MECÂNICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL (8)

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Prof.: MATHEUS PIAZZALUNGA NEIVOCK
E-mail: neivock@gmail.com
AULA 4
FORÇAS NO PLANO
Até o momento trabalhamos apenas
com forças coplanares, ou seja, atuando no
mesmo plano.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
mesmo plano.
Vimos algumas propriedades e como
podemos trabalhar com essas forças.
Definimos vetores e escalares,
utilizando alguns exemplos para evidenciar.
FORÇAS NO PLANO
Forças no espaço
Para definir espaço de uma maneira
cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro
eixo de coordenadas, z.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
eixo de coordenadas, z.
FORÇAS NO PLANO
Forças no espaço
Para definir espaço de uma maneira
cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro
eixo de coordenadas, z. y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
eixo de coordenadas, z. y
x
FORÇAS NO PLANO
Forças no espaço
Para definir espaço de uma maneira
cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro
eixo de coordenadas, z. y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
eixo de coordenadas, z. y
z
x
FORÇAS NO PLANO
Forças no espaço
Para definir espaço de uma maneira
cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro
eixo de coordenadas, z. y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
eixo de coordenadas, z. y
z
x
FORÇAS NO PLANO
y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
FORÇAS NO PLANO
y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
Traçamos um vetor F
partindo da origem (O) 
indo até a diagonal oposta 
superior do cubo 
apresentado.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
Traçamos um vetor F
partindo da origem (O) 
indo até a diagonal oposta 
superior do cubo 
apresentado. F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
Decompondo F
Quantas 
componentes 
são 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
são 
esperadas?
FORÇAS NO PLANO
y
F
Decompondo F
Quantas 
componentes 
são 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
3
são 
esperadas?
FORÇAS NO PLANO
y
F
Decompondo F
Quantas 
componentes 
são esperadas?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
são esperadas?
Fx
FORÇAS NO PLANO
y
F
Decompondo F
Quantas 
componentes 
são esperadas?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
são esperadas?
Fx
Fy
FORÇAS NO PLANO
y
F
Decompondo F
Quantas 
componentes 
são esperadas?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
são esperadas?
Fx
Fy
Fz
FORÇAS NO PLANO
y
Ressaltando 
algumas relações: 
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
Ressaltando 
algumas relações: 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
PLANO XYRessaltando 
algumas relações: 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
Ressaltando 
algumas relações: 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
Ressaltando 
algumas relações: 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
PLANO XZ
FORÇAS NO PLANO
y
F
Ressaltando 
algumas relações: 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
FPLANO YZ
Ressaltando 
algumas relações: 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
Vamos ressaltar 
alguns vértices!
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
B
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
B
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
B
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
B
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
FORÇAS NO PLANO
y
F
Algumas relações:
B
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
Ɵy – ângulo formado entre o eixo y e a F
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivockz
xO
F
C
ɵy
u
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
u
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
u
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Posso decompor a força F?
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Componente em y
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Componente em y
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Componente em y
Componente em u
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Fy
Fu
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fu
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fu
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Fy
Fu
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Fy
Fu
yy FF θcos=
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Fy
Fu
yy FF θcos=
yu FsenF θ=
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy
Fy está sobre 
o eixo y e não 
pode ser 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
pode ser 
decomposta.
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy
Fy está sobre 
o eixo y e não 
pode ser 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
pode ser 
decomposta.
Mas e Fu?
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy
Fy está sobre 
o eixo y e não 
pode ser 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
pode ser 
decomposta.
Mas e Fu? ɵx
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy
Fy está sobre 
o eixo y e não 
pode ser 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
pode ser 
decomposta.
Mas e Fu? ɵx
E
D
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy
Fy está sobre 
o eixo y e não 
pode ser 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
pode ser 
decomposta.
Mas e Fu? ɵx
E
D
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
x
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO D
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fux
D
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy F
Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
ɵx
E
D
Fux
Fuz
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fux
D
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE
xuux FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fux
D
xuux FF θcos=
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE
xuux FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fux
D
xuux FF θcos=
xuuz senFF θ=
FORÇAS NO PLANO
Lembram o que era Fu?
y
B A FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
Fy
Fu
yy FF θcos=
yu FsenF θ=
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE
xyux FsenF θθ cos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fux
D
xyux FsenF θθ cos=
xyuz senFsenF θθ=
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
ɵx
E
D
Fux
Fuz
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy F
Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
ɵx
E
D
Fux
Fuz
Fx
FORÇAS NO PLANO
yAlgumas relações:
B
A
ɵyFy F
Fx
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
ɵx
E
D
Fux
Fuz
Fx
Fz
FORÇAS NO PLANO
Resumindo:
yy FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
θθ==
yy FF θcos=
Resumindo:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xyxux FsenFF θθ cos==
FORÇAS NO PLANO
θθ==
yy FF θcos=
Resumindo:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xyxux FsenFF θθ cos==
xyzuz senFsenFF θθ==
FORÇAS NO PLANO
Foi mostrado uma maneira em
que é possível efetuar a
decomposição da força F, em três
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
decomposição da força F, em três
componentes vetoriais Fx, Fy e Fz,
orientadas segundos os eixos de
coordenadas x, y e z.
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
Observem o 
triângulo OAB
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
Observem o 
triângulo OAB
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A PITÁGORAS 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
y
B A PITÁGORAS 
Fu
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
( ) ( ) ( )2222 BAOBOAF +==Fy
222
uy FFF +=
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵyFy F
Fx
Mais relações:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
ɵx
E
D
Fux
Fuz
Fx
Fz
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵyFy F
Fx
Mais relações:
Observem o 
triângulo OCD
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
F
C
ɵy
u
Fy
Fu
ɵx
E
D
Fux
Fuz
Fx
Fz
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE PITÁGORAS PITÁGORAS 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
D
( ) ( ) ( )2222 DCODOCFu +==
222
uzuxu FFF +=
Fux
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE PITÁGORAS PITÁGORAS 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fx
D
( ) ( ) ( )2222 DCODOCFu +==
222
zxu FFF +=
Fux
=
=
Fz
FORÇAS NO PLANO
Esquecendo que estamos trabalhando no
espaço, vamos voltar aos planos:
z
CE PITÁGORAS PITÁGORAS 
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
xO
Fu
ɵx
Fuz
Fx
D
( ) ( ) ( )2222 DCODOCFu +==
222
zxu FFF +=
Fux
=
=
Fz
FORÇAS NO PLANO
Relembrando:
y
B A PITÁGORAS 
Fu
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
uO
B A
C
F
ɵy
( ) ( ) ( )2222 BAOBOAF +==Fy
222
uy FFF +=
FORÇAS NO PLANO
Fazendo as devidas substituições, temos:
2222
zyx FFFF ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
222
zyx FFFF ++=
F é o módulo (escalar) da força F
(vetor) que esta aplicada no espaço.
FORÇAS NO PLANO
y
F
B
A
Mais relações:
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
FORÇAS NO PLANO
y
F
B
A
Mais relações:
ɵ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
ɵx
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
F
ɵ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
ɵy
ɵx
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
F
ɵ
Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
ɵy
ɵz
ɵx
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
F
ɵ
Fy
xx FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
ɵy
ɵz
ɵx
Fx
Fz
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
F
ɵ
Fy
xx FF θcos=
yy FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
ɵy
ɵz
ɵx
Fx
Fz
FORÇAS NO PLANO
y
B
A
ɵy
Mais relações:
F
ɵ
Fy
xx FF θcos=
yy FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
xO
C
ɵy
ɵz
ɵx
Fx
Fz
zz FF θcos=
FORÇAS NO PLANO
y
Lembram dos 
vetores unitários de 
localização?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
FORÇAS NO PLANO
y
j
Lembram dos 
vetores unitários de 
localização?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
j
i
k
FORÇAS NO PLANO
y
j
Lembram dos 
vetores unitários de 
localização?
xi →
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
j
i
k
xi →
yj →
r
zk →
r
FORÇAS NO PLANO
y
j
Lembram dos 
vetores unitários de 
localização?
xi →
r
F
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
z
x
O
j
i
k
xi →
yj →
r
zk →
r
kFjFiFF zyx
rrrr
++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1
Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ,
respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1
Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ,
respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
kNjNiNF
rrrr
)250()354()250( −+=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1
Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ,
respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
kNjNiNF
rrrr
)250()354()250( −+=
NNF
NNF
NNF
z
y
x
250120cos)500(
35445cos)500(
25060cos)500(
−=°=
=°=
=°=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 1
Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ,
respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
componentes Fx, Fy, e Fz da força.
CONFERINDO:
( )
NNF
F
FFFF zyx
50031,500
250354250
222
2222
≅=
−++=
++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2
Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e
Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2
Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e
Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
NF 350=
°= 4,73xθ
°= 4,115yθ
°= 0,31zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2
Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e
Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
NF
F
FFFF zyx
350
300)150(100 222
2222
=
+−+=
++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2
Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e
Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
°=
°=
==
=
4,73
39,73arccos
2857,0
350
100
cos
cos
x
x
x
xx
N
N
FF
θ
θ
θ
θ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2
Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e
Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
°=
°=
==
=
4,73
39,73arccos
2857,0
350
100
cos
cos
x
x
x
xx
N
N
FF
θ
θ
θ
θ
°=
°=
−=
−
=
=
4,115
37,115arccos
4285,0
350
150
cos
cos
y
x
y
yy
N
N
FF
θ
θ
θ
θ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 2
Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e
Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados.
°=
°=
==
=
4,73
39,73arccos
2857,0
350
100
cos
cos
x
x
x
xx
N
N
FF
θ
θ
θ
θ
°=
°=
−=
−
=
=
4,115
37,115arccos
4285,0
350
150
cos
cos
y
x
y
yy
N
N
FF
θ
θ
θ
θ
°=
°=
==
=
0,31
00,31arccos
8571,0
350
300
cos
cos
z
z
z
zz
N
N
FF
θ
θ
θ
θ
FORÇAS NO PLANO
Relembrando:
∑= xx FR
∑= FR
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
∑= yy FR
FORÇAS NO PLANO
Relembrando:
∑= xx FR
∑= FR
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
∑= yy FR
Logo:
∑= zz FR
FORÇAS NO PLANO
As mesmas relações que obtemos até agora, também
são válidas para as resultantes no espaço:
222
zyx RRRR ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
xx RR θcos= yy RR θcos= zz RR θcos=
FORÇAS NO PLANO
As mesmas relações que obtemos até agora, também
são válidas para as resultantes:
222
zyx RRRR ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
FORÇAS NO PLANO
As mesmas relações que obtemos atéagora, também
são válidas para as resultantes:
222
zyx RRRR ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
COSSENOS DIRETORES
FORÇAS NO PLANO
Uma maneira mais fácil de definir os cossenos
diretores de uma Força F, é definir um vetor unitário
na sua direção:
F
r
r FFFF rrr
r
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F
F
u
r
=
Relembrando:
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
k
F
F
j
F
F
i
F
F
F
F
u z
yx
rrrr
++==
FORÇAS NO PLANO
Então por semelhança, efetuando a substituição:
kjiu zyx
rrrr
θθθ coscoscos ++=
Sabendo que o módulo é:
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1coscoscos 222 =++ zyx θθθ
Sabendo que o módulo é:
222
zyx FFFF ++=
E que o módulo do vetor unitário é igual a 1:
FORÇAS NO PLANO
Resumindo:
Se o módulo e os ângulos diretores forem conhecidos,
o vetor força F, pode ser expresso na forma de um
vetor cartesiano como:
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vetor cartesiano como:
kFjFiFF
kFjFiFF
uFF
zyx
zyx
rrrr
rrrr
rr
++=
++=
=
θθθ coscoscos
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NN N
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NN N
°=
°=
°=
6,19
102
8,74
z
y
x
θ
θ
θ
NFr 191≅
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NN N
Qual é a força 
resultante?
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NN N
Qual é a força 
resultante?
21 FFFr
rrr
+=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
21 FFFr
rrr
+=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NkjiNkjFr )10010050()8060(
rrrrrr
+−++=
NkjiFr )1804050(
rrrr
+−=
Calculando o módulo de Fr:
NNFFFF zyxr 19104,191180)40(50
222222 ==+−+⇒+−=
FORÇAS NO PLANO
RELEMBRANDO:
Uma maneira mais fácil de definir os cossenos
diretores de uma Força F, é definir um vetor unitário
na sua direção:
r
F rrr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F
F
u
r
r
=
Relembrando:
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
k
F
F
j
F
F
i
F
F
F
F
u z
yx
rrr
r
r
++==
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
F rrr
r
r 1804050
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kji
F
F
u
r
r
rrrr
191
180
191
40
191
50
+−==
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
F rrr
r
r 1804050
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kji
F
F
u
r
r
rrrr
191
180
191
40
191
50
+−==
kjiu
rrrr
9422,02094,02617,0 +−=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
F rrr
r
r 1804050
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kji
F
F
u
r
r
rrrr
191
180
191
40
191
50
+−==
kjiu
rrrr
9422,02094,02617,0 +−=
kjiu zyx
rrrr
θθθ coscoscos ++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 3:
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados
da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado
na figura.
kjiu
rrrr
9422,02094,02617,0 +−=
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
LOGO:
°=⇒=
°=⇒−=
°=⇒=
6,199422,0cos
1022094,0cos
8,742617,0cos
zz
yy
xx
θθ
θθ
θθ
kjiu zyx
rrrr
θθθ coscoscos ++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°=108xθ
°= 8,21yθ
°= 6,77zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
21 FFFr
rrr
+=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
21 FFFr
rrr
+=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
21 FFFr
rrr
+=
Fr = 800N
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.NFr 800=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
jNF
NF
r
r
rr
800
800
=
=
Fr = 800N
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
NFr 800=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
jNF
NF
r
r
rr
800
800
=
=
Fr = 800N
21 FFFr
rrr
+=
21800 FFjN
rrr
+=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
FFFF θθθ coscoscos ++=
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
zzyyxx FFFF θθθ coscoscos 1111 ++=
Fr = 800N
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
kFjFiFF zzyyxx
rrrr
θθθ coscoscos 1111 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kFjFiFF zzyyxx θθθ coscoscos 1111 ++=
kNjNiNF
rrrr
°+°+°= 120cos30060cos30045cos3001
kNjNiNF
rrrr
1501501,2121 −+=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
21 FFFr
rrr
+=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
21 FFFr +=
21501501,212800 FkNjNiNjN
rrrrr
+−+=
kNjNjNiNF
rrrrr
1508001501,2122 ++−−=
kNjNiNF
rrrr
1506501,2122 ++−=
FORÇAS NO PLANO
Lembram dessas relações?
222
zyx RRRR ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
xx RR θcos= yy RR θcos= zz RR θcos=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
NNNNNF 70099,699150650)1,212( 222 ≅=++−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NNNNNF 70099,699150650)1,212( 2222 ≅=++−=
700
1,212
cos
−
=xθ
700
650
cos =yθ
700
150
cos =zθ
°=108xθ °= 8,21yθ °= 6,77zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°=108xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°=108xθ
°= 8,21yθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 4:
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
°= 6,77θ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°=108xθ
°= 8,21yθ
°= 6,77zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kNjNiNF
rrrr
4,141100100 ++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
yy FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
yy FF θcos=
zz FF θcos=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
yy FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
yy FF θcos=
zz FF θcos=
?=xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
yy FF θcos=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
yy FF θcos=
zz FF θcos=
?=xθ
1coscoscos 222 =++ zyx θθθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
°= 60cos200yF
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°= 60cos200yF
°= 45cos200zF
?=xθ
145cos60coscos 222 =°+°+xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
?=xθ
15,025,0cos2 =++xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
?=xθ
25,0cos2 =xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
?=xθ
25,0cos2 =xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
?=xθ
5,0cos =xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
?=xθ
°= 60arccos xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
xx FF θcos=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: MatheusP. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
°= 60xθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
°= 60cosFFx
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
NFx 100=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
FORÇAS NO PLANO
Exercício 5:
Expresse a força F, como um vetor cartesiano.
NFx 100=
NFy 100=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NFy 100=
NFz 4,141≅
kNjNiNF
rrrr
4,141100100 ++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
NF 50,502≅
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NF 50,5021 ≅
°= 85,45xθ
°= 34,53yθ
°= 55,66zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
321 FFFFr
rrrr
++=
rr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
iNFr
rr
350=
jNF
rr
3003 −=
kNF
rr
2002 =
?1 =F
r
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
jNkNFiN
rrrr
300200350 1 −−=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kjiF 2003003501 ++=
222
1 200300350 ++=F
NF 50,5021 ≅
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kjiF 2003003501 ++=
222
1 200300350 ++=F
NF 50,5021 ≅
FORÇAS NO PLANO
RELEMBRANDO:
Uma maneira mais fácil de definir os cossenos
diretores de uma Força F, é definir um vetor unitário
na sua direção:
r
F rrr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F
F
u
r
r
=
Relembrando:
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
k
F
F
j
F
F
i
F
F
F
F
u z
yx
rrr
r
r
++==
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
222
1 200300350 ++=F
NF 50,5021 ≅
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
222
1 200300350 ++=F
NF 50,5021 ≅
5,502
350
cos =xθ 5,502
300
cos =yθ
5,502
200
cos =zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
222
1 200300350 ++=F
NF 50,5021 ≅
6965,0cos =xθ 5970,0cos =yθ 398,0cos =zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 6:
O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos
diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua
sobre o mastro seja iNFr
rr
350=
kjiF
rrrr
2003003501 ++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
222
1 200300350 ++=F
NF 50,5021 ≅
°= 85,45xθ °= 34,53yθ °= 55,66zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 7:
O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma
escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes
Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que
definem a direção da força. B
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
30m 
40m 
80m 
A
FORÇAS NO PLANO
Exercício 7:
O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma
escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes
Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que
definem a direção da força. B
NF 1060−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
30m 
40m 
80m 
A
°= 08,115xθ
°= 0,32yθ
°= 45,71zθ
NF
NF
NF
z
y
x
795
2120
1060
=
=
−=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 8:
Determine o módulo e a direção da força kNjNiNF
rrrr
760320650 −−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 8:
Determine o módulo e a direção da força kNjNiNF
rrrr
760320650 −−=
NF 1050=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NF 1050=
°= 75,51xθ °= 75,107yθ °= 37,136zθ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 9:
Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos
ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é
+1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o
valor de Ɵy.
x 75°=θ
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NF
NF
NF
NF
z
y
x
z
y
x
2080
1337
1500
34,538
130
85,43
75
=
−=
=
=
°=
°=
°=
θ
θ
θ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 10:
Uma placa de concreto pré moldado é temporariamente sustentada pelos cabos
conforme apresentado na figura.Conhecendo as trações de 4200N no cabo AB e
6000N no cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas
pelos cabos AB e AC na estaca A.
8,10 m
C
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
2,40 m
4,80 m
3,30 m
B
FORÇAS NO PLANO
Exercício 10:
Uma placa de concreto pré moldado é temporariamente sustentada pelos cabos
conforme apresentado na figura. Conhecendo as trações de 4200N no cabo AB e
6000N no cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas
pelos cabos AB e AC na estaca A.
8,10 m
C
= 8250NR
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
A
2,40 m
4,80 m
3,30 m
B
°=
°=
°=
=
6,102
1,64
8,150
8250
z
y
x
NR
θ
θ
θ
FORÇAS NO PLANO
Exercício 11:
Uma barra metálica é presa em um torno. Sabendo que a ferramenta de corte aplica
uma força de 60N e que os ângulos α = 60ᵒ e γ = 30ᵒ. Determine a componente
cartesiana da força.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
FORÇAS NO PLANO
Exercício 11:
Uma barra metálica é presa em um torno. Sabendo que a ferramenta de corte aplica
uma força de 60N e que os ângulos α = 60ᵒ e γ = 30ᵒ. Determine a componente
cartesiana da força.
°= 90β
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°= 90β
kNiNF
rrr
5230 −−=
FORÇAS NO PLANO
Exercício 12:
Um olhal está submetido a uma força F tem suas componentes x e z orientadas sobre
os eixos de coordenadas. Sabendo que F forma um ângulo β = 80ᵒ, com sua
componente em y, calcule sua intensidade.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
60N
80N
NF 54,101=