Aula_04_Calculo Numerico

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Prof. Talles Caio L. de Oliveira
Cálculo Numérico
	
Método Newton Raphson
Newton Raphson
Supondo uma aproximação x0 para a raiz de f(x), no ponto (x0, f(x0)) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f(x) em x0. 
Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto (x1, f(x1));
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Newton Raphson
Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eixo x em x2. 
Esta nova coordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo o processo;
x0,x1,... são aproximações cada vez melhores para a raiz da função, o xk+1 pode ser obtido a partir do xk através da função: 
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Newton Raphson
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Graficamente
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Newton Raphson
Critério de Parada
| f(xk+1) | ≤ δ
Exemplo 1) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
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f(x) = x2 + x - 6 
xo = 1,5 δ = 5x10-3 
usando o método de Newton Raphson. 
Newton Raphson
Você está projetando um tanque esférico (Figura 1) para armazenar água para uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por:
 
onde V é o volume (m3), h é a profundidade da água no tanque (m) e R é o raio do tanque (m). Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m3? Use o método de Newton para determinar sua resposta. Com precisão de 2x10-3 e xo = 1,0. 
Figura 1
Newton Raphson
Exemplo 2) 
1) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
usando o método Newton Raphson. 
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f(x) = x3 - 9x + 3 
xo = 0,5 δ = 5x10-4 
Newton Raphson
2) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
usando o método Newton Raphson. 
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f (x) = ex - 4x2
xo = -0,5 δ = 1x10-4 
Newton Raphson
3) Encontre uma estimativa para a raiz da seguinte função:
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Newton Raphson
usando o Newton Raphson. 
f (x) = x2 - ex
xo = -0,5 δ = 5,0x10-3 
A velocidade υ de um objeto em queda livre é dada por:
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onde g = 9,81 m/s2. Para um objeto com um coeficiente de arrasto c = 1,5 kg/s, calcule a massa m para que a velocidade seja υ = 36 m/s em t = 10 s. Use o método de newton para determinar m até o nível de ε = 0,5% x0 = 5,5 .
 
4) 
Newton Raphson
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5) 
Newton Raphson
Determine a posição x onde a deflexão (y) da viga é de 9 mm. Utilize o método de Newton Raphson, com tolerância 0,5%.
Cálculo Numérico
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