MECÂNICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL (5)

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Prof.: MATHEUS PIAZZALUNGA NEIVOCK
E-mail: neivock@gmail.com
AULA 3
FORÇAS NO PLANO
Componentes cartesianos de uma Força.
y 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Ɵ
x O 
DICA: O posicionamento dos eixos, podem ser 
determinado como for mais conveniente.
FORÇAS NO PLANO
Componentes cartesianos de uma Força.
y 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Ɵ
x O 
DICA: O posicionamento dos eixos, podem ser 
determinado como for mais conveniente.
FORÇAS NO PLANO
Componentes cartesianos de uma Força.
y 
F
Fy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Ɵ
x O Fx
DICA: O posicionamento dos eixos, podem ser 
determinado como for mais conveniente.
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O 
F
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O 
Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
Lei do paralelogramo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O 
Ɵ
F
Lei do paralelogramo
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
Lei do paralelogramo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O 
Ɵ
F
Lei do paralelogramo
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
P Lei do paralelogramo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O T
P
Ɵ
F
Lei do paralelogramo
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F Lei do paralelogramo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
Lei do paralelogramo
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F F
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Regra do triângulo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F F
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Triângulo retângulo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F F
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Triângulo Retângulo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F F
Fy
Fx
Ɵ
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Triângulo Retângulo
Fopostocateto
sen
y
==θ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F F
Fy
Fx
Fhipotenusa
sen ==θ
Ɵ
yx FFF +=
F
F
hipotenusa
adjacentecateto x==θcos
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O Fx
Fy
Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Quando falamos, por exemplo,
em F (vetor), estamos nos
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O Fx
Fy
Ɵ
F
em F (vetor), estamos nos
referindo a uma direção, um
sentido e um módulo.
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Quando falamos, por exemplo,
em F (vetor), estamos nos
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O Fx
Fy
Ɵ
F
em F (vetor), estamos nos
referindo a uma direção, um
sentido e um módulo.
Qual é o valor desta força?
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Quando falamos, por exemplo,
em F (vetor), estamos nos
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O Fx
Fy
Ɵ
F
em F (vetor), estamos nos
referindo a uma direção, um
sentido e um módulo.
Qual é o valor desta força?
MÓDULO
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Então, vamos ter duas variáveis distintas:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Então, vamos ter duas variáveis distintas:
F (vetor) e F (escalar) 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F (vetor) e F (escalar) 
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Então, vamos ter duas variáveis distintas:
F (vetor) e F (escalar) 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F (vetor) e F (escalar) 
F (vetor) � Representa o vetor força com módulo,
sentido e direção. Valor, ângulo e o sinal (+ ou -);
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Estamos trabalhando com vetores e escalares.
Então, vamos ter duas variáveis distintas:
F (vetor) e F (escalar) 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F (vetor) e F (escalar) 
F (vetor) � Representa o vetor força com módulo,
sentido e direção. Valor, ângulo e o sinal (+ ou -);
F (escalar) � Representa o módulo. Valor ou a
intensidade da força.
FORÇAS NO PLANO
Deixando as coisas mais claras:
Ficou claro?
F ≠ F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F ≠ F
Por conseqüência, o mesmo ocorre para as
componentes da força F (vetor).
Fx ≠ Fx Fy ≠ Fy
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
y 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
Vamos organizar os vetores segundo a regra do triângulo.
y 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
FORÇASNO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
Vamos organizar os vetores segundo a regra do triângulo.
y 
F
Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
Ɵ
Fy
F
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
Vamos organizar os vetores segundo a regra do triângulo.
y 
F
Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
Ɵ
Fy
F
Nós já vimos que o módulo (valor ou 
intensidade) é igual ao comprimento da seta 
que representa o vetor, certo? 
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
Vamos organizar os vetores segundo a regra do triângulo.
y 
F
Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
Ɵ
Fy
F
Nós já vimos que o módulo (valor ou 
intensidade) é igual ao comprimento da seta 
que representa o vetor, certo? 
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
Vamos organizar os vetores segundo a regra do triângulo.
y 
F
Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
Ɵ
Fy
F
Nós já vimos que o módulo (valor ou 
intensidade) é igual ao comprimento da seta 
que representa o vetor, certo? 
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
Vamos organizar os vetores segundo a regra do triângulo.
y 
F
Fx
Módulo de Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
Ɵ
Fy
F
M
ó
d
u
l
o
 
d
e
 
F
y
Nós já vimos que o módulo (valor ou 
intensidade) é igual ao comprimento da seta 
que representa o vetor, certo? 
FORÇAS NO PLANO
Na prática o que isso quer dizer?
PERCEBERAM QUE TEREMOS 2 TRIÂNGULOS DIFERENTES?
Fx
Módulo de Fx Módulo de Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Ɵ
Fy
F
M
ó
d
u
l
o
 
d
e
 
F
y
Ɵ
Triângulo formado por vetores Triângulo formado por escalares
M
ó
d
u
l
o
 
d
e
 
F
y
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
Fx = F cos Ɵ
No triângulo de escalares, são válidas as seguintes relações:
Módulo de Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Fx = F cos Ɵ
Fy = F sen Ɵ
F2 = Fx
2 + Fy
2
Ɵ
M
ó
d
u
l
o
 
d
e
 
F
y
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
Fx = F cos Ɵ
No triângulo de escalares, são válidas as seguintes relações:
Módulo de Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Fx = F cos Ɵ
Fy = F sen Ɵ
F2 = Fx
2 + Fy
2
Ɵ
M
ó
d
u
l
o
 
d
e
 
F
y
Módulo, valor, intensidade do 
vetor F.
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Fx = F cos Ɵ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
x 
Fy = F sen Ɵ
F2 = Fx
2 + Fy
2
Porque tenho que saber isso?
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
F2 = Fx
2 + Fy
2Escalares
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F F = Fx + FyVetores
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
E agora se nós 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F
E agora se nós 
invertermos o ângulo?
Muda alguma coisa?
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Fx = F sen Ɵ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F Fy = F cos Ɵ
FORÇAS NO PLANO
Decomposição de forças.
y 
F
Fx = F sen Ɵ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x O Fx
Fy
Ɵ
F Fy = F cos Ɵ
Por essa razão, não decorem nem 
associem x a co-seno e y a seno. Avaliem 
cada caso separadamente.
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo
módulo é 1 (uma unidade). No sistema de eixos
cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
vetores unitários ou versores retangulares, são
representados por i e j, para x e y respectivamente:
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Convenção vetores: i e j
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Convenção vetores: i e j
x � i y � j
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Fx
Fy
Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
yx O i
j
Fx
Fy Fx = ?
Fy = ?Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Fx
Fy Fx = Fx .1
Fy = Fy .1Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Fx
Fy Fx = Fx .1
Fy = Fy .1Ɵ
F
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Fx
Fy
Ɵ
F
Fx = Fx .1 = Fx .i
Fy = Fy .1 = Fy .j
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários.
Vetor unitário ou versor, é aquele vetor cujo módulo é 1 (uma unidade).
No sistema de eixos cartesianos, as direções dos eixos são indicadas por
vetores unitários ou versores retangulares, são representados por i e j, para x
e y respectivamente:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y 
x O i
j
Fx
Fy
Ɵ
F
Fx = Fx .1 = Fx i
Fy = Fy .1 = Fy j
F = Fx i + Fy j
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários – ATENÇÃO.
Estamos trabalhando com escalares e vetores.
F = F = Fx � Vetor
F � Sem negrito � Escalar
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Fx� Sem negrito � Escalar
Fx será positiva quando Fx tiver o mesmo sentido do vetor
unitário i, ou seja, quando possuir o mesmo sentido do eixo x. O
mesmo ocorre para Fy e os respectivos negativos.
Os vetores unitários, são vetores de localização. 
Indicam a direção.
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários – ATENÇÃO.
Estamos trabalhando com escalares e vetores.
F = Fx + Fy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x y
F = Fx + Fy
São iguais?
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários – ATENÇÃO.
Estamos trabalhando com escalares e vetores.
F = Fx + Fy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x y
F = Fx + Fy
São iguais? NÃO!
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários – ATENÇÃO.
Estamos trabalhando com escalares e vetores.
F = Fx + Fy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x y
F = Fx + Fy
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários – ATENÇÃO.
Estamos trabalhando com escalares e vetores.
F = Fx + Fy VETORES
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x y
F = Fx + Fy
VETORES
FORÇAS NO PLANO
Vetores unitários – ATENÇÃO.
Estamos trabalhando com escalares e vetores.
F = Fx + Fy VETORES
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x y
F = Fx + Fy
VETORES
ESCALARES
FORÇAS NO PLANO
RESUMINDO:
Vimos que as componentes cartesianas Fx e Fy de uma F,
podem ser obtidas pela respectiva multiplicação dos vetores
unitários i e j, por escalares adequados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = Fx + Fy
F = Fx i + Fy j
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A
Resposta: F = -655N i + 459N j
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
Para obter os sinais 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
Para obter os sinais 
corretos das componentes, 
é preciso fazer uma 
convenção.
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
y
x – positivo
y – positivo
x – negativo
y – positivo
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x
y – positivo
x – positivo
y – negativo
x – negativo
y – negativo
y – positivo
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
y
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
α = 35ᵒ
A x
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
y
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
α = 35ᵒ
A x
Ɵ 
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
y
Ɵ = 180ᵒ - 35ᵒ
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
α = 35ᵒ
A x
Ɵ 
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
y
Ɵ = 180ᵒ - 35ᵒ = 145ᵒ
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
α = 35ᵒ
A x
Ɵ = 145ᵒ
cos 35ᵒ = 0,8191 
cos 145ᵒ = - 0,8191 
sen 35ᵒ = 0,5735 
sen 145ᵒ = 0,5735 
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
y
Ɵ = 180ᵒ - 35ᵒ = 145ᵒ
O QUE 
PODEMOS 
CONCLUIR?
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
α = 35ᵒ
A x
Ɵ = 145ᵒ
cos 35ᵒ = 0,8191 
cos 145ᵒ = - 0,8191 
sen 35ᵒ = 0,5735 
sen 145ᵒ = 0,5735 
CONCLUIR?
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1: CONVENÇÃO
1 - Utilizamos a convenção para x e y nos 
sentido negativos conforme apresentado;
OU
Mecânica Aplicada Prof.:Matheus P. Neivock
2 - Utilizamos os ângulos corretos, como 
mostrado no exemplo.
OU
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
°−= 35cosFF
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
°−= 35cosFFx
Fy °= 35FsenF y
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
NFF 65535cos −=°−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
NFFx 65535cos −=°−=
Fy NFsenF y 45935 =°=
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
NFF 65535cos −=°−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
NFFx 65535cos −=°−=
Fy
NFsenF y 45935 =°=
ENCONTRAMOS OS VALORES DOS 
ESCALARES
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força.
NFF 65535cos −=°−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
NFFx 65535cos −=°−=
Fy
NFsenF y 45935 =°=
LEMBRAM DOS VETORES UNITÁRIOS?
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força. iNiNFx
rr
655)655( −=−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
iNiNFx 655)655( −=−=
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força. iNiNFx
rr
655)655( −=−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
iNiNFx 655)655( −=−=
Fy
jNjNF y
rr
459)459( ==
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força. NiiNFx 655)655( −=−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
x
Fy
NjjNF y 459)459( ==
jNiNF )459()655( +−=
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1:
Uma força de 800N é exercida sobre um parafuso A.
Determine as componentes vertical e horizontal da
força. iNiNFx
rr
655)655( −=−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 800N
35ᵒ
A x
y
iNiNFx 655)655( −=−=
Fy
jNjNF y
rr
459)459( ==
F = -655N i + 459N jFx
jNiNF )459()655( +−=
r
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
Um homem puxa com uma força de 300N, uma corda fixada a torre
Eiffel, conforme apresentado na figura abaixo. Quais as componentes
horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?
80mA
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
Um homem puxa com uma força de 300N, uma corda fixada a torre
Eiffel, conforme apresentado na figura abaixo. Quais as componentes
horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?
80mA
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
F= 240N i -180N j
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A
B
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Fx= F cos α = 300N cosα
Fy= F sen α = - 300N senα
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2: Fx= F cos α = 300N cosα
Fy= F sen α = - 300N senα
Eu não tenho α, como faço 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Eu não tenho α, como faço 
para obter os valores de seno 
e co-seno?? 
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2: Fx= F cos α = 300N cosα
Fy= F sen α = - 300N senα
Eu não tenho α, como faço 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Eu não tenho α, como faço 
para obter os valores de seno 
e co-seno?? 
DUAS MANEIRAS!!
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Temos todos os lados do 
triângulo, não temos?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Temos todos os lados do 
triângulo, não temos?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Só aplicar as relação 
trigonométricas básicas.
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
8,0
5
4
100
8080
cos =====
m
m
AB
m
hipotenusa
adjacentecateto
α
6,0
5
3
100
6060
=====
m
m
AB
m
hipotenusa
opostocateto
senα
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
8,0
5
4
100
8080
cos =====
m
m
AB
m
hipotenusa
adjacentecateto
α
6,0
5
3
100
6060
=====
m
m
AB
m
hipotenusa
opostocateto
senα
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Como obtemos o valor do segmento AB = 100m?
Pitágoras!!!!
C
Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Como obtemos o valor do segmento AB = 100m?
222 6080 +=AB
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Como obtemos o valor do segmento AB = 100m?
222 6080 +=AB mAB 100=
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
8,0
5
4
100
8080
cos =====
m
m
AB
m
hipotenusa
adjacentecateto
α
6,0
5
3
100
6060
=====
m
m
AB
m
hipotenusa
opostocateto
senα
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Fx= F cos α = 300N . 0,8 = 240N
Fy= F sen α = - 300N . 0,6 = -180N 
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Fx= 240N
Fy= -180N
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Fx= 240N
Fy= -180N
Lembram dos 
vetores 
unitários?
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
F = 240N i -180N j
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
E se eu quiser saber qual é 
o ângulo α?
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Podemos utilizar dois triângulos:
1 – distâncias;
2 – forças.
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Podemos utilizar dois triângulos:
1 – distâncias;
2 – forças.
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Podemos utilizar dois triângulos:
1 – distâncias;
2 – forças.
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
75,0
80
60
===
m
m
AC
BC
tgα
°= 86,36αacrtg °= 86,36α
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
75,0
240
180
===
N
N
F
F
tg
x
yα
°= 86,36αacrtg °= 86,36α
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Vamos conferir se os 
cálculos estão corretos?
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
222
yx FFF +=
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
222
yx FFF +=
Pitágoras!!!!
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
Pitágoras!!!!
( ) ( )222 180240 NNF +=
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
( ) ( )222 180240 NNF +=
NF 900002 =
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
( ) ( )222 180240 NNF +=
NF 900002 =
NF 300=
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2:
80m
A
y
x
( ) ( )222 180240 NNF +=
NF 900002 =
NF 300=
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60m
α
A x
B
Fy
Fx
C
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Resposta:
Ɵ = 65 ᵒ
F = 8,27 kN
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
1428,2
5,3
5,7
===
kN
kN
F
F
tg
x
yθ
98,64=θarctg
°≅°= 6598,64θ
kN
sen
kN
sen
F
F x 27,8
65
5,7
=
°
==
θ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agora construa o esquema gráfico de 
distribuição das forças.
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x
y
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock
A x
y
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A x
y
Fx
Fy
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A x
y
Fx
Fy
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
65ᵒ
A x
y
Fx
Fy
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 8,28kN
65ᵒ
A x
y
Fx
Fy
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
A força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j é aplicada a um
parafuso A. Determine a intensidade da força e o
ângulo que ela forma com a horizontal.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F = 8,28kN
65ᵒ
A x
y
Fx
Fy
kNkNFFx 5,349927,365cos. ≅=°=
kNkNsenFFy 5,750422,765. ≅=°=
FORÇAS NO PLANO
RELEMBRANDO!!
Q
P
S
Q + S
Q
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
P + Q + S
Q + S P
P
S
S
P + Q + S = (P + Q) + S = 
S + (P + Q) = S + (Q + P) 
= S + Q + P
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agrupei os termos que possuem a mesma direção.
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agrupei os termos que possuem a mesma direção.
E o sentido?
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agrupei os termos que possuem a mesma direção.
Nesse caso todos são positivos, possuem o mesmo 
sentido.
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agrupei os termos que possuem a mesma direção.
Nesse caso todos são positivos, possuem o mesmo 
sentido.
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agrupei os termos que possuem a mesma direção.
E se fossem sentidos diferentes?
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Agrupei os termos que possuem a mesma direção.
E se fossem sentidos diferentes?
MUDA ALGUMA COISA???
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
RELEMBRANDO:
P
- Q
- Q
P – Q
ou
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
- Q
P - Q = P + (-Q) 
Não muda nada!!
P
ou
P + (-Q)
FORÇAS NO PLANO
R = P + Q + S
Operações com mais de 2 vetores.
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
rrrrrrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Seguindo essa linha de raciocínio, temos:
jSiSjQiQjPiPjRiR yxyxyxyx
rrrrrrrr
+++++=+
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
Componente em x Componente em y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
Notaram alguma coisa de diferença??
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
Notaram alguma coisa de diferença??
ONDE ESTÃO OS VETORES i e j??
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
Lembram da multiplicação de um vetor por um escalar?
Os vetores i e j, são apenas para localização??
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
Isso quer dizer que estamos trabalhando com um produto 
entre escalares e vetores e se quisermos saber os módulos 
podemos suprimir os vetores unitários. 
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
iSiQiPiR
rrrr
++= jSjQjPjR
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
iSiQiPiR xxxx
rrrr
++= jSjQjPjR yyyy
rrrr
++=
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
iSiQiPiR
rrrr
++= jSjQjPjR
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
iSiQiPiR xxxx
rrrr
++= jSjQjPjR yyyy
rrrr
++=
( )iSQPiR xxxx
rr
++= ( ) jSQPjR yyyy
rr
++=
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
iSiQiPiR
rrrr
++= jSjQjPjR
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
iSiQiPiR xxxx
rrrr
++= jSjQjPjR yyyy
rrrr
++=
( )iSQPiR xxxx
rr
++= ( ) jSQPjR yyyy
rr
++=
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
iSiQiPiR
rrrr
++= jSjQjPjR
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
iSiQiPiR xxxx
rrrr
++= jSjQjPjR yyyy
rrrr
++=
( )iSQPiR xxxx
rr
++= ( ) jSQPjR yyyy
rr
++=
PRODUTO ENTRE ESCALARES E VETORES.
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
iSiQiPiR xxxx
rrrr
++= jSjQjPjR yyyy
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
iSiQiPiR xxxx ++= jSjQjPjR yyyy ++=
( )iSQPiR xxxx
rr
++= ( ) jSQPjR yyyy
rr
++=
PRODUTO ENTRE ESCALARES E VETORES.
Vetores unitários: i e j
FORÇAS NO PLANO
Operações com mais de 2 vetores.
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
iSiQiPiR xxxx
rrrr
++= jSjQjPjR yyyy
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
PRODUTO ENTRE ESCALARES E VETORES.
Vetores unitários: i e j
Escalares: módulos das forças.
iSiQiPiR xxxx ++= jSjQjPjR yyyy ++=
( )iSQPiR xxxx
rr
++= ( ) jSQPjR yyyy
rr
++=
FORÇAS NO PLANO
Resumindo:
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Componente em x Componente em y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
FORÇAS NO PLANO
Resumindo:
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
∑
FORÇAS NO PLANO
Resumindo:
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
∑= xx FR
FORÇAS NO PLANO
Resumindo:
Componente em x Componente em y
( ) ( ) jSQPiSQPjRiR yyyxxxyx
rrrr
+++++=+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Componente em x Componente em y
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
∑= xx FR ∑= yy FR
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
Regra do polígono
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
Regra do polígono
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
A
P
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
Regra do polígono
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
A
Q
Q
P
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
Regra do polígono
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
A
Q
Q
P
S
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
Regra do polígono
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
A S
Q
R
Q
P
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
=
P
S
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
A
=
Q
R
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
P
S
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
P
S
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
P
S
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
PS
R
Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock
A
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
A
y
x
Syi
Pyi y
PS
R
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Visualização gráfica: ∑= xx FR ∑= yy FR
y
x
Syi
Pyi y
PS
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
A
R
x
Sxi
Pxi
Qyi
Qxi
x
Q
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rr
90,2950,216 −=
°=°−= 14,35286,7α
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ ∑= xx FR
°+°−°=∑ 20cos1525cos 421 FsenFFFx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
∑ 421x
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ ∑= xx FR
°+°−°=∑ 20cos1525cos 421 FsenFFFx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
∑ 421x
NFx 50,216=∑
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ ∑= xx FR
°−−°+°=∑ 2015cos25 4321 senFFFsenFFy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
∑ 4321y
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ ∑= xx FR
°−−°+°=∑ 2015cos25 4321 senFFFsenFFy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
∑ 4321y
NFy 90,29−=∑
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
jRiRR yx
rrr
+=
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
( ) ( ) jNiNjRiRR yx
rrrrr
90,2950,216 −⇒+=
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rr
90,2950,216 −=
( ) ( ) jNiNjRiRR yx
rrrrr
90,2950,216 −⇒+=
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rrr
90,2950,216 −=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
y
( ) ( ) jNiNR
rrr
90,2950,216 −=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
F4 = 105N
20ᵒ
y
x
Demonstração gráfica da 
resultante encontrada
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rrr
90,2950,216 −=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N R
Ry
Rx
F4 = 105N
20ᵒ
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rrr
90,2950,216 −=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
Ɵ Ry
Rx
F4 = 105N
20ᵒ
R
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultante das forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rrr
90,2950,216 −=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
Ɵ Ry
Rx
138,0
50,216
90,29
−=
−
==
N
N
R
R
tg
x
y
α
°−= 86,7αarctg
°=°−= 14,35286,7α
F4 = 105N
20ᵒ
R
FORÇAS NO PLANO
Determine a resultantedas forças:
y
F1 = 150NF2 = 70N
25ᵒ
15ᵒ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
x
F3 = 125N
°=°−= 14,35286,7α
F4 = 105N
20ᵒ
( ) ( ) jNiNR
rrr
90,2950,216 −=