Aula 05_Calculo Numerico

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Prof. Talles Caio L. de Oliveira
Cálculo Numérico
	
Método da Secante
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Método de Newton-Raphson
Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração.
Método da Secante
Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das diferenças.
	f’(xk) ≈ [f(xk-1) - f(xk)]/(xk-1 - xk)‏
onde xk-1 e xk são duas aproximações para a raiz.
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Método da Secante
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Método da Secante
Considerações Iniciais
A função de iteração será:
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Método da Secante
Interpretação Geométrica
A partir de duas aproximações xk-1 e xk ,obtém-se o ponto xk+1 como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo ox e da reta que passa pelos pontos (xk-1 , f(xk-1)) e (xk , f(xk) ) (secante à curva da função).
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Método da Secante
Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.
f(x)
x0
x1
x2
x3
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Testes de Parada (Analise do valor da função)
A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.
 |f(xk+1 )|  δ
Método da Secante
Exemplo 1) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
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f(x) = x2 + x - 6 
 x0 = 1,5 e x1 = 1,7 δ = 0,05 
usando o Método da Secante. 
Método da Secante
A velocidade de um pára-quedista caindo é dada por:
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Método da Secante
onde g = 9,81 m/s2. Sendo o coeficiente de arrasto c = 15 kg/s, calcule a massa (m) para que a velocidade do paraquedista seja de 35 m/s em t = 8 s. Use o método da secante para determinar m até o nível de δ = 5 % e m0 = 55 e m1 = 65.
 
Exemplo 2) 
1) Você está projetando um tanque esférico (Figura 1) para armazenar água para uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por:
 
onde V é o volume (m3), h é a profundidade da água no tanque (m) e R é o raio do tanque (m). Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m3? Use o método da secante para determinar sua resposta. 
Figura 1
Método da Secante
Precisão de 1x10-4.
h0 = 1,7 e h1 = 2,4
2) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
usando o método da secante. 
x0 = 0,6 e x1 = 0,8
δ = 10-4 
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f (x) = ex - 4x2
E = 10-4 
Método da Secante
3) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
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usando o Método da Secante. 
f (x) = x2 - ex
x0 = - 0,6 e x1 = -0,8 E = 7,0x10-3 
Método da Secante
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Método da Secante
4) 
Usando o Método da Secante. Com a tolerância de 0,0001, f1 = 30 e f2 = 50. 
Cálculo Numérico
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