Lista de exercícios 03 Módulo, potenciação e radiciação

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
3a lista de exerc´ıcios (versa˜o principal) - Mo´dulo, potenciac¸a˜o e radiciac¸a˜o
Semana 3 (19/08/2019 a 23/08/2019)
1. Resolva as expresso˜es abaixo.
(a) |5|. (b) |0|. (c)
∣∣∣∣−12
∣∣∣∣.
(d) |0,36|. (e) |7− 5|. (f) |5− 7|.
(g) |a| , com a ≥ 0. (h) |a| , com a < 0. (i) ∣∣2−√3∣∣.
(j)
∣∣2 +√3∣∣. (k) ∣∣√3− 2∣∣. (l) ∣∣−2−√3∣∣.
Alerta!!! No restante dessa lista, voceˆ trabalhara´ com potenciac¸o˜es e ra´ızes. Estas operac¸o˜es na˜o
se da˜o bem com adic¸a˜o e subtrac¸a˜o. Praticamente todas as propriedades que voceˆ acha que sa˜o
verdadeiras, na˜o sa˜o! Por exemplo,
a2 + a3 6= a5, (a− b)2 6= a2 + b2 e √a− b 6= √a−
√
b.
Na˜o caia nessas tentac¸o˜es!!
2. Resolva as expresso˜es abaixo.
(a) 24. (b) 73. (c) 05. (d) 113. (e) (−1)6.
(f) (−1)7. (g) (−2)4. (h) −24. (i) (−5)3. (j) −53.
(k) (−13)4. (l) (−14)3. (m)((−1)4)3. (n) ((−1)3)4. (o)
(
1
2
)5
.
(p)
(
2
3
)2
. (q)
(−5
2
)2
. (r)
(
−1
4
)3
. (s)
(−2
3
)4
.
3. Usando as propriedades de potenciac¸a˜o, simplifique e deˆ a resposta na forma de poteˆncias de nu´meros
primos.
(a)
125 · 203
304
. (b)
(−84 · 322
22 · 410
)3
. (c)
30 · 3 · 35
(32)4
.
(d) [(−2)6]3. (e) (−135)2. (f) (−116)4.
(g) (−88)5. (h) [(−28)2]3. (i) (−16)23 .
(j) (3 · 25 · 213)2. (k)
−(36 · 632 · (42)4
272 · 2
)23.
1
4. Usando as propriedades de potenciac¸a˜o, simplifique e deˆ a resposta na forma de uma u´nica poteˆn-
cia.
(a) a5 · a7. (b) a3 · a−4. (c) 3
4
36
. (d) (72)3. (e) 72
3
.
(f) 8−3/2−5. (g) 46/165. (h) (24 · 2)/26. (i) (−5a3)7.
5. Dizer, em cada caso, se a igualdade e´ verdadeira ou falsa.
(a) (2 · 3)2 = 22 · 32. (b) (3 + 4)2 = 32 + 42. (c) 25/23 = 22.
(d) (a− b)2 = a2 − b2. (e)
(a
b
)2
= a2 − b2. (f) a
2
b2
= a2 − b2.
(g)
a2
b2
=
(a
b
)2
. (h) (a2)3 = a2
3
. (i) −24 = (−2)4.
(j)
142
72
= 4. (k) 53 · 23 = 103. (l) a3 · a2 = a6.
(m)73 · 43 = 283. (n) x15/x5 = x3. (o) (a2 + b3)4 = a8 + b12.
(p) (2 + 5)2 = 22 + 52. (q) (94)6 = 924. (r)
a8
a4
= a4.
(s) (5− 4)2 = 52 − 42. (t) 23 · 52 = 105.
Observac¸a˜o. Alguns itens acima na˜o fazem sentido para situac¸o˜es particulares das varia´veis. Por
exemplo, os itens (e), (f) e (g) na˜o esta˜o definidos no caso b = 0. Nesses itens, fac¸a a ana´lise da
igualdade nos casos em que a expressa˜o faz sentido (por exemplo, em (e), (f) e (g) diga se o item e´
verdadeiro ou falso ja´ assumindo que b 6= 0).
6. Resolva as expresso˜es abaixo, indicando as que na˜o esta˜o definidas em R.
(a) 3
√
8. (b) 3
√−27. (c) 3√0. (d) 7√−128. (e) √−9. (f) 4√625.
(g) 3
√
125. (h)
√
36. (i) 5
√−1. (j) 4√−81. (k) 7√0. (l) 6√0.
(m)
√
144. (n) 12
√
1. (o) 8
√−1. (p) 7√1. (q) 15√−1. (r) √−121.
7. Simplifique as expresso˜es abaixo, indicando as que na˜o esta˜o definidas em R.
(a)
√
(−7)2. (b) √−32. (c) 3
√
(−2)3. (d) 3√−23.
(e) 4
√
(−3)4. (f) 14√56. (g) 5
√
(
√
8− 3)5. (h) 6
√
(
√
8− 3)6.
(i)
√
a2. (j)
3
√
m3. (k) n
√
an, com n ∈ N∗. (l)
(
3
√√
3
√
220
)5
.
8. Em cada item, reescreva todos os nu´meros usando ra´ızes de mesmo ı´ndice (e que este seja o menor
poss´ıvel).
(a)
√
3, 3
√
4 e 6
√
5. (b) 4
√
2, 3
√
3 e 6
√
6.
9. Utilize o exerc´ıcio anterior e efetue as multiplicac¸o˜es.
(a)
√
3 3
√
4 6
√
5. (b) 4
√
2 3
√
3 6
√
6.
10. Sem usar calculadora, coloque em ordem crescente os nu´meros: 1, 2, 3,
√
2, 3
√
2,
√
3, 3
√
3 e
√
5.
11. Simplifique as expresso˜es abaixo, dando a resposta na forma de uma u´nica poteˆncia e, tambe´m, na
forma de radicais.
(a) 3−1 · 31/5. (b) 9−1/4 · 31/3. (c) 3
−1
31/5
. (d)
9−1/4
31/3
.
2
12. Reescreva as expresso˜es abaixo e deˆ a resposta na forma de produto de poteˆncias e, tambe´m, produto
de radicais. Tente resolver por dois me´todos: (1) manipulando diretamente radicais e (2) reescrevendo
como poteˆncia e manipulando a seguir.
(a)
12
√
58. (b)
30
√
x18, x ∈ R. (c) 3√1121.
(d) 6
√
1024. (e)
7
√
x16. (f)
7
√
256 a8 b5 c24.
(g)
6
√
64 a8 b16. (h)
4
√
512x6. (i)
3
√
6 a9b8c16.
13. Determine se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa. No caso de a afirmac¸a˜o ser falsa, deˆ um exemplo
para justificar.
(a) 3
√
a + b = 3
√
a + 3
√
b, ∀ a, b ∈ R. (b) 4√a · b = 4√a · 4√b, ∀ a, b ∈ R+.
(c) 4
√
a · b = 4√a · 4√b, ∀ a, b ∈ R. (d)
√
a√
b
=
√
a
b
, ∀ a, b ∈ R∗+.
(e)
√
a√
b
=
√
a
b
, ∀ a, b ∈ R. (f) 5√a− 5√b = 5√a− b, ∀ a, b ∈ R.
(g) 6
√
x3 · y = √x · y, ∀x, y ∈ R. (h)
√
(a− b)2 = a− b, ∀ a, b ∈ R.
(i)
√
(a− b)2 = a− b, se a > b. (j) 3
√
(a− b)3 = a− b, ∀ a, b ∈ R.
(k)
√
64 +
√
36 =
√
100. (l)
√
a2 + b2 = a + b, ∀ a, b ∈ R.
(m)
12
√
a4b5 =
3
√
ab5, ∀ a, b ∈ R. (n) 10√25 = √5.
(o) 3
√
a3 + b3 = a + b, ∀ a, b ∈ R. (p) √(a + b)2 = a + b, se a + b ≥ 0.
(q) 4
√
x
16
=
4
√
x
2
, se x ≥ 0. (r) 5√a5 − b = a− 5√b, ∀ a, b ∈ R.
(s)
20
√
28 x12 =
5
√
4x3, ∀x ∈ R. (t) 12√16 = 3√2.
(u) 3
√
2a = 3
√
2 · 3√a, ∀ a ∈ R. (v) √ x
49
=
√
x
7
, se x ≥ 0.
(w)
√
8 = 2
√
2. (x)
√
4 · 9 = √4 · √9.
(y)
√
(−4) · (−9) = √−4 · √−9. (z) √(−4) · (−9) = √4 · √9.
14. Passe os coeficientes (fatores) para dentro dos radicais.
(a) 2
√
5. (b) a 4
√
x. (c)
1
a
3
√
b. (d) a3
5
√
b2.
15. Sejam x e y nu´meros reais positivos. Reescreva as expresso˜es e deˆ a resposta utilizando uma u´nica
raiz.
(a) 5
√
2x · 5√3x2 · 5√x. (b) ( 4√8x3 · 4√4x3)/ 4√2x.
16. Simplifique as expresso˜es e deˆ a resposta na forma de produto de poteˆncias.
(a)
21/3 · 31/4 · (−4)−2
33 · 91/3 · 8−1/6 . (b)
(2
3
)3/2
(3
4
)−4/3
.
17. Seja a um nu´mero real positivo. Simplifique as expresso˜es abaixo e deˆ a resposta na forma de uma
u´nica poteˆncia de a e, tambe´m, na forma de um radical de a.
(a)
a3a2/3a−1
a−1/4a−2a1/2
. (b)
(a−3)
1
4a−
1
3
(a
1
2 )−3a
1
5a2
.
18. Simplifique as expresso˜es abaixo efetuando somas de radicais sempre que poss´ıvel.
(a) 3
√
2 + 2 3
√
2− 7 3√2 + 3√2. (b) 5√4 + 10 5√8− 4 5√16− 5√22 + 5 5√24 − 9 5√23.
(c) 1
6
3
√
3− 1
4
3
√
3 +
√
3− 2
3
3
√
3− 1
2
4
√
9. (d) 6
√
3− 1
5
√
75 + 1
2
√
48− 4√12 + 1
3
√
27.
3
19. Simplifique a expresso˜es abaixo.
(a)
32x−1 − 9x · 5 + 2 · 9x−1
9x + 27 · 32x−3 − 2 (3x−1)2 . (b)
5 · 8x−1 − 16 3x4 + 12
3 · 64x2− 56 − 3
4
· 512x+13
.
(c)
2n+4 + 2n+2 + 2n−1
2n−2 + 2n−1
. (d)
3 · 2−2x+6 − 2−2x+5 − 9 · 2−2x+4
5 · 2−2x+2 − 2−2x+4 − 3 · 2−2x .
20. As propriedades envolvendo ra´ızes e poteˆncias devem ser usadas com cuidado. Explique os itens
abaixo.
(a) Onde esta´ o erro em
√
x2 = (x2)1/2 = x2/2 = x1 = x ? Como corrigir?
(b) Por que na˜o ha´ erro em (
√
x)2 = (x1/2)2 = x ?
Lista de exerc´ıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerc´ıcios de Matema´tica - vol. 1, Revisa˜o de 1o grau. Segunda
edic¸a˜o, Editora Policarpo, Sa˜o Paulo, 1998.
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