Integrais Iteradas em Cálculo IV

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CÁLCULO IV
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
Campus Universitário do Araguaia
Instituto de Ciências Exatas e da Terra
Professor: Renato Ferreira da Cruz
AULA 1
Integrais Iteradas
Objetivo
• Compreender a noção de integral iterada.
Na disciplina de Cálculo II, estudamos dois problemas fundamentais:
1o) cálculo de área de uma figura plana.
2o) obtenção de uma primitiva para uma função contínua, ou seja, dada uma função contínua
f : I Ñ R, encontrar uma função F tal que F 1pxq “ fpxq, @x P I, onde I é um intervalo
de R.
Um dos mais belos e úteis resultados que se aprende naquele curso é o Teorema Funda-
mental do Cálculo, que relaciona esses dois problemas.
A área da região plana R limitada pelo gráfico de uma função contínua e positiva
f : ra, bs Ñ R, o eixo x e as duas retas verticais x “ a e x “ b é calculada do seguinte
modo:
• Primeiramente encontra-se uma primitiva F pxq de fpxq.
• Em seguida, calcula-se a diferença F pbq ´ F paq. Em símbolos, escrevemos:ż b
a
fpxqdx “ F pbq ´ F paq “ áreapRq
Com esta ferramenta em mãos obtemos várias aplicações importantes tais como: volumes
de sólidos de revolução, centro massa, trabalho, etc.
O objetivo deste curso agora, é generalizar estas idéias para funções de várias variáveis.
Nesta aula apresentamos os conceitos de Integral Iterada (ou repetida) e nas Aula 2 e 3
estudaremos o conceito de integral dupla e as técnicas de integração em duas variáveis.
De modo análogo ao caso de uma variável, veremos que as integrais duplas são úteis em
várias situações, tais como:
1. cálculo da área de figuras planas mais gerais;
2. cálculo da área de uma superfície;
3. obtenção da massa de uma placa plana feita de um material que possui densidade variável;
4. cálculo do volume de uma região do espaço tri-dimensional limitada pelo gráfico de uma
função positiva de duas variáveis, pelo plano xy e por planos verticais.
Veremos que para efetuar o cálculo integral em várias variáveis é fundamental o domínio
das técnicas de integração em uma variável. É recomendado, portanto, que seja feita uma breve
revisão da integral em uma variável e também de geometria analítica.
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1.1 Integrais Iteradas
O procedimento utilizado para o cálculo da integral dupla é a integral iterada que, por
ser conceitualmente mais simples, será o nosso ponto de partida. Antes, porém, recordaremos
o conceito de soma de Riemann de uma função real:
Sejam f uma função definida em ra, bs e P : a “ x0 ă x1 ă x2 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b uma
partição de ra, bs. Para cada índice j pj “ 1, 2, 3, . . . , nq consideremos cj um número escolhido
de forma arbitrária no intervalo rxj´1, xjs. Chamamos de soma de Riemann de f relativa à
partição P e aos números cj, o número dado por:
nÿ
j“1
fpcjq∆xj “ fpc1q∆x1 ` fpc2q∆x2 ` ¨ ¨ ¨ ` fpxnq∆xn
Fazendo o número de pontos da partição crescer de maneira que a largura dos intervalos
∆xj tenda a zero, podemos determinar o limite dessa soma:
lim
max∆xjÑ0
nÿ
j“1
fpcjq∆xj “ lim
nÑ`8
rfpc1q∆x1 ` fpc2q∆x2 ` ¨ ¨ ¨ ` fpcnq∆cns
Se esse limite existir, ele será denominado integral de Riemann ou integral definida da
função f no intervalo ra, bs e o indicaremos por
ż b
a
fpxqdx.
Então, por definição, temos:ż b
a
fpxqdx “ lim
nÑ`8
nÿ
j“1
fpcjq∆xj.
Este resultado será usado com frequência daqui por diante.
Considere uma função contínua f : ra, bs ˆ rc, ds Ñ R. Para cada x P ra, bs fixo, definimos
uma nova função g : rc, ds Ñ R de uma variável dada por gpyq “ fpx, yq. Como g é a restrição de
f ao segmento vertical txuˆrc, ds, então g é contínua em rc, ds. Assim sendo, podemos calcular
a integral definida: Apxq “
ż d
c
gpyqdy obtendo assim uma função contínua que depende apenas
da váriavel x. Logo, existe a integral
ż b
a
Apxqdx. Assim,
ż b
a
Apxqdx “
ż b
a
„ż d
c
fpx, yqdy

dx (1.1)
A integral do lado direito da Equação (1.1) é chamada integral iterada. Em geral,
omitiremos os colchetes e escreveremos:ż b
a
ż d
c
fpx, yqdydx “
ż b
a
„ż d
c
fpx, yqdy

dx (1.2)
Isso significa que integramos com relação a y e depois em relação a x.
De modo análogo, temos a integral iterada:ż d
c
ż b
a
fpx, yqdxdy “
ż d
c
„ż b
a
fpx, yqdx

dy (1.3)
Neste caso, integramos primeiro em relação a x (fixando y) e em seguida integramos em
relação a y. Note que em ambas as Equações (1.2) e (1.3), integramos de dentro para fora.
3
Exemplo 1
Calcule o valor das integrais iteradas:
a)
ż
3
0
ż
2
1
x2ydydx b)
ż
2
1
ż
3
0
x2ydxdy
Solução:
a) Primeiro, calculamos a integral em relação a y. Logo,
ż
3
0
ż
2
1
x2ydydx “
ż
3
0
x2
„
y2
2
2
1
“
1
2
ż
3
0
x2r4´ 1sdx “
1
2
ż
3
0
3x2dx “
1
2
”
x3
ı3
0
“
27
2
b) Primeiro, calculamos a integral em relação a x. Logo,
ż
2
1
ż
3
0
x2ydxdy “
ż
2
1
y
„
x3
3
3
0
“
1
3
ż
2
1
yr27´ 0sdy “
1
3
ż
2
1
27ydy “ 9
„
y2
2
2
1
“
27
2
Observe que no Exemplo 1 obtemos a mesma resposta se integrarmos primeiro em relação
a x ou a y. Em geral ocorre que as duas integrais iteradas das Equações (1.2) e (1.3) são sempre
iguais, ou seja, a ordem de integração não é importante. Na Aula 2 veremos um resultado que
nos dirá em que condições as integrais iteradas são sempre iguais. Esse resultado facilitará o
cálculo das integrais duplas.
1.2 Interpretação Geométrica da Integral Iterada
Suponhamos que a função f seja positiva no retângulo R “ ra, bsˆrc, ds. Então, de acordo
com o que foi visto no Cálculo em Uma Variável, fixado x P ra, bs, a função Apxq é igual à área
da região plana limitada pelo gráfico de g e o eixo horizontal entre as retas y “ c e y “ d,
conforme a Figura 1.1.
x
y
z
x
c
d
Figura 1.1
De modo análogo, fixado y P rc, ds, a função Bpxq é igual à área da região plana limitada
pelo gráfico de g e o eixo horizontal entre as retas x “ a e x “ b, conforme a Figura 1.2.
4
x
y
z
y
a
b
Figura 1.2
1.3 Integral iterada em regiões mais gerais
Até agora calculamos a integral iterada em retângulos ra, bs ˆ rc, ds. Porém, procedendo
da mesma forma como acima, podemos calcular a integral iterada em regiões mais gerais do
plano. Por exemplo, se gpxq e hpxq são funções contínuas definidas num intervalo ra, bs tais que
gpxq ă hpxq em pa, bq, podendo haver igualdade nas extremidades do intervalo, então faz sentido
calcular a seguinte integral
ż hpxq
gpxq
fpx, yqdy para obter Apxq uma função apenas da variável x.
Em seguida, podemos calcular
ż b
a
Apxqdx para obter um número. Este é o significado da integral
iterada ż b
a
«ż hpxq
gpxq
fpx, yqdy
ff
dx “
ż b
a
ż hpxq
gpxq
fpx, yqdydx
.
Observe a ordem em que calculamos a integral. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 2
Calcule o valor da integral iterada
ż
1
0
ż x2
x3
xydydx.
Solução: Primeiro, calculamos a integral em relação a y. Logo,
ż
1
0
ż x2
x3
xydydx “
ż
1
0
x
„
y2
2
x2
x3
dx “
1
2
ż
1
0
xpx4 ´ x6qdx “
1
2
ż
1
0
px5 ´ x7qdx “
“
1
2
„
x6
6
´
x8
8
1
0
“
1
2
„
1
6
´
1
8

“
1
2
¨
1
24
“
1
48