 2 - 1 = a 2 (1 - a) = a 2 J3 i-30" 
e portanto, 
(1.10) 
No caso da determinação das tensões de fase conhecendo-se as de linha, surge uma 
indeterminação. De fato, supondo-se uma seqüência de fase direta, os ~ores 
representam uma terna de fasores de tensões de fase q11e satisfazem aos dados de linha. Sendo 
Y NN' uma tensão qualquer, os valores · 
também satisfazem as condi~ impostas, pois 
- ............. . . . . - - - - - - - - - - - - - - . . . - -...... . , . 
2 0 
Por oütro lado, observamos que 
e que 
logo 
e portanto 
INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
fJ = -VCN 
Z + Z ' 
A s expressões acima mostram. que teria sido suficiente calcular a corrente 1 A , dada pela relação 
entre a tensão da fàse A e a impedância total da mesma rase ( Z + Z ' ) . Determinamos as . 
correntes 18 e 1 e simplesmente imprimindo a 1 A uma rotação de fàse de - 1 2 0 " e + 120", 
respectivamente. 
Podemos chegar ao mesmo resultado de maneira muito mais fácil, isto é , começando p o r observar q u e , sendo um sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada, os pontos N e N ' 
estão ao mesmo potencial, ou seja 
Logo, podemos interligá-los p o r um condutor sem a l t e r a r o circuito, dado que nesse condutor não 
c i r c u l a r á c o r r e n t e . N e s s a s c o n d i ç õ e s , o circuito da Fig. 1 · 1 0 transforma-se no d a Fig. 1 - 1 1 , no q u a l temos t t ê s m a l h a s independentes: 
NAA ' N ' N , N B B ' N ' N e N C C ' N ' N 
. ' 
t ' / R C f J f f O S TRJFÁSJCOS 21 
Salk-ntamos que as impedâncias d a s três malhas são i g u a i s e valem ( Z + z•); e as f.e.m. d a s 
malhas valem Ê , a 2 Ê , a E . 
Portanto as três correntes valerão 
E I M ' = - - - . 
Z + Z ' 
a 2 E 2 18~ = - - - = a 1 . ~ z + Z ' AA • 
a Ê 1 = - - = a i 
CC' Z + Z ' M ' 
É=E~ z• A' i,.,.. z + A 
2 . 
a: E 
+ B • 
N' N 
a: É 
+ e 
Figura 1-11. Circuito trifásico em estrela com neutro 
Usando matrizes, teremos 
ou 
Devemos notar que tudo se passa como se. tivésSemos que resolver o circuito monofásico d a Fig. 1-12, no~ interligamos 0s pontos N e N ' por um fio de impedância nula. 
A r i 
E'~ Z 
N 
Figura 1·12. Circuito monolãsioo equivalente 
22 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS m;pori;NCIA 
·' 
EXEMPLO 1.5 - Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga ,/! 
trifásica equilibrada. Conhecemos: 
(1) a tensão de linha do alternador (380 V) e a frequência (60 Hz); 
(2) o tipo de ligação do alternador (Y); 
(3) o número de fios da linha (3); 
(4) a resistência (0,2 n) e a reatãncia indutiva (0,5 n) de cada· fio da linha (salientamos que 
estamos desprezando as mútuas entre os fios da linha); 
(5) a impedância da carga (3 + j 4 O). 
Pedimos: 
(a) as tensões de fase e de linha no gerador; 
(b) as correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador; 
(e) as tensões de fase e de linha na carga; 
(d) a queda de tensão na linha (valores de fase e de linha); 
(e) o diagrama de fasores. 
SOLUÇÃO: 
(a) Tensões de fase e de linha no gerador 
Admitindo-se seqüência de fase A-8-C, e adotando VAN com fase inicial nula, resulta 
e portanto 
. ou, com matrizes, 
VAN = 22010° V 
V m, = .220 l-120º V 
VcN .= 22011200 V 
V Ali = J3130º VAN = JJ 130° . 220 IOº = 3801300 V 
V BC = .fi ~ V BN = Jj 1300 . 2201-120° = 3801-90º V 
vCA = .fi~vcN·.= .fi~.2201120° = 38011500 V 
. \ 
\ [v,.
0 ] r [ i l 
= ~ = 380~ : 2 V 
(b) Determi11ação da, intensidade de corrente 
o circuito a ser utilizado para a determina<;,ão da corrente é o da Fig. 1-13.b, no qual ~emos 
isto é, 
·-
,,· 
.... ·; 
1 ·1m '/!/TOS TRIFÁSICOS 
220 IOº 
R + Rc + j (X+ Xc) 
220 + jO 
3,2 + j4,5 -~-~ = 39,84. \-54,6° A 5,52154.6° • . 
Logo, 
A 
A 
l.. = 39,841-54,6º A 
18 = 39,841-174,6º A 
lc = 39,84165.4º ·A 
(a) Circuito trifásico 
0,2.n. 0,5.n. 
NEUTRO FICTÍCIO !i=Ol 
(b) Circuito monofásico equivalente 
3,0.n. 
Figura 1.1~. Determinação do circuito monofásico equivalente 
(e) Tensão na carga 
(i) valores de fase: 
V.<'N' = Zc l .i. = 5153,lº . 39,84.1-54,6° = 199,2 l=l,5" 'Y 
VB'N' = 199.21-121,5º V, 
VC'N' = 199,21+118,5° V 
23 
(\,"!''i\'!'J!!ii!;;!\!\"f;#h\h•lfil\l'\\4~;··1:'~ft~fN'j1\1*1!"~''.~ª~"*'*"*' _,,,,ww, Mifi!A!lifJ1tlMiiii\'!!t 'lllé .;;e.p..,,"l!i\li!IP\4 ; ?' --l'f;nu;;;::a; $ 441. #"**''*' .Ui .. ' i, 11, ·US\;r" •;a ;;;; . i@41iPJA4;;;tA§.fi4.ip!Q.JU!$ip#.@QJJ,9'!1i'l#'ill!t*"""'' "'"*' WA·,;M!il'lifr' 
'r"11'~',;1-....;'.i~,-·;j • ,-,~·:_Nl ~::1~~'.)} · .. ' 
2 4 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
(ii) valores de linha: 
VA'B' = ../31300 PA'N' = ~. 199,2 j28,5° = 345 j28,5° V 
V8 .c• = ./3 ê!!_ Yaw• = ./3. 199.21=91,5º = 3451-91.5° Y . 
Vcw = ./3 ~ Ycw• = .J3. 199.21148.5° = 3451148,5º V 
(d} Queda de tensão na linha 
(i) valores de fase: 
V AH - PÃ'N' = p AA' = z J Â = 0.54168.2°. 39,84 t 5 4 , 6 º = 21.5113,6º V 
VBN - PB'N' = VBB. = 21.51-106,4° V 
VcN - Pcw· = Vcc• = 21,51133,6° Y 
(ii) valores de linha: 
VAB -V.i'B' = Z ( J . i - 18 ) = Z l.i ( 1 - a 2 ) . . . Z l.i J3~ = 21.5113,6° . ../3~ = 37,2143,6º V 
p BC - VB'C' = 37,21-76,~0 V 
Vc.. - VC'.i' = 37,21163,6º V 
(e) Diagrama de fasores 
Na Fig. 1-14, representamos o diagrama de fasorés. 
'Ílc'A' 'ÍlcN 
' Í l c A K . . . . . . . . . . . , 'Ílc'N 
, \ ........ ~ 
\.:. 
\ , . . , . __________ _ ~:;_....,.~==z:-·.'VAN 
VA'N . ----. I e . 
\ 
' . 
. / \ \ " . 
' Í I Ú 
'Ílac 
Figura 1-14. Diagrama de fasores para o Ex. 1.5 
-
( " / R C ! J f 1 0 S T R I F Á S I C O S 25 
1.2.5 " L I G A Ç Õ E S E M T R I Â N G U L O 
Retomemos as três ~binas do item 1.1 :3, e vamos ligá-las a três impedâncias Z iguais entre si, confonnc indicado ~a Fig. 1-15. Notar que as malhas Á A ' N ' f i , i A , BB'N'J'li)J e CC'N'c1V,.C são eletricamente inqependcntes; logo, podemos interligar os pontos C e N 8 sem alterar em nada o circui!º· Por outr& lado, os pontos C ' e N '8 estão ao mesmo potencial; logo, podem ser interligados, e podemos·substituir os condutores C-C' e N8 -N'8 por um único condutor. Os pontos comuns CN8 e C'N'8 serão designados por C e C ' , respectivamente. Após realizar a interligação desses pontos, observamos que a malha AA ' N ' f i ,iA é eletricamente independente do restante do circ:uito; portanto, por raciocínio análogo, podemos interligar os pontos A N e e A 'N'c , que designaremos por A e A', respectivamente. Finalmente, observamos que os pontos B e N.i estão ao mesmo potencial, pois 
(1.11) 
e que os pontos B ' e N~ também estão ao mesmo potencial, pois 
isto é, 
Portanto, poderemos interligar os pontos BN.i e B'N~ obtendo ospontos B e B', respectivamente. 
Assim,•passamos para o circuito da Fig. 1-15.b, no qual o gerador e a carga estão ligados e m . triângulo. 
Salientamos que a Eq. ( l . 1 1 ) é condição necessária para que seja possível ligar um gerador em triângulo sem G.Ue haja corrente de circulação. 
· 
De acordo com as definições anteriores, as tensões de fase.são: 
(a) no gerador 
. . ._. (a) na carga 
As tensões de linha ~o gerador e na carga são: 
PÂB • VBC • pc.4 e 
t' .~,l;···:I·.··,·:·.······. .> 
;" 
\. e'. 
' 
' i 
~~ 
.'l ...... ·.i -~,. 
'. 
2 6 INTRODUÇA-0 A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
A s correntes de fase são: 
(a) no gerador 
(a) na carga 
As correlltes de linha são: 
® 
(a) - T r ê s circuüos monofásicos 
® 
B 
( b ) - C i r c u i t o t r i f á s i c o com g e r a d o r e c a r g a e m t r i â n g u l o 
F i g u r a 1-15. R e p r e s e n t a ç ã o da l i g a ç ã o t r i â n g u l o 
B' 
< 1 R C f J I T O S TRIFÁSICOS 2 7 
1.2.6 - R E L A C Ã O E N T R E ~VALORES DE F A S E _f: . DE L I N H A P A R A A 
L I G A C Ã O T R I Â N G U L O . 
Na ligação triângulo, quanto às tensões é evidente que há igualdade entre as de fase e as de linha. 
Para a determinação da relação entre as correntes de linha e de làse, adotaremos inicialmente um 
sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de làse direta, ou seja, · · 
ou, com matrizes, 
JA'B' = IF lQ 
J B ' C ' = I F l 9 - 1200 
lc.A' = IF 1 9 + 1 2 0 0 
Aplicando aos nós A', B ' e C ' da Fig. 1-15.b a 11 lei de Kirchhoff; obtemos 
Matricialmente, teremos. 
ou seja, 
Porém, como visto anteriormente, 
I - ~ = J3 l-300 , 
IM. = lA'B' - lc'A' 
JBB. = la·c· - JA'B' 
Ice. = lc'A' - lB'C' 
ª2 - 1 = ª2 J3 l-300 • 
.,~ 
,jA logo será A f\ + ~ \ j 3 \- 6 -\ J ' .. 1 
- - --
~ " ' I ::i d, ,, 
a " - a ,2 = a J3 l-300 
i I · 
--
, -\ ~3 1 - : . 
1 
/ 
( l . 1 2 ) 
28 I N T R O D U Ç Ã O A S I S T E M A S E L É T R I C O S D E POTÊNCIA 
( 1 . 1 3 ) 
Ou s e j a , n u m c i r c u i t o t r i f ã s i c o s i m é t r i c o e e q u i l i b r a d o , s e q ü ê n c i a . d i r e t a , c o m c a r g a e q u i l i b r a d a l i g a d a em t r i â n g u l o , o b t e m o s a s c o r r e n t e s d e l i n h a m u l t i p l i c a n d o a s c o r r e s p o n d e n t e s d e fase p e l o 
n ú n ' l e r o c o m p l e x o 
í l . 1 4 ) 
C o m c o n s t r u ç ã o ~Ioga à r e a l i z a d a n o i t e m l . 2 . 3 e utiliz.ando a s E q . ( 1 . 1 2 ) , o b t e m o s a s E q . ( 1 . 1 3 ) g r a f i c a m e n t e , F i g . 1 - 1 6 . 
Figura 1-16. Relação entre o s valores d a s correntes de fase e d e linha n a ligação triângulo, seqüência de fase 
direta 
P o d e - s e d e m o n s t r a r ( F i g . 1 - 1 7 ) q u e , a n a l o g a m e n t e a q u a n t o foi feito, s e n d o a s e q ü ê n c i a de f a s e i n v e r s a , a s c o r r e n t e s d e l i n h a e s t a r ã o a d i a n t a d a s d e 300 s o b r e a s c o r r e s p o n d e n t e s d e fase. i s t o é, p a r a a s e q ü ê n c i a d e fase i n v e r s a , t e r e m o s 
J M ' = J .4'11' . . f j 1300 
, -
J B B ' = J B ' C ' J3 ê.Q: ( 1 . 1 5 ) 
Ice. = l C ' . 4 ' . . f j ~ 
N o c a s o d a d e t e r m i n a ç ã o d a s c o r r e n t e s á e fase c o n h e c e n d o - s e a s d e l i n h a , s u r g e u m a i n d e t e r m i n a ç ã o . D e f a t o , s u p o n d o - s e u m a s e q ü ê n c i a d e fase d i r e t a , o s v a l o r e s 
i J l i ( ·u~JOS T R I F Á S I C O S 
! ' 
_ ...... .. 
/ 
29 
[ /A'B'] J [ 1 l J = M ' a 2 B ' C ' . . f j 1-30º 
J C ' . 4 ' 
. a 
r e p r e s e n t a m u m a t e r n a d e f a s o r e s d e c o r r e n t e s d e f a s e q u e s a t i s f a z e m a o s d a d o s d e l i n h a . S e n d o 
lcIRC u m a c o r r e n t e q u a l q u e r , o s v a l o r e s 
t a m b é m s a t i s f a z e m a s c o n d i ç õ e s i m p o s t a s , pois. 
A s s i m , c o m o o v a l o r d e lcIRC é q u a l q u e r , e x i s t e m i n f i n i t o s v a l o r e s d e c o r r e n t e s d e fase a o s q u a i s 
c o r r e s p o n d e u m a ú n i c a t e r n a d e v a l o r e s d e l i n h a . A c o m p o n e n t e lcIRC r e p r e s e n t a u m a c o r r e n t e 
d e c i r c u l a ç ã o ; n o e n t a n t o , p a r a u m a c a r g a t r i f á s i c a e q u i l i b r a d a a l i m e n t a d a p o r u m s i s t e m a d e t e n s õ e s t r i f á s i c o s i m é t r i c o , es~ c o m p o n e n t e será s e m p r e n u l a . D e s t a f o r m a , a s c o r r e n t e s d e fase 
e s t ã o d e t a : m i n a d a s , d e s d e q u e a s c o r r e n t e s d e l i n h a s e j a m c o n h e c i d a s , p o i s n e s t e c a s o 
o b r i g a t o r i a m e n t e 1 cIRC = O . 
i c e ' 
''•IJllJ'll l - 1 7 . Relação entre os valores d a s correntes d e fase e d e l i n h a na ligação triângulo, seqüência de fase 
· inversa 
30 INTRODUÇÃO A S I S T E M A S E L É T R I C O S D E POTr;NCJA 
1 . 2 . 7 - R E S O L U C Ã O D E C I R C U I T O S T R I F Á S I C O S E M T R I Â N G U L O 
C o n f o r m e j á foi d i t o , o s s i s t e m a s t r i f á s i c o s p o d e m s e r r e s o l v i d o s u t i l i z a n d o - s e q u a l q u e r dos 
m é t o d o s d e r e s o l u ç ã o d e c i r c u i t o s , p o r é m , d e v i d o à s s i m e t r i a s e x i s t e n t e s n o s t r i f á s i c o s , 
e m p r e g a m - s e s o l u ç õ e s parti~lares q u e m u i t o s i m p l i f i c a m a r e s o l u ç ã o . 
S u p o n h a m o s . t e r q u e · r e s o l v e r u m · c i r c u i t o t r i f á s i c o s i m é t r i c o e e q u i l i b r a d o em q u e t e m o s u m 
g e r a d o r f i ç t í c i o l i g a d o em t r i â n g u l o * q u e a l i m e n t a p o r m e i o d e u m a l i n h a d e i m p e d â n c i a z· u m a 
carga.é<>m lmp · e i a d e f a s e Z , l i g a d a e m t r i â n g u l o ( F i g . 1-18). 
o 
ô 
' - ) ~ 3. .o :e 
Jj ...... J ; ; ' 
f... t:J4 v.i e 
( : J l:i:.,(J& 
O t : ; ) r:::.; ....i 
o ;... ~ 
. e;: o , 
t iJ :r: 
i:.; . . . . v ~ 
~'---~. 
z' 
F i g u r a 1-18. C i r c u i t o trifá,sico e m t r i â n g u l o 
R e s o l v e n d o - s e o s i s t e m a por c o r r e n t e s f i c t í c i a s d e m a l h a s , r e s u l t a m a s e q u a ç õ e s 
vCA =·(2z· + Z ) a . - Z'/3 - Zr 
· VÂB = - Z ' a + (2.Z' + Z) f3 -::. Zr 
o = - Z a - Z/3 + 3 Z r · 
~s q u a i s p o d e r e m o s d e t e r m i n a r o s v a l o r e s d e a , f3 e r . 
[ Ia•c• 
C o m o a r e s o l u ç ã o d o s i s t e m a a c i m a é p o r d e m a i s · t r a b a l h o s a , v a m o s a b a n d o n á - l a e t e n t a r u m 
n o v o c a m i n h o , i s t o é, v a m o s a p l i c a r a lei d e Ohm à m a l h a ÀÀ 'B'BA e, l a n ç a n d o · m ã o das 
· s i m e t r i a s d o s i s t e m a , d e t e r m i n a r o v a l o r d a co~ente l,..a· . A d o t a n d o - s e s e q ü ê n c i a d e fase d i r e t a , 
rCsulta 
f 
l,..a· = IF JOº • Ía·c· = IF l - 1 2 0 º • lc'A' = IF /1200 
V AB = 1,. z· + l,..a• Z ' * ' - .lo z· = (1 .. - l a ) z· + l,..a· z~ 
' Nos s i s t e m a s ·trifãsicos, n ã o é u s u a l a u t i l i z a ç ã o d a l i g a ç ã o e m t r i â n g u l o p a r a u m g e r a d o r , p o i s a tensão. 
g e r a d a n ã o é p u r a m e n t e s e n o i d a l , i s t o é, ·existe u m a c o m p o n e n t e d e 3 ª h a r m ô n i c a q u e t e m t e n s õ e s 
EM cos(3 cot). EM cos[3 (ro1 - 2n/3)) = EM cos(3 wt}e EM c~~3 (ro1 + 2ir/3)] = EM cos(3 wt} 
e q u e dará l u g a r a u m a c o r r e n t e d e c i r c u l a ç ã o , conforme a Eq. ( 1 . 1 1 ) . 
e 'JR< ' l / n ' O S TRIFÁSICOS 31 
J .. - {s = J3 I , l-30° - a 2 . / 3 I , 1 - 3 0 ° = .J? I , l - 3 0 º ( 1 - a 2 ) = ./31, 1-300 . / 3 / 3 0 " = 31, 
4 - la = 3 JF ; l o g o o u 
1 
A d o t a n d o - s e v..ui = v ~ , resulta 
e p o r t a n t o 
Assim, temos 
V c o s t p = I F · ( 3 R ' + R) 
V s e n t p = J , ( 3 X ' + X ) 
V V 
~(3R' + R) 2 + ( 3 X ' + X) 2 = l3Z ' + ZJ 
3 X ' + X 
m = a r c t g 
": 3 R ' + R 
V 
l,.·a· = l 3 Z ' + z j JO" 
. V 
la•c• = j 3 Z ' + Z 11-120" • 
( l . 1 6 ) 
A Eq. ( 1 . 1 6 ) m o s t r a - n o s q u e o p r o b l e m a p r o p o s t o t r a n s f o r m a - s e n o d a d e t e r m i n a ç ã o d a c o r r e n t e 
q u e c i r c u l a n u m a m a l h a c u j a f.e.m. v a l e V ÂB. e c u j a i m p e d â n c i a é 3 Z ' + Z . 
C h e g a r e m o s a o m e s m o r e s u l t a d o m u i t o m a i s f a c i l m e n t e s u b s t i t u i n d o a c a r g a l i g a d a e m t r i â n g u l o 
por o u t r a q u e l h e s e j a e q u i v a l e n t e , l i g a d a e m e s t r e l a (Fig. 1-19). D e fato, l e m b r a n d o a 
t r a n s f o r m a ç ã o t r i â n g u l o - e s t r e l a , d e v e r e m o s s u b s t i t u i r a c a r g a e m t r i â n g u l o c u j a i m p e d â n c i a d e 
fase v a l e Z , por c a r g a em e s t r e l a c u j a i m p e d â n c i a d e fase v a l e Z / 3 . S u b s t i t u i n d o - s e o g e r a d o r 
e m t r i â n g u l o p o r o u t r o e m e s t r e l a , d e m o d o q u e a t e n s ã o d e l i n h a s e j a a m e s m a , recaímos n o caso 
j á e s t u d a d o d e l i g a ç ã o em e s t r e l a , resul~do ' f 
logo, 
V AH' = V AH = 1 M ' ( Z ' + ; ) 
3VAH 
3 Z ' + Z 
32 INTRODUÇA-0 A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
Finalmente, a-corrente de fase, na carga em triângulo, é dada por 
3 V AN 
( 3 z· + z ) J 3 1 - 3 0 ° _P'_AN_.fi...,.3-'~=30=º = - - ' p -A l l = - -3 Z ' + Z 3 Z ' + Z 
( a ) C i r c u i t o t r i f á s i c o e m e s t r e l a ( b ) C i r c u i t o m o n o f á s i o o e q u i v a l e n t e 
F i g u r a 1-19. S u b s t i t u i ç ã o do c i r c u i t o em t r i â n g u l o p o r e q u i v a l e n t e l i g a d o e m e s t r e l a 
EXEMPLO 1.6 - Um g e r a d o r t r i f á s i c o a l i m e n t a p o r m e i o d e u m a l i n h a u m a c a r g a t r i f á s i c a · e q u i l i b r a d a . Conhecemos: 
(1) o t i p o d e l i g a ç ã o d o g e r a d o r ( á ) e da c a r g a ( á ); (2) a t e n s ã o d e l i n h a d o g e r a d o r ( 2 2 0 V ) , a f r e q ü ê n c i a ( 6 0 H z ) , e a s e q ü ê n c i a d e f a s e ( d i r e t a ) ; (3) a i m p e d â n c i a de c a d a um d o s r a m o s da c a r g a , (3 + j4) n ; (4) a r e s i s t ê n c i a 0.2 n e a r e a t ã n c i a i n d u t i v a 0,15 n d e c a d a f i o d a l i n h a ( e s t a m o s : desprezando a s m ú t u a s ) . 
Pedimos: 
(a) as tensões d e f a s e e d e l i n h a n o g e r a d o r ; (b) a s c o r r e n t e s d e l i n h a ; (e) a s c o r r e n t e s de f a s e n a c a r g a ; (d) a s tensões de f a s e e d e l i n h a na c a r g a ; {e) o d i a g r a m a d e fasores. 
s o w ç A o : 
(a) T e n s õ e s d e f a s e e d e l i n h a n o g e r a d o r 
A s t e n s õ e s de f a s e c o i n c i d e m com a s d e l i n h a e valem, para a s e q ü ê n c i a A - B - C , 
(b) D e t e r m i n a ç ã o d a s c o r r e n t e s d e l i n h a 
i..!fiFfi!qfhf1#9l1%*!. ffl'Hij!itffit~'füffl~j#'ff'IfM" ... · __ ':.-~·:.r.:' ;·,w.t 
, . ) : ___ ;_, 
_;';(-- .. _ .{·"-··• ; .. ,.~;.c:,s ~5:1r~ - , l ' _ 
("/RCIJTJOS TRIFÁSICOS 
1 33 
S u b s t i t u i n d o a c a r g a em t r i â n g u l o p o r o u t r a e q u i v a l e n t e em estrela, t e m o s o c i r c u i t o da F i g . 1 - 2 0 , do q u a l o b t e m o s : 
Logo, 
e e n t ã o 
l,u. 
p-AN ( 2 2 0 ~)/(.fi ~) 
- - " ' ' - - - = Z ' + Z/3 1,2 + j 1,48 
l . u · = 127~ = 6 6 , 6 1 - 8 1 ° A 1.9~ 
JBB. = 6 6 , 6 l - 2 0 1 ° A 
A i'=o,2 +10,1s.n. ,:; 
F i g u r a 1 - 2 0 . C i r c u i t o e q u i v a l e n t e p a r a o Ex. 1 . 6 
(e) D e t e r m i n a ç ã o d a s c o r r e n t e s d e f a s e n a c a r g a 
N a c a r g a em t r i â n g u l o , t e r e m o s : . 
J - Í . u · A ' B ' - r : ; ' 
-v3 l - 3 0 " 
6 6 6 1 - 8 1 ° ; , = 38.S 1-S 1° A 
. 1 - 3 0 º 
la·c· = 3 8 . 5 1 - 1 7 1 ° A 
J C ' A ' = 38,5~ A 
(d) D e t e r m i n a ç ã o d a s t e n s õ e s r i a c a r g a 
Da Fig. 1 - 2 0 , o b t e m o s : · 
Z 6 6 6 1 - 8 1 º . 5 1<3 l º l . - = ' I " ' ' = 1 1 1 1 - 2 7 9 ° V M 3 3 ' 
. P'B'N' = 1 1 1 1 - 1 4 7 , 9 ° V 
'!"c'N• = 111192,1° V 
, As tensões d e f a s e e d e l i n h a n a c a r g a s ã o i g u a i s , e v a l e m : 
3 4 
(e) Di!lgrama de fascires 
I N T R O D U Ç Ã O A S I S T E M A S E L É T R I C O S D E P O T Ê N C I A 
Ys·c· = 1 9 2 1 - 1 1 7 ; 9 ° V 
Yc·~· = 1921122.1º V 
Na f i g . 1-21 representamos o diagrama de fasores. 
Vf1.e'. 
• f ~ 
' V a • c • 
Figura 1-21. Diagrama de f11sores para o Ex. 1.6 
~ ' / R ( . f 11tos T R I F Á S I C O S 3 5 
1.3 - S I S T E M A S T R I F Á S I C O S S I M É T R I C O S E E Q U I L I B R A D O S C O M 
C A R G A S D E S E Q U I L I B R A D A S 
! -
1.3.1 - f N T R O D U Ç A O 
1 
N e s t e i t d n e s t u d a n .. "lllos a l g u n s c a s o s d e c i r c u f t o s t r i f á s i c o s s i m é t r i c o s ( g ê r à d o r c s c o m t e n s õ e s d e 
m e s m o m ó d u l o e d e f a s a d a s d e 1 2 0 ° ) e e q u i l i b r a d o s ( l i n h a s s e m m ú t u a s o u c o m m ú t u a s i g u a i s ) 
a l i m e n t a n d Ó c a r g a s d e s e q u i l i b r a d a s ( i m p e d â n c i a s d i s t i n t a s ) . C o m o n o i t e m a n t e r i o r , v a m o s · 
d e s c o n s i d e r a r a e x i s t ê n c i a d e i n d u t â n c i a s m ú t u a s , r e s s a l t a n d o n o v a m e n t e q u e n o c a s o e m q u e 
e s s a s i n d u t â n c i a s s e j a m i g u a i s , t u d o o q u e s e r á a p r e s e n t a d o c o n t i n u a v á l i d o . D e s t a c a m o s q u e o s 
m é t o d o s g e r a i s d e a n á l i s e d e c i r c u i t o s , c o m o j á foi s a l i e n t a d o , s ã o a p l i c á v e i s . P o r é m , sem u m a 
e s c o l h a c r i t e r i o s a d o m é t o d o , r e c a i r e m o s e m s i s t e m a s d e e q u a ç õ e s c u j a r e s o l u ç ã o é p o r d e m a i s 
t r a b a l h o s a . A s s i m , v a m o s n o s p r e o c u p a r , n o s c a s o s m a i s u s u a i s , e m a p r e s e n t a r o m é t o d o q u e l e v a 
à s o l u ç ã o m a i s s i m p l e s . 
1.3.2 - C A R G A E M E S T R E L A A T E R R A D A A T R A V É S D E I M P E D Â N C I A 
S u p o n h a m o s t e r o c i r c u i t o d a F i g . 1 - 2 2 , c o m p o s t o d e 3 g e r a d o r e s m o n o c l s i c o s n o m e s m o e i x o 
c o n s t i t u i n d o u m s i s t e m a t r i f á s i c o s i m é t r i o o ( v i d e F i g . 1 - 1 ) , u m a r e d e t r i f á s i c a e q u i l i b r a d a e u m a 
c a r g a t r i f á s i c a desequilibr~da l i g a d a e m e s t r e l a , com u m a i m p e d â n c i a l i g a d a e n t r e o c e n t r o -
e s t r e l a e a r e f e r ê n c i a ( t e r r a ) . N e s t e s i s t e m a , c o n h e c e m o s a s t e n s õ e s d e fase n o s g er a d o r e s , a s 
i m p e d â n c i a s d a c a r g a , a i m p e d â n c i a d e a t e r r a m e n t o _ e ~impedâncias d a l i n h a ( d e s p r e z a n d o a s 
i n d u t â n c i a s mútuas);_~eremos det~inar a s c o r r e n t e s n a s t r ê s fases e a s ten~_4e fase e d e 
l i n h a n o s t e r m i n a i s d a c a r g a ( p o n t o Q d a F i g . 1 • 2 2 ) . 
p 
....... , ...........• 
. . 
. . 
. . 
: A ' 
!e• Zs N ' 
N ,•·············--···· 
Figura 1-22. Sistema trifãs: co simétrico e equilibrado com carga deseqililibrada em estrela a t e r r a d a 
. I n i c i a l m e n t e , v a m o s c o n s i d . - r a r a i m p e d â n c i a d e a t e r r a m e n t o n u l a . N e s s e casp, a d e t e r m i n a ç ã o 
• 11<&!1 corr1.."lltes t o r n a - s e i m e d i i ta, p o i s s e n d o ZN = O, t e r e m o s -
36 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
VAN = ) A (ZA + Z I ' ) 
V B N = 18 (Z8 + Z") 
VcN = lc (Zc + Z") 
em que z,._ é a in1pedância própria dos fiÕS da linha. 
Então 
Além disso, no nó N ' , temo$ 
. A s tensões d e fàsc n a carga são dadas por 
Chamamos a atenção para o mto de não ser possível c a l c u l a r as tensões ·de linha n a carga 
1Jti.lÍ7:3:11dó_a s q ' . · ( 1 . 9 ) , ·pois nos teniiliiãiSda-earga _não __ ~ dispõe _d,e~_~ico simétrico. Obviam~te, as tensões d e l i n h a serão calculadas p o r 
: ,\ ... _ 
, , , . , -
.\~~-. ' , . 
. 
. l'.l<:>_~ ~ in1~'*' d~llt~entb_~o ser .n~la .... ~~Jtj~c:,<:)hm,~~-º-8-
VAN= JA(ZA + Z , . ) + I N Z I Í 
V BN = l 8 (Z8 + Z,.) + l N ZN 
VCN = l c ( Z c + Z , . ) + I N Z N 
. 
--......---J 
~IJ't\ \ 
( 1 . 1 7 ) 
( 1 . 1 8 ) 
r ' I R < ' W 1 ' 0 S TRIFÁSICOS 37 
Somando as E q . ( 1 . 1 8 ) membro a membro e lembrando" q u e J A + l B + l e = J N • resulta 
r · --.....~~-- .. ------- .. ---- .. _ ... - - .... 
1 _____; V.., V.BN • V.e... .. ---?': ! / ~ + +· " I'. \ l = ZA + zl' - Za + zl' Zc + zl' 
\ N Z Z Z / ~ J + N + N · + N . 
. \ ZA + zl' Za + zl' Zc + zl' 
---....... .... _...---------~----':"'.--.----· - · - · - - -
( 1 . 1 9 ) 
Substituindo o valor de JN dado pela E q . ( 1 . 1 9 ) nas E q . ( 1 . 1 8 ) , determinamos os valores de 
E X E M P L O 1. 7 - R e s o l v e r o c i r c u i t o d a Fig. 1 . 2 3 , s e n d o : 
' f ' ..tN = 220 ~ 'f' , ' f ' B N = 220 !=120" 'f' , J" C N = 220112()" 'f' 
z~ = z; = Zé = z,. = zN = (o.s + j 2.0) n 
ZA = 20 n . Za = j l O n . . Z c . = ' - j l O ·n 
A iA ià I Í ÍA 
B ie iá e' i& 
e Íc i ' e' i 
ZN 
F i g u r a 1 - 2 3 . C i r c u i t o p a r a o Ex. 1. 7 
s 9 w ç . A o : 
(a) D e t e r m i n a ç ã o d a corre. ... t e n o neutro ' 
T e m o s 
O. Eq. ( 1 . 1 9 ) , d e t e r m i n a m o s 
z_. + z,. = 2o.s + j 2 = 2o.6 ~ · a 
Z8 +: Z,. = o.s + j 12 = 12187,6° n 
Zc + Z,. = o.s - j 8 ::: 8 1 - 8 6 , 4 º n 
zil = o.s + j 2 = 2.06176.00 a 
N ' 
.-'·, 
3 8 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
2 2 0 IOº 2 2 0 1-1200 2 2 0 11700 
- - = ' - + - - + -~~ 
20,6 ~ 12,0 ~ 8,0 ~ 
2,06176° 2,06176° 2,06176º l + - - = + - + -20,615,6º 12,0 J87,6° 8,0 l - 8 6 , 4 ° 
= 3 1 , 6 7 1 - 1 7 9 . 2 ° A 
( b ) C á l c u l o d a s c o r r e n t e s d e l i n h a 
T e m o s 
l o g o , 
( 
e e n t ã o 
-· 
- '-'t',\\ 1 
f m , = P'm + PNN· I= 220J2'.'. + ( - 6 5 . 2 . l - 1 0 3 , 2 º ) = 243,3115,1° V • 
fBN. = PBN + PNN. )= 2201-1200 + ( - 6 5 . 2 1 - 1 0 3 , 2 º ) = 1 5 8 , 7 1 - 1 2 6 , 8 º V 
fCN, = fCN + YNN: \= 22011200 t ( - 65,2 J - 1 0 3 , 2 º ) =: 271,2 J l l 0 , 5 º V 
l = 243,3115.1º = 11819 50 A 
A 20,615,6º ' ~ 
l ' = 158'7~ = 13.211456º A 
B 12,0187,6° - ' -
' 27121110.5° ' ' . l = ' = 3 3 9 1 - 1 6 3 1 ° A 
e 8,0 1-86.4º ' ' 
(e) C á l c u l o d a s t e n s õ e s d e f a s e n a c a r g a 
T e m o s 
PA'N' = J A ZA = 11.819 ,5º . 2 0 100 = 2 3 6 ~ V 
VB'N' = 18 Z8 = 1 3 , 2 1 1 4 5 , 6 º . 1 0 j 9 0 0 = 1 3 2 1 - 1 2 4 , 4 ° V 
- - - - - 1 fcw• = l c Zc = 33,9 J - 1 6 3 . 1 º . 10 J-900 = 3391106,9° V 
. · , 
(d)' C á l c u l o d a s t e n s õ e s d e l i n h a n a c a r g a 
T e m o s 
[ JTA'B'] [ 2 3 6 ~ l Í 1 3 2 1 - 1 2 4 , 4 º ] [ 341125,7º l V B ' C ' = 1 3 2 1 - 1 2 4 , 4 ° _ l . 3 3 9 1 1 0 6 , 9 ° = 4 3 4 1 - 8 6 . 8 º V 
Vc'A' 3391106,9° 2 3 6 ~ 4371139,3º 
/ ,. 
,. 
.·,. 
.· CJRCUJH>S TRIFÁSICOS 
/ ' 
3 9 
I ; 
-~ 
! .3.3 - C A R G A E M E S T R E L A C O M C E N T R O - E S T R E L A I S O L A D O 
Suponhamos agora ter o circuito da Fig. 1 - 2 4 , composto de 3 geradores monofásicos no mesmo 
eixo (vide Fig. 1-1), uma rede trifásica equilibrada e uma carga trifásica desequilibrada ligada em 
estrela, com o centro-estrela isolado (não aterrado). Neste sistema, conhecemos as tensões de fase 
nos geradores, as impedâncias da carga e da linha (desprezando as indutâncias mútuas); 
queremos determinar as correntes e as tensões nos terminais da carga (ponto Q da Fig. 1 - 2 4 ) . 
·t 
li 
·, p 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 
. . 
~B' Ze >-~-.-11-_...-.;;;.._-rr-_. N' 
~ ~;,.._~; .. -... ~ ... ~ ... -... -.... ~:~~~c-·~~1-~f v~ 
N 
7 l 7 T 
Figura 1-24. Sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga desequilibrada em estrela isolada 
Neste caso, temos: 
Fazendo 
teremos 
,j ~r \ - \) ~ ~j 
f A l i ' = V A l i + PNN' = IA (ZA + Zp) 
VBN, = VBN + P'NN' = Ía (Za + ZP) 
VCN. = VCN + PNN. = l c (Zc + Zp) 
J f A l i · P' NN' y T> Y T> A = z - + z - = Ar ' A N + · A r "NN' 
A r A r 
J B = ~BN -+; ~NN' = Ysr VBN + Ya, PNN. 
B r . B r 
l c = ~CN + ~NN' = Yc, VCN + Yc, .P'NN. 
C r e , 
( l . 2 0 ) 
( 1 . 2 1 ) 
~~"'"-"46-. ~:;;:m_.f:,WM4bi!J#i'.iM.':f,#.',J&,f..,,_\$ .4# ,#lliUMfr*' 4Y,:4A,\f. AF.?fl!-"''4,M:Af·J!f·Jf\4,_-%f*!~,Tk.\&'JlMfMfH%1A"!""' 
' .<m.~~;;,.:,t:,; ~.;,l.t~l~,/~:h,'>'•:• 
4 0 OvTRODUÇÂO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTiNCJA 
cm que ~T • YBi- e YcT são as admitâncias totais de cada fase. 
Somàndo as E q . (1.21) membro a membro e lembrando que 
resulta 
( 1 . 2 2 ) 
A E q . ( 1 . 2 2 ) permite-nos determinar o valor de P' NN' que, substituído nas E q . ( 1 . 2 0 ) e (1.21), 
permite-nos calcular Y A N ' , Y BN' , V C N ' , 1... , J 8 e l c • A s tensões ·de fase nos t e r m i n a i s 
d a carga são obtidas por 
.Novamente chamamos a at~ção para o fàto de não ser possível calcular as tensões de lill!ia na 
carga utilizaod2 .a E q . ( 1 . 9 ) . PQis 110li. t~in!!is. d a carga não K!climõe de_Ym tri~Jço_filmé1ri~­
A s tensões de linhll serão calculadas a partir de 'P'.1'N' • Paw· e Ycw· • 
Obviamente, se forem conhecidas as tensões nos terminais d a -~ (P'.1·N , P'8w , 'P'cw) , a E q . 
( l . 2 2 ) t o m a - s e : '1A\l = \ J A \ f 4- JtJ'!'' 
Y » . , . •> . , . » ' i ? r i . - 1 ' " . + \ J t i 1 rJ P'NN. = _ . 1 ' A ' N + 1a ' s w + 1c ' c w \lÇI\.\ ~ t r .;_,µ ( l . 2 3 ) 
F:.+Ya+Yc {\ ' j . 
. . : : l M ::::... ~ .'_!ltL 
E X E M P L O 1 . 8 - C a l c u l a r o c i r c u i t o d a Fig. 1 - 2 5 d o q u a l s e c o n h e c e m : :?Ã . . . . :zA, · 
( i ) a s t e n s õ e s d e l i n h à n a c a r g a : 220 V., t r i f á s i c o s i m é t r i c o , s e q ü ê n c i a d e f a s e A - 8 - C ; 
( i i ) a s i m p e d â n c i a s : z ... = 10 n , Z8 = ( 2 + j 1 0 ) n , Zc = - j 10 n .. 
. . 
1 
· ' ' A:____,~~· ' l·· 
F i g u r a 1 - 2 5 . C i r c u i t o p a r a o Ex. 1 . 8 · J f g 
S O L U Ç Ã O : 
(a) D e t e r m i n a ç ã o d a d i f e r e n ç a d e p o t e n c i a l e n t r e o s c e n t r o - e s t r e