Unidade V - Equacao da quantidade de movimento para regime permanente

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Engenharia de Energias 
 
Unidade V 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
PARA REGIME PERMANENTE 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I 
Universidade da Integração Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira 
Instituto de Engenharias e Desenvolvimento Sustentável 
 
1 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO 
 Seja a segunda lei de Newton da dinâmica : 
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 
Como a equação acima é estabelecida para um sistema que tem, por definição, massa 
constante, pode-se escrever: 
𝐹 =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑣 ) 
Quantidade de movimento. 
Teorema da mecânica: A força resultante, que age no sistema em estudo, é igual à 
variação com o tempo da quantidade de movimento do sistema. 
2 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO 
 Seja o tubo de corrente: 
(1) 
(2) 
Pelo teorema da quantidade de movimento, a força resultante que age no fluido entre as 
seções (1) e (2) será: 
𝐹 =
𝑑𝑚2𝑣 2
𝑑𝑡
−
𝑑𝑚1𝑣 1
𝑑𝑡
 𝐹 = 𝑄𝑚2𝑣 2 − 𝑄𝑚1𝑣 1 
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2 = 𝑄𝑚 𝐹 = 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 = 𝑄𝑚∆𝑣 
ou 
Como o regime é permanente, então: 
e 
F tem a direção de e 
o ponto de aplicação fica na interseção 
das direções de v1 e v2. 
∆𝒗 = 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏 
3 
(1) 
(2) 
 Sejam as forças componentes da resultante F: 
 
Forças que agem no fluido nas seções (1) 
e (2), nas quais os sinais negativos se 
devem à convenção adotada para as 
normais (sentido positivo para fora do 
tubo de corrente). 
Tensão de cisalhamento 
Força peso 
Forças de pressão 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO 
A resultante das pressões pode ser obtida adotando-se em cada ponto uma normal 
dirigida para fora, conforme a convenção adotada. 
Assim, a resultante em cada 
elemento dAlat no entorno de um 
ponto da superfície lateral será: 
Logo, a força resultante das 
pressões e tensões de 
cisalhamento na superfície lateral é 
dada por: 
𝑑𝐹′ 𝑠 = −𝑝𝑙𝑎𝑡 𝑛 𝑙𝑎𝑡 𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 + 𝜏 𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 
𝐹′ 𝑠 = −𝑝𝑙𝑎𝑡 𝑛 𝑙𝑎𝑡 𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 + 𝜏 𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 
4 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO 
(1) 
(2) 
Uma vez definida a resultante das forças, a figura anterior pode ser reduzida a: 
A força F resultante que age no 
fluido entre (1) e (2) será a 
soma das componentes 
representadas na figura ao 
lado. 
 
Logo: 
𝐹 = 𝐹′ 𝑠 + −𝑝1𝐴1𝑛 1 + −𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝐺 
𝐹′ 𝑠 − 𝑝1𝐴1𝑛 1 − 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝐺 = 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 
𝐹′ 𝑠 = 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 − 𝐺 
Porém , , logo: 
𝐹 = 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 = 𝑄𝑚∆𝑣 
ou 
Resultante das forças de contato da superfície sólida contra o fluido. 
5 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO 
Pelo princípio da ação e reação, a força Fs que o fluido aplica na superfície sólida será: 
 
𝐹 𝑠 = −𝐹′ 𝑠 
ou 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 + 𝐺 
Se o peso do fluido for desprezado tem-se: 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 
6 
MÉTODO DE UTILIZAÇÃO 
DA EQUAÇÃO 
APLICAÇÃO 1 – Conduto com Redução Gradual da Seção 
(1) 
(2) 
Supondo-se fluido 
incompressível, propriedades 
uniformes na seção e regime 
permanente. 
O esforço horizontal do fluido sobre o conduto será determinado como segue abaixo. 
Para o trecho (1) e (2) pode-se escrever: 
Projetando na direção de x: 
ou 
Como nenhum dos vetores da figura tem 
componentes na direção y, Fsy = 0 (não 
está se considerando G). 
 
VANTAGEM: o estudo é realizado 
inteiramente nas seções de entrada e saída, 
sem a preocupação com a distribuição 
intermediária das forças. 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 
𝐹𝑠𝑥 = − 𝑝1𝐴1(−1) + 𝑝2𝐴2(+1) + 𝑄𝑚 𝑣2 − 𝑣1 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑝1𝐴1 − 𝑝2𝐴2 + 𝑣1 − 𝑣2 𝜌𝑄 
7 
APLICAÇÃO 2 – Redução de Seção e Mudança de Direção 
(1) 
(2) 
Admitindo as mesmas hipóteses anteriores: 
Projetando segundo x: 
ou 
Projetando segundo y: 
ou 
A partir daí pode ser obtida a força resultante do fluido sobre o conduto: 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 
𝐹𝑠𝑥 = − 𝑝1𝐴1(−1) + 𝑝2𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑄𝑚 𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣1 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑝1𝐴1 − 𝑝2𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑄𝑚 𝑣1 − 𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐹𝑠𝑦 = − 0 + 𝑝2𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑄𝑚 𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 0 
𝐹𝑠𝑦 = −𝑝2𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜌𝑄𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝐹𝑠 = 𝐹𝑠𝑥
2 + 𝐹𝑠𝑦
2 
MÉTODO DE UTILIZAÇÃO 
DA EQUAÇÃO 
8 
MÉTODO DE UTILIZAÇÃO 
DA EQUAÇÃO 
APLICAÇÃO 3 – Desviador de Jato Fixo 
Parte da força Fs é 
produzida no contato do 
fluido com o ar. 
(1) 
(2) 
A pressão efetiva é nula, 
mas o efeito do atrito do 
ar existe. 
Se Fs deve ser a resultante da força que o fluido aplica no anteparo, deve-se desprezar o 
atrito com o ar. Então: 
 
 
O fluido lançado contra o desviador 
sofre uma deflexão provocada por este. 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 
Projetando segundo x: Projetando segundo y: 
Como em (1) e (2) o jato é livre à pressão atmosférica, então p1 = p2 = 0. Logo: 
𝐹 𝑠 = 𝑄𝑚 𝑣 1 − 𝑣 2 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑄𝑚 𝑣1 − 𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹𝑠𝑦 = 𝑄𝑚 0 − 𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑄𝑚𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 
9 
MÉTODO DE UTILIZAÇÃO 
DA EQUAÇÃO 
Desprezando-se o atrito do fluido na superfície sólida e a diferença de cotas entre (1) e 
(2) tem-se que v1 = v2 = vj (velocidade do jato). Logo: 
e 
A composição de Fsx e Fsy dará Fs, cujo ponto de aplicação estará no encontro das 
direções dos vetores da velocidade. 
 
𝐹𝑠𝑥 = 𝜌𝐴𝑗 𝑣𝑗
2 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐹𝑠𝑦 = −𝜌𝐴𝑗 𝑣𝑗
2𝑠𝑒𝑛𝜃 
10 
MÉTODO DE UTILIZAÇÃO 
DA EQUAÇÃO 
APLICAÇÃO 4 – Jato Incidindo numa Placa Plana 
Supõe-se que jato ao atingir o anteparo é espalhado uniformemente, em todas as 
direções. A velocidade v2 não terá, portanto, componente segundo x. 
Como a pressão é atmosférica, obtém-se: 
(1) 
(2) 
(2) 
𝐹𝑠𝑥 = 𝜌𝑄𝑣1 
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FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
 Seja o desviador de jato em movimento com velocidade vs constante, mostrado na 
figura abaixo: 
 
(1) 
(2) 
Da mecânica, tem-se a equação vabs = u + vs, na qual: 
   
vabs é a velocidade absoluta, em relação ao sistema inercial; 
vs é a velocidade de arrastamento ou velocidade da origem do sistema de referência 
fixo na superfície sólida; 
 
 
u é a velocidade relativa ou velocidade em relação ao sistema de referência móvel. 
 
12 
FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
A força do desviador contra o jato de fluido lançado pelo bocal será função da 
velocidade relativa u. 
• Se o desviador estiver com uma velocidade maior que o jato de fluido, a 
força será nula; 
• Se o desviador tiver velocidade nula, a força será maior que se ele se 
afastasse com uma certa velocidade do jato; 
• No caso em que a superfície esteja parada, como já foi visto na aplicação 
3, vale o resultado: . 
𝐹 𝑠 = 𝑄𝑚 𝑣 1 − 𝑣 2 
No caso atual, a vazão do jato lançado pelo bocal é Qm = A1v1, mas a superfície sólida, 
devido a seu movimento, não é atingida por essa vazão. 
O que incidirá sobre a superfície sólida será uma vazão aparente, dada por: 
𝑄𝑚𝑎𝑝 = 𝜌𝐴1 𝑣𝑎𝑏𝑠1 − 𝑣𝑠 = 𝜌𝐴1𝑢1 
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FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
Logo, para o caso do movimento relativo, tem-se: 
Com a hipótese do MRU da superfície sólida, todas as expressões continuam válidas, 
desde que seja utilizada a velocidade relativa vabs = u + vs e Qmap no lugar de Qm.    
Assim, de uma forma geral: 
𝐹 𝑠 = 𝑄𝑚𝑎𝑝 = 𝑢1 − 𝑢2 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚𝑎𝑝 𝑢 2 − 𝑢 1 
14 
Exemplo 1 – Um desviador de jato move-secom uma velocidade de 9 m/s. Um bocal 
de 5 cm de diâmetro lança um jato de óleo com uma velocidade de 15 m/s, tal que o 
jato incide sobre o desviador, conforme indicado na figura mostrada mais abaixo. O 
ângulo de saída é 60º e o peso específico do óleo é 8.000 N/m3. Calcular a força do jato 
contra o desviador. 
FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
(1) 
(2) 
15 
FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
16 
FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
Exemplo 2 – Determinar a potência transmitida por um jato 
de água a uma turbina de ação tipo Pelton. Determinar 
também o rendimento da transmissão de potência. 
17 
FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
18 
FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SÓLIDAS EM MOVIMENTO 
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EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA 
DIVERSAS ENTRADAS E SAÍDAS EM REGIME PERMANENTE 
p1e 
p2e 
pne 
(1e) 
(2e) 
(ne) 
v1s 
v2s 
vns 
(1s) 
(2s) 
(pns) 
v1e  
 v2e 
 
vne 
 
 
p1s 
 
(ns) 
(p2s) 
 Seja o sistema genérico com diversas entradas e saídas, mostrado na figura abaixo: 
Nesse caso, basta generalizar a equação , 
lembrando que se tem uma vazão diferente em cada seção. Logo: 
𝐹 𝑠 = − 𝑝1𝐴1𝑛 1 + 𝑝2𝐴2𝑛 2 + 𝑄𝑚 𝑣 2 − 𝑣 1 
𝐹 𝑠 = − 𝑝𝑖𝐴𝑖𝑛 𝑖 + 𝑄𝑚
𝑒
𝑣 − 𝑄𝑚
𝑠
𝑣 
Entrada 
Saída 
20 
Exemplo 3 – O barco da figura tem um sistema de propulsão que consiste de uma bomba 
que succiona água na proa e a recalca na popa. Todos os tubos têm 5 cm de diâmetro e a 
vazão de saída é 50 L/s. Calcular a força de propulsão no instante da partida, isto é, com o 
barco em repouso. Admite-se que a pressão nas entradas e saída seja praticamente 
atmosférica ( = 1000 kg/m3). 
(1) 
(2) 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA 
DIVERSAS ENTRADAS E SAÍDAS EM REGIME PERMANENTE 
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EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA 
DIVERSAS ENTRADAS E SAÍDAS EM REGIME PERMANENTE 
22 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA 
DIVERSAS ENTRADAS E SAÍDAS EM REGIME PERMANENTE 
Exemplo 4 – Determinar a força de propulsão de um foguete, supondo a pressão de saída 
dos gases igual à do ambiente.