Física Teórica (196)

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 1 
 Uma máquina de Atwood é disposta de 
tal maneira que as massas móveis M1 e M2 ao 
invés de se moverem verticalmente, são 
obrigadas a deslizar sem atrito sobre dois 
planos inclinados de 30º e 60º em relação a 
horizontal. Supõe-se que os fios que sustentam 
as massas M1 e M2 são paralelos as retas de 
maior declive desses planos. Determinar: 
a) A relação entre M1 e M2 para que o sistema 
permaneça em equilíbrio; 
b) Calcular a aceleração do movimento e a tensão no fio quando as massas são iguais, cada 
uma, a 5 kg. 
Dada a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s
2
. 
 
 
 Dados do problema 
 
• massa dos blocos: M 1 = M 2 = 5 kg; 
• aceleração da gravidade: g = 9,81 m/s
2
. 
 
 Esquema do problema 
 
 Adota-se um sentido aleatório para a aceleração, figura 1 
 
 
figura 1 
 
 Isolando os corpos e pesquisando as forças que agem neles, temos 
• Corpo de massa M 1 
 Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e 
sentido da aceleração. Neste corpo agem a força peso ( 1P
r
), a força de tensão no fio (T
r
) e a 
reação normal da superfície ( 1N
r
), conforme a figura 2-A. 
 
 
figura 2 
 
 
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 2 
 A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ( P1P
r
) ao eixo-x 
e a outra normal ou perpendicular ( N1P
r
). Da figura 2-B vemos que a força peso é perpendicular 
ao plano horizontal, forma um ângulo de 90º, o ângulo entre o plano inclinado, que contém a 
componente paralela, e o plano horizontal é dado como 60º, como os ângulos internos de um 
triângulo devem somar 180º o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser 30º. 
No triângulo à direita temos que a componente normal faz com o plano inclinado um ângulo de 
90º então o ângulo entre a força peso e a componente normal deve medir 60º, é um ângulo 
complementar. 
 Colocando as forças num sistema de eixos coordenados, figura 2-C, podemos usar a 
2.ª Lei de Newton 
 
amF
rr
.= 
 
 Na direção y não há movimento, a reação normal e a componente normal do peso se 
anulam, na direção x escrevemos em módulo 
 
aMPT 1P1 60sen =°− 
aMgMT 11 60sen =°− (I) 
 
• Corpo de massa M 2 
 Da mesma forma adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao 
plano inclinado e sentido da aceleração. Neste corpo agem a força peso ( 2P
r
), a força de 
tensão no fio (T
r
) e a reação normal da superfície ( 2N
r
), conforme a figura 3-A. 
 
 
figura 3 
 
 Analogamente a força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela 
( P2P
r
) ao eixo-x e a outra normal ou perpendicular ( N2P
r
), figura 3-B, neste caso o ângulo entre 
a força peso e a componente normal será 30º. 
 E colocando as forças num sistema de eixos coordenados, figura 3-C, podemos usar a 
2.ª Lei de Newton. Na direção y não há movimento, a reação normal e a componente normal do 
peso se anulam, na direção x escrevemos em módulo 
 
aMTP 2P2 30sen =−° 
aMTgM 22 30sen =−° (II) 
 
 Solução 
 
a) Para que o sistema permaneça em equilíbrio devemos ter a aceleração igual a zero (a = 0), 
substituindo este valor e os valores do seno e co-seno nas equações (I) e (II) temos o seguinte 
sistema de equações 
 
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 3 
 
 
 
 
 
 
 
(III) 
 
 
(IV) 
 
 
dividindo a equação (IV) por (III) 
 
1
2
.
2
3
1
2
3
.
2
1
.
2
3
..
2
1
..
1
2
1
2
1
2
=
=
=
M
M
M
M
T
T
gM
gM
 
 
3
1
2
=
M
M
 
 
b) Para encontrarmos a aceleração e a tensão usamos as equações (I) e (II) e fazemos 
kg521 === MMM 
 
 
(V) 
 
(VI) 
 
 
 Este é um sistema de duas equações a duas incógnitas, a aceleração a e a tensão T, 
somando estas duas equações temos 
 
( )








+−=
=+−
+=+−
=−+
=−
2
1
..
2
3
...
2
1
.2
2
1
..
2
3
..
..
2
1
..
2
3
..
.
2
1
..
.
2
3
..
gMgM
M
a
aMgMgM
aMaMgMgM
aMTgM
aMgMT
 
 
substituindo os valores dados para a massa e para a aceleração da gravidade 
TgM
TgM
TgM
gMT
=
=
=−
=−
2
1
2
3
0
2
1
0
2
3
2
1
2
1
aMTgM
aMgMT
=−
=−
2
1
2
3
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 4 
[ ]53,2448,42.
10
1
2
1
.81,9.5
2
3
.81,9.5.
5.2
1
+−=








+−=
a
a
 
 
2m/s79,1−=a 
 
o sinal de negativo na aceleração indica que o sentido do movimento será contrário àquele 
adotado na figura 1. 
 Subtraindo as equações (V) e (VI), obtemos 
 
( )








+=
+=
=+−−
=−−
=−
2
1
..
2
3
...
2
1
2
1
..
2
3
..2
02
2
1
..
2
3
..
.
2
1
..
.
2
3
..
gMgMT
gMgMT
TgMgM
aMTgM
aMgMT
 
 
substituindo os valores do problema 
 
[ ]53,2448,42.
2
1
2
1
.81,9.5
2
3
.81,9.5.
2
1
+=








+=
T
T
 
 
N51,33=T